数学思想范文

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中图分类号：G633.6 ？摇文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）07-0233-02

新的课程标准中强调过程与方法，把知识产生的过程和解决问题的方法提到了一个新的高度。因此，数学教学中大力加强数学思想的教学势在必行。某种意义上来说，不教思想的课不能算是好课，这不仅是一个思想教学问题，更是一个教学思想的问题。因此，亟待弄清数学思想与数学教学思想之间的关系，以利于更好地指导中学数学教学的改革。

一、数学思想与数学教学思想的区别

首先是概括的对象不同。数学思想是对数学规律的本质认识，它是数学科学与数学学科固有的，它是数学的灵魂。而数学教学思想是对数学教学规律的本质认识，它既是数学教学实践活动的产物，又是其指南。它是人们观察、处理数学教学问题，进行教学工作的指导思想，它能经常直接地对数学教学活动发挥定向、控制、执行和反馈的功能，指导数学教学工作正常有效地进行；其次是结构的不同，数学思想包括数学观、认识论、方法论以及渗透在数学知识结构（概念、判断、推理等）的各个层次中的思想火花，而数学教学思想涉及到多学科，尤其与数学、教育学、心理学、哲学、逻辑学等都有紧密的联系；再次是功能的不同。数学教学从外显的知识到内隐的思想，既意味着内涵深化，又意味着功能扩展。有调查资料表明，我国的中学生毕业后，直接用到的数学知识并不太多，更多的是受到数学思想的熏陶与启迪。数学思想在优化学生所学知识的组成方式，发展数学思维，提高问题解决能力等方面有着广泛而重大的作用。而数学教学思想是决定教师进行的教学活动效果的核心因素。不管怎么说，对数学教学总的看法，肯定会自觉地或不自觉地在教学中反映出来，它制约着教学方法的运用，直接影响着数学教学目标的选择与实现；最后是发展特点不同。数学史可以看作一部思想斗争史，数学思想是数学发展的历史长河中积淀下来的精华，它是数学对象及其关系结构反映在人们的意识中经过思维活动而得到的结晶。随着数学的发展，数学思想日益丰富，而数学教学思想是教学论知识的活化和数学教学实践经验类化的结果，其主要来源是数学教学经验的科学总结，对我国古代教学思想的批判继承，从外域的教学思想中取得借鉴，随着时代的进步，社会的发展，数学教学思想也是不断发展的。

二、数学思想和数学教学思想的联系

数学教学思想指导数学教学的外在组织形式，而数学思想指导教学的内在组织形式，它们都是数学教学理论的重要组成部分。

第一，数学思想是数学教学思想的内核。数学思想与数学教学思想都具内隐性，数学学科有着丰富的思想，以数学思想为内核的数学教学思想更科学，优选教学方法更有效。如在方程（组）教学中，强化消元与降次的思想，可采用很普通的单元教学法。这样，能充分体现充满在整个数学中的“思想经济化”的精神，变“板块式”教材为“螺旋式”教学，斯托利亚尔在他所著的《数学教育学》中指出：“实际上，与其说是在中学教学现代数学，倒不如说是数学的现代教学”。波利亚也强调把数学中“有益的思考方式，应有的思维习惯”放在教学的首位，把“数学教给所有的人”。这些名家的论述都说明了数学思想应作为数学教学思想的内核。

第二，数学思想能活化数学教学思想。这里的活化指对数学思想的消化、验证、概括和具体迁移。教学的基本要求是重点突出，难点分散，重点往往要运用数学思想或揭示新的数学思想，数学思想史上的里程碑常常都是教学的难点。数学思想表现为一种意识或观念，很容易迁移到对象情景相似的场合中去。F.克莱因曾提出“用函数来思考”，奥加涅相提出“函数思维”，都强调了函数思想能活化为一种教学思想，这种函数教学思想能有效地帮助学生理解代数式、方程、曲线、函数、图象、不等式、数列等的内在联系，并且是一种“技术性”的教学思想，具有一般性、程序性和构造性的特征，有章可循，对数学教学有着直接而现实的指导意义。数形结合思想贯穿中学数学与数学教学的始终，它在我国从古至今一直是一种教学思想，强调数学应用的“培利运动”，强化现代数学思想教学的“新数运动”，波利亚的“合情推理”的教学思想，汉斯.弗赖登塔尔的“数学现实”、“数学再创造”的教学思想，本质上都是某种数学思想活化的结果。

第三，数学教学思想体现着数学教学规律的本质要求，教学过程的基本程序是：感知―理解―巩固―应用，而要领悟数学思想，则更需要渗透、提炼与反思。数学学科经过了教学法加工，数学教学思想必须充分反映数学的特点，没有数学思想的数学教学思想，是一碗“没有肉的淡汤”，没有先进的数学教学思想指导数学教学，数学思想可能会成为一块“嚼不动的牛肉”，目前的数学教学中，有人在苦口婆心地灌输大量公式和呆板的例题，有人依循一种有条不紊却异常乏味的“定义―公理―定理”的方式进行马拉松式地讲授，也有人特别偏爱魔术般地板演刁钻难题而忽视基础知识与技能，淡化数学思想的教学，不尽快克服这些弊端，后果实在堪忧。

三、数学思想向数学教学思想迁移的条件

数学思想向数学教学思想迁移的问题也即转变数学教学思想的问题。

第一，充分发掘教材内潜在的思想是迁移的前提。巧妇难为无米之炊。首先要发掘教材内蕴含那些思想，构成怎样的体系，教学价值各是什么，认识到数学思想的存在，才有可能根据它来指导数学教学。

第二，进行有效的教学实践活动是更新数学教学思想的基础。教学实践是检验数学教学思想正误、优劣的唯一标准。就目前研究看，数学思想在完善学生数学认识结构过程中起着核心的作用，如波利亚主张的让学生主动探索、猜测、修正结论的合情推理的数学，奥苏伯尔的先行组织者教学，刺激――反应――强化机制的教学思想都具有操作性特点，需要大力实践，摸索经验，积淀出数学教学思想。

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数学课堂教学是教师“主体表演”的过程，是语言、动作、板书演示、语言交流、情感交流等融于一体的过程。在这种过程中，往往既能反映出教师专业基础知识的情况，又能反映出教师对教学理论的掌握情况，同时还可反映出教师的数学思想的有关情况。实践证明，在数学教学中，数学思想、方法已经越来越多地得到人们的重视，特别是在数学教学中，如何使学生较快地理解和掌握数学思想、方法，更是我们广大中学数学教师所关心的问题。

一、对中学数学思想的基本认识

“数学思想”作为数学课程论的一个重要概念，我们完全有必要对它的内涵与外延形成较为明确的认识。关于这个概念的内涵，我们认为：数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。这种认识的主体是人类历史上过去、现在以及将来有名与无名的数学家；而认识的客体，则包括数学科学的对象及其特性，研究途径与方法的特点，研究成就的精神文化价值及对物质世界的实际作用，内部各种成果或结论之间的互相关联和相互支持的关系等。可见，这些思想是历代与当代数学家研究成果的结晶，它们蕴涵于数学材料之中，有着丰富的内容。

通常认为数学思想包括方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和公理化思想等。这些都是对数学活动经验通过概括而获得的认识成果。既然是认识就会有不同的见解，不同的看法。实际上也确实如此，例如，有人认为中学数学教材可以用集合思想作主线来编写，有人认为以函数思想贯穿中学数学内容更有利于提高数学教学效果，还有人认为中学数学内容应运用数学结构思想来处理等等。尽管看法各异，但笔者认为，只要是在充分分析、归纳概括数学材料的基础上来论述数学思想，那么所得的结论总是可能做到并行不悖、互为补充的，总是能在中学数学教材中起到积极的促进作用的。

关于这个概念的外延，从量的方面讲有宏观、中观和微观之分。属于宏观的，有数学观(数学的起源与发展、数学的本能和特征、数学与现实世界的关系)，数学在科学中的文化地位，数学方法的认识论、方法论价值等；属于中观的，有关于数学内部各个部门之间的分流的原因与结果，各个分支发展过程中积淀下来的内容上的对立与统一的相克相生的关系等；属于微观结构的，则包含着对各个分支及各种体系结构定内容和方法的认识，包括对所创立的新概念、新模型、新方法和新理论的认识。

二、数学思想的特性和作用

1、数学思想凝聚成数学概念和命题，原则和方法

我们知道，不同层次的思想，凝聚成不同层次的数学模型和数学结构，从而构成数学的知识系统与结构。在这个系统与结构中，数学思想起着统帅的作用。

2、数学思想深刻而概括，富有哲理性

各种各样的具体的数学思想，是从众多的具体的个性中抽取出来且对个性具有普遍指导意义的共性。它比某个具体的数学问题(定理法则等)更具有一般性，其概括程度相对较高。现实生活中普遍存在的运动和变化、相辅相成、对立统一等“事实”，都可作为数学思想进行哲学概括的材料，这样的概括能促使人们形成科学的世界观和方法论。

3、数学思想富有创造性

借助于分析与归纳、类比与联想、猜想与验证等手段，可以使本来较抽象的结构获得相对直观的形象的解释，能使一些看似无处着手的问题转化成极具规律的数学模型。从而将一种关系结构变成或映射成另一种关系结构，又可反演回来，于是复杂问题被简单化了，不能解的问题的解找到了。如将著名的哥尼斯堡七桥问题转化成一笔画问题，便是典型的一例。

三、数学思想的教学功能

1、数学思想是教材体系的灵魂

从教材的构成体系来看，整个初中数学教材所涉及的数学知识点汇成了数学结构系统的两条“河流”。一条是由具体的知识点构成的易于被发现的“明河流”，它是构成数学教材的“骨架”；另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗河流”，它是构成数学教材的“血脉”灵魂。有了这样的数学思想作灵魂，各种具体的数学知识点才不再成为孤立的、零散的东西。因为数学思想能将“游离”状态的知识点(块)凝结成优化的知识结构，有了它，数学概念和命题才能活起来，做到相互紧扣，相互支持，以组成一个有机的整体。可见，数学思想是数学的内在形式，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具。教师在教学中如能抓住数学思想这一主线，便能高屋建瓴，提挈教材进行再创造，才能使教学见效快，收益大。

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《九年义务教育全日制数学课程标准》（以下简称“课标”）总体目标第一条就明确提出：“让学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识，以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”为了有效落实这一总体目标，人教版教材编排中不但加大力度把数学思想渗透在数与代数、量与计量等每一个知识板块中，更以新增设的单元“数学广角”为呈现形式，集中向学生渗透数学思想方法。

一、为什么要渗透基本数学思想方法

1.基本数学思想方法对学生的发展具有重要意义

掌握科学的数学思想方法对提升学生的思维品质，对数学学科的后继学习，对其他学科的学习，乃至学生的终身发展有十分重要的意义。在小学数学教学中有意识地渗透一些基本数学思想方法，不仅能使学生领悟数学的真谛，懂得数学的价值，学会数学地思考和解决问题，还可以把知识的学习与能力的培养、智力的发展有机地统一起来，这正是课程标准所强调的。

2.渗透基本数学思想方法是落实课标精神的需求

数学课程标准修订稿把“四基”：基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验作为目标体系，基本思想是我们的数学学习目标之一，其重要性不言而喻。在人教版新课程教材中，“数学广角”是新增设的一个内容，主要是介绍和渗透一些数学思想方法，其目的是把一些重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，并运用操作、实验、猜想等直观手段解决这些问题。

二、怎样有效地渗透基本数学思想方法

“数学广角”是人教版小学数学实验教材新增加的板块，许多执教教师都感到比较迷茫，迷茫于编者的意图，迷茫于教学目标的把握，迷茫于教学方法的选择，迷茫于内容的处理，迷茫于过程的展开……再有，《数学广角》的内容不列入期末考试的重点范畴，所以有的教师就蜻蜓点水，一带而过，而有的教师又因为学生要参加各类竞赛，又上成奥数课，过度拔高了要求。其实 “数学广角”的实质就是解决问题。那么，怎么样能让学生在数学广角学习过程中既掌握基本的知识技能和方法，又能亲历数学思想方法的形成过程呢？我们在课堂教学预设和课堂学习过程中又该怎样有效地渗透思想方法呢？下面我们就来谈几个有效的教学策略。

1.教师要更新教学观念，提高自身数学素养

随着数学课程改革的逐步深化，人们对数学的观念也在不断更新。广大数学教育工作者逐步认识到数学素养不能仅仅停留在传统的双基的层面上，数学思想方法越来越得到人们的重视。长期以来，数学教学因受应试教育的严重影响，教师往往出于无奈而采取题海战术式的双基训练。学生们也早已习惯于被动的接受和机械的训练，成为了做数学题的“机器”，这样培养出来的学生又何谈发明创造呢？因此，广大教师应站在素质教育的高度，不要因为数学广角的内容不考试就不重视，走出课堂教学只重视考试的内容，不考试的内容不教学或轻描淡写的现状。

2.在游戏中丰富体验，感受数学思想方法

《数学课程标准》指出，数学课程“不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发……数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的生活经验上。”

3.在操作中交流比较，渗透数学思想方法

新课标指出：“教师是学生学习的组织者、引导者、参与者。”而每个学生都有分析、解决问题和创造的潜能，都有一种与生具来的把自己当作探索者、研究者、发现者的本能。如教学四年级上册的烙饼问题，“烙3张饼的最佳方法”是本课的关键也是难点，我通过创设小组的探究活动，引导学生对比，感悟优化的思想。先从易到难，引导学生研究烙的饼数是双数的情况，初步感受解决问题过程中的策略选择的方法。接着研究烙的饼数是单数的情况。这时引导学生进行首次对比：为什么烙两个饼要用6分钟，烙一个饼也要用6分钟呢？让学生明确一个饼要烙两面，一个饼的两面不可能同时放在一个平面（铁锅）上。然后研究烙3块饼的情况，给学生多一点时间操作、交流，进行不同方法的对比、碰撞，感悟优化思想。通过小组合作、操作尝试，让学生在活动中初步体验和感悟优化思想。

总之，问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂。不管是数学概念的建立，数学规律的发现，还是数学问题的解决，核心问题在于数学思想方法的培养和建立。因此，在教学中，我们不仅重视知识形成过程，还要重视发掘在数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的重要思想方法，有意识地、潜移默化进行渗透，做到“随风潜入夜，润物细无声”。

参考文献：

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数学思想是对数学知识和方法的本质认识，任何数学事实的理解、数学概念的掌握、数学方法的应用、数学理论的建立，无一不是数学思想的体现和应用。

（一）方程思想

用方程思想解决实际问题时，应把握实际问题中的数量关系，抓住等量关系，运用方程的数学模型把等量关系转化为用数学符号表示的方程，并通过对方程的解进行讨论，使问题得以解决。

（二）函数思想

在问题中如果存在两个相关联的变量，则可以利用函数思想得到一个关系，再通过对两变量间的关系式或根据图象的观察得出问题的结论。

（三）分类思想

当问题中含有参数或图形，存在多种可能因素而使问题很难一次性完整解决时，就要考虑把问题按一个标准进行分类，并分别得出不同情况下的相应结论，最后把结论综合起来进行总结。分类问题在数学中非常常见，因此分类是一个重要而又普遍使用的数学方法和思想。

（四）数形结合思想

每个数学对象都是在研究某种空间形式或某种数量关系，有时有些关系可以通过图形直观地反映出来，它们是对立的，但又是统一的。数形结合使代数和几何有机、自然地结合在一起，也使数学方法更加多样和丰富。正确理解和巧妙运用数形结合思想，可以使学生体会到数学的无穷乐趣。

在初中数学学习中，所涉及的数学思想还有很多，如集合对应思想、等量和不等量思想、整体和局部思想、等效应思想、转化思想等。但数学思想的培养不是孤立的，它与数学知识、数学方法的掌握相辅相承，三者之间相互联系、相互依存、协同发展，关系密不可分。从解决问题的过程来看，总要经历“问题――思想――方法”的过程，也就是说数学思想的产生源于数学问题，但光有数学思想并不能解决问题，还需要根据数学思想产生出有利于解决问题的相应方法，并把得到的成果总结成理论，用演译的形式化的方法表现出来。如果我们的数学教学是结论式的教学、就题论题式的教学，那么就会丢弃数学中的精华――数学思想，这样学生学到的只是一些没有数学思想支撑的枯燥的知识。因此，教师在数学教学过程中，应把上述解决问题的过程复现出来，即在概念的形成过程，公式、法则、性质、定理等结论的推导过程，解题方法的思考过程，知识的小结过程中，注意给学生整理和归纳数学思想。

二、数学能力的培养

数学能力主要包括：1.使数学材料形式化的能力，即从内容中抽出形式，从具体的数量关系和空间形式中进行抽象，以及运用形式结构（即关系和联系的结构）进行分析的能力。2.概括数学材料的能力，即从不相关的材料中抽出最重要的信息，以及从外表不同的材料中总结出共同点的能力。3.运用数学和其他运算符号进行运算的能力。4.连续而有节奏的逻辑推理能力。5.逆转思维心理过程的能力，即从正方向思维转到逆向思维的能力。6.空间概括能力。

新的数学课程以“问题情景――建立模型――解释、应用与拓展”的基本叙述模式为呈现方式，特别注重过程与方法，提倡在学习过程中引导学生自主活动，培养发现规律、探求模式的能力。因此，要让学生亲自经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，经历探究物体与图形的形状大小、位置关系等活动过程，加深对观察、猜想、证明等学习环节的体会。学生在数学学习活动中去经历过程，以认知主体的身份亲自参加丰富生动的活动，在情景交互的作用下，可以加深对学习内容的理解。例如，用一张正方形的纸制作一个无盖的长方形，怎样能使体积较大？对此问题学生可能从几个方面入手思考：无盖的长方形是什么样子的？展开后又是什么样子的？用一张正方形的纸怎样才能制作一个无盖的长方形？……解决问题后，再对学习过程进行反思和总结，长此以往就会逐步形成数学能力。

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所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的一座宏伟大厦，那么数学方法相当于建筑施工的手段，而这张蓝图就相当于数学思想。

1、明确基本要求，渗透“层次”教学。《数学大纲》对初中数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”。在教学中，要求学生“了解”数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等。这里需要说明的是，有些数学思想在教学大纲中并没有明确提出来，比如：化归思想是渗透在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中的，方程（组）的解法中，就贯穿了由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法。

教师在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想的应用，而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题。在《教学大纲》中要求“了解”的方法有：分类法、类经法、反证法等。要求“理解”的或“会应用”的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图象法等。在教学中，要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次。不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用”的层次，不然的话，学生初次接触就会感到数学思想、方法抽象难懂，高深莫测，从而导致他们推动信心。如初中几何第三册中明确提出“反证法”的教学思想，且揭示了运用“反证法”的一般步骤，但《教学大纲》只是把“反证法”定位在“了解”的层次上，我们在教学中，应牢牢地把握住这个“度”，千万不能随意拔高、加深。否则，教学效果将是得不偿失。

2、从“方法”了解“思想”，用“思想”指导“方法”。关于初中数学中的数学思想和方法内涵与外延，目前尚无公认的定义。其实，在初中数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难分割。它们既相辅相成，又相互蕴含。只是方法较具体，是实施有关思想的技术手段，而思想是属于数学观念一类的东西，比较抽象。因此，在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，是使数学思想与方法得到交融的有效方法。比如化归思想，可以说是贯穿于整个初中阶段的数学，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化，课本引入了许多数学方法，比如换元法，消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等。在教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用。这样处置，使“方法”与“思想”珠联璧合，将创新思维和创新精神寓于教学之中，教学才能卓有成效。

二、遵循认识规律，把握教学原则，实施创新教育

要达到《教学大纲》的基本要求，教学中应遵循以下几项原则：

1、渗透“方法”，了解“思想”。由于初中学生数学知识比较贫乏，抽象思想能力也较为薄弱，把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。因而只能将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机，重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题。忽视或压缩这些过程，一味灌输知识的结论，就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机。如初中代数课本第一册《有理数》这一章，与原来部编教材相比，它少了一节——“有理数大小的比较”，而它的要求则贯穿在整章之中。在数轴教学之后，就引出了“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”。而两个负数比大小的全过程单独地放在绝对值教学之后解决。教师在教学中应把握住这个逐级渗透的原则，既使这一章节的重点突出，难点分散；又向学生渗透了形数结合的思想，学生易于接受。

在渗透数学思想、方法的过程中，教师要精心设计、有机结合，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套，和盘托出，脱离实际等错误做法。比如，教学二次不等式解集时结合二次函数图象来理解和记忆，总结归纳出解集在“两根之间”、“两根之外”，利用形数结合方法，从而比较顺利地完成新旧知识的过渡。

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小学数学教材是数学教学的显性知识系统，许多重要的法则、公式，教材中只能看到漂亮的结论，许多例题的解法，也只能看到巧妙的处理，而看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的心智活动过程。因此，数学思想方法是数学教学的隐性知识系统，小学数学教学应包括显性和隐性两方面知识的教学。如果教师在教学中，仅仅依照课本的安排，沿袭着从概念、公式到例题、练习这一传统的教学过程， 即使教师讲深讲透，并要求学生记住结论，掌握解题的类型和方法，这样培养出来的学生也只能是“知识型” 、“记忆型”的，将完全背离数学教育的目标。

数学知识本身是非常重要的，但它并不是惟一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作 用，并使其终生受益的是数学思想方法。未来社会将需要大量具有较强数学意识和数学素质的人才。21世纪国 际数学教育的根本目标就是“问题解决”。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是未来社会的要求和 国际数学教育发展的必然结果。

小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的因素是思维素质，而数学思想方法就是增强 学生数学观念，形成良好思维素质的关键。如果将学生的数学素质看作一个坐标系，那么数学知识、技能就好 比横轴上的因素，而数学思想方法就是纵轴的内容。淡化或忽视数学思想方法的教学，不仅不利于学生从纵横 两个维度上把握数学学科的基本结构，也必将影响其能力的发展和数学素质的提高。因此，向学生渗透一些基 本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角，是进行数学素质教育的突破口。

二、小学数学教学中应渗透哪些数学思想方法

古往今来，数学思想方法不计其数，每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花。一则由于小学生的年 龄特点决定有些数学思想方法他们不易接受，二则要想把那么多的数学思想方法渗透给小学生也是不大现实的 。因此，我们应该有选择地渗透一些数学思想方法。笔者认为，以下几种数学思想方法学生不但容易接受，而 且对学生数学能力的提高有很好的促进作用。

1.化归思想

化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个较简单的问题。应当指出，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”。它具有不可逆转的单向性

2.数形结合思想

数形结合思想是充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来。即通过作一些如线段图、树形图、长方形面积图或集合图来帮助学生正确理解数量关系，使问题简明直观。例2 一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就这样每次都喝了上一次剩下的一半。甲 五次一共喝了多少牛奶？

此题若把五次所喝的牛奶加起来，即1／2＋1／4＋1／8＋1／16＋1／32就为所求，但这不是最好的解题策略。我们先画一个正方形，并假设它的面积为单位“1”，由图可知，1－1／32就为所求， 这里不但向学生渗 透了数形结合思想，还向学生渗透了类比的思想。

3.变换思想

变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想。如解方程中的同解变换，定律、公式中的命题等价变换 ，几何形体中的等积变换，理解数学问题中的逆向变换等等。

例3 求1／2＋1／6＋1／12＋1／20＋……＋1／380的和。

仔细观察这些分母，不难发现：2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4， 20＝4×5……380＝19×20，再用拆分的方法，考虑和式中的一般项 a[,n]＝1／n×（n＋1）＝1／n－1／n＋1

于是，问题转换为如下求和形式：

原式＝1／1×2＋1／2×3＋1／3×4＋1／4×5＋……＋1 ／19×20

＝（1－1／2）＋（1／2－1／3）＋（1／3－1／4）＋（1 ／4－1／5）＋……＋（1／19－1／20）

＝1－1／20

＝19／20

此外，还有符号思想、对应思想、极限思想、集合思想等，在小学数学教学中都应注意有目的、有选择、 适时地进行渗透。

三、小学数学教学应如何加强数学思想方法的渗透

1.提高渗透的自觉性

数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有“形”的，而数学思想方法却隐含在数学 知识体系里，是无“形”的，并且不成体系地散见于教材各章节中。教师讲不讲，讲多讲少，随意性较大，常 常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。对于学生的要求是能领会多少算多少。因此，作为教师首先 要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时 纳入教学目的，把数学思想方法教学的要求融入备课环节。其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数 学思想方法渗透的各种因素，对于每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透，渗透哪 些数学思想方法，怎么渗透，渗透到什么程度，应有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。

2.把握渗透的可行性

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教学活动成败的关键在于教学的指导思想。有了正确的指导思想，教师就能把握住教材内容、设计好教学过程。对学生来说，不仅能掌握基本数学知识，也能学到数学的方法、思想。从某种意义上来说，后者更重要。

1、数学思想是数学教材体系的灵魂

任何一册数学教材的编写，都要表达一定的思想，教材的前后逻辑是一个原则，更深层次的研究是概念和例题的本质是什么，从怎样的材料出发，经过怎样的过程而概括出来的，最终要形成怎样的数学结构，组成怎样的体系，要学生形成怎样的数学思想方法。

2、数学思想是教学设计指导思想

教学设计是构思学生认识数学、建立概念的教学活动过程。它不仅是对历史上数学发展的浓缩或再现数学家的思维活动过程，而且还是渗透数学思想，实现再创造的过程。

二、学生要用数学思想引领学习

陶行知先生曾说过：“我以为好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学。”叶圣陶先生也曾说过，教任何功课最终的目的就是需要达到不需要教。要学生学会学习，需要有会学习的能力、会学习的方法、会学习的思想。有了深刻的数学思想，就会产生好的方法，就会提高学习的能力，就会为不教奠定基础。

1、数学思想是解题思路的导航灯

解数学题，需要有一定的思路和方法，而思路和方法的背后是数学思想，正如爱因斯坦所说：“在一切方法的背后，如果没有一种生气勃勃的精神，它们到头来，不过是笨拙的工具。

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一、当前小学数学教学发展面临的困境

数学是一门逻辑性很的学科，具有较高的抽象性与严密性。而小学生由于年龄的限制，其自主学生能力和逻辑思维能力较差，对复杂的数学符号和图形容易感到枯燥和厌倦，使得小学生在数学学习过程中感到困难与畏惧，成为小学数学的“学困生”。对于这种现象如果不进行正确的引导与教育，将不利于学生以后数学能力的发展，制约了学生思维能力的提高。

此外，随着科学技术的进步，新型教学辅助手段变得多元化。通过多媒体方式、白板等进行数学教学，提高学生的学习兴趣已成为当前教育的趋势。但是，很多小学教师在数学课堂教学中，仍然采用传统的教学方式，没有充分发挥学生的思维能力和个性特征，一味地按照课程标准进行教学，忽视对学生自主探究能力与合作交流能力的培养，这不但阻碍了学生综合能力的全面发展，也给小学数学高效教学、活力课堂的实现带来了困难。

二、优化小学数学课程教学的具体方法――以“小数的意义”课程教学为例

1.渗透数学思想――课程导入、内容展开

小学数学教师在每堂数学课伊始，都要注重让学生充分了解小学数学的概念，加深学生对概念的理解和领悟，从“小数的意义”出发来进行课堂内容的导入与开展，使得小学生对所要学习的小数知识形成一个概念性的框架，从而有利于教师在教学过程中渗透数学思想，逐步发展学生的数学抽象思维。

教师可以通过课堂提问的方式开展对小数课堂的导入，例如，让学生思考“小数是什么？小数应该是什么样子？如何读小数？”等问题，引导学生进行自主思考，让学生明确小数课堂的学习内容，保持学习的兴趣。之后，教师可以依据课堂导入的知识点进行内容的展开，让学生充分认识到小数的意义。例如，教师可以通过分类数学思想的方式进行内容的展开，让学生对无序排列的10个二位数以内的小数进行分类，使得小学生充分掌握一位小数与二位小数之间的不同。

2.发散数学思维――课程迁移、知识推理

在小学数学的教学过程中，引导学生对课堂知识进行迁移推理，是发散学生数学思维的重要方式。因此，教师在小数的课堂教学中要善于利用这种教学方式推进课堂内容的教学，帮助学生把以往学过的数学知识中潜在的数学规律进行归纳和推理，有效运用到新的数学内容的学习中，在新旧知识之间建立联系，从而增强学生数学学习的信心，提高数学学习的能力。

通过数学迁移的方式，可以实现对复杂数学问题的简化处

理，降低数学学习的难度。例如，在“小数的意义”的课堂教学中，教师首先要对课程基础内容进行讲解，让学生明确小数的概念，之后通过合理的引导，让学生自主进行二位小数与三位小数的迁移学习，鼓励学生通过已掌握的一位小数的概念，推理出二位小数与三位小数，乃至四位小数的意义。通过这种分层次的数学教学方式，贯彻“先易后难”的数学理念，从而提高小学数学教学的效果。

3.巩固数学能力――课程梳理、归纳总结

巩固学生的数学能力对于小学数学教师来说尤为重要。经过数学思想的渗透以及数学思维的发散，帮助学生巩固学过的课堂知识，通过梳理与归纳课堂内容，使得学生在总结与反思中形成自己的知识体系，切实提高学生的思维能力。在此过程中，教师要注意有条不紊地开展课堂收尾工作，尽量避免拖堂、拖课等占用学生课外时间的不良现象。

在“小数的意义”的课堂教学中，教师可以通过播放多媒体课件的方式，吸引学生的学习兴趣。结合数形结合思想的引入，进行“看图说小数”的课程训练。例如，通过课程PPT动态演示把一个长方形平均分成十份，让学生用小数表达出其中一份、两份、三份、四份等所代表的意义。在此过程中，教师可以通过点名问答的方法，提问学生如，0.4的计数单位是什么？1里面包含有几个0.1？等加深学生对小数意义的理解，促进学生运用小数的能力的提高，以课程训练的方式来完成对课程的梳理与总结。

小学数学作为开发学生思维能力，奠定数学学习基础的重要阶段，对教师的教学能力提出了更高的要求。小学教师在进行教学时，要积极探索有效的教学手段创新与完善课堂教学，从而实现小学数学开发学生智力的作用，为学生的成长奠定坚实的基础。

参考文献：

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数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，数和形本来就具有密切的关系。我国著名数学家华罗庚先生说：“数无形时不直观，形无数时难入微。”这句话形象简练地指出了数和形的互相依赖、相互制约的辩证关系。因此，我们在研究问题的数量关系时，常常联系到图形，在研究图形时，常常将其数量化，使数量关系和对应图形结合起来，这就是数形结合的思想。如：学习有理数部分时充分利用数轴，列方程解应用题时利用直线形、圆形示意图，探求一元一次不等式（组）的解集时在数轴上表示……可以说数形结合的思想贯穿于初中数学的始终。

二、转化思想

客观事物总是在不断变化，并在一定条件下进行转化。事物之间的转化，反映在数学上就是转化思想，又称化归思想。转化思想是数学思想的核心，其内涵十分丰富：有复杂向简单的转化、抽象向直观的转化、多元向一元的转化、高次向低次的转化、未知向已知的转化、一般向特殊的转化等等。转化思想在数学中无时不有，无处不在。就其内容而言，有运算的转化，如加法与减法的转化、乘法与除法的转化；有式的转化，如无理式向有理式的转化、分式向整式的转化、函数式向方程式的转化；还有方法的转化，等式不等式形态的转化，问题表达方式的转化，解题过程中的一系列转化等等。转化思想贯穿于解题过程的始终。它是最重要的应用最广的数字思想。

三、分类思想

当一个数学问题难以解决时，有时可按某一标准把这个问题分成若干种不同的情况，然后对每种情况分别进行讨论，这种解决数学问题的思想就是分类思想。分类思想是初中阶段的重要思想方法之一。运用分类思想处理数学问题时要注意两点：一是分类标准相同；二是不重复、不遗漏。在概念教学中，为了明确概念的外延，常常要运用分类思想对概念进行分类，而且有些概念是直接运用分类思想以揭示其外延的方式定义的，如有理数、绝对值、实数整式等。总之，分类思想是研究概念的外延、图形的位置关系、函数性质等问题的基本思想。

四、类比思想

根据两种事物在某些特征上的相似性，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，这种推理思想运用在数学上就是类比思想。如：通过与有理数的相反数、绝对值、运算律类比得到实数的相反数、绝对值、运算律；通过与分数概念、分数基本性质类比得到分式概念、分式基本性质；通过与分数约分、通分的方法类比得到分式的约分、通分的方法，等等。

五、函数与方程思想

运动变化、相互关系、相互制约，是客观世界的普遍规律，函数与方程思想就是这一规律在数学中的反映。函数描述了自然界中量与量的依存关系，反映了一事物随另一事物的变化而变化的客观规律。在解决某些问题时，常常要抽象出问题的数学特征，建立一个恰当的函数关系，再利用该函数的性质来解决问题。这种通过建立函数关系并运用函数性质来解决数学问题的思想就是函数思想。方程是含有未知数和已知数的等式，因此，方程反映了已知量和未知量相互制约的条件，架设了由已知到未知的桥梁。任何一个联系生产和生活的数学问题，都有已知和未知，把已知和未知间的关系通过方程表达出来，再利用解方程的办法求得未知，这就是方程思想。简单地说，运用方程这一工具来解决数学的问题的思想就是方程思想。

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一、历史的回顾

我国的中学数学教学大纲，对于数学思想和数学方法的重要性的认识也有一个从低到高的过程。

由中华人民共和国教育部制订、1978年2月第1版的《全日制十年制学校中学数学教学大纲(试行草案)》，在第2页“教学内容的确定”的第(三)条中首次指出：“把集合、对应等思想适当渗透到教材中去，这样，有利于加深理解有关教材，同时也为进一步学习作准备。”这一大纲在1980年5月第2版时维持了上述规定。

由中华人民共和国国家教育委员会制订、1986年12月第1版的《全日制中学数学教学大纲》，在第2页“教学内容的确定”的第(三)条中，把上述大纲的有关文字改成一句话：“适当渗透集合、对应等数学思想”。1990年修订此大纲时，维持了这一规定。

由中华人民共和国国家教育委员会制订、1992年6月第1版的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用)》，在第1页“教学目的”中规定：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”这份大纲还第一次把资深的数学工作者们熟知的提法“数学，它的内容、方法和意义”改为数学的“内容、思想、方法和语言已广泛渗入自然科学和社会科学，成为现代文化的重要组成部分”，并把这段话放入总论的第一段。在第9页上又指出，要“使学生掌握消元、降次、配方、换元等常用的数学方法，解决某些数学问题，理解‘特殊棗一般棗特殊’、‘未知棗已知’、用字母表示数、数形结合和把复杂问题转化成简单问题等基本的思想方法”；在第6页上还指出，“要注意充分发挥练习的作用，加强对解题的正确指导，应注意引导学生从解题的思想方法上作必要的概括。”

由国家教育委员会基础教育司编订、1996年5月第1版的《全日制普通高级中学数学教学大纲(供试验用)》，在第2页“教学目的”中也规定：“高中数学的基础知识是指：高中数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。”在界定“思维能力”一词的四个主要层面时，指出第三层面是“会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点”；第四层面是“能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质”。这份大纲维持了数学的“内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分”的提法(第1页)；并指出数学规律“包括公理、性质、法则、公式、定理及其联系，数学思想、方法和语言”(第24页)；坚持在对解题进行指导时，应该“对解题的思想方法作必要的概括”(第25页)。这是建国以来对数学思想和数学方法关注最多的一份中学数学教学大纲，充分体现了数学教育工作者对于数学课程发展的一些共识。

二、数学思想方法

(一)思想、科学思想和数学思想

思想是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。它是从大量的思维活动中获得的产物，经过反复提炼和实践，如果一再被证明为正确，就可以反复被应用到新的思维活动中，并产生出新的结果。本文所指的思想，都是那些颠扑不破、屡试不爽的思维产物。因此，对于学习者来说，思想就成为他们进行思维活动的细胞和基础；思想和下面述及的方法都是他们的思维活动的载体。每门科学都逐渐形成了它自己的思想，而科学法则概括出各门科学共同遵循和运用的一些科学思想。

所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。首先，数学思想比一般说的数学概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。其次，数学思想、数学观点、数学方法三者密不可分：如果人们站在某个位置、从某个角度并运用数学去观察和思考问题，那么数学思想也就成了一种观点。而对于数学方法来说，思想是其相应的方法的精神实质和理论基础，方法则是实施有关思想的技术手段。中学数学中出现的数学观点(例如方程观点、函数观点、统计观点、向量观点、几何变换观点等)和各种数学方法，都体现着一定的数学思想。

数学思想是一类科学思想，但科学思想未必就单单是数学思想。例如，分类思想是各门科学都要运用的思想(比方语文分为文学、语言和写作，外语分为听、说、读、写和译，物理学分为力学、热学、声学、电学、光学和原子核物理学，化学分为无机化学和有机化学，生物学分为植物学、动物学和人类学等；中学生见到的最漂亮的分类应该是在学习哺乳纲动物时所出现的门(亚门)、纲(亚纲)、目(亚目)、属、科、种的分类表，它不是单由数学给予的。只有将分类思想应用于空间形式和数量关系时，才能成为数学思想。如果用一个词语“逻辑划分”作为标准，那么，当该逻辑划分与数理有关时(可称之为“数理逻辑划分”)，可以说是运用数学思想；当该逻辑划分与数理无直接关系时(例如把社会中的各行各业分为工、农、兵、学、商等)，不应该说是运用数学思想。同样地，当且仅当哲学思想(例如一分为二的思想、量质互变的思想和肯定否定的思想)在数学中予以大量运用并且被“数学化”了时，它们也可以称之为数学思想。

(二)数学思想中的基本数学思想

在数学思想中，有一类思想是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。基本数学思想含有传统数学思想的精华和近现代数学思想的基本特征，并且也是历史地形成和发展着的。

基本数学思想包括：符号与变元表示的思想，集合思想，对应思想，公理化与结构思想，数形结合的思想，化归的思想，对立统一的思想，整体思想，函数与方程的思想，抽样统计思想，极限思想(或说无限逼近思想)等。它有两大“基石”棗符号与变元表示的思想和集合思想，又有两大“支柱”棗对应思想和公理化与结构思想。有些基本数学思想是从“基石”和“支柱”衍生出来的，例如“函数与方程的思想”衍生于符号与变元表示的思想(函数式或方程式)、集合思想(函数的定义域或方程中字母的取值范围)和对应思想(函数的对应法则或方程中已知数、未知数的值的对应关系)。所以我们说基本数学思想是体现或应该体现于“基础数学”(而不是说“初等数学”)的具有奠基性和总结性的思维成果。基本数学思想及其衍生的数学思想，形成了一个结构性很强的网络。中学数学教育、教学中传授的数学思想，应该都是基本数学思想。

非科学思想当然也是大量存在的。例如，“崇洋媚外”的思想就是一种非科学思想。

中学数学教科书中处处渗透着基本数学思想。如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。

(三)思路、思绪和思考

我们在中学数学教育、教学中，还经常使用着“思路”和“思绪”这两个词语。一般说来，“思路”是指思维活动的线索，可视为以串联、并联或网络形状出现的思想和方法的载体，而“思绪”是指思想的头绪。“思路”和“思绪”实际上是同义词，并且它们都是名词。

那么，另一个词语“思考”又是什么意思呢?“思考”就是进行比较深刻、周到的思维活动。作为动词，它反映了主体把思想、方法、串联、并联或用网络组织起来以解决问题的思维过程。由此可见，“思考”所产生的有效途径就是“思路”或“思绪”；“思路”或“思绪”是“思考”的结果，是思想、方法的某种选择和组织，且明显带有程序性。对思路及其所含思想、方法的选择和组织的水平，反映了学习者能力的差异。

(四)方法和数学方法

所谓方法，是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。人们通过长期的实践，发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序。同一手段、门路或程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，便成为数学方法。数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算和分析，以形成解释、判断和预言的方法。

数学方法具有以下三个基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性；三是应用的普遍性和可操作性。

数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：一是提供简洁精确的形式化语言，二是提供数量分析及计算的方法，三是提供逻辑推理的工具。现代科学技术特别是电脑的发展，与数学方法的地位和作用的强化正好是相辅相成。

宏观的数学方法包括：模型方法，变换方法，对称方法，无穷小方法，公理化方法，结构方法，实验方法。微观的且在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下三类：

(1)逻辑学中的方法。例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等。这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色。

(2)数学中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法。代数中常用图象法，解析几何中常用坐标法)、向量法、比较法(数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同)、放缩法、同一法、数学归纳法(这与逻辑学中的不完全归纳法不同)等。这些方法极为重要，应用也很广泛。

(3)数学中的特殊方法。例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等。这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用，不可等闲视之。

(五)方法和招术

如上所述，方法是解决思想、行为等问题的门路和程序，是思想的产物，是包含或体现着思想的一套程序，它既可操作又可仿效。在选择并实施方法的前期过程中，反映了学习者的能力和技能的高低；而在后期过程中，只反映了学习者的技能的差异。

所谓“招术”“招”字应正为“着”字，本文仍用传统的“一招一式”的说法。是指解决特殊问题的专用计策或手段，纯属于技能而不属于能力。“招”的教育价值远低于“法”(这里的“法”指“通法”)的价值。“法”的可仿效性带有较为“普适”的意义，而“招”的“普适”要差得多；实施“招”要以能实施管着它的“法”为前提。

例如，待定系数法是一种特别有用的“法”。求二次函数的解析式时，用待定系数法根据图象上三个点的坐标求出解析式可看作第一“招”；根据顶点和另一点的坐标求出解析式可看作第二“招”；根据与x轴交点和另一点的坐标求出解析式可看作第三“招”。这三“招”各有奇妙之处。哪一“招”更好使用，要看条件和管着它们的“法”而定。教师授予学生“用待定系数法求二次函数的解析式”，最根本、最要紧的“法旨”就在于让学生明确二次函数的解析式中自变量、函数值和图象上点的横、纵坐标的对应关系；对于一般的点和特殊的点(例如顶点及与x轴的交点)，解析式可以有什么不同的反映。而这样的“法旨”，恰恰体现了对应思想和数形结合的思想。由此看来，我国古代传说中经常提到的某些师傅对待弟子“给‘招’不给‘法’”的现象，在现代的数学教育、教学中应该尽量避免。

三、中学数学教科书中应该传授的基本数学思想和方法

(一)中学数学教科书中应该传授的基本数学思想

中学数学教科书担负着向学生传授基本数学思想的责任，在程度上有“渗透”、“介绍”和“突出”之分。　 1.渗透。“渗透”就是把某些抽象的数学思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对这些思想有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它们。要渗透的有集合思想、对应思想、公理化与结构思想、抽样统计思想、极限思想等。前三种基本数学思想从初中一年级就开始渗透了，并贯彻于整个中学阶段；抽样统计思想可从初中三年级开始渗透，极限思想也可从初中三年级的教科书中安排类似于“关于圆周率π”这样的阅读材料开始渗透。至于公理化与结构思想，要注意根据人类的认识规律，一开始就采取扩大的公理体系。例如，教科书既可以把“同位角相等，两直线平行”和它的逆命题都当作公理，也可以把判定两个三角形全等的三个命题“边角边”、“角边角”和“边边边”都当作公理。

这种渗透是随年级逐步深入的。例如集合思想，初中是用文氏图或列举法来表示集合，不等式(组)的解集可以用数轴表示或用不等式(组)表示；高中则是列举法、描述法、文氏图三者并举，并同时允许用不等式(组)、区间或集合的描述法来表示实数集的某些子集。又如对应思想，初中只用文字、数轴或平面直角坐标系来讲对应；高中则在此基础上引入了使用符号语言的对应法则。至于公理化与结构思想、抽样统计思想和极限思想在初、高中阶段的不同渗透水平，则是众所周知的。“渗透”到一定程度，就是“介绍”的前奏了。

2.介绍。“介绍”就是把某些数学思想在适当时候明确“引进”到数学知识中，使学生对这些思想有初步理解，这是理性认识的开始。要介绍的有符号与变元表示的思想、数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等。这种介绍也是随年级逐步增加的。有的思想从初中一年级起就开始介绍(例如前四种基本数学思想)，有的则是先渗透后介绍(例如后两种基本数学思想)。“介绍”与“渗透”的基本区别在于：“渗透”只要求学生知道有什么思想和是什么思想，而“介绍”则要求学生在此基础上进而知道为什么叫做思想(含思想的要素和特征)、用什么思想(含思想的用途)并学会运用。作为补充，也可以就问题适时地向学生介绍如何运用一分为二的思想和整体思想。

3.突出。“突出”就是把某些数学思想经常性地予以强调，并通过大量的综合训练而达到灵活运用。它是在介绍的基础上进行的，目的在于最大限度地发挥这些数学思想的功能。要突出的有数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想等。这些基本数学思想贯穿于整个中学阶段，最重要、最常用，是中学数学的精髓，也最能长久保存在人一生的记忆之中。“介绍”与“突出”的基本区别在于：“介绍”只要求学生知道用什么和会用，而“突出”则要求学生在此基础上进而知道选用和善用。作为补充，也可以就数学问题经常向学生突出分类思想的运用。

(二)中学数学教科书中应该传授的基本数学方法

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中考数学中经常会出现一些找规律的题目，这类考题题目新颖、变化莫测，往往属于开放性题目的范畴，因此，很多中学生在遇到这类题目的时候会变得紧张、担忧，进而影响了题目的正常思考和作答。经分析，中考数学中出现的找规律题目就是数列原型，教师要善于分析这些数列题目中所渗透的数学思想，教导学生运用数学思维解答数列题目的技巧和方法，一旦中学生能够有效把握这些思维方法，那么其中考成绩往往会取得明显的提高。

一、数列中所包含着函数的思想

（1）数列中体现着函数的思想。数列其实是函数的一种离散式表达，往往函数是具有自变量和因变量共同作用产生的图形，而数列往往体现了当把自变量取成整数的情况，因此在中学教学中要善于给学生渗透数列中所包含着的函数的思想。

例如，在求解一些数列题目的时候，我们往往要将其转化为函数形式，注意数列的通项公式其实就是函数表达式，而数列的序号表示的函数的定义域，当研究数列的单调性、奇偶性等性质的时候，往往将数列转化为函数来研究。

（2）数列中常常与极限相转化的思想。数列中的“n”往往代表着无限个自然数，这就表示数列彰显着极限的含义，因此，学生在求解数列的题目的时候，一定要注意把握数列求解可以转化成为极限来求。

（3）数列常常体现了观察与构造的数学思维。与其说是构造或者观察的数学思维，我们不妨更加简单地认为数列能够锻炼学生的观察能力和构造性思维，这是不言而喻的，因为在很多中学的找规律的题目中，总是开放性地设置很多的图形或者公式，需要学生通过自己的观察来自己总结出相应的数列通项公式，这对于提高中学生的建构水平和空间想象力是非常有帮助的。

例如，在用圆圈拼图的时候，有如下图所示的规律：

请大家计算下接下来的图形用到的圆圈是多少个？

这个例子显然就是一个数列的题目，然而我们往往在思考其构造的时候会发现，这是一个简单的自然数相加的构造模式，自然而然就会想到接下来要算的就是1+2+3+4+5=15。

（4）数列常常与不等式内容相结合。不等式在中学数学学习过程中是非常重要的知识点之一，数列的题型与不等式相结合往往能够提高题目的难度和深度，这也为学生的解题带来了困难，因此，教师在讲解这部分知识的时候要注重列举典型的例题，帮助学生体会当数列与不等式相结合的考题出现时，要掌握运用放缩法求解。

例如，已知，证明：任意的≥

这里的求解就可以根据放缩法的使用达到证明目的。

（5）数列常常体现着分类讨论的思想。分类讨论往往在数学中体现着严密、谨慎的数学素养和数学理念，因此在数列的学习过程中，教师要时刻要求学生关注数列最重要的“n”的范围，往往在求解的过程中，会将n进行分类讨论，保证题目的严密与正确。

（6）数列常常体现着猜测的思想。数学的各种思维中猜测思维占据着非常重要的地位，这是由于猜想是创新思维的源泉，也是数学知识最终的根本来源，没有猜想就没有后来我们现在学习的各种数学知识，因此，数列往往能够促进中学生提高创新思维。

例如，设各项均为正数的数列{an}，其中它满足如下两点：a1=2和，如果a2=1-4，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）；

解：由于a1=2，a2=2-2

由此有

故猜想{an}的通项为。

二、研究数列所体现的数学思想的重要意义

（1）通过研究数列所体现的数学思想，能为教师的教学提供明确的方向。教师在教学过程中，明确了重点培养学生的哪方面的数学思维意识的目标，能收到意想不到的教学成果。

（2）通过研究数列所体现的数学思想，大大提高了学生学习数学热情。随着教师不断训练，学生在认识数列的同时数学思维提高，与此同时，直接激发了学生学习数列的热情，让学生在上数学课时充满激情，有效地提高了课堂效率。

（3）通过研究数列所体现的数学思想，让学生对数列有了更深刻的认识，为高等数学的学习打下扎实的基础。

以上所述，都是根据笔者在多年中学数学教学第一线工作中，对中学数列的思考和总结。文章通过列举简要例子的方式概括了中学数列学习过程中，所体现的基本数学思想，包括函数思想、不等式知识、极限知识、分类讨论思想、猜测想象、建构思想等等，尽管如此，学生对于数列的认识远远不够，教师一定要继续在平时的数学课堂上，为学生补充大量的数列知识题目，提高学生解答数列题目的正确率。

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【文章编号】 1004―0463（2015）11―0121―01

集合是近代数学中的一个重要概念，在解决某些数学问题时，若是运用集合思想，可以使问题解决得更简单明了。而且这种数学思想方法在教学中是很有价值的，它的很多思想和展现的方式对于帮助学生理解题意和解答问题都有很大作用.下面，笔者就谈谈集合中的数学思想.

一、函数与方程思想

函数与方程的思想就是从分析问题的数量关系出发，建立函数关系或方程，然后用函数或方程的方法去解决问题.函数与方程的思想也是高中数学中最基本、最重要的数学思想，就是从分析问题的数量关系入手，把变量之间的关系用方程的关系反映出来，然后通过解方程或对方程进行讨论的方法，使问题得到解决.

例1 已知集合A={（x，y）|y=x2+mx+2}，B={（x，y）|y=-x+1，0≤x≤2}，若A∩B≠空集，求实数m的取值范围.

解：由方程y=x2+mx+2和y=-x+1，联立解消去y得到 x2+（m+1）x+1=0，

此方程在[0，2]上的解不是空集，

必须？驻≥0， f （0）与f （2）异号（或为0），即 1×[2（m+1）+5]≤0 ，求得m≤-■.

对称轴在[0，2]内，且f （0）≥0，f （2）≥0，即（m+1）2-4≥0，0≤-■≤2，2m+7≥0，m≤-1 或 m≥3，-5≤m≤-1，m≥-■，-■≤m≤-1.

对以上两种情况取并集，得到m≤-1.

所以m∈（-∞，-1]

二、数形结合思想

数形结合思想，是将抽象的数学语言与直观、具体的图形结合起来，相互转化，化抽象为直观，达到化难为易，化繁为简的目的.集合中常用到数轴法和韦恩图法.

例2 设集合A={x||x-a|

解：根据B={x|2x-■+2

求出x： -2<x<3

A={x||x-a|<2}，求出x得a-2<x<a+2

A包含于B，a-2≥-2 且a+2≤3

得 0 ≤a≤1.

评注：应用数轴解答有关集合问题时，应先画出数轴，然后依据题目的条件将集合准确地在数轴上表示出来，再借助数轴的直观性，从而使抽象的集合问题的解答简洁、巧妙、形象、直观.

三、分类讨论思想

分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，也是一种基本的解题策略，其实质是逻辑划分.通过分类讨论、各个击破的解题手段，使问题变得条理清晰、层次分明、易于解决.在运用分类讨论的思想来解决问题时，必须要统一分类标准，保证分类时不重、不漏，并力求最简.

例3 设集合A={y|y=x2-2x+4，x∈R}，B={y|y=ax2-2x+4a，x∈R}，若A？哿B，求实数a的取值范围.

解：由y=x2-2x+4=（x-1）2+3≥3，得A={y|y≥3}.

在集合B中，y=ax2-2x+4a，x∈R

1.当a=0时，y=-2x，则B=R，满足A？哿B.

2.当a≠0时，y=a（x-■）2+4a-■.

（1）若a<0，则B={y|y≤4a-■，a<0}，这与A？哿B矛盾.

（2）若a>0，则B={y|y≥4a-■，a>0}、为使A？哿B，只要4a-■≤3即可，从而可得0<a<1.

综上所述，实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}.

评注：分类讨论是解决集合问题的常用方法，但在分类时，必须要统一标准，简明扼要，做到不重不漏.

四、化归与转化思想

化归与转化思想，就是紧扣求解目标.处理数学问题时，通过某种变换或化归，把复杂问题简单化，把陌生问题转化为熟悉问题，从而使原问题得到解决.

例4 已知集合A={（x，y）|■=a+1}B={（x，y）|（a2-1）x+（a-1）y=15}，当a取何实数时，A∩B=？准.

分析：将A∩B=？准用符号表示的集合问题转化为与之等价的解析几何问题，利用直线平行无交点来解决集合的交集为空集问题，从而求得a的范围.

解：A∩B=？准，当直线y=（a+1）（x-2）+3， 与直线y=-x+平行时，

A∩B=？准，则（a+1）=-（a+1）， 即a=-1.

因为（2，3）？埸A，

所以当（2，3）∈B时， A∩B=？准，