数形结合思想教学案例分析

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0引言

当前，信息技术对我国教育改革产生了巨大的影响。信息技术已成为初中教学有效的教学辅助手段。一名新时代的数学教师，应思考如何将技术、教学方法、内容知识有机整合，利用教育技术有效表征和呈现学科内容，帮助学生理解。当前，“技术—教学法—内容知识”（TPACK）是信息技术与课程整合、教师知识与教学学习研究的热点之一[1]。初中生的思维正处于由具体向抽象过渡的阶段，函数章节的知识十分抽象，学生学习起来有一定难度。尝试利用GeoGebra数学动态软件辅助函数图像的教学，以九年级上册二次函数图像平移规律为例进行教学设计，通过布置任务，引导学生利用GeoGebra软件探究二次函数平移规律，学生独立思考与小组讨论形式相结合，帮助学生更好地发散思维，引导学生在“形”中思“数”、“数”中忆“形”，培养其数形结合思维。

1GeoGebra数学软件

GeoGebra软件诞生于2001年，由美国数学教授MarkusHohenwarter开发，是集几何、代数、微积分和统计功能于一体的动态软件。发展到现在，该软件支持56种语言，可应用于多种平台[2]。GeoGebra一词是由英语单词Geometry（几何）和Algebra（代数）合成，从数学思想方法层面来解读，就是数形结合。这款软件简单易学，作图高效，可利用滑动条在几何绘图区展示图形平移过程。利用该软件助力数形结合思想教学，可以使教学内容产生动态变化，激发学生学习兴趣，培养学生探究能力，促进思维能力深度发展。新时代教师需学习现代教育技术和与时俱进的教学理论，具备运用信息技术辅助教学的意识。

2数形结合思想

我国著名数学家华罗庚最早提出“数形结合”一词，并用“数缺形时欠直观，形离数时难入微”来描述数形结合独特的优越性。数形结合思想是初中学生必须掌握的数学基本思想之一，对提高学生解题能力、数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养有很大帮助。新时代，教育改革将信息技术与数学课程进行整合，而GeoGebra软件的教学价值在数形结合思想的教学中体现得最为淋漓尽致，这也是在初中数学教学中有效运用GeoGebra的意义所在[3]。

3基于软件工具GeoGebra的教学方案设计

3.1学习内容分析

二次函数图像平移规律是湘教版数学九年级下册第一章第二节“二次函数的图像与性质”的拓展与延伸，是近几年来湖南省中考的热点与难点。该内容是学习八年级下册第三章“图形的平移”后，学习二次函数顶点式、一般式，a、b、c对图像影响的基础上，进一步开展专题研究。实际教学表明，学习函数图像的平移规律对学生来说是一个难点。结合GeoGebra软件，以学生为主体设计自主探究任务和驱动式问题，让学生亲身经历探求知识的过程，通过不同的学习方式帮助学生形成学习经验，提升自学能力，并逐步渗透数形结合的思想。

3.2教学目标分析

3.2.1知识与技能

利用GeoGebra探究y=ax2如何平移得到y=ax2+k、y=a(x+h)2、y=a(x+h)2+k的图像，掌握二次函数平移法则。

3.2.2过程与方法

通过小组合作的任务探究活动，学生利用GeoGebra做出二次函数图像，观察参数h、k对函数图像位置变化的影响，体会数形结合和特殊到一般的思想方法，提高逻辑推理和直观想象等核心素养。

3.2.3情感态度与价值观

让学生经历“猜想—实验—发现—证明”的过程，培养学生规范化思考问题的品质、科学严谨的学习态度和积极探究的合作精神。

3.3教学过程

3.3.1探究y=ax2与y=ax2+k图像的位置关系

1）前期准备。学生在机房（一人一台电脑）接受本班数学教师GeoGebra软件操作培训。2）任务探究。学生利用GeoGebra画出y=2x2、y=2x2+2、y=2x2-2的图像及y=2x2+k的图像。先观察前三个具体函数的图像，再通过拖动GeoGebra软件上设置的参数k滑动条，改变k的值，观察函数表达式和图像位置变化，并且发现二者联系及其中规律。3）学生实践。在平时上课的教室中（一台电脑、一个电子屏幕），各小组分组完成任务操作。当其中一个小组在讲台上使用软件画函数图像时，其他小组学生在草稿纸上描点连线作图，初步感受三个具体函数的位置关系。如图1所示，并回答探究问题。4）探究问题。A.三个具体函数图像有怎样的位置关系？抛物线y=2x2与y=2x2+k图像位置有什么关系？提出猜想。B.通过拖动滑动条k，是否能直观地感受到图像存在上下平移的联系？能否从形的角度验证猜想？C.图像平移过程中，对应点的x值、y值是否变化？能否从代数的角度验证该平移规律？5）小组汇报。①各小组代表向全体学生板演展示小组探究结果，利用GeoGebra直观地演示并解释原理。②各小组成员认真听小组代表汇报的探究成果，对成果进行组内自评与组间交叉互评。教师在学生展示与评价过程中，既要甄别对错，及时判断，又要发现典型性的问题和学生思维的亮点。通过教师精要的评价点拨，学生总结探究结果与学习方法。6）学生预设回答（回答a对应上述问题A，以此类推）。a.y=2x2+2、y=2x2-2函数图像是由y=2x2向上/向下平移2个单位长度得到。提出猜想：图像y=2x2+k可由y=2x2向上或向下平移|k|个单位得到，当k＞0时向上平移，当k＜0时向下平移。b.“形”方面验证该猜想：通过拖动滑动条k，图像y=2x2+k、y=2x2存在着上下平移|k|个单位长度的联系。c.“数”方面验证该猜想：图像平移过程中，对应点的x值不变、y值改变，在y=2x2、y=2x2+k图像上分别取一般点A（m，2m2）、B（m，2m2+k），横坐标相同，纵坐标相差|k|个单位。根据点的平移规律，相当于点A向上或向下平移|k|个单位变成了点B，所以整个图像呈上下平移的状态。7）教师小结。k决定二次函数图像的上下位置，由于开口大小和方向是由a决定，所以y=ax2向上或向下平移|k|个单位得到y=ax2+k，当k＞0时向上平移，当k＜0时向下平移，简记“上加下减变k”。

3.3.2探究y=ax2与y=a(x+h)2图像的位置关系

1）任务探究。学生利用GeoGebra画出y=2x2、y=2(x+1)2、y=2(x-1)2的图像以及y=2(x+h)2的图像。先观察前三个具体函数的图像，再通过拖动GeoGebra软件上设置的参数h滑动条，改变h的值，观察函数表达式和图像位置变化，发现两者联系及其中规律。2）学生实践。各小组分组完成任务操作，如图2所示，并回答探究问题。3）探究问题：D.三个具体函数图像有怎样的位置关系？抛物线y=2x2与y=2(x+h)2图像位置有什么关系？提出猜想。E.通过拖动滑动条h，是否能直观地感受到图像存在左右平移的联系？能否从形的角度验证猜想？F.图像平移过程中，对应点的x值、y值是否变化？能否从代数的角度验证该平移规律？4）小组汇报（同上）。5）学生预设回答（回答d对应上述问题D，以此类推）。d.先观察特殊点如顶点的位置变化，函数图像的位置变化和顶点的位置变化是一样的。y=2(x+1)2、y=2(x-1)2函数图像是由y=2x2向左/向右平移2个单位长度得到。提出猜想：图像y=2(x+h)2可由y=2x2向左或向右平移|h|个单位得到，当h＞0时向左平移，当h＜0时向右平移。e.“形”方面验证该猜想：通过拖动滑动条h，图像y=2(x+h)2、y=2x2存在着左右平移|h|个单位长度的联系。f.“数”方面验证该猜想：图像平移过程中，对应点的y值不变、x值改变，在y=2x2、y=2(x+h)2图像上分别取一般点A（m，2m2）、B（m-h，2m2），纵坐标相同，横坐标相差|h|个单位。根据点的平移规律，相当于点A向左或向右平移|h|个单位变成了点B，所以整个图像呈左右平移的状态。6）教师小结。h决定二次函数图像的左右位置，由于开口大小和方向是由a决定，所以y=ax2向左或向右平移|h|个单位得到y=a(x+h)2，当h＞0时向左平移，当h＜0时向右平移，简记“左加右减变h”。7）教师总结。y=ax2向上（k＞0）或向下（k＜0）平移|k|个单位得到y=ax2+k，再向左（h＞0）或向右（h＜0）平移|h|个单位得到y=a(x+h)2+k。学生在探究活动中兴致很高，表现积极，讨论交流中，思维越来越严谨，逻辑推理能力得到进一步发展。人类勇于探索的精神不断推动社会的发展和进步，由此引入课程思政。教师要带领学生一起揭示数学的奥秘，领悟数学的科学价值与应用价值。

4结束语

利用GeoGebra辅助数形结合思想教学，让学生在“做”中“学”，亲身经历知识产生到发展过程，构建知识体系。与传统的教育方式相比，学生利用GeoGebra展示函数图像，使静态的函数图像有动态的位置变化，把一些“看不透”“道不明”“想不清”的性质通过动态的形式呈现，可以更直观地发现二次函数图像的平移规律，克服因数学高度抽象性所带来的“只可意会，不可言传”的困难，从而实现教学可视化。另外，在函数教学中应用数形结合思想，可以加强函数的直观性，减少学生的推导过程，对增强学生自信有很大帮助。该教学设计具体实施过程中，学生对GeoGebra软件比较感兴趣，忽略了知识本身，这要求教师必须有较强的课堂掌控能力。在小组教学中，对于多元思维、预设问题之外的生成问题、共性问题，教师要及时点评，点拨讲解，这对教师提出了较高要求。该教学设计是GeoGebra动态软件与数学教学的融合，也是现代信息技术与教育教学有机整合的实践。

参考文献

[1]焦建利,钟洪蕊.技术—教学法—内容知识（TPACK）研究议题及其进展展[J].远程教育杂志,2010,28(1):39-45.

[2]李小妮.运用GeoGebra软件辅助初中数形结合思想教学效果研究[D].湖南:湖南科技大学,2018.

[3]华罗庚.谈谈与蜂房结构有关数学巧题[M].北京:北京出版社,1979.

作者：盛思佳 赵育林 单位：湖南工业大学