大学线性代数知识点范文

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【摘要】本文结合多年来教学与研究的实践，着重从教学内容和教学模式的改革入手，探讨了新建地方本科院校非数学专业线性代数教学改革的重要意义。

关键词 线性代数；教学改革；地方本科院校

0　前言

线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。通过线性代数课程的学习，应使学生获得线性代数方面的基本知识（基本概念、基本理论、基本方法）和基本运算技能，为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的离散量方面的数学基础。在传授知识的同时，要努力培养学生进行抽象思维和逻辑推理的理性思维能力、综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，逐步培养学生的创新精神和创新能力。

为了不断提升线性代数教学质量，提出如下教学改革策略。

1　精选教学内容

对于非数学专业的学生学习线性代数，只要求掌握计算及其在专业上的应用，而对于有关定理的证明并不作太多要求，只要能记住定理的内容，会用就可以了。因此，在教学时要尽量避免从头到尾讲授一些理论知识的来龙去脉，而是在讲授理论时，将通俗易懂的实例穿插其中，既让学生理解知识点，又提高了学习兴趣。如果教师在上课时将各知识点通讲一遍，效果不好。因此，在教学中，应抓住各知识点之间的内在联系，精选教学内容，从矩阵这一重要概念入手，运用矩阵的初等变换，重点讲授向量的线性相关性、线性空间、线性变换、矩阵的相似对角化、解线性方程组等内容。在教学安排上，应做到博览与精读相结合，主次分明。

2　改革教学方法和手段

线性代数相对于其他学科而言，更加抽象难懂；而运用恰当的教学方法和手段，会收到事半功倍的教学效果。

2.1　比较法

前苏联教育家乌申斯基曾说过：比较是一切理解和思维的基础。有比较才有鉴别。在教学中，遇到学生难以理解、又易于混淆的知识点时，引导学生进行比较，找出知识点之间的差异，会收到较好的教学效果。

2.2　启发式教学

启发式教学是一种积极的双向教学方法。在对非数学专业学生进行教学中，教师只要抓住关键的几步，由浅入深，由表及里，突出重点，化解难点，最终达到教学目的。

2.3　合理引进多媒体教学

“一支粉笔、一份教案、一本教材”的传统的教学方式，板书量大，书写速度慢，在有限的学时内完成教学任务。教师只能拼命写、不断讲解，下课后普遍感到疲惫，教学效果也不一定好。线性代数的计算过程很多部分是重复再现，大部分理论的证明过程，对于非数学专业的学生来说不需要掌握，只要能用就行。因此，在教学中恰当地引入多媒体，展现理论的内容，再现重复部分，既可以丰富教学手段，使一些枯燥无味的教学内容变得生动、形象、具体，又可以避免重复劳动，减少课堂板书，提高工作效率。如：行列式的计算、矩阵的初等变换等，重复内容太多，不书写学生又不易明白；而采用多媒体教学，可以将重复内容直接再现，讲清步骤即可。

3　教师在规定的学时内合理安排教学的主要内容及重点

切忌贪多求全及平均使用力量和时间，在教学组织上狠下功夫，形成精炼的课堂教学内容，甚至在备课环节把讲授时所用的语言都准备好。抓住主要问题形成精炼的讲授内容。对教学内容须分清主次，从而以基本概念、基本理论、基本方法等主要内容为核心形成精炼的内容。对这些内容，保证学时，讲透彻。而其它内容，应根据学生的实际情况，可简明扼要地讲解，或者在教师引导下学生自学。教师要注意运用精炼的表达，对讲授的语言、板书的运用都讲究精炼。除此之外，将多媒体技术引入教学中来，提前准备好教学课件，把书写冗长的定义、定理的时间节省出来，用于解释定义的背景、定理的证明及应用，把宝贵的课堂教学时间充分利用起来。

4　构建合理的线性代数教学内容和体系结构

线性代数教学内容和体系结构的设计取决于对线性代数内容的本质的理解、对线性代数课程在人才培养中的地位和作用的认识。“矩阵是线性代数研究的基本代数对象。按照矩阵的观点，线性代数是研究矩阵在各种意义下的分类问题及标准形理论。” 因此，可以把矩阵理论作为核心内容和主线，来组织、展开线性代数的各部分内容。

5　进一步突出数学思想方法的教学

日本著名数学教育家米山国藏曾指出，学生所学到的数学知识在进入社会后如果没有什么机会应用，那么这种数学知识在出校门一两年内就会忘掉。然而，不管他们从事什么业务工作，那些铭刻在大脑中的数学精神和数学思想方法会长期地在他们的生活和工作中发挥作用。 因此，数学思想方法教育是数学教育的根本点，线性代数中充盈着丰富的数学思想方法。通过学习线性代数，锻炼和培养学生的抽象思维、逻辑思维和空间想象能力，使学生掌握严谨、科学的思维方法，具备较强的观察、分析、解决问题的能力。因此，在线性代数教学中应进一步加强数学思想方法的教学。

总之，线性代数的教学改革是一个很重要的课题。线性代数在不同的专业中有不同的应用形式，我们要从中寻找它们的共同的特点，并根据不同专业在教授线性代数时给出相应的灵活性的变化。整个教学改革需要教师精心设计和实践，我们将进一步探讨有关线性代数的教学改革，使得线性代数的教学能够更加完善和成熟，为培养具有现代高素质高水平的大学生而努力。

参考文献

［1］同济大学数学系.线性代数[M].北京:高等教育出版社，2007.

［2］万中,刘楚中,罗汉.结合人才培养目标谈高等数学教育改革[J].数学理论与应用,2001(4):108-111.

［3］毛纲源.经济数学(线性代数)解题方法技巧归纳[M].武汉:华中理工大学出版社,1998.

［4］熊维玲.线性代数[M].上海:复旦大学出版社,2009.

［5］教育部数学与统计学教学指导委员会.工科类本科数学基础课程教学基本要求[Z].高等学校理工科教学指导委员会通讯,2006.

［6］李炯生,查建国.线性代数[M].合肥:中国科学技术大学出版社,1989.

［7］刘凯年.数学思想方法与高师学生数学素养的提高[J].数学教育学报,1998,(3).

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O151.2-4

线性代数是大学里的一门重要基础课之一，是理工科、经济管理类大学生的必修课，对培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力、分析问题及解决问题的能力都有极其重要的作用。线性代数的教学质量也是衡量一所大学基础课教学质量重要的一方面，因此上好线性代数课程具有重要意义。

一、目前线性代数课程教学中存在的主要问题

在高等教育愈发大众化的今天，越来越多的高中毕业生能够进入大学进行深造，随着学校在校生规模的扩大，目前线性代数课的教学主要存在以下几方面的问题：

1.紧张线性代数课程大班化

一些高校特别是地方高校师资相对紧张，导致一些基础课程上课大班化。现在线性代数课程少则100多人，多则近200 人一起上课，上课效果可想而知。在这种上课环境下，任课老师不可能照顾到每个学生，基本上只能按照自己的课时安排去讲课，很难和学生形成互动，即使得到学生有关课堂教学的反馈也很难予以及时有效的响应。

2.学生的基础知识整体水平有欠缺，对线性代数课程存在畏难心理

线性代数一般安排在大一的下学期开课，这学期对于理工科学生来说学习任务最重，一般同时学习高等数学、线性代数、计算机程序设计、大学物理学等几门主要基础课。虽然学生已经学了一学期的高等数学，但是因线性代数和高等数学的思维方式差别较大，线性代数的内容更加抽象，很多大一学生特别是文科生，对线性代数有惧怕心理，总认为自己没有能力学好怕期末考试不及格等，从而丧失学习线性代数课的信心和主动性。

3.多媒体教学手段的使用不当

本来利用先进的多媒体教学可以提高学生的兴趣，使课程中有些较抽象的知识点以直观易理解的方式传授给学生，但是有些老师把多媒体当做自己主要的甚至是唯一的教学手段，很少板书或没有板书，时间长了就对多媒体课件产生依赖性，离开课件就不能讲好课而学生看课件如同走马观花，稍微走神则课件已经翻页，来不及消化理解，结果一堂课下来什么知识点也没有理解和掌握。

4.学生对课本相应的知识点理解不够深入

课堂上经常出现一听就会，一做就错的情况。虽然课本都有相应的例题和习题，但学生对知识点的理解仅局限于书上有限的例子，缺少相应的课外练习，以致对所学知识理解不深，掌握不牢。

5.理论联系实际能力不足

学生运用所学知识解决实际问题的意识不够，特别是把所学数学知识和实际生活中的问题相联系的能力以及运用计算机数学程序软件来求解数学题的能力不足。

二、问题对策

针对以上问题，笔者提出了以下相应办法来提高线性代数教学效果：

1.建h采取中小班化教学，考虑到师资方面的实际情况，以30-60人为最佳规模。如果因为师资条件、教室等软硬件资源所限不得不大班上课，也应控制在100人以内为宜。同时应增加师资配备和硬件建设，逐步达到小班化教学，从而保证良好的教学效果。

2.任课教师首先应该提高学生自信心，培养学生学习线性代数课的兴趣。可以通过与学生分享老师自身求学时期的学习经历和体会等方式来树立学生学好该门课程的信心，同时举例说明线性代数的实际用途来提高学生的学习兴趣。在平时讲课中可以提前指出下一节课需要课前预习的重点内容，以便学生预习更有针对性。

3.合理使用多媒体课件等多种教学手段，多媒体课件只是教师课堂教学的辅助手段，必须适时、适度合理地使用，例如讲解旋转变换矩阵作用时，可以通过多媒体课件以非常直观的形式帮助学生理解旋转变换矩阵的概念；而在讲解有关矩阵对角化和正交化等内容时，则应更多地使用黑板板书来展示有关公式和定理的推导过程，引导学生的思路，充分发挥学生的主观能动性。

4.对学生可能会出现的问题和错误，课后要及时给出有针对性的辅导。在布置课后作业时，除了一些要求必须掌握的基本题型以外，还应给出一些学生易错、易混淆的思考题作为课后作业。对学生作业出现的一些共性问题，应及时在课堂给予讲解，加深同学们对相关内容的理解。

5.培养学生数学建模的能力和使用计算机求解问题的能力，例如利用 MATLAB和MATHEMATIC等软件求解可逆矩阵、正交矩阵等，引导感兴趣的学生课后自学相关内容。

三、结语

提高线性代数的教学质量是一项长期而艰巨的任务，既需要教务部门的高度重视和支持，也需要任课教师不断创新，更新教育教学理念和技巧，只有这样才能提高线性代数课程的教学质量和效果，从而提升学生的数学素质和综合能力。

参考文献

[1]同济大学数学系 工程数学线性代数[M]， 北京：高等教育出版社 2007

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【关 键 词】线性代数；实践；基础

中图分类号：G42 文献标识码：A 文章编号：1005-5843（2013）05-0149-02

美国的线性代数教育从1990年开始，进行了一次大的改革行动，他们的线性代数课程研究组和工程界的代表组织了一次大会，提出了以下的主要建议：（1）线性代数课程面向应用，满足广大非数学专业学生的需要，（2）它应该是面向矩阵的，（3）它应该是根据学生的水平和需要来组织的，（4）他应该是利用新的计算技术的。从这里，我们能看到线性代数的教学活动和以往有了较大幅度的变化，它突出了应用和新技术相结合的思想。这也恰恰是我们的传统教学中存在的最大问题。

我校是以培养应用型本科人才为主的工科院校，培养学生的数学素质和数学应用能力是课程的教学重点。为此，我们确定进行课程改革的指导思想，强调科学计算势在必行，计算机技术的发展已经对人类的社会生活产生了巨大的影响，最显著的功能就是高速度进行大量计算，这种告诉计算使得过去无法求解的问题成为可能，而科学计算已经成为与理论研究、科学实验并列的科学研究的三大手段，在工程和实践中有着广泛的应用，同时线性代数除了培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、基本运算能力之外，还包括数学建模能力和数值计算能力，会用数学方法解决初步问题，会用计算机解决一定的科学计算。

线性代数课程中很多部分的知识都有着很好的应用背景，为了培养和调动学生的学习兴趣和学习热情，我们除了在课程的理论教学之中渗透应用的内容外，同时专门开设了大学数学实验课程，并安排线性代数的实验学时。

美国大学的线性代数讲解的比较浅，很多结论不给出证明，某些知识点也不要求讲得彻底，但是比较重视工程师用于计算，一些名牌大学讲的知识点很多，并且难度也比较大，但是共同点都是注重线性代数和其他学科的联系，注重应用和计算。

教是教学过程中的导引，弱化教学过程中教对学的高压灌输，不应过分强调教学过程中教的权威性，而是应该更多地参与学生的学习过程，通过与学生的讨论与交流，了解学生的掌握程度，引导学生进行探索和研究。坚持教师在教学中的主导地位和学生在学习过程中的主体地位，教学的核心目的是让学生接受教师传授的知识，教师通过认真的备课深入专研教材，对课程全面的掌控，挖掘课本外的内容，查找其他领域里线性代数知识的应用背景，丰富课程内容，寻找素材，积累资料。教学中，我们首先是讲解线性代数的课程学习方法，让学生对这门课程先有个大概的认识，通过密码加密、狗的营养膳食搭配、交通分流等实际问题，先调动学生的学习热情和兴趣，消除学生在心理上对这门课程的恐惧感，让学生在轻松的状态下进入课程的学习，营造好的学习氛围，为学习打下铺垫和基础。通过引入大量的应用实例，涉及到通信、电路、数字信号交通流量投入产出、常微分方程、多元函数极值等，学生明白了线性代数在诸多领域的广泛应用，增强了学习动力。

在课程的教学中，注重课程自身的系统性和科学性，线性代数的课程体系中主要讲解行列式的计算，矩阵的运算，线性变换，解线性方程组及特征值、特征向量和二次型这些知识，各部分知识之间的脉络是清晰的。在教学的设计中，充分考虑各部分内容的连续性，在讲解的时候，重点和难点要格外的下功夫，让学生吃透弄懂，加强概念与理论的背景和应用介绍，通过对实际问题的讨论，帮助学生更好地理解抽象的代数概念，同时安排和布置一些简单的应用题，让学生们分组去讨论解决，这有利于学生团结协作能力的培养和团队意识的建立。

计算机的快速发展，带动了计算数学和应用软件解决数学问题的发展，我们在课程教学中，结合课程内容，引入数学建模的思想，渗透利用数学软件进行数学实验的方法，同时通过一些具体问题的计算，帮助学生对一些抽象的概念进行理解，加深对代数理论知识的认识，向学生展示如何将代数理论和数学软件相结合，应用于实际问题中。

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中图分类号：G424 文献标识码：A

线性代数是高校理工科及经济、管理等专业普遍开设的一门公共必修课程，同时与其他数学基础课程相比较，线性代数课程的特点是知识点琐碎、概念符号及定理公式多，内容抽象而具体实例少，使得学生在学习这门课程时普遍感到有一定的难度。因此在教学过程中教师不仅要帮助学生理解和掌握线性代数的基本知识，同时也要转变其固有的思维模式，逐步培养其抽象思维能力和逻辑思维能力。

1 重视主线教学，以此建构知识点关联，培养学生的逻辑思维能力

线性代数的内容主要包括行列式、矩阵、线性方程组、向量、二次型、线性变换和线性空间。在教学过程中可以任意模块为中心展开进行讲解。鉴于大学一年级是中学教育阶段与大学教育阶段的“接口”，学生入校还没有适应大学的生活，也没有相应的代数和几何方面的知识做铺垫，因此选择以线性方程组为中心，这种结构符合系统性、科学性，而对于初学者来说更易于接受。以线性方程组为核心即认为线性代数的基本问题或研究对象是线性方程组，线性方程组主要包括以下三方面内容：（1）判断线性方程组有没有解，即解的存在性问题；（2）若方程组有解，是唯一解还是无穷多解，即解的唯一性问题；（3）若方程组有无穷多解，解之间的关系怎样，即解的结构问题。

围绕线性方程组辐射于各章，引出行列式、矩阵、向量等的概念和理论，由此理清章节关系，整体把握该课程内容，培养学生的逻辑思维能力。

2 重视概念教学，由浅入深系统培养学生抽象的思维能力

线性代数课程明显特点即知识点零碎，怎样把知识完整而又具体地传授给学生是摆在教师面前的迫切问题，教师不仅要对这门课程整体上有把握，弄清各章节之间的关系，而且还要对琐碎的知识进行重组加工，使得它脉络分明，重难点突出。众所周知，线性相关性是向量的最基本的关系，而它本身又是线性代数中非常抽象的概念。可以先从平面上两个向量的共线和空间中三个向量的共面谈起，借助中学所学的知识唤起学生的共鸣，有了这些铺垫之后，线性相关性概念的理解也就达到呼之欲出的效果了。由特殊到一般、由具体到抽象，使学生从最低的门槛进来，从高门槛出去！这样逐步培养学生的抽象思维能力。比如线性变换是线性代数的重要概念，从中学所学的数的运算着手，介绍向量和矩阵的运算，而这些运算都归结为加法和乘法两种运算，这两种运算以线性关系反映在图形上，这样使学生有了“线性”的初步认识，同时线性变换就是一种映射，而映射在不管是在中学数学，还是高等数学里都有了详细介绍，因此有了这些背景之后对线性变换的理解就更具体了，没有铺垫的概念学生是理解不透彻的，没有背景的定义是野蛮的“被定义”！在教学过程中不断地培养学生能从大量具体的事物，抽象出它们的共性的一种归纳总结的数学素质。

3 重视实践教学，培养学生的动手能力、创新能力

线性代数是一门古老而又年轻的数学学科，称其古老是因线论可以追溯到柏拉图的四艺：算术几何天文音乐；孔子的六艺：礼乐射御书数。称其年轻是因线性代数的计算于20世纪60年代伴随着计算机技术的发展才蓬勃发展起来的，使得线性代数的应用扩展到越来越多的领域。应运而生的MATLAB数学软件拓展了线性代数实际应用的范围，比如逆矩阵在保密编译码中的应用、交通流量的分析、建立信号流图模型等实际问题在MATLAB的环境中都有科学的分析及解决。

4 重视教师研究水平，逐步培育学生对科学的浓厚兴趣及主动获取知识的能力

5 教师的全心投入教学是使教学内容生活化、教学过程有趣化的前提条件

兴趣和爱好是最好的老师，学生往往注意那些能引起兴趣的形象和读物，而对那些缺乏兴趣的东西不愿注意。而教师的用心教学会捕捉到很多教学内容生活化的素材，增加教学过程的趣味性，提高学习的积极性。在讲解逆矩阵的内容时，巧妙引入《潜伏》中的接收电报、破译密码的剧情，恰当地介绍逆矩阵在保密编译码中的应用，使得抽象内容生活化，教学过程有趣化。在讲解特征值特征向量理论时，结合Google搜索引擎的优越性，Google 搜索引擎的显著优点是它搜索所得到的条目是按其重要性（主要指相关性和有用程度）排列起来的。这是得益于它的创始人Sergey Brin 和Larry Page 首创的Page Rank 算法，而支撑该算法的就是矩阵的特征向量理论。通过这些兴趣点的刺激，笔者相信学生对相关知识的掌握应该能达到预期效果。

参考文献

[1] 陈维新.线性代数（第二版）[M].北京：科学出版社，2007.

[2] 同济大学数学系.工程数学教研室.线性代数（第五版）[M].高等教育出版社，2007.

[3] 张志让，刘启宽.线性代数与解析几何（第二版）.高等教育出版社，2009.

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引 言

数学在我们生活中无处不在，在大学期间，数学学习的难度有所增加，所以高等数学被分为了好多学科，其中就包括线性代数这一重要的学科.《线性代数》和《高等数学》是学生必学的基础课程，它很好地反映出了数学知识的精髓.线性代数相对较为复杂，对于高等数学来讲，运算思路和难易程度有很大的差异，在对实际问题进行解决时一定程度上有很好的互补性.线性代数的学习程度对高等数学是有一定的影响的，因为线性代数与高等数学是由相辅相成的作用的，在解决某些问题上，采用其中的一种方法是有可能比较困难的，这个时候就需要转变思维，换一个角度想问题，让自己的学习过程更加顺利，从而提高自己的成绩.

一、线性代数方法学习所需能力

1.需要有抽象的思维能力才能使学习更加高效

线性代数是需要学生通过抽象的思维进行想象的，可以说学习的过程中对于向量，矩阵等都需要自己通过抽象想象的.线性代数中这样的学习有很多种，例如矩阵与线性方程组，在矩阵与矩阵，矩阵与向量组，向量组与向量组等等，所以学生要了解他们之间的抽象关系，认真领会其中的知识点，对他们的概念以及性质的学习进行加强.在初中和高中的学习中，学生们已经接触过具有抽象能力的数学知识点了，比如说在向量的学习中，就需要将向量想象成一种抽象的东西，这个时候的数学还是很好学的，但是对于高等数学中的线性代数里面的思维想象能力的要求就相对来说比较高了，所以对于学生在这方面能力的锻炼与培养，需要教师多加引导，让学生养成自己思考，主动学习的好习惯，多做题，逐渐的就会把自己的抽象能力培养出来.

2.逻辑推理能力

不仅仅是线性代数需要逻辑推理能力，可以说整个的数学学习就是一个逻辑推理能力的培养从小学时，学生们便开始学习数学，数学的学习一直都在锻炼学生们的是逻辑推理能力.线性代数的各个知识点之间逻辑关系是非常紧密的，逻辑性是非常高的.其实我们在学习很多学科时都有这种体会，知识点不是单独存在的，教材在安排知识点的位置的时候也都会将有联系的知识点放在一起学，这样既对学生学习起来是一个方便，同时教师在教授的过程中也更加容易方便，这在一定程度上考验了学生的逻辑思维能力，所以线性代数在学习过程中一定要上下联系，找出其中关联的地方，把有关联的知识点放在一起仔细研究，找到他们在解题过程中的运用效果，能够在解题过程中显得不那么手足无措，同时要深刻理解其中的每个知识点之间的联系，从而提高学习效率.另一方面学习的过程中需要运用的推理能力不仅仅表现在知识点的上下联系，而且在解题过程中需要在读过题之后快速的找到体重的关键点，找出解题时所要用到的知识点，这也是对逻辑推理能力的一个考验.

二、线性代数在高等数学解题中的应用

1.二次型理论的应用

线性代数中二次型理论是重点内容，求二次函数的极值问题，可以运用二次型理论来解决.

例1

2.正交变换的应用

（1）在判断二次曲面类型的应用

根据几何知识二次方程：

a11x21+a22x22+a33x33+2a12x1x2+2a13x1x3+2a23x2x3+b1x1+b2x2+b3x3+c=0.

如果对空间二次曲面进行表现，需要确定曲面的类型，需要用到直角坐标消除交叉项，由于正交变换能够夹角和长度进行保持，因此最大的有点就是保持图形的不变.

例2 把二次曲面方程：3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz=1来作为标准方程，对该方程表示的曲面进行明确指出.

解 记f（x，y，z）=3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz.

得出二次型的矩阵，求|A-λE|=（-λ）（λ-2）（λ-11）得出A的特征值：λ1=0，λ2=2，λ3=11各个特征值对应的单位特征向量，

正交变换：x

在这种情况下，二次曲面方程化为标准方程2v2+11w2=1它表示椭圆柱面，且该方程表示的几何图形与原方程一模一样.

（2）正交变换在求曲面积分中的应用

对于计算三维空间中的曲面积分，如果已经知道积分曲面的参数形式，一般可以使用高等数学里介绍的方法进行计算，但是对于某些积分曲面，若不知道或很难使用参数形式表示出来，则不易计算.此时我们可以使用正交变换的方法进行尝试.首先给出利用正交变换理论解决曲面积分问题的方法.

假设S是三维欧式空间R3的光滑曲面，p（x，y，z）是s上的连锁函数，而x

w是欧式空间的一个正交变换，S`是曲面S在上述正交变换下的象，p-（u，v，w）是p（u，v，w）与正交变换的复合函数，此时有下列计算曲面积分的公式：∫sp（x，y，z）dS=∫sp-（u，v，w）dS′.

3.线性方程组知识的应用

例3 设：f（x）在a，+∞上n阶可导，limf（x）和limf（n）（x）存在，求：limx+∞f（k）（x）=0（K=1，2，…，n）.

证明 设limx+∞f（x）=A，limx+∞f（n）（x）=B，根据Taylor公式可得： fx+k=f（x）+kf′（x）+k22！f″（x）+…+kn-1（n-1）f（n-1）（x）+knn！f（n）ξkx<ξk

（3）

则limx+∞f（n）ξk=limx+∞f（n）（x）=B.

根据函数极限得出：f（n）ξk=B+αk，其中limx+∞αK=0（K=1，2，…，n）

把该式引入到上式得出关于f′（x），f″（x），…，f（n-1）（x），B的一个线性方程式：

（4）

得出系数行列式：

（6）

从方程组（4）中通过f（x），f′（x），…f（n-1）（x），B解出，可得一个fx+k-f（x）-knn！αk （K=1，2，…，n）的线性组合

limx+∞fx+k-f（x）-knn！αk=A-A+0=0，B=0

即limx+∞fk（x）=0（k=1，2，…，n）.

（7）

三、在线性代数教学需注意的问题

学习数学知识需要运用到很多规律性方法，线性代数的学习也是非常重要的，在实际的学习中，教师对学生的引导也不可忽视的一个环节，教师对学生知识点正确运用的引导和教学方法尤为重要，这是为线性代数知识在高等数学中更好运用的前提，所以，教师在教学中要做好首要工作.

教师在教学时，需要对每一个概念进行详细的讲解，使学生对概念全面的了解，概念是正确解题的基础.在进行例题讲解时应把需要用到的知识点一一列出对学生进行深入浅出的加深概念的理解，由此还可以延伸到之前学习的知识，对其进行必要的复习，让学生在新知识学习的过程中复习旧知识，能够在很大程度上适应抽象的思维模式.

在传统线性代数教学中，知识的学习和生活是两个独立的个体，很大程度上脱离了生活范畴，由于枯燥使学生在学习时没有更多的积极性，所以，教师需要在此方面加大教学力度，提高教学中的趣味性，很有必要在教学中引入一些生活中实实在在的例子，提高学生的学习兴趣.

由于数学课堂气氛有些枯燥，教师在讲解时应运用启发性的问题来提高教学质量，调动学生的好奇心，使其进行互动交流和主动对知识进行讨论，这样在很大程度上能够打破传统的教学方法，最大程度上以学生为主题，提高教学质量.

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《线性代数》是普通高校的一门基础理论课程，通过本课程的学习使学生掌握线性代数的基本概念和基本定理.线性代数有着重要应用，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分.线性代数具有高度的抽象性和严密逻辑性，但是缺乏直观的数学模型.线性代数课时短、内容多、理论多，例题少，它经常开设在大一.这些令学生普遍感到学习线性代数困难.除了上述的原因外，它也与教师的教学经验、教学方式、教学策略、对教材的处理方法等因素有密切关系.为了解决这个问题，笔者认为，可以从以下几方面入手.

一、加强基本概念的教学

在线性代数学习中，定义、定理及其推论等基本概念是我们做题的基础，只有深刻地理解定义、定理隐藏的知识，才能更好地把握定理及其推论的应用.我们在教学中，不能要求学生死记硬背公式，要想办法让学生理解这些概念、公式.怎么做呢？ 就是尽量将概念具体化，如何具体化呢？尽量给予事例说明.如矩阵、线性变换、特征值与特征向量，让学生记住具体事例，使之认识深入化.在引导学生学习某些有具体几何背景（向量的模）的概念时，让学生多加联想，指导学生按图索骥.

为了让学生吃透概念，授课时应该提醒学生注意两方面的问题：1.对概念、定理的陈述如果是严谨的，那么就要一字一句的抠，一个字都不能动，改动个别字就会导致题意发生根本变化（线性相关、线性无关的概念）；2.对于有些概念、定理，自己能够简明扼要用自己地语言来描述它们.另外，在教学中还可适当的构造反例，使学生加深对概念的理解，例如数的乘法运算满换律和消去律，但矩阵的乘法运算不满换律和消去律，这样的反例，直观性强，浅显易懂，能给学生留下深刻的印象，使学生掌握概念的本质.既提高了学生分析问题和解决问题的能力，又加深了学生对基本基本知识点的理解，为学生后续课程的学习打下了坚实的基础.

二、强化逻辑推理能力训练

逻辑推理是数学的一个基本功能，它也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.逻辑推理能力是学好线性代数必须具备的能力，只有具备了良好的推理能力，才能做到既合理猜想又大胆猜想，敢于突破常规思维定式，但是逻辑推理能力的形成和提高是一个缓慢的过程，短时间内很难见效果，我们要创设概念、定理、方法等问题的活动情境，将抽象的理论想办法具体化，让学生自己探究知识、形成结论.这样我们既锻炼了他们的推理能力又培养了他们的学习兴趣，不再觉得学习线性代数是乏味、无趣.推理能力的培养，要考虑学生的自身特点、层次性，思维方式也存在着一定的差异，我们要因人施教，因材施教，这样使学生的逻辑推理能力不断跃上新台阶.线性代数的知识点较多，很多重要概念之间的内在联系并没在课本中充分反映出来.学生只有具备良好的合情推理和演绎推理能力，才能掌握知识点的核心.例如，向量的线性组合与线性方程组的解、向量的线性相关与齐次线性方程组的非零解均关系密切，但教材中把它们放在不同的章节，很少有学生考虑这些概念之间的联系，在这些教学内容完成后，我让学生自己推理出这些概念之间的关系，结果许多学生自己找到了正确的答案.

另外，还要让学生注意新旧知识的联系，最后把同类知识归纳、总结、列表，把容易混淆的概念进行对比，以加强学生的想象力、理解力、记忆力.对于有些习题，还要注意一提多解及同类题的共性，培养举一反三和推理能力.

三、注意学习方法的总结

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一、课程改革的目标

线性代数是理工科类学生的基础课程，对于本独立学院的经管类学生来说，也是一门必学课程，本课程旨在培养学生严密的逻辑推理能力、独立思考能力、综合归纳能力、对数据的处理与计算能力.但是，基于我院办学实际，针对我院学生兴趣点和思想特点，培养学生对数据的处理能力、独立思考能力、综合归纳能力，是本课程的改革目标.

二、课程改革的定位与思路

（一）课程的定位

对于本院大多数专业来说，本次课程改革的定位与国家高等教学本科线性代数课程的基本要求和国家硕士研究生入学统一考试大纲的要求相接近，即略低于基本要求，而对于经统专业与经济统计专业，本次定位在二者之g，即达到并超过基本要求，且与考研接轨.通过课程改革把课堂教学与生活体验结合起来，使大学生正确把握学习线性代数课程的要求与目标，使学生学以致用.

（二）改革的思路

随着时代的进步与科技的发展，线性代数的应用日趋广泛，当今社会的发展对人才也有了更高的要求.传统的以教师为主体、以课堂为中心、以掌握理论知识为目的的教育教学理念难以满足社会的需要，为了更好地培养适应社会需要的应用型科技人才，教师教学过程应当以学生为主体、以专兼职结合教师团队为主导，培养学生的逻辑思维能力、数据的处理能力、缜密的推理能力，采用多种方式、多元评价等相结合的方法对学生进行考核，建立慕课平台，随时为学生解决疑惑，为学生提供至少每周一次的晚自习辅导，积极引导和培养学生的逻辑推理能力和应用能力.

三、课程改革的实施

（一）教材编写

1.教材使用与建设.为了适合我校实际情况，提高教学效果，本次改革教学中使用自编教材――由经济科学出版社出版的《线性代数》，并配套有习题册进行教学，此次的教材，受到了广大学生的喜欢，也得到了校内外同行的认可.

2.促进学生主动学习的扩充性资料.与《线性代数》教材配套，教研室还编写了《线性代数习题册》，本习题册中有详尽的知识点的总结、例题的扩展，使得学生在离开课堂后也能通过习题册去回顾老师课堂的知识，既增加了学生学习的兴趣，又养成了课后复习的好习惯.本习题册每章结构如下：（1）主要内容，即本章所有知识点的归纳总结；（2）学法建议，即明确指出学生掌握某一知识点的方法与方式；（3）疑难解析，即本章的重要例题，并有详细的解答过程；（4）习题，即配套教材的每一小节，对应的练习题，另外，还有本章的总结复习题――总习题.本习题册知识点详细，结构合理，在学生学习的过程中起到了指导性作用，极大地促进了本课程的教学.

（二）教学要求

教学方法：线性代数是一门高度抽象并且概念性强的课程，其计算量大，推理过程复杂，因此教学方法的优劣直接关系到教学效果的好坏.

1.加强基本概念的教学，重视概念的引入.线性代数课程中的概念较多，较抽象.

2.重视推理过程.不仅培养了学生的逻辑推理能力，而且学生也能体会到此过程的乐趣，同时也感觉到线性代数并不难，是可以理解的.

3.发挥典型例题的作用.线性代数课程知识量大，但题型固定.要使学生学好这门课程，一定要配套典型题型.对典型例题逐一讲解，或者一题多解，培养学生分析问题解决问题的能力，培养他们发散思维的能力，激发他们的学习兴趣，活跃学习气氛，都是很有帮助的.

教学手段：

①利用多媒体教学，不仅节约教学中的简单运算和大量书写时间，还可以增大课堂信息量.②开发网络答疑系统，师生“面对面”容易产生互动效果，提高学生的学习注意力与兴趣.③丰富教学生活.

（三）建设目标

线性代数课程是我校经管分院，会计分院，管理分院等各个专业的专业基础理论课程.该课程对我校各个专业后继课程的学习起着举足轻重的作用.

教材建设：

在《线性代数》教材方面上，继续使用自编优秀教材.组织教师针对不同专业编写高水平的教材，完成本教材的第二版修订，使教材重点突出，主线清晰，知识结构更合理，定理的推导过程细致缜密，典型例题的解题方法多样化，争取在本教材的实践教学中，得到学生与校内外同行教师的认可.

在《线性代数习题册》方面上，呈现出“渐进性，多层次”，以适应不同专业不同层次的学习，突出本习题册的四大模块，尤其是学法建议与疑难解析，使习题册的内容由浅入深，由易到难，本着“强调基本方法，增强解题能力，开拓解题思路，提高综合能力”的原则，对学生学习本课程起到良好的促进作用.

在慕课建设方面，完成本课程的慕课建设，提供学生免费下载平台，使学生随时随地学习，同时，建设师生互动平台，解决学生在学习过程中出现的疑难问题，调动学生学习本课程的积极性.

教学条件建设：

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【中图分类号】G642.0 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）10-0128-02

1.引言

我国是一个拥有56个民族的多民族国家。建国以来，国家对少数民族人才的培养十分重视，建立了多所民族院校，并投入大量的人力、物力和财力进行建设，仅国家民族事务委员会直属的民族院校就有6所，北方民族大学是其中一个成员，学科门类涵盖文学、理学、工学、法学、历史学、管理学、经济学等。

我们在多年的《线性代数》教学实践中，针对民族院校工科学生数学基础相对薄弱，但动手能力较强，思想活跃的特点，结合后续课程中对《线性代数》有关知识点的衔接，对《线性代数》课程从教学内容、教学方式和学业评价等方面进行了系列改革和探索，提高了学生学习的积极性和主动性，教学成绩有了显著提高。以下将上述三个方面的改革成果进行简单介绍。

2.《线性代数》教学内容改革

传统的《线性代数》教材[1，2]往往有两种情形：有一部分教材注重理论而轻实践应用，脱离了基本概念、基础理论的几何背景及实际意义，导致教学内容过于抽象，难于理解；另一部分教材恰好相反，过于注重知识的实际应用而忽视了逻辑推理的严密性和理论体系的完整性，使学生学到的仅仅是支离破碎的知识断片，不利于与后续有关课程的衔接。因此，有必要对该课程的教学内容进行改革。我们通过查阅大量这方面的参考文献[3，4]，结合多年的教学实践，给出该课程教学内容方面改革的几点建议如下：

（1）知识结构体系需要调整

该课程传统的知识结构体系为：行列式矩阵初等变换线性方程组向量空间二次型，其中行列式放在最前面，占用课时较多。其实行列式在后续各章中应用并不多，在工科类专业其他课程并不做为独立的工具出现。因此，关于行列式的教学，完全可以放在矩阵所在的章节中，等学完矩阵的知识后再讲行列式，尽可能压缩学时。另外，《线性代数》课程几乎所有知识点都是围绕解线性方程组展开的，其他内容如行列式、矩阵、向量空间等内容都是围绕其展开的。因此，应该将线性方程组放在第一章，比较自然，也容易和中学知识进行衔接。经过调整后的知识体系为：线性方程组矩阵（包含行列式）初等变换向量空间二次型。

（2）理论知识和实践应用并重

《线性代数》课程作为一门数学基础课程，其重要功能之一在于培养学生逻辑思维能力和空间想象能力。针对民族院校工科学生数学基础薄弱的特点，可适度降低理论推导的难度，对部分过于抽象的内容可以作为选学内容，但绝不意味着完全放弃理论推导，不注重理论体系的完整性。另一方面，为了增强学生学习积极性，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，在学习每个知识点之前，应该尽可能由实际问题引入，在后面例题中，也应该适当增加实际应用题目。

（3）适当增加数学数值计算方法及数学实验内容

传统《线性代数》教材一般没有数学实验内容，几乎不涉及数值计算内容，这是不合理的。实际问题产生的矩阵或线性方程组阶数一般很大，可以达到成千上万阶，甚至几十万阶以及上百万阶，用笔算是完全无法解决的。针对这种现象，一些教学工我们进行了一些探索，在教学过程中加入了数学实验，如利用Matlab软件求解线性方程组的解、求行列式的值、求矩阵的逆等[5，6]，这在一定程度上培养了学生利用所学知识解决实际问题的能力。然而，我们认为，应该让学生初步了解数值计算的思想，针对一些典型问题，给出具体计算方法，利用Matlab、VC++等软件编程并在计算机上进行上机试验。这一方面可以培养学生逻辑思维能力和编程能力，另一方面也可以增强学生的学习积极性。当然，由于《线性代数》课程课时有限，这方面不可占用过多课时，可选择典型问题，如矩阵的运算、线性方程组的求解等，进行编程实践，其他问题可以直接调用Matlab现有命令即可，上机次数可控制在4-6次即可。另外，我们建议《C语言程序设计》放在第一学期，而线性代数放在第二学期，以便进行衔接。

3.《线性代数》教学方法改革

传统的教学方法如讲授法往往难以调动学生的学习积极性，使学生产生厌学情绪。因此，有一些教学工作者在这方面进行了一些探索，给出了一些改革方案[7-8]。我们结合多年的教学实践，给出该课程在教学方法方面的改革建议如下：

（1）多媒体和板书有机结合

纯板书教学，尤其是数学公式的推导，有利于培养学生的逻辑思维能力，让学生有充分的时间进行思考。但板书教学容易受到时间和空间的限制。多媒体教学则可以充分利用多媒体资源，将有关理论知识快速、生动再现出来，图文并茂，让学生在有限时间内接触到更多知识，但对《线性代数》课程来说，过多的依赖多媒体教学，将无法培养学生逻辑思维能力，久而久之，学生将无法真正掌握所学内容，从而产生厌学情绪。因此，应该将两者结合起来，对于一般知识点的讲授，可以采用PPT，但涉及重要公式的推导及例题讲解，可以结合板书进行。这样，一方面可以培养学生逻辑思维能力和空间想象能力，另外，也可以在有限的学时内使学生学到更多知识。

（2）理论和实践相结合

如果学到的知识没有用武之地，学生学习积极性会大大降低。因此，我们在教学实践过程中，进行了一些尝试：第一，在引入新课时，简单介绍一下该知识点的具体应用领域；第二，在例题中增加一些实际应用题目；第三，对一些典型计算问题，开展数学实验，在计算机上利用软件或编程计算。

（3）在课堂上随时进行提问

课堂上如果由教师一言堂，课堂气氛比较沉闷，学生学习积极性不高。适时进行提问，并将回答结果纳入考核范围，学生学习积极性会显著提高。因此，我们在课堂教学过程中，进行了一些尝试：第一，在讲授新课前，就上节课或前一段时间学过的知识点进行提问；第二，在进行推理、证明时，就下一步该如何处理随时进行提问；第三，在讲解例题时，就计算过程进行提问，或直接叫同学进行板演；第四，提问可针对全体同学进行，也可以指名让某一位同学单独进行回答。

（4）适当开展一些讨论课

适时开展一些讨论课，可以增强学生学习主动性和积极性。我们在该课程教学过程中，进行了一些尝试：第一，对某些具有一题多解的典型题目，组织学生进行分组讨论（每组人数控制在6人左右），然后每组由组长汇报讨论结果；第二，就某个知识点，分组让学生提前写好教案，制作PPT，每组推荐一人，在课堂上进行讲解，然后大家进行讨论。

4.《线性代数》学业评价改革

传统学业评价，注重终结评价而忽视过程评价，期中期末考试成绩所占比重为70%左右，可以说是一次考试定结果。这样，就造成学生平时不努力，随意缺课，不认真完成作业，上课心不在焉，但考试前临时突击一下，结果也通过考试了，但学习效果是可想而知的。进行学业评价改革，就要加大过程评价所占比例，并具体落实过程评价的每个环节，减小主观性和随意性，充分调动学生的学习积极性和主动性。我们在教学实践中，进行了如下尝试：

（1）加大过程评价在整个学业评价中所占比例

其中过程评价和终结评价所占比例各占50%。具体核算时，过程评价成绩（P）及终结评价成绩（F）都按百分制计算（即满分为10分），总评成绩（T）=（P+F）/2。

（2）过程评价成绩（P）由以下几部分组成

1）出勤（P1）：15分，主要包括课堂教学、作业辅导、上机实验考勤，缺勤一次扣1分，迟到两次扣1分，请假4次扣1分，扣完为止。

2）课堂表现（P2）：10分，主要包括回答问题（4分），课堂纪律遵守情况（6分），如发现睡觉、玩手机、交头接耳现象，发现一次扣2分，扣完为止。

3）作业成绩（P3）：20分，主要考查书面作业完成情况，每次批改作业按完成情况给A、B、C、D四个等级，其中D为不交作业情形，最后汇总。

4）自学情况汇报（P4）：10分，布置选学内容，让学生自学并提交学习报告，根据情况给分。

5）实验成绩（P5）：15分，主要考查学生利用计算机解决典型计算问题的能力。

6）平时测验（P6）：20分，组织2-4次课堂测验，评定测验成绩。

7）学生互评（P7）：10分，组织学生进行分组互评，给出合适的成绩。

终结评价成绩即为期末考试卷面成绩。综上，学业评价总评成绩的计算方式为：

T=（P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7+F）/2

5.结语

本文结合我们多年教学工作经验，给出了民族院校工科《线性代数》改革的具体方案和措施，主要从教学内容、教学方法、学业评价改革等方面，指出了传统教学的一些弊端，给出了相应改进教学工作的具体改革方案。通过教学改革，调动了学生学习的积极性和主动性，使枯燥、抽象的教学过程充满了生机和活力，学生的学习成绩普遍得到了提高。

参考文献：

[1]同济大学数学系主编. 线性代数（第六版）[M]. 北京：高等教育出版社，2014.

[2]Lay D C（著），刘深泉，洪毅，马东魁 等（译）[M]. Linear Algebra and Its Applications （the third edition）. 北京：机械工业出版社，2005.

[3]孟丽娜，范广慧，曲绍平.线性代数教学改革的实践与探索[J]. 数学教学研究， 2009， 28（8）： 57-59.

[4]韩冰，李洁，杨威，高淑萍.线性代数教学改革中的几点探讨[J].高等数学研究， 2013，16（4）：72-74.

[5]郭文艳，赵凤群. 数学建模及Matlab软件在矩阵运算教学中的应用[J].大学数学， 2013， 29（4）：87：90.

[6]杨雯靖.“线性代数”实验化教学的构想[J].中国电力教育，2009，137： 136-137.

[7]朱恩文，王跃恒.从定理的简单证明中启发学生的创新思维[J]. 数学理论与应用， 2012， 32 （1）：105-108.

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《线性代数》是高等院开设的一门重要的数学基础课，该课程对于提高学生的数学素养、培养学生用数学思维分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力是非常有用的。因为它不但广泛应用于概率统计、微分方程、控制理论等数学分支，而且其知识已广泛渗透到自然科学的其它学科，如工程技术、经济与社会科学等领域,同时为后续课程包括数学建模、运筹学等的深入学习作铺垫。但是，该课程具有概念多、抽象、逻辑性强的特点，学生们普遍反映线性代数抽象、枯燥、繁琐、难学、没用，并因此失去了学习的兴趣，更缺乏进一步深入研究和探索该门课程的愿望。作为从事《线性代数》教学的教师，不能满足只是完成把知识强施于人，这样绝大部分学生会反感，进而会产生抵触情绪，以致放弃该门课程的学习。那么怎样才能让学生产生主动学习的兴趣，怎样才能将课堂内容用更好的教学方式组织以便让学生乐于接受，怎样才能让学生更有成效的学好这门课程，笔者认为可以从以下几个方面入手。

第一，创设学习情境，激发学生的学习兴趣。俗话说，“兴趣是最好的老师”。因此作为任课教师，第一堂课前必须花费大量时间做好准备工作，比如查阅资料追溯线性代数的相关历史，收集一些将想象力、创造力、努力交织在一起的数学家们的有趣事迹，让学生充分了解课程内容的相关背景知识及发展现状，激励学生学习的兴趣。这样，基于学生对这些数学家们的好奇心，便急于想从学习过程中寻找答案。从而教师便可以创设一种很轻松的学习氛围，使他们了解知识点的来龙去脉，进而加深他们对概念的理解，同时还有利于拓广他们的知识面，提高他们的数学修养，激发他们的学习兴趣和主动探索知识的内在动力，学生如果对学习线性代数有了强烈的兴趣，也达到了我们的教学效果，自然就提高了学习效率。

第二，建立和谐的师生关系，用情感教育激发学生的学习兴趣。“感人心者先乎于情”，作为教师，我们不要“居高临下”，应从自身角度提升自己的素养，使自己对学生有一定的亲和力，注重加强与学生感情的交流，经常关心他们，鼓励他们，热情地帮助他们解决学习和生活中的所遇到的一些困难。另外，教师要创设一种轻松愉悦的课堂气氛，要注意抓住每位学生的闪光点，并不失时机地给他们以鼓励和表扬，以激发学生的自信心，随着自信心的增强，学生的自我表现愿望得以满足，从而“润物细无声”，在潜移默化中达到“尊其师，信其道”的效果。这样他们的学习兴趣也就会愈加浓厚，学习效果就会显而易见。

第三，具体到教学过程中，教师应注意每堂课所学知识点的合理切入。一堂课的成功与否，知识点的引入非常关键．因为只有通过合理的引入，才能吸引学生的注意力并激发起他们的兴趣，使他们的学习由被动转主动。比如，在讲授到按行（列）展开定理时，可以先提出问题：“大家已经可以用定义、性质计算高阶行列式的值，但显然比二阶和三阶行列式的计算要复杂，我们本次课所学的按行（列）展开定理就是教大家如何将高阶行列式的计算转化为低阶，这样可以将我们的运算作进一步的的简化，那具体该如何操作呢？”由此激发学生迫切解决眼前问题的好奇心，使其产生浓烈的学习兴趣，从而达到学生乐于并主动积极的参与到老师为其精心组织和设计的的课堂教学当中的目的。

第四，教师还要注重课堂教学形式的多样化。线性代数教材所涉及到的概念较为抽象，如果采用纯粹的定义、定理加推导的方式，学生容易失去兴趣，也很难深刻理解相关概念，常常会觉得这门课程内容枯燥、抽象，从而失去主动学习的兴趣和热情。数学是思维领域的学科，它高度的抽象性使不少学生对它感到枯燥，而多媒体课件可给学生的观察、想象带来了极大的帮助，使线性代数知识形象化、立体化、动态化。其次多媒体教学又可以使教师从黑板的演算、推导、证明中释放出来，使老师尽可能多地和学生交流，真正地让课堂“活”起来。因此在线性代数教学中，倘若将传统的“粉笔+黑板”的教学方法与现代教育手段有机的结合起来将会取得很好的教学效果，让学生在宽松愉快的学习环境中，真正做到愿意学、乐意学。

第五，适当借助MATLAB软件进行线性代数运算。数学软件可以将数学与计算机计算有机地结合起来，其中MATLAB软件就可以将数学知识、数学建模与计算机应用相结合，例如，我们可以在讲到矩阵运算的时候借助上机操作，也可以用MATLAB软件解线性方程组等等，这样既可以把学生的理论学习与上机实践相结合，又可以激发学生学习线性代数的兴趣，还可以培养学生的实践操作能力。因此我们有必要尝试这些新的教学方法和手段来激发学生的学习兴趣，以便让学生更主动、有效学好这门课。

线性代数课程是大学生学习后续课程和解决实际问题的理论基础课和实用工具，也是培养学生的思维能力、分析和解决问题能力的平台。因此，我们要花费更多的精力去思考怎样才能使线性代数的教学取得更好的结果。摒弃线性代数表面上那些所谓的抽象、枯燥、繁琐等特点，让学生开始喜欢这门课。从兴趣的角度来讲，我们应该注重激发和培养学生的兴趣，这就要求作为教师的我们在教学方法和教学手段上不断更新，创设合理并可行的教学情境，启发、引导学生主动学习必要的数学知识，并在轻松的环境下愉快地掌握知识，与此同时科研能力、思维能力等也可得到进一步的提高。只要我们要不断总结，不断进取，相信总将会出现“柳暗花明又一春”。

参考文献

[1] 赵延霞,温志辉 关于线性代数教学方法的一些思考[J] 科技信息 2010(10):106

[2] 王海侠,孙和军,王青云 改进线性代数教学方法的几点想法[J] 高等数学研究 2010,13(6):13-15

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[中图分类号] G421 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）08-0073-03

线性代数是高等院校大部分专业必修的一门公共数学课程，其应用范围广泛，如微分方程、运筹学与控制论等数学分支，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学等技术，无不以线性代数为其理论研究和算法设计的一个重要基础组成部分。在电气、土木、金融等领域，很多实际问题的数学模型是含有多个变量多个约束的优化问题，而求解这些问题就必须有线性代数的基础，才能理解相关的更深理论，如线性规划、非线性规划等的算法和理论，最终利用计算机依据算法编程来求解相应的数学模型，以此得到最优解。

美国著名数学教育家、美国国家“线性代数课程研究小组”的核心成员、线性代数课程现代化的主要倡导者David C.Lay 教授在其著作《线性代数及其应用》中述及：“这门课程是最有趣、最有价值的大学数学课程。事实上，一些学生在毕业以后告诉我他们在大公司的工作中或工程研究生院的学习中还使用本教材作为参考书。”[1]诚如其所言，不少研究生在专业研究中将以线性代数的知识作为基础工具，如果没有本科学习时打下的扎实基础，要想使用其以提升自己的论文质量和研究成果，甚至只是进一步的学习，那么这将是制约发展的瓶颈。比如最优化中的线性规划[2]，就以线性代数知识为基础，而金融[3]、工程[4，5]等许多领域的应用中要用到最优化的知识，这样基础中的基础问题――扎实掌握线性代数知识，其重要性不言而喻。

然而，另一方面，线性代数具有高度的抽象性和严密的逻辑性，概念多， 定理多，易混淆， 计算繁琐，这使许多学生认为线性代数是一门抽象难懂的课程，不易掌握，望而却步，但其广泛的应用性却激起了学生们强烈的学习需求，如何解决这个矛盾是教师一直在思考的问题。笔者在高校任教，经过教学实践，不断改革探索，教学质量稳步提高。在此和同行探讨这一问题，以求进步。

一、备课面广泛且要因材施教

备课不仅要备教材内容，而且还要根据学生学习情况和需要准备相关的改进提高措施。以同济大学《线性代数》第五版的教材为例，一般授课的主要内容是第一到第五章，即行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性和相似矩阵及二次型，课时为45节，每节40分钟，按这个时间来安排好教学是比较紧张的。“如何安排好全程教学、提高教学质量、达到优质的教学效果？”就是一个摆在任课教师面前的重要问题。

俗话说：台上一分钟，台下十年功。老师要想教好学生，给每个学生一碗水，自己就得有一桶水，所以老师就要在备课阶段下足工夫。首先，研究教材，了解重难点，还有整个授课内容的框架和内在脉络，这些都要了如指掌，为透彻理解这些理论及其应用，建议多读国内外经典教材和教辅书，如参考文献[1]等。其次，为丰富教学内容，提高学生学习兴趣，学习对课堂整体把握的技巧等，广泛阅读教改论文，尤其是近几年的论文，了解关于线性代数课程的现状、发展和局限，学习同行如何提高学生的学习兴趣[6]，如何在课堂上渗透数学思想以提高学生的数学素养[7]等。再次，查看国外著名的大学公开课线性代数的教学视频，国内精品课程网站，认真学习名师的网上课堂，通过对教学大纲的了解和比较，调整原来的重难点，平时抽空走进教学名师的课堂，亲身感受名师风采，总结差距，调整自己的授课布局和方法。最后，综合考虑本学期授课学生的专业特点，汲取网上课件制作中的精华，调整修改制作课件。

二、提高课堂质量

每次上新课前，先将上次课讲授的重难点让学生回顾一下，看看还有哪些学生没理解掌握的，加以引导，尤其是主线脉络，顺此理清，承上才好启下。讲授新课前先说明需讲授的要点分别是哪几点，这几点的关系等，然后再逐一展开。因为线性代数的概念和知识点较多，所以讲授过程中分段总结很重要，某个知识点要么在引例中看其用处，要么讲完后通过应用或故事说明它的用处或将在哪些方面应用，以拓展学生的思路和知识面，并提高学生的学习兴趣，等用到的时候又再强调回顾。

同时，知识点间的联系与比较都可以反复进行，比如矩阵和行列式的不同与相似，概念和记号不同，但行列式的某些性质和矩阵的初等变换有类似之处，启发学生“如何通过比较巧妙记忆”；在判断齐次线性方程组是否有非零解时，一般将系数矩阵化成阶梯形后，根据矩阵秩与方程组中含有未知数个数的比较来判断，但当系数矩阵是低阶或易于计算其行列式的方阵时，简单计算系数行列式，由其为零即可知此齐次线性方程组有非零解。学习新知的过程就是反复复习的过程，以此减轻学生的课后学习负担，同时也可以检测学生对已学内容的掌握情况，如此推进，学生在这个过程中就可以把知识脉络框架建立起来，从而熟悉自己的课本，熟悉所学内容，做练习才得心应手，并且印象深刻，等到后续课程需要这些知识时，可以很快地回忆起来而应用于实践。

三、课后追踪练习情况

每次课后，让学生做与授课知识点相关的练习，原则上学习完一章就进行单元测验，题型主要可分为填空题、选择题、判断题、计算题和证明题。填空题考核学生对基础知识的掌握；选择题考查学生灵活应用知识的能力；判断题考核学生对概念、定理、性质等理论的掌握和辨析能力；计算题考核学生的计算能力和综合能力，证明题考核学生对一些重要定理的认知和应用能力。一般设置单元测验的时间是40分钟，即1小节课，可随堂测验也可另作安排。测验后仔细批改，记录常见错误的情况，如某道计算题，学生常见的错误有几处，每处是哪些情况。讲评时重在正面讲授，讲清关键点和思路、做题步骤、错误情况等。以教学过程中遇到的由两个专业班级合成的教学班为例，每次列表比较班级的考分情况，如下表1：

这对激起学生的学习斗志有催化剂般的作用。通过这样的比较，每次两个班都在暗暗较量，并且每个学生经过讲评和更正都知道自己的改进方向，待到期考，大部分同学都有明显的进步，甚至原来测验落后的班级会取得突出的成绩，比如，这里的（2）班，期考35人中仅有1人卷面分（满100）不及格（56分），但（1）班因一直占优势，没有居安思危，所以还有3位学生不及格。

另外，适时的在课后安排几次辅导答疑时间，可要求学习有一定困难的学生参加，其他学生不做要求。重点抽查学生完成作业及批改后的作业、测验改错情况，看看他们对错题是否理解清楚、是否更正。再则询问他们对知识点是否掌握，可通过让他们讲述典型例题的方法了解他们的思路是否正确清晰。之所以要如此细致追踪，是因为当前的大学新生刚由中学转入，有些还是很依赖老师的管束，不够自觉，尽管老师可以在课堂的教学中一再说明要自主学习，但部分学生自制力还待逐步提高，还需要老师的适时帮助，否则这部分学生将会跟基础好及主动性强的学生拉开更大的差距，到期考前临阵磨枪就肯定来不及了。

四、考前总复习

期考前，也就是最后一次课，一般会对课程进行总复习，此时再强调，课本内容为主，其他练习为辅。通过练习真正理解课本的理论知识，而不是本末倒置，只顾练习而不重课本理论，练得一题算一题，不知道总结也不知道课本的重心在哪儿。可以分章节讲重点，弄清每章的综合计算题方向，因为大部分重难点都集中在这些题中考核，比如：求解矩阵方程，就考核了矩阵的逆的存在和计算，矩阵的加法、减法和乘法的运算，以及因矩阵乘法的交换律不一定成立而需考虑的左乘右乘问题等。再如，将二次型用正交变换法化为标准形，就涉及二次型对应的矩阵的特征值和特征向量的问题，而求解特征向量又是一个个解线性方程组的过程，其间还有将特征向量正交单位化的处理。由此层层分析后，特别强调其中的一个基础计算――将一个矩阵化成阶梯形和最简形的计算――一定要过关，否则后续大部分计算题将无法完成，因为它们都以此计算为关键的一步。

经过整个环节的把握，只要学生不是刻意不学，一般来说都能顺利通过期末考试，半数左右的学生可以通过自身的加倍努力取得80分以上的优良成绩，以笔者近一年两个学期所带的非数学专业班级参加全校统考（考教分离）成绩结果为例，如表2可以看到改进后的较精细化教学方法带来教学质量稳步提升的效果。

[ 参 考 文 献 ]

[1] David C.Lay 著，刘深泉等译. 线性代数及其应用（原书第3版）――华章数学译丛[M].北京：机械工业出版社，2005.

[2] Mokhtar S.Bazaraa，John J.Jarvis and Hanif D.Sherali. Lin？鄄ear Programming and Network Flows（the Fourth Edition）[M]. Canada：John Wiley & Sons Canada，2010.

篇11

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）46-0193-02

《线性代数》是大学数学中一门重要基础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域.尤其是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为工科学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具.

线性代数的教学内容具有明显的特点：内容抽象、逻辑性强、概念多、定理多、方法多、证明方法独特不易理解，造成了学生“学不会，用不了”的尴尬局面.如何引导学生采用更加有效的学习方法和技巧，熟练掌握《线性代数》的理论知识，并应用到实践中，是《线性代数》教学改革的主要任务.在学习中总结，在总结中学习.

矩阵行最简形是对矩阵作初等行变换之后得到的一类特殊矩阵，它凸显了原有矩阵的核心性质.矩阵行最简形不仅在矩阵运算中使用广泛.借助它，可以更好地解决向量组的线性相关性问题和线性方程组的基础解系.矩阵行最简形的特点为：

1.可画出一条阶梯线，线下方的所有元素全为零.

2.每个阶梯只有一行，阶梯数即为非零行的行数，阶梯线的竖线后的第一个元素为非零元.

3.每一阶的第一个非零元为1，此列剩余元素全部为零[1].

为便于学生分清哪些是选定的量值，笔者在教学过程中要求学生按照右图所示，表明选定的最简列元素，以便后续工作的开展.

在教学过程中，经常有学生问：《线性代数》知识点多，又零碎.不知道如何把握思路和解题方法.本文就矩阵行最简形在《线性代数》中的应用进行总结，帮助学生理清学习思路，整理解题方法.矩阵行最简形是矩阵运算中使用最频繁的式子，它贯穿了整个《线性代数》的知识体系.

一、求矩阵的秩

将矩阵经过有限次初等行变换将矩阵化为行最简形，则最简形中非零的行（列）数即为矩阵的秩.阵的秩是矩阵重要的性能指标之一，在整个《线性代数》理论体系中非常重要.

从上述例子可以发现，利用矩阵最简形可以将有关的运算进行明确的指标化处理，便于学生实际掌握和运用，达到提升教学效果的根本目的.同时，不同的研究问题都通过一种方法解决，也正体现了“万流归宗”的哲学思想，为学生今后的学习和工作提供一定的借鉴.

参考文献：

篇12

中图分类号：O151.2 文献标识码：A

线性代数是高等院校理工科、农科、经管类等各学科的数学基础课，本课程对于提高学生的数学素养，培养学生分析问题以及运用数学知识解决实际问题的能力是非常有用的。但在很多院校，线性代数学时很少，一些院校线性代数学时只有32学时，从而受学时限制，传统的线性代数课堂教学更多地强调直接应用有关的公式和结论进行解题训练。又由于线性代数课程概念多、抽象程度高、逻辑性强的特点，使得很多学生在学习线性代数时感觉比较枯燥难学。那么怎样让学生在有限的课堂时间里，更好地学好这门课呢？笔者结合自己的教学体会，从教师的“教”与学生的“学”两方面，谈谈线性代数教学的几点建议。

首先，对于教师的“教”方面，笔者认为可以从以下几点入手：

第一，激发学生学习线性代数的兴趣。

俗话说，“兴趣是最好的老师”。在每门课的第一次课，笔者都会向学生提出三个问题：“为什么学这门课？”“这门课学什么？”“怎样学这门课？”对于第一个问题的解答，正好给教师提供了机会，可以收集丰富的知识，向不同专业的学生介绍线性代数 ，尽可能地使学生看到线性代数与他们所学专业的联系。因为学生学习基础课时，最关心的问题也就是，“我这个专业为什么要学这门课”。所以，教师在上第一次课时要认真准备好怎样回答“为什么学这门课”。从而激发学生学习线性代数的兴趣。当然，除了以线性代数课程与学生所学专业的联系来回答这个问题外，也可以以学生所熟悉的内容来回答之。比如向学生提问“解方程有用吗？”学生会毫不犹豫地说，“有用。”再进一步问，“二元二次方程会解吗？”学生会笑答，“当然会”!再追问，“那三元三次方程会解吗？”学生会摇头。再一连串地追问“五元三次方程会解吗？ m元n次方程会解吗？” 这时候学生的注意力完全吸引了过来。然后教师适时地说，大家现在当然都不会，但学了线性代数以后，这些问题将会迎刃而解。从而也能激发起学生学习线性代数的热情。

第二， 充分提高课堂效率。

（1）在课堂教学活动中教师是主导。因此教师备好课是关键，而教师备课不仅要“备”教材，还要“备”学生，要明确自己讲授的对象是谁。同样的内容，同样的教材，针对不同专业的学生，由于其对数学的要求不一样，则教师讲授内容的深浅，例题的选取是不一样的，而这直接关系到课堂教学的效果。

（2）保证课堂信息量饱满。在45分钟的课堂教学里，必须保证饱满的课堂信息量。为此，我们可以充分利用多媒体进行辅助教学。比如在讲授矩阵的初等变换时，当矩阵的行数和列数比较大时，如果在黑板上板书每一个经初等变换后的等价矩阵，将会浪费很多的时间，因为每次可能只有一行或一列发生了变化，其它的行列并没有发生变化，这样在黑板上写出所有的等价矩阵，则显得有些繁琐而多余。利用多媒体教学则能很好地解决这个问题，一个矩阵经初等变换到另一个等价矩阵时，只需用不同颜色标明变化的行或列，这样学生一目了然，而且又不失过程的完整性。

（3）引导学生将相似内容进行对比。例如学生在学习矩阵和行列式时，常常将两者相混淆。那么教师可以在讲完矩阵和行列式相关内容后，及时地进行总结。从矩阵和行列式的定义、符号、性质等方面逐一进行对比。从而让学生很好地掌握这方面的内容。

第三， 将课堂教学引申到课外教学。

（1）课外答疑。由于线性代数学时很少，所以课堂时间非常有限。课堂上讲授的知识，学生不一定都能够消化，所以需要课外再安排时间进行答疑。以便更好地了解学生掌握的程度。

（2）开设与线性代数课程相关的选修课。比如可以开设线性代数实验课。由于在线性代数课堂上，介绍线性代数的应用不多，所以很多学生对线性代数知识的应用知之甚少，大部分学生对数学软件也是知之甚微。许多学生学习线性代数也只是被动地、机械地学习。从而学生不能很好地综合运用线性代数知识解决相关的专业问题，不能很好地实现数学为专业服务的作用。开设与线性代数课程相关的选修课，将会提高学生学习数学的主动性，培养学生综合运用数学知识和数学软件解决实际问题的能力。这样也会促进传统的线性代数课堂教学。

其次，谈谈学生的“学”。在线性代数的教学活动中，学生是“主体”。教师的“教”也是为学生的“学”服务的。笔者认为学生需要做好“预习、听课、复习”三环节。

（1）预习阶段。线性代数课程具有概念多的特点，如果不提前预习，每次上课时都是一个一个新的术语，以至学到后面有些学生重则感觉是在听“天书”，轻则总把概念弄混淆。所以，学习线性代数课程，预习是非常重要的。在预习时，学生需要知道这节的主要内容是什么，哪些地方自己看不明白或不能理解，将这些地方做上记号。听课时才会有的放矢，做到心中有数。

（2）听课阶段。这个阶段是三环节最重要的一个阶段。在听课时，学生需要跟着教师的思路，不能滞后。要“会”听课。有些学生上课时感觉能听懂，结果课后一做题发现不会做。这说明，上课时并没有真正听懂，没有听到本质的东西，也没有学会如何去分析问题解决问题。另外，在教师安排的互动环节，需要与教师配合好。哪怕对老师提的问题回答错了也没有关系。因为教师通过错的答案也能获知学生掌握的程度，为教师下一步的讲授提供信息。

（3）复习阶段。在线性代数课程的学习过程中，这个环节是必不可少的。学生必须通过做一定量的习题，来将相关内容进行消化和巩固。并且做习题时，不要拿到题目就直接照着书上例题“依葫芦画瓢”，而应该在真正弄懂相关概念后再开始做题，并且需要善于总结解题规律，学会举一反三。有些学生在学完线性代数后，感觉线性代数似乎并不难，甚至考完后还觉得挺简单，结果成绩出来发现不及格，究其原因，就是平时的学习中，仅仅知其然而不知其所以然，对知识点似懂非懂，遇到题目，感觉能动笔，却不能真正解决。

参考文献