小学数学建模论文范文

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二、学生对简化的问题进行求解

第三步，就是要给刚才列出的方程，进行变形处理，变成学生熟悉的，易于解答的算式，如上题可以通过乘法分配律将等式写成120x=270，利用乘法算式各部分间的关系，积÷一个因数=另一个因数，得x=2.25。有的方程并不是通过一步就能解决，这时就显示了简化的重要性，需对方程进行一定的变形、转化。

三、展示和验证数学模型

当问题解决后，就要对建立的模型进行检验，看看得到的模型是否符合题意，是否符合实际生活。如上题检验需将x=2.25带入原式。左边=65×2.25+55×2.25=270，右边=270。左边=右边，所以等式成立。在这个过程中，可以体现出学生的数学思维过程与其建模的逻辑过程。教师对于学生的这方面应进行重点肯定，并鼓励学生对同学间的数学模式进行点评。一般而言，在点评时要求学生把相互间的模式优点与不足都要尽量说出来，这是一种提高学生对数学语言运用能力与表达能力的训练，也能让学生在相互探讨的过程中，得以开启思路，博采众长。

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二、数学建模教学的改革举措

1.加强宣传。为了让更多的学生了解数学建模，可通过纸质媒体、电子媒体进行宣传，还可通过组建学生数学建模协会开展活动广而告之，还可通过在高等数学的教学中融入数学建模的案例，让学生初步了解数学建模及其特点，产生学习数学建模的兴趣。2.分类开课。为了让更多学生受益，虽有竞赛任务，数学建模选修课还是不应限定选课学生范围，比如只限定一年级学生或者有意参赛的学生，而应面向全体学生开设，又考虑到选课的学生不全是以参加竞赛为目的，不全是对数学建模感兴趣，甚至有些是因为没得选而又必须完成选修课学分的要求，可将选修课班级分“普及班”和“竞赛班”两类供学生选择，既满足学生选课的需求又兼顾竞赛的需要，对不同班级提出不同的教学要求。3.优化教学内容。在选择教学内容时，应注意如下几点：一是模型类型不宜太多，不要搞得太复杂，比如只讲初等模型、简单的优化模型；二是模型数量不宜太多，以4-6个为宜；三是难度不宜太大，还应循序渐进，内容最好为学生了解、喜闻乐见，所选模型应有利于培养学生求异思维、创新思维；四是加入数学软件的教学，让学生“玩起来”，初步学会数学软件的使用，体会数学建模与普通数学的不同之处，体验到数学的用武之地。4.改进教学方法。传统的讲授式教学法，学生一般处于被动状态，不利于发挥学生的主观能动性，而要学好数学建模需要学生主动积极参与，更多参与到教学过程当中来，因此应该采用任务驱动教学法、互动式教学法、研讨式教学法等。

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所谓数学建模就是指针对现实生活中所存在的实际问题进行必要的简化提炼假设下以抽象为数学模型，并运用各类数学方法（数学工具与计算机技术）验证该模型合理性并将该模型所提供的结论来解释现实所存在问题的过程。

一、高校数学建模存在问题

1.突击式教学

国内外的建模竞赛引发高校数学建模的迅速发展，大量学校在数学建模教育没有得到全面普及的情况下开办了建模培训班以期在最短时间内培养学生的建模思维，这就导致了大量功底不扎实（建模需要学生具备专业数学的基本知识与计算机编程能力）的学生因备战而进行时间短、任务重的突击式学习，此外，学校为使学生在最短时间内掌握全面的知识每天都更换教学内容，学生的头脑一直处于被动的填充状态，很难吸收融汇所学知识并进行个人创新。

2.理论式教学

高校数学以“高等数学、线性代数、概率统计”为基础数学理论课程，教学过程中主要讲解“定义、定理、性质、计算”四大块，属于一个较为完善的理论教学体系。数学建模属于新型教学课程，是凌架于基础理论之上的“简化、抽象”具有自身独特思考方式能解决实际问题的数学手段，而目前高校数学建模课程被定位为“数值计算方法+方法简单应用” [12]课程，数学建模教学大多依据基础数学理论式教学模式进行教学安排着学生进行学习与训练，以载入书籍的定论进行教学极其容易让学生形成默认与接受式学习，建模教学是培养“数学思维、数学思想”开拓创新的数学精神而并非学习理论会写公式就能解决问题的，理论式教学不仅导致学生只能被动的学习与训练，也扼杀了建模本身的灵魂导致建模本身再无创新。

3.两开式教学

目前高校数学建模往往采用理论课与上机课分开的两开式教学，教授理论的教师有着清晰的思维、完备的理论、得体的教学，但对于学生所问及的复杂计算求解过程，教师往往会安排在上机课时为其演示解答，但理论教师与计算机教师并非一人担任，对于教授理论的教师所遗留的问题计算机教师并不了解，这较导致了学生的学习过程被分化为“纯理论+纯计算”的两开式学习，在进行数学建模时往往模型很好学生却不知如何去解这样的问题时有发生。

二、高校数学建模改革方向

1．转变教学指导思想，实现知识本位到能力本位的转变

数学建模能够帮助学生将数学理论知识与实际问题有效结合增强学生解决实际问题的能力，包括学生感兴趣的“经济、控制、化学、物理、生态、航天、医学”等各学科的各类模型。这就需要高校数学教学转变以往“紧扣课本、围绕理论公式”的封闭式教学指导思想，通过提升学生的学习兴趣来培养学生创造性思维能力，教学中需要重视学生正确分析计算与推理的能力，让学生通过运用数学语言定理方法去找寻问题的内在规律，从而建立实际有效的模型。教师在教学过程中应注重培养学生的发散思维，鼓励与引导学生结合各门学科知识，通过多种途径方式寻找多个解决实际问题的答案，从而实现知识本位到能力本位的转变。

2．打破传统单一教学方法，实现教学方法的全方位转变

作为开拓性教育的数学建模要求学生具有“丰富的数学综合知识、高度的抽象概括能力、熟练应用各类应用软件的能力” [3]。对此，教师应该打破传统单一教学方法，实现教学方法的全方位转变，例如在教学中通过借鉴各类数学模型（穿插相关生动具备启迪性数学模型）来丰富教学内容。教师在教学中可以打破以往黑板加粉笔的模式，合理运用多媒体教学来提升学生的兴趣，通过为学生介绍演示相关数学软件的应用方法来实现教学与实验的合理结合，引导学生主动参与进行动手编制解决问题，并重视训练学生实际运用计算机与相关软件处理问题的能力。

3．适当增删原本教学内容，增加数学实验内容教学

伴随计算机技术的日益普及与发展，高性能的数学软件陆续问世（Matlab , Maple），数学建模对学生应用数学理论知识解决世界问题的能力有了新要求，也就不再需要原本教材中所讲述的需要依靠特殊技巧处理的的计算机教学内容[4]；原本的概率论与数理统计课程中的重点内容为概率论部分，而数学建模因是从培养学生解决实际问题出发，因实际需求对概率论部分内容要求较少而对数理统计内容要求较多，同样在教学中需要重新对此进行合理的安排。此外，还应开设如运筹学等较为实用的课程。

数学实验属于新型教学模式，它能够将“数学知识、数学建模、计算机应用”三者进行有效融合，学生通过数学实验能更深入的对数学基本理论知识进行了解并熟练运用相关数学软件，即学生以数学实验的具体问题为载体、以计算机软件为工具通过积极思考与主动参与建立数学模型解决实际问题。

三、结束语

数学建模具有“内容的高度抽象概括性、需求知识和能力的综合性、解决问题的广泛应用性” [5]等优势，作为一种重要的实验教学方式，数学建模不仅促进了数学与其他学科的有效融合，更是提升了学生运用理论知识来解决实际问题的能力。高校数学建模实施后大量的传统教学思想与方法面临了严峻的挑战，现行的教育理念、方法等已无法适应数学建模的要求，教学改革已势在必行。

参考文献

[1]周丽.略论数学建模教育与高校数学教学方式改革[J]. 南昌教育学院学报. 2011(03)

[2]潘克家.高校数学建模课程改革的几点建议[J]. 科技资讯. 2011(24)

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关键词：

小学数学；建模；教学

一、数学建模思想及其意义

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象，简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段，其对于学生学习数学具有非常积极的意义。首先，通过培养学生数学建模的能力可以开拓学生的思维能力，使学生在思考问题时思维更为发散，反应更加敏捷。其次，由于数学建模对于教师和学生来说都是相对新颖的教学方式，可以很大程度上调动起学生的积极性，加强学习效果。同时因为数学建模最主要的意义在于解决实际问题，因此教师在教学过程中运用数学建模思想，可以培养学生的应用意识，提高其利用所学知识解决实际问题的能力。

二、数学建模在教学中存在问题及原因分析

1、存在问题

教学目标不够明确。由于数学建模对于大部分教师来说也是一个新领域，因此许多教师在教学设计中对于什么是数学建模，如何让学生了解建模思想，如何让学生能够使用建模思想解决实际问题存在模糊的地方，对于学生应该掌握到什么程度，即数学建模教学的课堂效果也没有明确的目标，例如教师在讲解“线段图”时并没有将其作为数学模型来考虑，而仅仅是讲解知识点让学生掌握画线段图的能力，而没有对其进行数学模型思想的渗透。这就难免会导致教学难以获得良好的收效。教学环节单一陈旧。课程导入，知识点讲解，练习巩固，课堂总结，这种传统而单一的课堂形式已很难引起学生兴趣，即使教授的内容是数学建模这一相对新颖的概念，枯燥的环节也很难带来实际的收效。再者，部分教师在教学过程中只是使用课本上的例题进行讲解，而没有运用生活中的具体事例进行举例和引导，这既与数学建模的思想相悖，又不能提高学生的积极性。

2、原因分析

造成数学建模在实际教学中难以有效开展的最主要原因，我认为是教师自身的建模思想相对薄弱。一些教师教学中大多依赖于以往的教学经验，对新概念没有认真学习掌握，也没有观摩其他人的教学，导致自身的教学没有得到更新，没有相关的教学经验，在目标设计、方法选择、事例选取等方面也就难以满足教学要求，从而导致建模教学效果差。

三、数学建模教学方法探讨

1、创设生活化情境

要想充分利用数学建模的思想和方法，首先还是要考虑到小学生的数学基础以及其对于事物的认知能力。数学与生活息息相关，因此，创设出一个生活化的情境对于小学生掌握数学建模的思想和方法是一个很好的选择。选取与日常生活紧密联系的问题与事例，例如：植树问题，站队问题，分配问题等等。通过这样学生们熟知的问题进行数学建模的讲解，不仅能吸引学生的兴趣，提高其积极性，而且因为易于理解，可以很大程度上加强学生的理解，使得教学收到良好的效果。

2、注重实践，让学生亲身参与到模型建立的过程

实践是最为直接的教学方式，也是最易于学生理解记忆的教学方式。在数学建模的教学中也是如此，让学生亲身参与到模型的构建当中，引导其积极地进行思考，结合老师总结出的数学模型可以更为直观具体的传授给学生。例如植树问题，要在全长100米的小路上栽种树木，每隔10米栽一棵（两端要栽），问一共需要栽多少棵树。学生很容易得出100÷10=10（棵）的错误结论。而若想纠正学生这一错误结论，单纯的讲解远不如利用数学模型直观且简明易懂。让学生通过“线段图”帮助其进行思考，总结出一般规律后在较短的距离上进行验证，从而最终建立起建立一条线段两端栽树的问题的数学模型：棵数＝间隔数＋1。这样让学生自己参与到数学模型建立的过程中的方法，不仅有利于其更好的了解问题，解决问题，更有利于培养其利用数学模型进行思考的能力，为更深层的数学学习奠定良好的基础。

3、引导学生利用数学模型解决实际问题

任何学科最终的意义都是作用于生活实际，数学建模的教学也是如此。运用数学模型高效地解决实际问题，不仅有利于学生更好的理解数学模型，还可以使其学以致用，培养其利用所学知识解决实际问题的能力。因此，小学数学模型教学实践中，教师不仅应教授学生构建数学模型的方法，更应该鼓励学生学以致用，培养其将理论落实到实践的能力。建立数学模型实际上就是将问题中的数量关系用恰当的数学语言表达出来，通过合理的分析，列出正确的数学表达式，从而得出正确结论。例如：：有一块平行四边形的麦田。底是250m，高是84m，共收小麦14.7吨。这块麦田有多少公顷？选取日常生活中的问题激起学生兴趣，使其不断调动起已有知识，理解题意，找出相关数据，然后利用数学模型平行四边形的面积S=ah，其中a=250m，h=84m，从而得出S=250*84=21000（平方米）的结论。类似这样通过将理论与实际相结合的训练，让学生体会到学习的乐趣，提高其学习积极性，感受数学模型的实际作用，增强利用数学模型解决实际问题的意识。

四、结语

综上所述，在小学数学的教学过程中加入数学模型的方法和思想的教育是必要的。随着教学改革的不断深入，教育已不仅仅满足于书本知识的书面考查，更多的是注重学生的思维及实际运用的能力。而数学建模能够打破传统数学教学模式，并注重思维培养与实际运用。因此，在小学数学的教学过程中应有意识的注重数学模型的教学，采取灵活多样的教学方法，创设生活化的情境，鼓励学生亲身参与到数学模型的构建活动中，使其在学习过程中更好地理解和利用数学知识，真正做到学以致用。

参考文献：

[1]李祥立.数学教育：澳门教育文选[M]中国社会科学出版社.2012

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1引言

随着新课标的改革，小学数学教学不仅仅是传授给学生数学知识，更重要的是培养小学生基本具备运用数学知识解决实际问题的能力，这在小学教学中最为明显的标志就是应用题的解答。解题是学生必不可少的学习行为之一。数学应用题解决与学生创新意识和创造性数学思维能力的培养都有着密切的关系。解题过程既是对学生知识再现水平的检查，也是对学生信息收集能力、知识应用能力以及解决问题能力的培养和提升过程。数学应用题以它独特的魅力一直是众多一线教师培养学生应用意识和提高解决问题能力的重要载体，是联系数学理论与实际生活的桥梁，在数学素质教育实施中发挥重要的作用。但是，很多国内外的调查研究表示，学生在解答现实生活背景很强的应用数学问题时，都会产生一些这样或那样的障碍。所以研究小学生解答应用题产生障碍的因素就成为了一个十分有必要的问题。

2小学生数学应用题解题障碍相关概念的界定

对于数学应用题的概念，现在文献没有统一和明确的说法，大多数都是从应用题的构成元素、特征和功能几个方面来界定。如：数学应用题，是以语言文字形式呈现的含有情节内容的数学问题。对于“问题”，很多学者认为“问题”是一种期望与实际情况间的差距。而心理学上认为，“问题”是一种情境，而这种情境不能直接用已有知识处理，而必须间接的合理利用已有知识才能够解决。可见，问题是强调障碍的存在的，也就是说，从初始到目标的过渡是需要付出努力的。所谓问题的“障碍”，是指问题的解决不是直接的、显而易见的，必须间接地通过一定的思维活动才能找到答案，确定目标状态。

3小学数学应用题所具备的特点

在数学学科漫长的发展史中，数学问题的最初来源是现实生活，正是由于人们的好奇心作为原始动力和对社会实践的需要，抽象出许多数学问题，这类问题通常是人们在生活中遇到的问题，可以称为“实际问题”。如果我们把实际问题中情境和条件用文字语言进行复述，即形成了一种特殊的数学问题，这类数学问题具备以下的特点：

3．1以人们的实际生活背景为源泉

3．2用文字语言转化成一种具有鲜明数学学科特征的模型

3．3这个模型用系统论的观点来考查是一个问题模型，有一些“障碍”需要我们用行动来解决

3．4解决“障碍”的方法是把“实际问题”打的模型转化成“纯数学问题”，当然这种转化要求我们要透彻的理解“实际问题”中的各种数量关系和内容。

4数学建模与解答数学应用题

通常说到解答数学应用题，人们都会想到数学建模。确实，想要解答数学应用题必然经历一个数学建模的过程，而且从联系数学学科和实际生活这一点上来说，二者的功能并没有多大差异，都能够增加学生的应用意识，训练学生应用数学知识解决实际问题的能力。但是数学建模与解答数学应用题并不是完全等同的一回事，二者存在着本质的差异。对于数学建模的概念的界定，专家有明确的定义。数学建模就是应用建立数学模型来解决各种实际问题的方法，也就是通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，并应用某些“规律”建立起变量、参数间的确定的数学问题（也可称为一个数学模型），求解该数学问题，解释、验证所得到的解，从而确定能否用于解决实际问题的多次循环、不断深化的过程，它最重要的特点是接受实践的检索、多次修改模型，渐趋完善的过程。［2］简言之，数学建模是数学应用题更高的一个层次，小学生的数学建模需要从应用题做起。

5小学生在解答应用题的心理过程

通过前面的阐述我们可以知道，由于应用题本身的特点决定，相对建立数学模型的过程而言，解答数学应用题实际就是一个简单的数学建模的过程。而对于应用题来说，不管是题干的背景信息还是图表等信息，都已经帮助解题者提前进入了模型准备的阶段，只需按照给出的各种信息来正确理解现实意义，即可以构成模型并进行下面的过程。大多数小学生接触的数学应用题，经过数学教学中的一定训练，学生可以比较容易的找到所需要的固定数学模型或解题的模式。实际上，无论何种类型的应用题，解答过程大致经过建模—解模—释模三个过程。尽管应用题是经过修饰和人为改造的现实应用问题，可以减少模型准备阶段的繁琐，但是无论从众多学者的研究还是数学教师的应用题教学来看，在解答数学应用题时，不能快速准确的建立能够解决问题的模型，是小学生产生解答障碍的关键诱因。究其根本，是小学生在解答应用题时建模所经历的心理过程。

5．1抓取背景有效信息：在阅读应用题文字背景信息后，快速、准确的抓取出背景中对解题有效的信息。

5．2理解“关键词”含义：挑选出“关键词”后，下一步需要做的，就是理解“关键词”的含义。

5．3建立“关键词”联系，选择正确模型写出公式：理解“关键词”的含义后，很容易就能建立起“关键词”之间的联系，而此时“关键词”之间的联系也就是题中各个信息量之间的关系基础。［3］小学数学是未来学生思维能力发展和创新能力提高的一门基础性学科，小学应用题的解题能力不单单影响小学生的数学成绩，更重要的是制约着小学生应用知识解决实际问题能力的发展。因此，培养小学生一定的应用解题能力意义深远。本文通过自身实践经验探究出当前小学生在数学应用题解题中出现的一些障碍因素，尽管在某种程度上还不够具体、完善，但是在一定程度上可以为广大小学数学教师提供一些理论依据。

作者:刘勤生 单位:山东省临沂市郯城县杨集镇大滩小学

参考文献:

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二、教学方面

任现职至今，主动接受各项教学任务，平均年课时为309。注重研究教学理论和教学方法，形成了自己的教学风格，在教学中依据建构主义教学理论和现代数学观及数学教学观，提出了两个数学教学的基本模式：数学探究教学模式和数学建模教学模式，并充分运用现代信息技术和数学软件“做数学”和“表现数学”，教学中像使用三角板、圆规等教具一样熟练使用计算机来辅助完成数学教学任务，教学效果良好，受到学生普遍的欢迎。同时，这些教学模式也受到了较广泛的关注，在校内和区内同类院校中起到了一定的示范辐射作用。

作为园丁工程导师，具体指导了培养对象15名，有2名评为特级教师，12名成为桂林市学科带头人。承担了本校青年教师培养工作，成绩突出。

指导学生教育实习、本科生毕业论文写作等工作，成绩明显。组织指导大学生数学建模竞赛，获得过较好的名次。

三、科研方面

坚持以教学带动科研，以科研促进教学。任现职以来，我公开19篇，其中核心刊物和权威刊物6篇；参编著作、教材、教参等书籍7本；主持完成了自治区教育科学研究课题或改革项目3项，主持在研的教育厅科研课题1项。

主要有以下三个方面的工作：

1、对教学工作的认真总结，从教学实践逐步上升到理论。

xxxx年我主持申报的课题“....”被列入了新世纪广西高等教育教学改革工程项目。多年来，我们开发的高师同步数学实验课程逐步形成了自己的特色和风格，受到了同行的广泛关注。我撰写并公开发表“数学实验”有关论文共6篇，其中包括送审代表作“最省砝码设置问题的数学模型”，发表在数学权威核心期刊《数学的实践与认识》上，同时还编写了校内使用的数学实验教材和建立了《数学实验》学科网站。

2、数学教育理论、数学学科教学论和数学方法论的研究：

任现职以来，我主持完成了自治区教育科学研究课题和教学改革项目3项，本人撰写并发表数学学科教学论和中小学数学方法论的论文共7篇，其中论文“....”发表在中文核心期刊《中学数学教学参考》，参加编写出版了《综合数学教育》、《现代数学教育学》、《现代教育技术》等数学教育著作，在其数学教育领域有较丰富的研究成果和实践经验。

3、数学理论与应用研究：

通过学术交流和理论学习，注意了解学科的一些最新成果和前沿知识。

我在研读中国密码学学术会议论文集时，得知全距置换的研究尚不成熟，于是我选择在全距置换构造方法上做工作，写出了3篇论文分别发表在《武汉大学学报》（理学版）、《兰州大学学报》（自然科学版）、《陕西科技大学学报》上。当然，构造所有的全距置换的有效方法还有待进一步研究。

在听取xxx大学xxx教授在学术报告时，得知xxx尚未证明，经过研究我们给出了完备基的一个积构造，部分回答了xxxx，撰写的在《广西大学学报》上。

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“数学模型一般是实际事物的一种数学简化……使用数学语言描述的事物就称为数学模型。”更确切地说，“数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。”①课程标准中说：“方程、方程组、不等式、函数等都是基本的数学模型。”这是就“数与代数”这部分内容中列举的数学模型的外延。

“数学建模”在课程标准中解释得比较详细：“从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，是建立模型的出发点；用符号表示数量关系和变化规律，是建立模型的过程；求出模型的结果并讨论结果的意义，是求解模型的过程。”读了这段话老师们肯定会说：我们在教学学生解决实际问题的过程不就是这样吗？只不过数学问题是现成的，我们已经提供给学生了，关键是引导学生分析题中的数量关系，理清解决问题的思路与步骤，准确列出分步算式、综合算式或方程，再算出结果，检验后写上答语。是的，这是数学建模与解模过程的一部分，但这里的数学模型已经预设了，一般不需要学生“从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题”，我们没有了数学建模的出发点，所以这样的教学便称不上是数学建模的教学。

数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象，如自由落体现象，也包涵抽象的现象，如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态、内在机制的描述，也包括预测、试验和解释实际现象等内容。具体地说：建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。因此，“数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并‘解决’实际问题的一种强有力的数学手段。”②由此可见数学建模一般有这样几个过程：1、模型准备；2、模型假设；3、模型建立；4、模型求解；5、模型分析；6、模型检验；7、模型应用。③

那么，教师如何帮助学生体会建模过程，树立模型思想呢？

一、教师主导，学生主体。小学生的生活经验比较少，数学知识、技能水平都比较低。所以，在小学阶段引导学生体会建模过程、树立模型思想势必要在教师的指导帮助下进行。教师要根据学生的年龄特征与认知水平，选择学生感兴趣的、通过合作与努力能够成功建模的生活问题，让学生来体会、研究。

二、夯实“四基”，提升素养。小学阶段是学生打基础的阶段，所以新课程标准提出“通过义务教育阶段的数学学习，使学生获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”在组织引导学生开展有效的数学学习活动与训练过程中，使学生掌握扎实的基本知识和技能，渗透基本的数学思想方法，积累基本的活动经验。夯实了这些基础，学生对进一步学习数学才有信心与兴趣，其数学素养的发展与提升才成为可能。

三、课中渗透，感悟模型。在平时的数学课堂教学过程中，教师要有意识地让学生在许多直观或贴近生活的实例中进行有效地综合比较，抽象出它们所具有的共性，再用数学的语言或符号等进行概括，从而让学生体会到学习新知的过程就是数学建模的过程。例如教学分数与除法之间的关系时，通过大量的实例使学生从中抽象出它们的共性是：被除数÷除数=被除数/除数，最终用数学符号概括出：a÷b=a/b(b≠0)的结论。

四、重点训练，体会建模。数学建模的过程是一个综合运用的过程，所以我们重点训练的基础内容很多。如计算，包括估算与口算；分析数量间的关系等等。如果学生相关的能力没有训练到位，将影响学生体会数学建模的过程。纵观小学阶段的数学内容，比较容易组织帮助学生建立的数学模型是简易方程。因此，在学习了这部分内容以后，我们便可以帮助学生体会数学建模，树立模型思想了。可以创设学生熟悉的生活情境，如家中的收支结余问题、找规律填数问题等等。教师要引导帮助学生经历完整的数学建模的过程，要用学生喜欢的方式表达解模过程，可以是列式解答，也可以是小论文。在学生完成学习任务以后，一定要进行激励性评价，让学生感受到建模的成功及数学模型思想的生活价值，从而提高学习数学的信心与兴趣

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2.微积分方法在初等数学中的应用研究 

3.谈微积分中的数学思想及其教学

4.高中微积分教学中融入数学文化的初步研究 

5.微积分教学中渗入数学文化的实践与思考 

6.数学建模思想融入微积分课程教学初探  

7.微积分教学中渗透数学文化的重要性及做法  

8.微积分在数学建模中的应用 

9.数学文化价值取向下微积分学中的哲学思想 

10.“微积分”教学中融入数学文化的教学设计 

11.数学文化融于微积分教学的实践与思考 

12.微积分数学模型在建筑异形体变力做功中的应用

13.数学文化视角下的微积分教学举例

14.微积分中的数学文化与高职数学教育 

15.数学软件在微积分教学中的几点应用  

16.微积分中数学文化教学的案例与分析

17.了解数学史 走进微积分——讲好“导数及其应用”的开场课 

18.将数学背景融入微积分教学的实例 

19.学点数学史 教好微积分  

20.建构主义视角下高职数学微积分教学方式的改革措施

21.高等数学微积分教学的重点和难点分析

22.微积分在大学数学学习和生活中的应用 

23.微积分教学中的数学思想方法的探究 

24.微积分教学中融入数学建模的思想和方法(续完)——融入从大学第一堂数学课开始

25.美国微积分课程改革对高职工科高等数学课程建设的启示

26.浅谈高等数学微积分在实践中的应用 

27.微积分、数学模型及其它 

28.分析大学数学微积分教学的改革策略  

29.高中微积分教学中融入数学文化的初步研究 

30.浅谈微积分在初等数学中的应用 

31.微积分教学中融入数学建模的思想和方法(待续)——融入从大学第一堂数学课开始

32.微积分中数学语言的时序性 

33.微积分中蕴含的数学美 

34.微积分在初等数学教学中的作用 

35.微积分教学中如何融入数学文化

36.《数学手稿》微积分思想在《资本论》中的体现及启示

37.高职院校《高等数学》微积分内容的教学方法探讨 

38.数学建模思想融入微积分课程教学初探

39.《微积分与数学模型》教材编写基本思想 

40.大学微积分与高中数学的衔接  

41.微积分、数学模型及其它 

42.高中数学“微积分”模块教学的探讨 

43.探究微积分与中学数学的关联 

44.高等数学微积分理念的多领域应用分析  

45.数学史知识融入微积分教学的探索 

46.将数学实验思想融入经管类专业微积分教学的实践研究

47.用数学软件辅助微积分教学的实践与认识

48.关于非数学专业的微积分教学改革 

49.微积分学形成过程中的数学哲学思想与科学方法 

50.微积分中的数学美赏析  

51.中医阴阳理论的数学模型之建立及其微积分定量的研究 

52.浅谈微积分教学中数学思想方法及应用 

53.例说微积分知识在数学解题中的应用 

54.高职数学微积分教学改进的思考  

55.微积分教学中融合数学文化的初步探讨  

56.微积分课程教学中培养学生数学审美能力的探讨 

57.数学建模融于微积分教学的探索与实践 

58.《经济数学基础(微积分)》精品课程建设的实践与探索

59.微积分在高中数学教育中的意义

60.在微积分教学中融入数学建模思想 

61.微积分的地位与《数学分析》教学改革 

62.高等数学中微积分证明不等式的探讨 

63.高等数学中微积分思想在其它学科的应用  

64.大学高等数学微积分教学对策

65.美国微积分教育的改革及其对我国非数学专业微积分教育的启示

66.网络环境下高职数学课程中微积分基本定理的教学反思 

67.微积分在高中数学解题中的应用  

68.高等数学教学与大学生素质培养探析——微积分理论的延伸 

69.微积分——数学发展的里程碑 

70.将数学建模思想融入微积分课程教学

71.微积分教学与导学中数学思维培养  

72.大学微积分与高中数学基础知识衔接问题的研究

73.中外高中数学教材比较(微积分部分) 

74.在微积分课程教学中增加数学实验的实践与探索

75.中、新、韩、日四国高中数学课程标准的比较研究——以微积分内容标准为例

76.揭示《微积分》中的数学美

77.美国微积分教材对理工科高等数学教材改革的启发

78.数学美学和HPM视角下的微积分教学对策研究——以线面积分为例

79.美国教材《微积分》给我们的启示——谈大众化高等教育中的数学教育 

80.数学文化在实践中的渗透应用——以微积分及教学为例 

81.浅谈微积分学习对提高小学数学教师素质的作用 

82.微积分课堂教学与数学建模思想

83.例说微积分知识在解决中学数学问题中的应用 

84.浅谈高等数学中微积分的经济应用 

85.微积分的数学美  

86.微积分在数学建模中的应用 

87.微积分理论在农业科学研究中建立数学模型的应用 

88.以微积分课程为例谈成人高等教育高等数学实验课案例教学

89.在高中数学中如何进行微积分教学 

90.浅析数学软件融入到微积分教学中的模式实践应用分析

91.新课程标准下大学数学(微积分部分)与中学数学衔接问题的研究

92.模块教学法在高等数学微积分教学中的应用 

93.浅谈大众数学思想下的微积分教学改革  

94.数学软件Mathematica在微积分教学中的应用 

95.用辩证观看初等数学与微积分  

96.例谈微积分方法在初等数学教学中的应用 

97.在微积分教学中传授数学思想方法

98.微积分在大学数学学习和生活中的应用 

99.微积分在中学数学中的指导作用 

100.几个值得商榷的问题——评同济大学应用数学系编《微积分》  

101.浅谈微积分教学中学生数学素质的培养  

102.微积分在初等数学中的一些应用  

103.微积分学中若干问题的数学化归方法 

104.美国微积分教学变革对我国高职高等数学教学改革的启示

105.高等数学中微积分教学方法的探究 

106.微积分方法在初等数学教学中的应用 

107.浅谈Matlab在高等数学微积分计算中的应用 

108.微积分在初等数学中的应用 

109.数学变换思想在微积分中的应用  

110.MathCAD在高职数学教学中的微积分应用 

111.高等数学微积分教学的策略探讨  

112.考研数学中微积分几类典型问题的一般方法

113.微积分MATLAB数学实验 

114.中职数学中微积分教学的几点思考  

115.一本美国微积分教材简介及高等数学教材改革初探 

篇9

[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2017）05-0149-03

21世纪是一个以创新、创意、创业为经济发展驱动力的世纪。如果一个国家具有创新能力，能够吸引创新人才，能够激励个人去创新、创业，那么这个国家的经济就会快速发展，成为强国中的强国。2015年5月，国务院办公厅在关于深化高等学校创新创业教育改革的实施意见中指出：“深化高等学校创新创业教育改革，是国家实施创新驱动发展战略、促进经济提质增效升级的迫切需要，是推进高等教育综合改革、促进高校毕业生以更高质量创业就业的重要举措。”大力推进创新创业教育，是高等教育的重要任务，是推动学校转型发展，深化教育教学改革，提高大学生综合素质，增强大学生创新意识与能力，锻炼大学生创业能力与社会生存能力的重要途径；是实现创业带动就业，促进大学生就业与自主创业的重要举措。可见，培养创新创业型人才具有重要意义。

高校师范专业培养的大学生是未来的教师。一个因循守旧、传统保守的教师不可能培养出富有创新精神和创业能力的人才。因此，在师范专业引入创新创业教育，把师范教育与创新创业教育融为一体，培养具有创新精神和创业能力的教师是当务之急。[1]大力推进师范专业的创新创业教育，对高校师范专业的生存与发展，中小学及幼儿教育的发展，均具有重要的意义。

很多师范院校从学校的层面对师范专业的创新创业教育进行了探索，取得了较为丰富的成果。[2][3][4]在高等院校的众多学科中，数学与应用数学专业与创新创业教育的关系尤为密切，是培养学生创新创业意识、创新创业精神、创新创业能力的主要学科。[5]本文以数学与应用数学专业为例，对如何开展师范专业的创新创业教育进行了较为深入的研究。

一、高校师范专业创新创业培养的现状

我国提出实施创新创业教育已有几十年，经过几十年的探索，各个高校创新创业教育的理论与实践都取得了丰硕的成果。然而，创新创业教育作为一个社会子系统，在短短几十年的发展中还存在不少的问题。

（一）对创新创业教育认识不足，观念陈旧，意识淡薄

很多师范专业的大学生甚至是部分高校的教师都认为，师范生毕业后就是当教师，创业与师范专业的学生关系不大。他们把“创业”简单理解为是创办公司和企业，忽视了“自力更生，艰苦创新，吃苦耐劳”的创新创业教育内涵。[6]一项对辽宁省部分师范院校的调查分析表明，有83.5%的学生希望找一份稳定的工作，他们更多的是选择到国家机关、国有企业及事业单位工作，不愿意到民营企业工作，求“稳”是他们在择业时的主导意识，这主要是受到家长传统就业观念的影响。[7]大部分师范专业的学生就业观念陈旧，他们墨守成规，没有创业的勇气和能力。创业的核心与本质是创新，创新支撑着创业。就业观念的陈旧也导致了大学生创新意识的薄弱，他们不愿意“抛开旧的，创造新的”。

（二）创新创业教育的教师匮乏，创新创业教学水平有待提高

教师是创新创业课程开发建设与实施的关键。一名合格的创新创业教育教师需要经过系统完善的培养和学习，周期较长。目前，我国高等院校新创业教育的教师队伍存在以下问题：一是创新创业教育课程教师的数量严重不足；二是教师没有经过严格的培训学习，不具备基本的专业知识和教学技能；三是创新创业课程教学方式单一，类似于传统课堂的满堂灌，真正结合实例，与公司企业或孵化园培养创新创业人才的高等院校凤毛麟角；四是专业课程教师对创新创业教育认识不足，认为那是创新创业课程教师的职责，在专业课程教学中没能渗透创新创业教育。

（三）创新创业课程体系不健全，创新创业课程与专业课程相脱离，教学模式单一

目前，我国高等院校创新创业课程的教学模式相似度很高，仅限于在传统教学模式中零星地涉及学生创新创业能力的培养，具有针对性、目的性的培养模式很少。

不少高等院校不够重视创新创业课程教育与专业课程教育的结合，不能将两者有机地联系起来。有的教师认为，创新创业教育与专业教育是矛盾冲突的，对创新创业教育有所抵触。他们没有意识到创新创业教育与专业教育虽然各自的侧重点不同，但是两者并不矛盾，而是相互促进的。

（四）创新创业教育的实践教学体系不健全

实践教学是创新创业教育取得实效的重要环节。许多高院缺乏稳定的创新创业实践平台，没有相配套的实践教学课程，创新创业实践大多借助“挑战杯”及创新创业训练计划等竞赛项目，学生参与度低，普及面窄，大多数学生还没有进行过创新创业实践。根据调查研究，我国不少地方的高校尚未拥有正式的、系统的创新创业孵化基地。对于“贵校是否设有创新创业孵化基地”这个问题，在全国各地高校的10万份调查问卷中，有43.52%的大学生回答“有”，其中有26.46%的学生回答“孵化基地体系不够健全，发挥作用不大”；有26.21%的大学生回答“不清楚”；有30.27%的大学生回答“没有”。[7]学生缺乏创新创业的实践体验机会，创新创业教育难以取得实效。

二、数学与应用数学师范专业创新创业培养的措施

（一）人才培养方案实现专业能力培养向专业能力与创新创业能力培养并重的转变

人才培养目标是制定人才培养方案的依据。传统的数学与应用数学人才培养目标，突出的是学生专业能力的培养，忽视了学生创新创业能力的培养。要深化高等师范院校教学改革，实施创新创业教育，提高教育教学质量，人才培养方案要体现专业能力培养向专业能力与创新创业能力培养并重的转变。值得一提的是，“以创业替代就业”并不适合作为师范专业创新创业教育的目标，应把培养“具有创新精神、创业意识和实践能力的创业型教师和应用型高级专门人才”作为人才培养的重要目标，将创新创业教育纳入教育教学的全过程 。在人才培养方案中，可以通过打造通识教育、专业教育、创业教育、实践教育四位一体的课程平台来实现创新创业人才培养的目标。

（二）加强师资队伍建设，提升教师创新创业教育能力

一是教师要更新观念，加强学习与实践。在飞速发展的信息时代，时代赋予了数学与应用数学专业培养创新创业人才这一新的历史任务。[8]这就需要数学专业教师更新观念，转变传统课堂中重理论、轻实践，重知识、轻能力的现状。我们要明确数学专业教师是创新创业教育中的先行者和实践者，是不可或缺的重要角色。数学专业教师应不断学习，更新完善知识，将创新创业理论知识、思想、方法等融入数学课堂，利用数学与应用数学专业的优势来培养具有创新创业思维与能力的新型人才。同时，数学专业教师还要积极参加顶岗实践，积累经验，到中小学听课、授课，参与讨论，开展中小学数学教育教学改革研究。

二是要加强师资队伍的建设力度。创业教育课程的特殊性要求建立一支具备创新精神、综合素质全面、经验丰富的创新创业教师队伍。教师队伍应包含数学与应用数学专业的优秀教师、创新创业教育的优秀教师，除了专职教师外，还要聘请资深创业成功者或是中小学一线教师担任。

（三）加强创新创业教育课程体系建设，将创新创业内容渗入数学专业课程

一是要加强创新创业教育课程体系建设，让创新创业教育理念全面渗透到课程体系中。可以开设创业基础、职业发展与就业指导等创新创业教育通识类课程；开设创业法律基础、市场营销学、创业管理学等创新创业教育知识类课程；开设创业教育活动课程、模拟创业实验等创新创业教育实践类课程。

二是将创新创业内容渗入到数学专业课程中。依托专业，使学生明确专业定位、人才培养目标，明确今后的就业、创业方向，并结合专业特点，开发建设1-2门基于数学学科专业背景的创新创业教育课程，在专业课程体系中增设创新创业内容。

三是改革教学模式。在专业课程教学中培养学生创新创业的兴趣、意识、知识结构、思维方式、实践技能和科学方法。例如在数学分析课程教学中，采用数学建模教学法，即在学习概念与定理时，展现建模的主要过程，使学生经历知识的发生过程，体验将实际问题抽象成数学问题，建立模型并进行求解与应用的过程，让学生体验数学专业知识的社会转化过程。在课堂教学中应注重培养学生的量化能力、建模能力、软件计算能力、人工计算能力，这些能力是未来创业精英所应具备的内在知识素质。[9]

（四）构建完善的创新创业实践平台体系

一是做好实践教学平台建设。首先是加强专业实训室的建设，全面提升实验（训）条件。如建设数学思维实验室，以培养学生的创新精神和思维能力，使学生在动手操作中学会挑战思维定势，做出最佳决策，养成勤于思考的习惯，形成缜密思考的品质。其次是提高实验室使用效率，全面开放实验室，让学生自主管理，进行数学建模、多媒体课件制作、微课制作等训练。最后要加强实习见习基地建设，进一步规范实践教学基地管理，加强与各中小学、教育局及各种培训机构的联系合作，重点体现校企合作、教产融合、协同育人的新型实践教学基地。

二是做好科研和实践创新项目建设。加强大学生创新创业训练计划项目的规范管理，做好学分认定工作，引导和鼓励教师吸收学生参与教师科研项目、技术改革项目、发明和申请专利项目等；鼓励教师自主成立个人或小组研究室、设计室、工作室，积极吸收学生参与。

三是做好学科和专业技能竞赛平台建设。组织学生参加数学建模竞赛、大学生数学竞赛、师范生技能竞赛、挑战杯、创新创业训练计划等竞赛项目。全力打造数学建模这一赛事品牌，通过以赛带练、以赛带学，不断提升学生创新创业的精神、意识和能力。

四是做好创新创业孵化基地。积极鼓励学生提出创业创意并转化为创业实践，引导学生大胆进行创业尝试。大学创业园通过场地、经费和指导服务为学生创新成果孵化、创业设计的市场化提供条件，加强入驻团队的遴选、指导工作，提高@区创新创业活动的科研含量，鼓励更多的创新创意、创造发明团队入园孵化，提升创业园的管理和服务水平，提升基地的示范作用。针对数学与应用数学师范专业的特点，可以重点从家教中心、奥林匹克数学班、数学培训机构等项目入手，让学生在提高专业技能的同时，也对创业进行有益的尝试。

五是做好科技平台建设。打造数学与应用数学专业的科技社团品牌，成立数学建模、应用统计等科技协会，邀请校内外专家作为指导教师，以科研社团为平台，培养学生的创新创业意识和素养。

六是改革毕业论文（设计）的教学模式。结合地方经济发展要求，围绕人才培养目标，构建贯穿于本科四年教学不间断的毕业论文（设计）教学体系，对毕业论文（设计）各个教学环节进行改革。如在毕业论文选题环节，实行指导教师、教研室、学院的三审制，加大应用性题目的比例，结合当地经济、学生实习的内容及现实生活中的问题选题，强调数学的实际应用价值。

七是通过社会实践，使学生及早认识社会，提高服务社会的能力。如依托区培及国培计划，组织学生参加顶岗实习，独立开展教学、班级管理工作，使学生及早接触社会，为日后创业打下良好基础。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 晋争.师范院校创新创业培养体系研究与实践[J].哈尔滨师范大学社会科学学报，2013（3）：173-175.

[2] 邱化民，呼丽娟.高校院系开展大学生创新创业教育模式探究――以北京师范大学教育学部为例[J].中国大学生就业，2015（17）：54-58.

[3] 赵东霞，王乐师.师范类大学生创新创业能力培育的路径[J].中国大学生就业，2014（10）：57-60.

[4] 王传奇.生态学视角下高校学生创新创业教育探究――以盐城师范学院为例[J].统计与管理，2015（9）：32-33.

[5] 王冀宁，张Z.我国大学生创业创新事业的发展对策――基于国内外举措的比较研究[J].科技管理研究，2016（2）：224-228.

[6] 杨玉洪.创新创业教育在高师院校应用型人才培养中的探索与实践――以白城师范学院为例[J].白城师范学院学报，2015（1）：41-45.

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[中图分类号]G420　[文献标识码]A　[论文编号]1009－8097(2012)02－0042－06

引言

问题解决是一个高级的认知过程，它可以在内部知识表征的基础上与其他认知过程(如抽象、决策、推理和分析等)相互作用。问题解决是数学教育的核心，使用有效的认知工具能够帮助学生提高问题解决能力，形成科学的思维方式。国内外研究发现，很多小学生存在不同程度的应用题解题困难，而在当前我国现有的课堂教学模式中无法实现一对一个性化教学与辅导。因此，认知工具作为扩充人类思维和方便问题解决过程的智能伙伴开始出现在我们的日常学习生活中。现有关于认知工具的研究多是从信息技术与课程整合的角度出发，根据学科知识特点设计认知工具。较少有研究是针对问题解决中的影响因素，研究如何运用有效的认知工具辅助教师教学设计和学生的学习过程的。基于此现状，本文从问题解决的角度对认知工具进行了深入的研究。

作为支持、指引、扩充使用者思维过程的认知工具可以是任何一种计算机软件、技术设备、媒体系或环境、认知策略以及一些其他辅助学习的工具，它们都具有共同的特征，即扩充人类的思维过程，提高思维能力；促进人的高级认知心理加工过程：方便了学习者的问题解决过程。本文以小学数学应用题为例，分析了学生在问题解决过程中可能存在的一般影响因素，并针对影响因素，归纳了现有的小学数学教师和学生可以参考选择的认知工具。在此基础上，构建了基于问题解决的认知工具模型，并提出相关设计原则，希望为今后设计开发者从新的视角研究认知工具提供借鉴。

一　认知工具概述

1.认知工具的界定与分类

认知工具的概念来自认知心理学领域，认知心理学是以信息加工观点为核心的，所以认知工具可以理解成是促进信息加工过程的工具。由于地域分布、研究兴趣和视角上的千差万别，不同的研究者对认知工具有不同的界定。Pea(1985)定义认知工具为：“任何帮助超越大脑限制的媒介，例如在记忆、思维活动、学习和问题解决方面。”Derry认为认知工具是一种支持、指引、扩充使用者思维过程的心智模式和计算机设备。Liu及其合作者Williams、Pedersen等人从问题解决的角度，认为认知工具是学习者在具体的认知过程中与问题解决的特殊阶段具有或多或少联系的计算机技术。宾夕法尼亚州立大学教授Jonassen将认知工具定义为以计算机为基础的可用于帮助学习者发展批判性思维与高阶思维的工具或学习环境。从Jonassen的观点出发，认知工具不是某种新产品，而是对某些计算机软件的重新归类。

综合以上学者对认知工具的界定可以看出，认知工具可以是有形的(如铅笔、黑板、投影等)也可以是无形的(如一系列的认知策略)，这使认知工具的概念也有广义与狭义之分。本文是在信息技术与课程整合的背景下，关注的焦点是认知工具在小学数学应用题解决中的运用，因而本研究主要探讨的是狭义的认知工具。从问题解决的视角将其界定为：帮助学习者突破思维局限，减轻认知负荷，提高问题解决能力和学习过程中的认知能力的计算机软件工具。

一个计算机软件或系能否成为促进学习者高级思维能力的认知工具有其固有的评判标准。Jonassen提出了用以鉴别一个软件工具是否可作为认知工具的9项标准，即：计算机化；现成的应用软件；用户(在经济上)可承担；可用于表示知识；可泛化(可用于不同领域)；可支持批判性思维；学习可迁移；简单而功能强大的知识表示形式；易学易用。认知工具的种类有很多，国内外学者对其分类方法也各不相同。国内有学者提出将认知工具划分为可视化工具、建模工具、绩效支持工具及知识管理工具四大类。Jonassen从计算机的角度将认知工具分为八类：数据库、电子表格、语义网络、专家系、超媒体软件、会议系、协作学习环境等。国外有关认知工具的分类主要依据Jonassen的观点，提出认知工具按功能分为五大类：

(1)语义组织工具：可帮助学习者表达各观点间的语义关系，包括数据库、语义网络等；

(2)动态建模工具：用于描述各观点间的动态关系，包括电子表格、专家系、系建模、微观世界等；

(3)信息解释工具：包括有意义的信息搜索工具、概念可视化软件等；

(4)知识建构工具：如多媒体知识库；

(5)交流协作工具：如聊天室、计算机会议等。

2.研究现状

国外对认知工具的研究相对比较成熟，目前已有大量的相关文献和著作。Hogle提出将游戏作为教学中的认知工具，以达到寓教于乐的效果。Stephan John研究了超媒体学习环境中认知工具的本质。Min Liu研究了超媒体环境中认知工具的使用模式。WENLI CHEN等提出掌上电脑可以用来支持、指引和延伸学生在课堂内外的思维过程。KostasLavidas等将电子表格作为一种认知工具，研究了电子表格对数学故事问题的影响。Jonassen等对认知工具的定义、分类、标准和应用等方面都做出了巨大的贡献。此外，一些发展比较成熟的软件系已经被当做认知工具应用到小学数学领域，如ARITHPRO系通过模拟学生解一步加减应用题来试图推断学生发生错误的原因，ANIMATE系帮助学生构建应用题的网络图，LIM－G系能自动解答学生用自然语言输入的一步几何应用题。这些都可以作为提高学生问题解决能力的认知工具。

国外以计算机为主要认知工具的研究大致经历了三个发展阶段，其中不同阶段的教学形式、理论基础和研究重点如表1所示：

相比较而言，我国对认知工具的研究起步较晚，最早在是在1996年张宇容提出促进学习的认知工具。总体看来，国内对认知工具的研究可以概括为四个方面，即多媒体计算机作为认知工具的学习环境：信息技术与课程整合背景下认知工具的介绍及其应用；网络环境下学科认知工具设计与开发；教学中使用认知工具的案例分析。这基本上与国外的研究方向和脉络一致。在对其理论探讨的同时，也逐渐重视环境的创设和技术的支持。值得一提的是，尽管我国对认知工具的应用研究还于初级阶段，但思维导图作为认知工具在国内已经得到了普遍的应用。

二　影响小学数学应用题解决的一般因素分析

小学数学应用题是用自然语言描述的，学生解题的过程不仅涉及数学知识，还涉及语言知识和一些生活常识。所以学生解题时一方面要利用自己的日常生活经验进入假设的问

题情境，另一方面还要结合数学思维推理解决问题，这势必会使学生产生认知负荷，影响学生解决问题的质量。本文运用文献研究法，归纳总结出了影响小学数学应用题解决的五大因素：问题表征、工作记忆、试题难度和类型、视空间能力、情感因素。

1.问题表征

表征是问题解决的开始。对问题做出什么样的表征，这种表征是否适宜，对问题解决有直接影响。错误的表征会导致错误的结果，而正确的表征可以提高学生的问题解决能力。学生在处理不同类型的应用题时会选择不同的表征策略。不同的表征策略会对学生成绩产生不同的影响。常用的表征策略有两种：直接转换策略(direct translation strategy)和问题模型策略(problem－－model strategy)。直接转换策略强调对题目中的数字和关键词进行加工，而问题模型策略则强调对题目中问题情境和问题中条件之间的关系的理解，建构情境模型。二者的根本区别是前者注重量的推理，后者注重质的推理。冯虹等根据眼动研究结果表明，随着年级的升高，学生会更多的使用问题模型策略进行问题解决，他们不再满足于表征题目的“关系词”和“数字”等表面信息，而是会更关注于题目所描绘的情境。陈英和等在研究中指出，成功的问题解决者倾向于使用问题模型策略，不良问题解决者倾向于使用直接转换策略。而且，当学生学会使用问题模型策略时，他们解题的错误率会明显降低。

学生解题时选择的表征类型也是影响问题表征的因素之一。董妍等的研究结果表明小学生应用题的表征方式有复述内容、图式表征、图片表征、直译表征、语义结构分析等，成功解题者在图式表征、直译表征和语义结构分析表征下的成绩显着优于不成功解题者。此外，学生对问题的表征水平也可以影响学生的问题解决过程。研究发现，表征水平越高，学生在问题解决上的成绩越好，且表征水平随着年级的升高而不断提高。同时，题目难度会影响学生的表征水平。

2.工作记忆

工作记忆(working memory，简称WM)的概念是Baddeley和Hitch在分析记忆信息三级加工模型中的短时记忆的基础上提出的。工作记忆是一个有限的记忆系和重要的心理加工资源。它的测量指标之一是工作记忆容量(working memorycapacity)。众多研究表明，工作记忆容量与数学问题解决有着紧密了联系。Hitch等针对数困生的研究发现，数学学习困难是由于储存数字的工作记忆容量不足造成的，工作记忆容量不足可能是数学学习困难的根本原因。宋广文等人探讨了工作记忆对学生几何应用题解决的影响，结果表明：工作记忆容量的主效应显着，容量高者成绩好。

3.试题难度和类型

试题的难度和类型也是学生问题解决过程的不可轻视的影响因素之一。试题难度的大小直接影响学生对题目的问题表征、学生的解题动机和兴趣。有些学生遇到较难题目可能会由于产生畏惧心理而影响问题解决过程。冯虹等在研究中把代数应用题分为规则问题和不规则问题。他们认为规则问题是完整的应用题，不规则问题是有多余条件的、缺少条件或是缺少问题的应用题。有关研究表明，学生对题目中隐含条件的识别将会直接影响学生解题的正确率。Sweller等提出的认知负荷理论认为，解题者解带有多余信息的题目时会感觉到更加困难，原因在于解题者必须对两种信息进行加工，一种是正确解题所必需的信息，另一种是多余信息。

4.视空间能力

视空间能力是人类智能结构中的重要组成部分，其中在空间视觉化(visualization)和空间定向(orientation)因素上所表现出的差异是个体空间能力差异中最稳定的特性之一。研究表明，视空间能力是影响数学应用题解决的重要因素之一，空间能力越高，数学解题水平也越高；场认知方式与数学问题解决关系密切，学生场独立性越强，数学解题水平越高。

5.情感因素

情感因素包含解题动机、兴趣、压力、争强欲望等。大量研究表明，动机是影响数学应用题解题的众多因素之一。宋广文等在研究中分析了数优生和数困生的解题动机与应用题成绩的关系，结果表明，两种类型的学生在数学解题动机上存在显着差异。

以上是学生在解决小学数学应用题时可能存在或遇到的内在或外在的影响因素，这些影响因素在学生的问题解决过程中是相互作用、相互影响的。比如题目的类型和难度可能直接影响学生的问题表征。学生在信息加工过程中产生的认知负荷也会使学生的解题动机和热情大大降低。

三　小学数学问题解决中的认知I－具研究与设计

1.小学数学中的认知工具

不同学科的认知工具在使用目的和结构特点上均有不同。与其他教学领域相比，认知工具在数学教学中发挥着不同的作用。Heid(1997)曾在研究中列举出数学教学中常见的认知工具，如计算机代数系computer algebra systems(CAS)――有助于使用者对符号、图形和数字及其中的逻辑进行表征；基于计算机模拟的微观世界和动态几何工具，可以帮助学习者表达和研究数学问题；基于技术的实验装置。CBL

(calculator－based laboratory devices)、

MBL(microcomputer－based laboratory devices)使学生更容易收集和分析真实世界的数据；图形计算器graphing calculators(GC)，使用学生更容易分析图形结果。

本文根据认知工具的评判标准以及Jonassen对认知工具的分类，针对学生在问题解决过程中可能存在的不同影响因素，帮助学生选择不同的认知工具类型，并举出现有的符合小学数学学习特点和小学生操作水平的具体认知工具以供参考，如表2所示。

从表中可以看出，问题解决过程中的每一种影响因素都可以使用不同类型的认知工具支持。而且很多认知工具都呈现出同时具备多种功能的情况。为了让学生更有效的解决比较复杂的综合应用题，教师可以根据具体情况选择认知工具进行相应的教学和辅导，进而提高学生的解题能力。比如，教师可以选择动态建模工具和语义组织工具帮助学生进行问题表征。动态建模工具允许学习者参加超出他们范围的认知活动，如模拟动画、虚拟现实。通过对具体问题的真实模拟，让学生构建情境模型或对象，并通过操作模型验证参数，帮助学生发现其中的规律，提高对知识的理解力。常见的动态建模工具有几何画板、图形计算器(GC)、MP－Lab等。以MP－Lab(Multi－Purpose Laboratory，万用拼图实验室)为例，它是专为开展小学数学学习活动，帮助学生“学”而设计的数学学习情境建构平台。采用拼图而非画图的模式，向师生提供包括作图、拼图、变形、背景图片、文字编辑等功能。利用MP－Lab可以为学生创设问题解决情境，使学生通过亲自动手操作体会数学概念的含义，有助于学生更高效的解决问题。语义组织工具也可以帮助学生的问题表征，它能够支持

学生的认知过程和元认知过程，如图示、思维导图。通过连线、归类以及表格化等形式对相关的数学元素进行可视化表征，帮助学生把握概念之间的关系，促进学生思维的培养。使用语义组织工具，可以有效解决小学生在应用题方面存在的问题表征障碍，帮助学生学习和思考，提高学生的问题表征水平。

工作记忆作为问题解决的重要影响因素之一，可以用主要采用语义组织工具支持。语义组织工具能使人脑内部的图式认知结构实现可视化，如概念图。这些图式是概念以及它们在存储在记忆中的相互关系的空间表征。使用语义组织工具可以减少由于工作记忆容量有限产生的认知负荷。学生在面对题干较长的应用题时，可能会不知如何下手。题目中的冗余信息不只对学生问题表征产生干扰，也为学生的工作记忆造成一定的负担。教师可以通过语义组织工具帮助学生画概念图或语义网络分析图，把题干中的数学概念抽象出来并进行分类，同类概念可用圆圈，有联系的概念可用短线连接。以三角形为例，它的概念图如图1所示。概念图或语义网络图可以相对减少工作记忆的负担，促进问题快速而准确地解决。语义网络程序是基于计算机的可视化工具，常见的工具软件有SemNet，Learning Tool，Inspiration，MindMapper。此外，还可以使用一些其他帮助分担认知负荷的工具，如计数器和计算器通过帮助学生简化机械性的运算而减轻工作记忆中的压力，以促进问题解决。

视空间能力与问题表征有一定的联系，空间能力越高，学生采用视觉一空间表征的程度越高，其中采用图式表征的程度越高，数学解题水平也越高。这样就需要根据具体情况选择动态建模工具或语义组织工具。还可以利用信息解释工具和知识建构工具通过多媒体知识库进行信息搜索，为综合类应用题呈现各种媒体资源，如呈现各种图片资源、播放有关的视频或音频及动画资源，促进学生的认知，帮助学生解决问题。关于影响问题解决过程中的情感因素，可采用动态建模工具或交流协作工具帮助学生学习，这类认知工具能够帮助学生实现思维形式的过渡，支持和促进其对抽象数学概念的意义建构，同时也为学生的问题解决过程增添乐趣。交流协作工具支持同步或异步交流，是一个良好的促进协作学习、思维过程以及知识结果共享的平台。如QQ、论坛、博客，学生可以信息进行群体探讨式学习；或是结合画面性，进行有主题的讨论，如聊天室、在线电子画板。学生通过交流与协作找出盲点，解决不同程度的难题，进而增加学生的解题兴趣。此外，国内已经出现多种与小学数学相关的计算机软件，如语音计算器Voice Calculator、小学数学伴侣、小学数学练习机、几何图霸等。这些软件界面友好、操作性强，而且易学易用，比较适合小学生的数学学习。这些工具软件都可以为学生的数学问题解决过程提供相应的帮助。

2.基于问题解决的认知工具模型架构及其设计原则

现有小学数学工具软件多是从学科教学的角度研发的，在支持学生问题解决方面还有所欠缺。有些认知工具在功能上还比较局限，如概念图作为一种语义组织工具，虽然在帮助学生实现问题表征、减轻认知负荷等方面功能非常完备，但却不能方便学生之间的交流协作。学生需要有一种功能强大，可以多角度多方面支持学生的问题解决促进学生高阶思维能力发展的工具。笔者从这一需求出发，设计了基于问题解决的认知工具架构模型，为相关的设计开发者从问题解决的角度研发工具提供参考。如图2所示。

基于问题解决的认知工具应该从解决问题的角度为学习者提供解题方案，帮助学生构建问题情境模型，使问题直观化、可视化。师生、生生之间通过交流协作找出问题的盲点并及时解决。系中的各个模块可以在学生遇到困难时给予必要提示与指导。帮助学生找到合适的解决方法。同时，在超媒体环境的支持下，学生采用超链接找到与自主探究学习的相关资源，并使用工具进行模拟、制作和探索，从而达到积累大量表象材料、增强小学生形象思维能力和问题解决能力的目的。具体来说，基于问题解决的认知工具应遵循以下设计原则：

(1)可视化原则。将内部认知结构可视化，能够帮助学生获得并对知识进行表述，减轻学习者的认知负荷。有助于学习者进行问题表征，提高学生的认知能力。可以增强使用者的思维广度和清晰度，帮助学生整理、分析和组织知识，制作学习计划，提高学习效率和记忆能力。

(2)情境性原则。能够实现情境再现，使学习者处于问题解决的情境，有助于学生建构思维模型，激发学习动机和学习兴趣。通过文字、声音、动画、图形图像等多种形式，直观、形象地模拟各种数学概念、公式、定理等数学知识的产生、变化过程，激发小学生求知愿望和学习兴趣。

(3)交互性原则。能够为学习者提供探索的空间，促进学生的探索与交流，有效实现人机、人人交互。帮助学生在小组讨论中以清晰的思路组织语言，积极展示自己的观点，有助于学生之间的交流合作。同时能够提供关于学生完成学习情况的反馈信息。不仅提供“对”或者“错”的信息，还能够提供怎样修改错误的建议信息。

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一、小学数学课程的新变化

1、数学课程标准的基本理念的新变化

数学新课程倡导的是“大众数学”的理念。它把“数学教育”的重心转移到“教育”上，不仅仅关注学生的数学成绩，更关注每一个学生的全面发展。放弃以往的“精英教育”模式，面向全体学生，为每一个学生提供有价值的、必需的又是最基础的数学，使每一个学生都能获得必需的重要的数学知识、基本的数学思想方法和必要的应用技能，使学生的数学思维、解决问题的能力、应用数学的意识。同时提供能够满足学生未来社会生活的需要，能适应学生个性发展的要求，能促进学生全面素质的提高的数学，对学生终身发展有用的数学。

2、数学课程目标方面的新变化

在数学课程总体目标方面，课程目标内涵更丰富，结构更合理。不只是使学生获得必要的数学知识和技能，还包括数学思维、解决问题、情感与态度等方面的发展。从而最终目标是促使学生得到全面的、可持续的发展。同时学段目标与以往的各年级的教学要求相比更加粗泛，有更强的灵活性和选择性，有利于地方课程、校本课程的开发，也有利于小学数学教师根据学生特点和实际情况自主地、创造性地进行教学。不仅是让学生会解各种的数学题，更重要的是在需要的时候，能够进行“数学地思考”。

3、数学课程内容方面的新变化

过去教学内容知识面狭窄、陈旧，难以适应现实生活中的数学需求，同时刻意追求计算速度、变形技巧、题型套路等，又增加了数学的难度，同时数学教学内容过分追求形式化，脱离学生生活实际。而新课程重视对数和代数意义的理解及对学生数感和符号感的培养，淡化了对记忆的要求；重视计算器和计算机的使用，对运算的复杂性、技巧性和熟练程度的要求降低了；同时重视数学的应用和数学建模，提高解决问题的能力。

4、数学课程实施方面的新变化

数学新课程的理念、课程目标、课程内容的新变化必须体现并落实在小学数学教育教学实践中并在新课程的实施中加以检验和改进.数学新课程理念、课程目标、课程内容的变化必然要带来数学课程实施的变化。传统的数学教学强调的是师生的“授一受”，学生完全处于被动状态，难以形成师生之间互动。数学新课程认为在数学教学过程中，师生是人格平等的主体，教学过程是师生围绕着数学教材进行平等“对话”的过程。师生间、学生间可以进行形式多样，内容丰富的对话。师生就是通过这种对话来实现课堂中师生间的互动。。数学教学过程是教师与学生交往互动的过程，在这个过程中师生双方相互交流、相互沟通、相互启发、相互补充，分享彼此的经验和数学知识，交流彼此的情感、体验与观念，最终达到教学相长、共同发展。因此在数学教学中教师首先应考虑如何充分调动学生的主动性和积极性，让学生投入各种数学活动中去，其次教师要注意学生的学习过程，积极了解学生的思想，以启发学生思考，最后教师要不断地学习和反思，在教学实践中不断学习和创造，与学生共同成长。

二、小学数学教师面临的新挑战

1、小学数学教师要转变教育观念

要使教师的教学能适应新课程，小学数学教师首先要转变旧观念，学习、接受新观念。小学数学教师要树立新的教育观念。建立学生观，由以往重教书轻育人的学科本位的观念改变为以人的发展为本位；建立课程观和教学观，设置“体验课程”，把教学过程看成是师生交往、积极互动、共同发展的过程。强调教学是教师教与学生学的统一。。

2、小学数学教师要转变角色

小学数学教师要由数学知识的传授者向学生发展的促进者转变。既要让学生掌握数学知识，又要促使学生的潜能得到开发、身心得到和谐发展。教师应努力做好学生的指导者、激励者、培养者和营造者。为此教师精心设计每一堂课，指导学生积极探究，主动参与，让学生经历“做数学”的过程，将学生引向数学学习的乐园，体验学习的乐趣，并在亲身体验和探索中认识数学，解决问题，理解和掌握基本的数学知识、技能和方法。

3、小学数学教师需要提高素养

要实现小学数学教师角色的转变，需要他们不断提升自己的素养，以适应并胜任新课程的教学工作。。要求小学数学教师要有交往与合作能力，很好地与学生、与其他教师、与家长、与社区合作。要具备开发数学课程资源的能力，要有使现代信息技术与数学课程融合的能力。同时必须具备教育研究能力，重在解决实际问题。要有终身学习、自我发展的能力，不断地学习，改善自己的知识结构，促进自己素质的全面提升。

参考文献]：

1、刘兼、孙晓天.《数学课程标准解读》.北京师范大学出版社.2002.50

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一、在学习上积淀"厚重"

"充电"、"学习"是我在培训中感受最迫切的事。曾以为，作为一名小学数学教师以现有的专业知识及多年来积累的教学经验，完成教学任务是一件驾轻就熟的事。然而，在培训的课堂中，当被问及

信息时代搭乘网络高速列车进修学习是现代人提升自已的一种捷径。为了开辟新的研修平台，我利用网络开通了"我的维普"学习平台。划动鼠标、点击页面，大量的专业书籍和教学期刊可以随时在线阅读。利用这个平台，我阅读到了数学教育家张奠宙教授关于数学思想方法的论述，利用这个平台，我阅读了全国特级教师朱乐平关于小学空间与图形教学内容的动态处理方法，利用这个平台，我收集了专题讲座所需的教学案例与解析，利用这个平台，我读到了"鸡兔同笼"问题中蕴含了多种数学思想方法及策略渗透（转化、猜想、列举、画图、假设、建模、代数等思想方法）；利用这个平台，我找到了积淀厚重的途径……

书籍阅读能完善自己的知识结构，网上阅读可以提高自己的教学技能，而名师的课堂教学实录观摹更能为我们提供学习的范本。利用网络视频我还观摹了大量的名师课堂教学实录：数学王子张齐华的精典课堂《分数的初步认识》、《平均数的认识》、《加法交换律》、《倍数与因数》在演绎数学本质的同时，洋溢着浓浓的数学文化；特级教师徐斌在执教低段计算教学《9加几》、《9的乘法口诀》所展示出来的细腻与机智，让我明白了计算教学中算理形象化，算法抽象化的道理……厚厚的听课笔记记录了名师的智慧，记录了我学习的决心与信心。教师的思想有多深，学生就能走多远，希望自己在学习的路上，在积淀的路上能越走越踏实，越走越开阔！

二、在实践中充实"厚重"

学习是吸取，是积淀，是为了厚积后的薄发。在坚持多层面的学习同时，我还将所学所思运用于教学实践之中。办讲座、搞教研、上公开课、指导青年教师……为的都是锻炼自己，提升自己。

在校本教研活动中提升自己的研究能力。各年级组滚动开展教研活动是我校校本教研的一大特色。作为分管教学的学校行政，数学校本教研活动由我负责。为了确保活动的主题性和研究价值，我以每个学月为一个活动周期，每个周期安排两次活动。结合教学进度解读未来一个月将上的教学内容，进行集体备课是各年级组第一次活动的主题。各年级组的教材分析都由我负责完成。通过三年的研修，对教材解读的深度与与广度有了显著的提高。从前分析教材局限于谈教材的重难点，谈教材处理方法等操作层面的技巧。现在分析教材不仅要研究教材编排的意图，还要挖掘教材所蕴含的数学思想与方法。第二次教研活动的主题则是数学小专题研究，如低年级有"如何培养学生数学学习的兴趣"、"低年级课堂教学的组织策略研究",中年级有"如何培养学生数学学习的反思习惯的研究"、"计算教学的有效性研究",高年级有"小学数学复习课的教学模式探究"、"培养学生解决数学问题的策略研究"……研究的形式既有专题讲座，又有案例分析，还有同课异构评课议课。校本教研在培训教师的同时提升了自己，利人利他的美差，我会乐些不彼地做下来。