大学线性代数知识点范文

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【摘要】本文结合多年来教学与研究的实践，着重从教学内容和教学模式的改革入手，探讨了新建地方本科院校非数学专业线性代数教学改革的重要意义。

关键词 线性代数；教学改革；地方本科院校

0　前言

线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。通过线性代数课程的学习，应使学生获得线性代数方面的基本知识（基本概念、基本理论、基本方法）和基本运算技能，为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的离散量方面的数学基础。在传授知识的同时，要努力培养学生进行抽象思维和逻辑推理的理性思维能力、综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，逐步培养学生的创新精神和创新能力。

为了不断提升线性代数教学质量，提出如下教学改革策略。

1　精选教学内容

对于非数学专业的学生学习线性代数，只要求掌握计算及其在专业上的应用，而对于有关定理的证明并不作太多要求，只要能记住定理的内容，会用就可以了。因此，在教学时要尽量避免从头到尾讲授一些理论知识的来龙去脉，而是在讲授理论时，将通俗易懂的实例穿插其中，既让学生理解知识点，又提高了学习兴趣。如果教师在上课时将各知识点通讲一遍，效果不好。因此，在教学中，应抓住各知识点之间的内在联系，精选教学内容，从矩阵这一重要概念入手，运用矩阵的初等变换，重点讲授向量的线性相关性、线性空间、线性变换、矩阵的相似对角化、解线性方程组等内容。在教学安排上，应做到博览与精读相结合，主次分明。

2　改革教学方法和手段

线性代数相对于其他学科而言，更加抽象难懂；而运用恰当的教学方法和手段，会收到事半功倍的教学效果。

2.1　比较法

前苏联教育家乌申斯基曾说过：比较是一切理解和思维的基础。有比较才有鉴别。在教学中，遇到学生难以理解、又易于混淆的知识点时，引导学生进行比较，找出知识点之间的差异，会收到较好的教学效果。

2.2　启发式教学

启发式教学是一种积极的双向教学方法。在对非数学专业学生进行教学中，教师只要抓住关键的几步，由浅入深，由表及里，突出重点，化解难点，最终达到教学目的。

2.3　合理引进多媒体教学

“一支粉笔、一份教案、一本教材”的传统的教学方式，板书量大，书写速度慢，在有限的学时内完成教学任务。教师只能拼命写、不断讲解，下课后普遍感到疲惫，教学效果也不一定好。线性代数的计算过程很多部分是重复再现，大部分理论的证明过程，对于非数学专业的学生来说不需要掌握，只要能用就行。因此，在教学中恰当地引入多媒体，展现理论的内容，再现重复部分，既可以丰富教学手段，使一些枯燥无味的教学内容变得生动、形象、具体，又可以避免重复劳动，减少课堂板书，提高工作效率。如：行列式的计算、矩阵的初等变换等，重复内容太多，不书写学生又不易明白；而采用多媒体教学，可以将重复内容直接再现，讲清步骤即可。

3　教师在规定的学时内合理安排教学的主要内容及重点

切忌贪多求全及平均使用力量和时间，在教学组织上狠下功夫，形成精炼的课堂教学内容，甚至在备课环节把讲授时所用的语言都准备好。抓住主要问题形成精炼的讲授内容。对教学内容须分清主次，从而以基本概念、基本理论、基本方法等主要内容为核心形成精炼的内容。对这些内容，保证学时，讲透彻。而其它内容，应根据学生的实际情况，可简明扼要地讲解，或者在教师引导下学生自学。教师要注意运用精炼的表达，对讲授的语言、板书的运用都讲究精炼。除此之外，将多媒体技术引入教学中来，提前准备好教学课件，把书写冗长的定义、定理的时间节省出来，用于解释定义的背景、定理的证明及应用，把宝贵的课堂教学时间充分利用起来。

4　构建合理的线性代数教学内容和体系结构

线性代数教学内容和体系结构的设计取决于对线性代数内容的本质的理解、对线性代数课程在人才培养中的地位和作用的认识。“矩阵是线性代数研究的基本代数对象。按照矩阵的观点，线性代数是研究矩阵在各种意义下的分类问题及标准形理论。” 因此，可以把矩阵理论作为核心内容和主线，来组织、展开线性代数的各部分内容。

5　进一步突出数学思想方法的教学

日本著名数学教育家米山国藏曾指出，学生所学到的数学知识在进入社会后如果没有什么机会应用，那么这种数学知识在出校门一两年内就会忘掉。然而，不管他们从事什么业务工作，那些铭刻在大脑中的数学精神和数学思想方法会长期地在他们的生活和工作中发挥作用。 因此，数学思想方法教育是数学教育的根本点，线性代数中充盈着丰富的数学思想方法。通过学习线性代数，锻炼和培养学生的抽象思维、逻辑思维和空间想象能力，使学生掌握严谨、科学的思维方法，具备较强的观察、分析、解决问题的能力。因此，在线性代数教学中应进一步加强数学思想方法的教学。

总之，线性代数的教学改革是一个很重要的课题。线性代数在不同的专业中有不同的应用形式，我们要从中寻找它们的共同的特点，并根据不同专业在教授线性代数时给出相应的灵活性的变化。整个教学改革需要教师精心设计和实践，我们将进一步探讨有关线性代数的教学改革，使得线性代数的教学能够更加完善和成熟，为培养具有现代高素质高水平的大学生而努力。

参考文献

［1］同济大学数学系.线性代数[M].北京:高等教育出版社，2007.

［2］万中,刘楚中,罗汉.结合人才培养目标谈高等数学教育改革[J].数学理论与应用,2001(4):108-111.

［3］毛纲源.经济数学(线性代数)解题方法技巧归纳[M].武汉:华中理工大学出版社,1998.

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［5］教育部数学与统计学教学指导委员会.工科类本科数学基础课程教学基本要求[Z].高等学校理工科教学指导委员会通讯,2006.

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［7］刘凯年.数学思想方法与高师学生数学素养的提高[J].数学教育学报,1998,(3).

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O151.2-4

线性代数是大学里的一门重要基础课之一，是理工科、经济管理类大学生的必修课，对培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力、分析问题及解决问题的能力都有极其重要的作用。线性代数的教学质量也是衡量一所大学基础课教学质量重要的一方面，因此上好线性代数课程具有重要意义。

一、目前线性代数课程教学中存在的主要问题

在高等教育愈发大众化的今天，越来越多的高中毕业生能够进入大学进行深造，随着学校在校生规模的扩大，目前线性代数课的教学主要存在以下几方面的问题：

1.紧张线性代数课程大班化

一些高校特别是地方高校师资相对紧张，导致一些基础课程上课大班化。现在线性代数课程少则100多人，多则近200 人一起上课，上课效果可想而知。在这种上课环境下，任课老师不可能照顾到每个学生，基本上只能按照自己的课时安排去讲课，很难和学生形成互动，即使得到学生有关课堂教学的反馈也很难予以及时有效的响应。

2.学生的基础知识整体水平有欠缺，对线性代数课程存在畏难心理

线性代数一般安排在大一的下学期开课，这学期对于理工科学生来说学习任务最重，一般同时学习高等数学、线性代数、计算机程序设计、大学物理学等几门主要基础课。虽然学生已经学了一学期的高等数学，但是因线性代数和高等数学的思维方式差别较大，线性代数的内容更加抽象，很多大一学生特别是文科生，对线性代数有惧怕心理，总认为自己没有能力学好怕期末考试不及格等，从而丧失学习线性代数课的信心和主动性。

3.多媒体教学手段的使用不当

本来利用先进的多媒体教学可以提高学生的兴趣，使课程中有些较抽象的知识点以直观易理解的方式传授给学生，但是有些老师把多媒体当做自己主要的甚至是唯一的教学手段，很少板书或没有板书，时间长了就对多媒体课件产生依赖性，离开课件就不能讲好课而学生看课件如同走马观花，稍微走神则课件已经翻页，来不及消化理解，结果一堂课下来什么知识点也没有理解和掌握。

4.学生对课本相应的知识点理解不够深入

课堂上经常出现一听就会，一做就错的情况。虽然课本都有相应的例题和习题，但学生对知识点的理解仅局限于书上有限的例子，缺少相应的课外练习，以致对所学知识理解不深，掌握不牢。

5.理论联系实际能力不足

学生运用所学知识解决实际问题的意识不够，特别是把所学数学知识和实际生活中的问题相联系的能力以及运用计算机数学程序软件来求解数学题的能力不足。

二、问题对策

针对以上问题，笔者提出了以下相应办法来提高线性代数教学效果：

1.建h采取中小班化教学，考虑到师资方面的实际情况，以30-60人为最佳规模。如果因为师资条件、教室等软硬件资源所限不得不大班上课，也应控制在100人以内为宜。同时应增加师资配备和硬件建设，逐步达到小班化教学，从而保证良好的教学效果。

2.任课教师首先应该提高学生自信心，培养学生学习线性代数课的兴趣。可以通过与学生分享老师自身求学时期的学习经历和体会等方式来树立学生学好该门课程的信心，同时举例说明线性代数的实际用途来提高学生的学习兴趣。在平时讲课中可以提前指出下一节课需要课前预习的重点内容，以便学生预习更有针对性。

3.合理使用多媒体课件等多种教学手段，多媒体课件只是教师课堂教学的辅助手段，必须适时、适度合理地使用，例如讲解旋转变换矩阵作用时，可以通过多媒体课件以非常直观的形式帮助学生理解旋转变换矩阵的概念；而在讲解有关矩阵对角化和正交化等内容时，则应更多地使用黑板板书来展示有关公式和定理的推导过程，引导学生的思路，充分发挥学生的主观能动性。

4.对学生可能会出现的问题和错误，课后要及时给出有针对性的辅导。在布置课后作业时，除了一些要求必须掌握的基本题型以外，还应给出一些学生易错、易混淆的思考题作为课后作业。对学生作业出现的一些共性问题，应及时在课堂给予讲解，加深同学们对相关内容的理解。

5.培养学生数学建模的能力和使用计算机求解问题的能力，例如利用 MATLAB和MATHEMATIC等软件求解可逆矩阵、正交矩阵等，引导感兴趣的学生课后自学相关内容。

三、结语

提高线性代数的教学质量是一项长期而艰巨的任务，既需要教务部门的高度重视和支持，也需要任课教师不断创新，更新教育教学理念和技巧，只有这样才能提高线性代数课程的教学质量和效果，从而提升学生的数学素质和综合能力。

参考文献

[1]同济大学数学系 工程数学线性代数[M]， 北京：高等教育出版社 2007

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【关 键 词】线性代数；实践；基础

中图分类号：G42 文献标识码：A 文章编号：1005-5843（2013）05-0149-02

美国的线性代数教育从1990年开始，进行了一次大的改革行动，他们的线性代数课程研究组和工程界的代表组织了一次大会，提出了以下的主要建议：（1）线性代数课程面向应用，满足广大非数学专业学生的需要，（2）它应该是面向矩阵的，（3）它应该是根据学生的水平和需要来组织的，（4）他应该是利用新的计算技术的。从这里，我们能看到线性代数的教学活动和以往有了较大幅度的变化，它突出了应用和新技术相结合的思想。这也恰恰是我们的传统教学中存在的最大问题。

我校是以培养应用型本科人才为主的工科院校，培养学生的数学素质和数学应用能力是课程的教学重点。为此，我们确定进行课程改革的指导思想，强调科学计算势在必行，计算机技术的发展已经对人类的社会生活产生了巨大的影响，最显著的功能就是高速度进行大量计算，这种告诉计算使得过去无法求解的问题成为可能，而科学计算已经成为与理论研究、科学实验并列的科学研究的三大手段，在工程和实践中有着广泛的应用，同时线性代数除了培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、基本运算能力之外，还包括数学建模能力和数值计算能力，会用数学方法解决初步问题，会用计算机解决一定的科学计算。

线性代数课程中很多部分的知识都有着很好的应用背景，为了培养和调动学生的学习兴趣和学习热情，我们除了在课程的理论教学之中渗透应用的内容外，同时专门开设了大学数学实验课程，并安排线性代数的实验学时。

美国大学的线性代数讲解的比较浅，很多结论不给出证明，某些知识点也不要求讲得彻底，但是比较重视工程师用于计算，一些名牌大学讲的知识点很多，并且难度也比较大，但是共同点都是注重线性代数和其他学科的联系，注重应用和计算。

教是教学过程中的导引，弱化教学过程中教对学的高压灌输，不应过分强调教学过程中教的权威性，而是应该更多地参与学生的学习过程，通过与学生的讨论与交流，了解学生的掌握程度，引导学生进行探索和研究。坚持教师在教学中的主导地位和学生在学习过程中的主体地位，教学的核心目的是让学生接受教师传授的知识，教师通过认真的备课深入专研教材，对课程全面的掌控，挖掘课本外的内容，查找其他领域里线性代数知识的应用背景，丰富课程内容，寻找素材，积累资料。教学中，我们首先是讲解线性代数的课程学习方法，让学生对这门课程先有个大概的认识，通过密码加密、狗的营养膳食搭配、交通分流等实际问题，先调动学生的学习热情和兴趣，消除学生在心理上对这门课程的恐惧感，让学生在轻松的状态下进入课程的学习，营造好的学习氛围，为学习打下铺垫和基础。通过引入大量的应用实例，涉及到通信、电路、数字信号交通流量投入产出、常微分方程、多元函数极值等，学生明白了线性代数在诸多领域的广泛应用，增强了学习动力。

在课程的教学中，注重课程自身的系统性和科学性，线性代数的课程体系中主要讲解行列式的计算，矩阵的运算，线性变换，解线性方程组及特征值、特征向量和二次型这些知识，各部分知识之间的脉络是清晰的。在教学的设计中，充分考虑各部分内容的连续性，在讲解的时候，重点和难点要格外的下功夫，让学生吃透弄懂，加强概念与理论的背景和应用介绍，通过对实际问题的讨论，帮助学生更好地理解抽象的代数概念，同时安排和布置一些简单的应用题，让学生们分组去讨论解决，这有利于学生团结协作能力的培养和团队意识的建立。

计算机的快速发展，带动了计算数学和应用软件解决数学问题的发展，我们在课程教学中，结合课程内容，引入数学建模的思想，渗透利用数学软件进行数学实验的方法，同时通过一些具体问题的计算，帮助学生对一些抽象的概念进行理解，加深对代数理论知识的认识，向学生展示如何将代数理论和数学软件相结合，应用于实际问题中。

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中图分类号：G424 文献标识码：A

线性代数是高校理工科及经济、管理等专业普遍开设的一门公共必修课程，同时与其他数学基础课程相比较，线性代数课程的特点是知识点琐碎、概念符号及定理公式多，内容抽象而具体实例少，使得学生在学习这门课程时普遍感到有一定的难度。因此在教学过程中教师不仅要帮助学生理解和掌握线性代数的基本知识，同时也要转变其固有的思维模式，逐步培养其抽象思维能力和逻辑思维能力。

1 重视主线教学，以此建构知识点关联，培养学生的逻辑思维能力

线性代数的内容主要包括行列式、矩阵、线性方程组、向量、二次型、线性变换和线性空间。在教学过程中可以任意模块为中心展开进行讲解。鉴于大学一年级是中学教育阶段与大学教育阶段的“接口”，学生入校还没有适应大学的生活，也没有相应的代数和几何方面的知识做铺垫，因此选择以线性方程组为中心，这种结构符合系统性、科学性，而对于初学者来说更易于接受。以线性方程组为核心即认为线性代数的基本问题或研究对象是线性方程组，线性方程组主要包括以下三方面内容：（1）判断线性方程组有没有解，即解的存在性问题；（2）若方程组有解，是唯一解还是无穷多解，即解的唯一性问题；（3）若方程组有无穷多解，解之间的关系怎样，即解的结构问题。

围绕线性方程组辐射于各章，引出行列式、矩阵、向量等的概念和理论，由此理清章节关系，整体把握该课程内容，培养学生的逻辑思维能力。

2 重视概念教学，由浅入深系统培养学生抽象的思维能力

线性代数课程明显特点即知识点零碎，怎样把知识完整而又具体地传授给学生是摆在教师面前的迫切问题，教师不仅要对这门课程整体上有把握，弄清各章节之间的关系，而且还要对琐碎的知识进行重组加工，使得它脉络分明，重难点突出。众所周知，线性相关性是向量的最基本的关系，而它本身又是线性代数中非常抽象的概念。可以先从平面上两个向量的共线和空间中三个向量的共面谈起，借助中学所学的知识唤起学生的共鸣，有了这些铺垫之后，线性相关性概念的理解也就达到呼之欲出的效果了。由特殊到一般、由具体到抽象，使学生从最低的门槛进来，从高门槛出去！这样逐步培养学生的抽象思维能力。比如线性变换是线性代数的重要概念，从中学所学的数的运算着手，介绍向量和矩阵的运算，而这些运算都归结为加法和乘法两种运算，这两种运算以线性关系反映在图形上，这样使学生有了“线性”的初步认识，同时线性变换就是一种映射，而映射在不管是在中学数学，还是高等数学里都有了详细介绍，因此有了这些背景之后对线性变换的理解就更具体了，没有铺垫的概念学生是理解不透彻的，没有背景的定义是野蛮的“被定义”！在教学过程中不断地培养学生能从大量具体的事物，抽象出它们的共性的一种归纳总结的数学素质。

3 重视实践教学，培养学生的动手能力、创新能力

线性代数是一门古老而又年轻的数学学科，称其古老是因线论可以追溯到柏拉图的四艺：算术几何天文音乐；孔子的六艺：礼乐射御书数。称其年轻是因线性代数的计算于20世纪60年代伴随着计算机技术的发展才蓬勃发展起来的，使得线性代数的应用扩展到越来越多的领域。应运而生的MATLAB数学软件拓展了线性代数实际应用的范围，比如逆矩阵在保密编译码中的应用、交通流量的分析、建立信号流图模型等实际问题在MATLAB的环境中都有科学的分析及解决。

4 重视教师研究水平，逐步培育学生对科学的浓厚兴趣及主动获取知识的能力

5 教师的全心投入教学是使教学内容生活化、教学过程有趣化的前提条件

兴趣和爱好是最好的老师，学生往往注意那些能引起兴趣的形象和读物，而对那些缺乏兴趣的东西不愿注意。而教师的用心教学会捕捉到很多教学内容生活化的素材，增加教学过程的趣味性，提高学习的积极性。在讲解逆矩阵的内容时，巧妙引入《潜伏》中的接收电报、破译密码的剧情，恰当地介绍逆矩阵在保密编译码中的应用，使得抽象内容生活化，教学过程有趣化。在讲解特征值特征向量理论时，结合Google搜索引擎的优越性，Google 搜索引擎的显著优点是它搜索所得到的条目是按其重要性（主要指相关性和有用程度）排列起来的。这是得益于它的创始人Sergey Brin 和Larry Page 首创的Page Rank 算法，而支撑该算法的就是矩阵的特征向量理论。通过这些兴趣点的刺激，笔者相信学生对相关知识的掌握应该能达到预期效果。

参考文献

[1] 陈维新.线性代数（第二版）[M].北京：科学出版社，2007.

[2] 同济大学数学系.工程数学教研室.线性代数（第五版）[M].高等教育出版社，2007.

[3] 张志让，刘启宽.线性代数与解析几何（第二版）.高等教育出版社，2009.