数学概念教学论文范文

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在学校的概念课教学研讨中，笔者教授了七年级下《9.1.1不等式及其解集》的概念课，探讨了概念课的教学模式。下面笔者就谈谈她对概念教学的粗浅认识。

一、创设情境，注意概念的引入

要成功地上好一堂新概念课，教师的注意力应集中到创设情景、设计问题上，让学生在教师创设的问题情景中，学会观察、分析、揭示和概括，教师要则为学生思考、探索、发现和创新提供尽可能大的自由空间，帮助学生去体会概念的形成、发展和概括的过程。此外，概念的引入也是非常重要的内容。从平常的教学实际来看，对概念课的教学产生干扰的一个不可忽视的因素是心理抑制。教师方面，会因为概念单调枯燥而教得死板乏味;而学生方面，又因为不了解概念产生的背景及作用，缺乏接受新概念的心理准备而产生对新概念的心理抑制。要解决师生对概念课的心理抑制问题，可加强概念的引入，帮助学生弄清概念产生的背景及解决的方法。由于形成准确概念的先决条件是使学生获得十分丰富和符合实际的感性材料，通过对感性材料的抽象、概括，来揭示概念所反映的本质属性。因此在教学中，教师要让学生密切联系数学概念在现实世界中的实际模型，通过对实物、模型的观察，对图形的大小关系、位置关系、数量关系的比较分析，在具有充分感性认识的基础上引入概念。

二、重点培养学生的概括能力

在学生的概念学习中，要重点培养学生的概括能力。概括是形成和掌握概念的直接前提。学生学习和应用知识的过程就是一个概括过程，迁移的实质就是概括。概括又是一切思维品质的基础，因为如果没有概括，学生就不可能掌握概念，从而由概念所引申的定义、定理、法则、公式等就无法被学生掌握;没有概括，就无法进行逻辑推理，思维的深刻性和批评性也就无从谈起;没有概括，就不可能产生灵活的迁移，思维的灵活性与创造性也就无从谈起;没有概括，就不能实现思维的“缩减”或“浓缩”，思维的敏捷性也就无从体现。学生掌握概念，只接受他们的概括水平的制约，要实现概括，学生必须能对相应的一类具体事例的各种属性进行分化，再经过分析、综合、比较而抽象出共同的、本质的属性或特征，然后再概括起来;在此基础上，再进行类化，即把概括而得到的本质属性推广到同类事物中去，这既是一个概念的运用过程，又是一个在更高层次上的抽象概括过程;然后，还要把新获得的概念纳入到概念系统中去，即要建立起新概念与已掌握的相关概念之间的联系，这是概括的高级阶段。从上所述可知，对概念的具体例证进行分化是概括的前提，而把概念类化，使新概念纳入到概念系统中去，又成为概念学习深化的重要步骤，因此，教师应该把教会学生对具体例证进行分化和类化当成概念教学的重要环节，使学生掌握分化和类化的技能技巧，从而逐渐学会自己分析材料、比较属性，并概括出本质属性，以逐步培养起概括能力。另外，数学概括能力中，很重要的是发现关系的能力，即发现概念的具体事例中各种属性之间的关系，发现新概念与已有认知结构中相关概念之间关系的能力。

三、运用变式，寻求概念的本质

变式是变更对象的非本质属性的表现形式，变更观察事物的角度或方法，以突出对象的本质属性，突出那些隐蔽的本质要素，一句话，变式是指事物的肯定例证在无关特征方面的变化，让学生在变式中思维，可以使学生更好地掌握事物的本质和规律。

变式是概念由具体向抽象过渡的过程中，为排除一些由具体对象本身的非本质属性带来的干扰而提出来的。一旦变更具体对象，那么与具体对象紧密相联的那些非本质属性就消失了，而本质属性就显露出来。数学概念就是通过对变式进行比较，舍弃非本质属性并抽象出本质属性而建立起来的。值得注意的是，变式不仅可以在概念形成过程中使用，也可以在概念的应用中使用。因此，我们既可以变更概念的非本质属性，也可以变换问题的条件和结论;既可以转换问题的形式或内容，也可以配置实际应用的各种环境。总之，就是要在变化中求不变，万变不离其宗。这里，变的是事物的物理性质、空间表现形式，不变的是事物在数或形方面的本质属性。变化的目的是为了使学生有机会亲自经历概念的概括过程，使学生所掌握的概念更加精确、稳定和易于迁移，避免把非本质属性当成本质属性。

变式的运用要注意为教学目的服务。数学知识之间的联系性是变式的依据，即利用知识的相互联系，可以有系统地获得概念的各种变式。另外，变式的运用要掌握好时机，只有在学生对概念有了初步理解，而这种理解又需要进一步深化的时候运用变式，才能收到好的效果;否则，如果在学生没有对概念建立初步理解时就运用变式，将会使学生不能理解变式的目的，变式的复杂性会干扰学生的概念理解思路，先入为主而导致理解上的混乱。

四、精心设置课堂练习，通过反复练习掌握概念

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1巧借“概念图”回顾教学内容，帮助学生巩固数学概念

在高中数学教学中，由于受到课堂教学时间、教学计划和教学内容安排等诸多因素的限制，很多学生对教学内容的认识、理解和学习都存在片面性，无法将教学内容有机结合起来形成整体.如果学生在课后没有及时对其进行分析、思考和巩固，就会导致对数学概念和数学知识无法做到综合应用.因此，数学教师需要在课堂教学中，巧借“概念图”帮助学生回顾教学内容，这样既可以帮助学生巩固数学概念和数学知识，又可以帮助学生对教学内容进行消化吸收.例如：在苏教版高中数学必修二第二章第一节“直线与方程”的讲解中，教学内容既包括倾斜角和斜率等数学概念，又包括直线方程的表达形式、距离求解和两直线间位置关系等内容，而每部分教学内容又涉及很多的数学公式.学生在分课程学习的过程中，很难做到一窥全貌.教师可以在整节知识讲解结束后，单独安排一节课的教学时间，引领学生以“概念图”的形式对教学内容进行回顾（如图2），以加深学生对数学知识的理解和掌握.在教师的概念图中，不仅将数学概念和数学公式逐一列出，而且对数学概念和数学公式应用的条件也有详细的说明.同时，数学教师在讲解的过程中，还可以与学生进行积极的互动交流，以引导的方式让学生回顾相关的数学概念和数学知识，从而加深学生对教学内容的印象.

2巧借“概念图”加强知识联系，帮助学生推导数学公式

高中数学教学内容中包含着很多数学公式，这给学生的理解和记忆造成了一定的困难.因此，高中数学教师在课堂教学中，可以巧借“概念图”，将不同数学公式之间千丝万缕的联系清晰直观地呈现出来，这样既可以帮助学生综合应用数学公式，又可以帮助学生学会推导数学公式，降低学生记忆数学公式的难度.例如：在苏教版高中数学必修四第三章“三角恒等变换”的讲解中，教学目标要求学生既要掌握数学公式的理解和运用，又要了解数学公式的推导过程，尝试运用所学数学知识推导两角和与差及二倍角公式.很多学生对两角和与差及二倍角公式的运用较为熟练，但是对于其推导过程却不太熟悉，只能通过死记硬背的方式掌握数学公式.数学教师可以将和角公式、差角公式和二倍角公式以“概念图”的形式进行呈现（如图3），帮助学生更好地理解、掌握和运用这些数学公式.在概念图中，学生可以很清楚地认识到不同数学公式之间的关系，以及相互推导的关键环节，这样既减少了学生记忆数学公式的时间，提高了学生记忆数学公式的效率，又帮助学生加深了对数学公式推导过程的理解，为学生更好地运用数学公式解题创造了有利的条件.襛巧借“概念图”进行解题，提高学生解题水平概念图不但可以帮助学生掌握数学概念之间的联系，而且可以帮助学生求解较难数学题目，让学生找到正确的解题方法和解题思路.因此，高中数学教师在教学中，可以利用“概念图”指导学生分析和思考题目，建立已知条件和求解问题之间的“概念图”.例题：已知函数f（x）=loga（2－ax）在区间［0，1］上为减函数，求a的取值范围.分析：本题为对数函数中的综合题，虽然题目中的已知条件较少，但是在底数和真数中均含有参数a，即使对底数进行分类讨论，也不太容易求解最终的答案.教师可以利用“概念图”进行讲解（如图4）.首先，教师可以让学生将题目中的已知条件列举出来，如原函数是由u=2－ax和f（x）=logau构成的复合函数，定义域为［0，1］，原函数在定义域中为减函数.然后教师以“概念图”的形式，让学生思考题目中复合函数同增异减性质和定义域及单调递减条件之间的联系.最后，学生很容易通过“概念图”，想到利用复合函数单调性进行求解，并得到正确答案.高中数学教师在指导学生解题时，可以巧借“概念图”帮助学生将题目中的已知条件和隐含条件有机结合起来，从而使学生找到正确的解题思路和解题方法，逐步提高学生的解题能力.总之，高中数学教学内容抽象深奥，数学概念和数学公式较多，如果教师单纯以课堂理论知识讲解的形式开展教学活动，就会使课堂教学枯燥无味，学生失去了学习的兴趣，课堂教学效果自然也难以尽如人意.而高中数学教师在课堂教学中巧借“概念图”，利用其形象直观、层次分明和条理清晰等特点，既可以帮助学生构建完整的知识体系，又可以加深学生对教学内容的理解和掌握，从而在提高课堂教学质量和教学效率的基础上，培养学生的数学思想，增强学生处理数学问题的能力.

作者：周建平 单位：江苏苏州市陆慕高级中学

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讲授准确、严密，是对教师最基本的要求。但数学概念是抽象概括而成的，本身非常严密。在概念教学时必须吃透教材，否则，就可能偏离编者的意图，而作出不恰当或错误的讲述。

例如“圆柱侧面积公式”的推导，教材是这样阐述的，“把圆柱体的侧面展开，得到一个长方形（如下图）。这个长方形的长等于圆柱底面的周长……”进而推导出侧面积公式。显然，教材是出于“推导”的方便，并紧扣“展开图”来阐述的。其实，圆柱的侧面展开图并非唯一性，即还可得到平行四边形或其它图形。但有的教师却忽视了这点，说成：“圆柱的侧面展开图，就是一个长方形。”这样一来，当学生遇到以此“说法”的判断题时，便不加思索地打上“√”了。

又如六年制第九册第3页，教材以“12×0．5＝6”和“12×0．1＝1．2”这两个例子引出：“乘数比1小的时候乘得的积比被乘数小。”教材这一说明是在被乘数不为0的场合而言的，当被乘数为0时，它就站不住脚了。然而，有些教师为了强化学生“估算”意识，往往丢开“被乘数不为0”的前提条件，而反复去强调（复述）“原话”，结果遇到以“原话”作为判断题时，大多数学生作出了相反的判断。

因此，作为教师，必须深入钻研教材，力求领会编者意图，才能准确无误地进行讲授。这是提高概念教学质量的重要前提。

二、教实

小学生认知特点是以具体形象思维为主，他们形成概念，必须要有一定的、典型的感性认识作支柱。因此，在教学过程中，应根据实际的需要，充实一些材料和体例，以丰富学生的感知；其次要讲透概念中的词义，使学生对概念有较全面的认识和理解。

例如“互质数的定义”，教材通过求18和12公有的约数是哪几个，进而介绍什么叫公约数和最大公约数。然后直接阐述：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。”最后举了两个例子：3和5是互质数，8和9也是互质数。由于教材中的例子均未涉及到1，这就容易使学生产生“互质的两个数不包括1”的错觉。从不少学生以“1不是质数，也不是合数”为由，来否定“1和2是互质数”的做法，就说明了这一点。因此，概念教学应重视提供感性材料，以促进学生自我内化。如下面的设计：

1．找出下面各组数的公约数

①3和10的公约数有（）；②1和4的公约数有（）；③3和15的公约数有（）。

2．教学互质数的定义：从上面的三组数中发现，第①②组的公约数只有1，我们把“公约数只有1的两个数，叫做互质数。”其中：公约数——指两数公有的约数；只有1——指不含公约数2、3、4…；两个数——指相同或不相同的两个自然数。

3．强化和反馈性练习：在下面各组数中，哪几组数是互质数？为什么？

①1和1②1和2③2和6④4和9⑤11和11⑥1和任意一个自然数

这样教学，就显得内容充实、具体，学生对概念也就有较全面的认识。尤其是通过各种题组的判断，不但强化了互质数的概念，而且有利于得到准确的信息反馈，以便调整教程和把好质量关。

三、练活

学习的目的在于运用，在运用中把知识转化为能力。但机械、呆板的练习却难以提高学生的技能。因此，平时练习要有一定的灵活性，才能使学生在千变万化的问题中应付自如。下面就概念教学中，如何训练学生思维的灵活性，谈两点做法和体会。

1．改变“概念”的叙述方式（以活化概念），培养学生分析判断能力。如下面的判断题：

①因为“分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。”所以，“分数除以自然数，等于分数乘以这个自然数的倒数。”（）

②因为“圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的1／3。”所以“圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的3倍。”（）

③因为“公约数只有1的两个数，叫做互质数。”所以“最大公约数是1的两个数，它们一定是互质数。”（）

通过改述后的判断，既深化了概念的内涵，又训练了学生分析、判断的能力。

2．发挥习题的“弹性”优势，训练学生应变能力。

例1（六年制第十册第71页第6题）：“把2／3和4／5化成分母是15而大小不变的分数。”练习后，可抓住有利之机，引出下面的问题：

①在“2／3＜（）／15＜4／5”的括号里，可填上什么自然数？

②在“2／3＜（）／30＜4／5”的括号里，又可填几个自然数？它们分别是____、____、____。

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数学概念都是从现实生活中抽象出来的，如正负数、数轴、直角坐标系、函数、角、平行线等，都是由于科学与实践的需要而产生的。讲清它们的来源与实物作比较，这样学生既不会感到抽象，而且容易形成生动活泼的学习氛围。

（1）注意概念的引出

例如：怎样用数表示前进3米？后退3米？收入200元与支出200元等这些相反量呢？引出正负数的概念；用温度计、杆称这些实物，引出数轴这个概念；由对不同实物的分类，引出同类项概念等。首先从对实物的感受激发学生学习的兴趣，再由抽象的特征浓缩成数学概念，学生容易接受。

（2）注意概念的及时整理

对于概念的引出，要把握好时间度，如过早的下定义，等于是索然无味的简单灌输，但定义过迟，学生容易失去兴趣，同时使已有知识呈现零乱状态。因此，教师在教学过程中，要及时整理和总结，在学生情绪高涨的时候及时总结出定义。

（3）注意概念的多角度说明

因为教师提供的感性材料往往具有片面性，所以常造成学生错误地扩大或缩小概念。因此要从多角度各方面加以补充说明。如“垂线”这个概念，不但要用“”号来表示，而且要用多种特殊图形和实物来透视概念的含义。

二、注重刻划概念的本质，对概念进行分析。

一个概念在其形成过程中，往往附带着许多无关特征。因此教师应抓住重点，善于引导学生，这样学生便能把握着概念突现出来的实质，尽量减少乃至消除相关不利因素的干扰。

（1）讲清概念的意义

例如：“不等式的解集”这一概念，抓住“集”这一特征进行分析，即不等式所有解的集合。更通俗地说，就是把不等式所有的解集合在一起（象学生排队集合一样），组成了不等式的解集，最终表示成x>a等形式。只有理解了这个定义，学生在解决问题的时候，就不会有丢解的现象。

（2）抓住概念中的关键字眼作分析。

例如：“同类项就是含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的项。”这个概念中，抓住“相同”这一关键字作分析，相同的是什么？是字母和它的指数

两部分;“最简分式”的概念中，抓住“不含公因式”这一关键字眼。只有学生真正理解了概念，那么在解决问题的时候，才能得心应手，不会出现错误。

(3)抓住概念间的内在联系作比较。

对于有内在联系的概念，要作好比较，加深学生对概念本质的理解。例如：“一元一次方程”的概念，是建立在“元”、“次”、“方程”这三个概念基础之上的。“元”表示未知数，“次”表示未知数的最高次数，次数是就整式而言的，所以“一元一次方程”是最简单的整式方程。这样学生便于抓住“一元一次方程”的本质，并为以后学习其它方程的概念打下基础。

再如：“乘方”与“幂”之间的关系，“直角”与“90°”之间的关系，“方程的解”与“不等式的解”之间的关系，“最简分式”与“最简根式”之间的关系等等。做好有内在联系的概念、相似概念的比较，学生应用起来才会得心应手。

三、注重实际应用概念，对概念进行升华。

学习数学概念的目的，就是用于实践。因此要让学生通过实际操作去掌握概念，升华概念。概念的获得是由个别到一般，概念的应用则是从一般到个别。学生掌握概念不是静止的，而是主动在头脑中进行积极思维的过程，它不仅能使已有知识再一次形象化具体化，而且能使学生对概念的理解更全面、更深刻。

（1）多角度考察分析概念。

例如，对一次函数概念的掌握，可通过下列练习：

①如果Y=（m+3）X-5是关于X的一次函数，则m=______.

②如果Y=（m+3）X-5是关于X的一次函数，则m=______.

③如果Y=（m+3）X+4X-5是关于X的一次函数，则m=______.

④如果Y=是关于X的一次函数，则m=______.

学生通过以上训练，对一次函数的概念及解析式一定会理解。

（2）对于容易混淆的概念，做比较训练。

例如学生学习了矩形、菱形、正方形的概念以后，可做以下练习：

下列命题正确的是：

①四条边相等，并且四个角也相等的四边形是正方形。

②四个角相等，并且对角线互相垂直的四边形是正方形。

③对角线互相垂直平分的四边形是正方形。

④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。

⑤对角线互相垂直平分，且相等的四边形是正方形。

⑥对角线互相垂直，且相等的平行四边形是正方形。

⑦有一个角是直角，且一组邻边相等的四边形是正方形。

⑧有三个角是直角，且一组邻边相等的四边形是正方形。

⑨有一个角是直角，且一组邻边相等的平行四边形是正方形。

⑩有一个角是直角的菱形是正方形。

教师在设计练习的时候，对相似概念一定要抓住它们的联系和区别，通过练习使学生真正掌握它们的判定方法和相互关系。

（3）对个别概念，要从产生的根源去考察：

例如“分式方程的增根”的概念。可从产生的根源去考察，教学时设计下列练习，让学生体会增根的概念：

①分式方程的根是。