概率统计教学范文

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篇1

方差是苏科版初中数学九年级（上册）第三章第四节的内容，此前学生已经学习过平均数、中位数和众数，这三个数据是刻画数据集中趋势的主要统计量。数据的集中趋势仅仅是数据分布的一个特征，反映的是一组数据向其中心值聚集的程度。本节课就是要研究数据之间的差异，考查数据的波动情况，即数据的离散程度，这是对数据分析的另一重要指标。这是对前面八年级所学有关统计内容的延续。

知识与技能：掌握极差、方差的概念，会计算极差、方差，理解它们的统计意义；了解极差、方差是刻画数据离散程度的统计量，并在具体情境中加以应用。

过程与方法：通过一系列富有启发性、层层深入的问题，经历对数据的分析，能用样本方差估计总体方差。

情感态度与价值观：培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯；培养学生探求知识的勇气，体会教学活动的探索性和创造性。

案例解析

教学设计 10月中旬，我校将要举行校运动会了，同学们都踊跃报名。但由于每个项目都有人数限制。为了我们班级能取得更好的成绩，现在要从报名参加100米跑步比赛的两位同学中选拔一人参加比赛。老师特意要来了他们两个人平时的训练成绩，请看下表（单位：秒）。你会选谁？（设计意图：利用学生熟悉的情境体现数学来源于生活，又服务于生活。）

探究活动 课堂上，有学生说：分别计算两个人的平均成绩，谁的平均成绩好，就选谁。教师肯定地说：好主意！分小组计算两位选手的百米赛跑平均成绩，通过计算发现两位选手的百米赛跑平均成绩均为10.9秒。平均成绩相同，两位选手的水平就一模一样吗？观察这些数据，我们还可以从哪些方面来考量这两位选手的成绩，比如成绩的稳定性、最好成绩等。最后，学生小组讨论，得出两组数据特点：小爽的成绩波动幅度大，小兵的波动幅度小。

教师问：波动幅度大小是怎么看的？有学生回答：小爽的最好成绩是10.7秒，最慢的成绩是11.1秒，相差0.4秒。小兵的最好成绩是10.8秒，最慢成绩是11.1秒，相差0.3秒。

教师总结：我们把一组数据的最大值和最小值的差叫做极差。极差反映了一组数据的变化范围，在一定程度上描述了这组数据的离散程度。（板书）在有些情况下，我们只需要知道极差就够了，如天气预报只报最高气温和最低气温，因为对于一般人来说，只需要知道这两个极端值，气温的变化范围就可以了。但是极差只是利用了一组数据两端的信息，不能反映出中间数据的分散情况，那么怎样才能衡量整个一组数据的波动大小呢？老师提供一种方案供大家参考：将两位选手的成以点的形状标注在平面直角坐标系里，然后用折线连接，确定平均数为中心线，从而观察波动情况。散点（如下图）可以比较明显的看到有多少数据在波动，数据偏离中心的幅度有多少。但这种绘制图像的方法仍然是定性的综合印象。怎样才能定量的计算整个数据的波动大小呢？（设计意图：为了直观地看出两组数据的离散程度（波动情况），绘制了两个“散点图”使学生对数据偏离平均数的情况有一个直观的认识，为引入“方差”的概念做好铺垫。）

学生：计算偏差，每个数据与平均数的差。

老师：如何累计偏差？

学生1：计算偏差的和。（学生先想到求代数和，但很快能自己发现问题）

学生2：不能求和，正负偏差会相互抵消的。小爽的偏差和就为0，而小兵为-0.1，和刚才的观察结果不符合。

老师：那如何使正负偏差不相互抵消呢？

学生：小组讨论后得出两种方法：①给每个偏差加上绝对值后再相加；②给每个偏差平方后再相加。

老师：我们以一组数据（下图）为例来分析一下该选用哪种方案更好些。

（设计意图：由学生提出方案后，学生会积极运算，想快速得出结果，验证自己的方案）

学生分组计算，第一种方案各数据与平均数的偏差的绝对值的和均为20，但按照第二种方案求各组数据的偏差平方和，甲组为164，乙组为104.所以我们应该选用第二种方案，给每个偏差平方后再相加。在很多问题里，含有绝对值的式子不便于运算，而且在衡量一组数据的离散程度（波动大小）的“功能”上，将各偏差平方更强些。

老师：数据的偏差的平方和与什么还有关系？请分别计算下列两组数据偏差的平方和。

让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简便方法计算，找一位学生到黑板上板演。

老师：观察与计算为什么有矛盾？

学生：因为两组数据的个数不一样。

老师：那么在数据个数不一样的情况下，如何合理计算偏差呢？

学生：计算偏差平方的平均数。

老师：请同学们分别计算上述两组数据偏差平方的平均数。

学生：计算两组数据偏差平方的平均数。

老师：现在观察与计算还矛盾吗？我们把一组数据偏差平方的平均数叫做这组数据的“方差”。（板书方差定义）

教师总结：一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大，也就是数据的波动越大，越不稳定。方差越小，说明这组数据的离散程度越小，数据的波动越小，越稳定。请同学们总结计算方差的步骤。

学生小组讨论后给出下列步骤：①计算数据的平均数；②计算偏差；③计算偏差的平方和；④除以数据的个数。

老师：学完方差的概念后，请同学们帮助老师一起来选拔一位同学参加校运动会的百米赛跑。

学生：通过计算，小爽的方差为0.018，小兵的为0.007。小兵的方差小，成绩稳定，选小兵。

（设计意图：使学生深刻体会到数学来源于生活。又反过来服务于生活，不仅使学生对学习数学产生浓厚兴趣，而且培养了学生应用数学的意识。）

课堂小结 本节课你学到了什么？在利用本课知识时，你想提醒同学们注意哪些方面？你还有什么收获？（设计意图：通过学生的总结，不仅可以进一步巩固所学知识，还可以培养学生以积极的情感态度，探索问题，进而体会数学应用的科学价值。）

篇2

针对以往的数学教程的不完善教育部实施了教学改革，其中对课程标准最明显的变动是增加了"概率与数理统计"这一内容，这在课程领域是一个突破.概率与数理统计是实际应用性很强的一门数学课程，它在经济管理、金融投资、保险精算、企业管理、投入生产分析、经济预测等众多经济领域都有广泛的应用.概率与数理统计是高等院校财经专业的公共基础课，它既有理论又有实践，即讲方法又讲动手能力.在初中阶段概率与数理统计作为义务教育阶段数学课程的四个学习领域之一.从第一学段安排有关内容主要因为现代社会需求每一个合格的公民必须具备一定的收集数据、描述数据、分析数据的能力.这样能要从小培养随机现象是这部分内容的一个重要研究对象.从随机现象中寻找规律，这对学生来说是一个全新的观念.如果缺乏对随机现象的丰富体验，学生往往较难建立这一观念.因此，应该从小就把随机的思想渗透到数学课程中去，这样不仅给以后的数学学习带来方便，而且能使学生所学的数学更加贴近现实，避免了理论脱离实际现象的产生.

三 新课标中的统计与概率内容

要使学生形成统计观念，最有效的方法是让他们真正投入到统计的全过程中：发展并解决问题，运用适当的方法收集和整理数据，运用合适的统计图表、统计量等来展示数据，分析数据作出决策，对自己的结果进行交流、评价与改进等。同样要使学生对随机现象有初步的理解，必须在实验的过程中，理解概率的意义，体会概率与频率的关系。只有通过大量的实验，才能丰富学生对于概率意义的理解，形成随机观念。

⒈第一学段通过具体操作活动，使学生对数据处理的过程有所体验，在活动中学习一些简单的收集、整理和描述数据的知识和方法（如统计表、象形统计图、平均数），并能根据数据回答一些简单的问题（也就是简单的统计推断）。本学段的学生更多地关注事物的新奇性和趣味性，他们的数学学习是否有效与自身已有的生活经验和知识背景密切相关，他们一般只能从感性的程度理解统计与概率的知识。因此，这一学段的学习侧重于初步的感受与体会，力求通过具体的操作活动和现实生活中的例子，让学生充分体验学习这部分内容的必要性和重要性。

⒉第二学段通过日常生活和周围的环境中熟悉的素材，使学生经历简单的数据处理过程。在此过程中进一步学习收集整理和描述数据的知识和方法（统计图表、平均数、众数、中位数等），根据数据作出简单的决策和预测，并能对某些简单问题设计统计活动、检验某些判断，进一步体会事件发生可能性的含义。

⒊第三学段通过自然、社会和科学技术领域中的现实问题，使学生主动地从事统计的过程，进一步体验统计是进行决策的有利手段，并初步接触抽样、随机抽样等内容，进一步学习收集、整理和描述数据的方法（如极差、方差、频数分布），体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。对于这学段统计内容学习要注重理解和在实际问题中的应用，即能够在新的问题情境中，特别是在具有现实背景的问题情境中，准确地解决问题。

⒋本学段统计学习的重要内容是抽样。这部分内容是通过丰富的实例，体会抽样的必要性和随机抽样的重要性；经历抽样的过程，并根据样本的平均数、方差等计算估计总体的特征，体会用样本估计总体的思想。例如：调查本班的同学，调查在操场上打球的学生，在校门口随便找一些同学，每年级男生女生按比例各抽几个人，按各班名册随便点几个人等等。

初中阶段的概率与统计内容的学习重点是统计与概率的思想方法的学习、理解与应用。对概念、公式、法则重在理解和应用，即能够在新的问题情境别是在具有现实背景的问题情境中，准确地理解和使用相关的概念、术语或公式。

高中阶段的概率与统计内容主要是将学生在义务教育阶段所学的统计与概率的基础上通过实际问题情境，学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，体会用样本估计总体及其特征的思想；通过解决实际问题，较为系统的经历数据收集与处理的全过程，体会统计思想与确定性思维的差异.学生将结合具体的实例，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，能通过实验、计算器模拟估计简单随机事件发生的概率。其中本模块学习的随机抽样、样本估计总体、变量的相关性三部分内容贯穿于中学阶段的始终。

⒈随机抽样是高中数学课程统计学习目标非常重要的一个方向。简单的随机抽样是抽样中最简单的方法，也是最基本的抽样方法，因此，学生在学习时要领悟其基本思想.简单的随机抽样是使总体中所有抽样单位都有相等的概率被抽取到样本中去的一种抽样方法。

⒉在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。

另外，要学生明确样本的信息与总体的信息还存在着一定的差异.样本所提供的信息只是总体的部分信息，在一定程度上反映了总体的有关特征，但不完全确定。也就是说，按照同一个规则进行抽样，每次抽样所获得的信息都不能保证完全一样的，是一个变化的量，这是抽样的随机性所决定的。

高中阶段的概率与统计的学习有助于学生形成数据处理过程中进行初步评价意识和自我评价意识；有助于学习方法与提高学习能力。在统计与概率的学习中，要求学生形成对数据处理过程初步评价意识，这将有助于学生对统计思维与确定性思维的理解。另外，数据处理的过程存在着统计思想与统计方法的差异，这样可能导致统计分析的结果的差别，学生的 初步评价意识有助于改善统计分析过程可能出现的各种问题.评价意识将有助于学生客观地认识统计的过程、统计的分析方法，有助于理性思维的培养。

高中数学新教材以较多的篇幅充实了概率统筹内容，旨在介绍一些新的基本数学思想与内容，同时使教材内容更加体现数学应用意识，其重要性是不言而喻的。通过实际问题使学生初步理解在现实世界中大量事件的不确定性，同时能用概率知识进行一些简单的判断与决策。

总之，统计与概率的教学，应重视问题的实际背景和意义，强调制定决策的过程以及统计与概率在社会生活和科学领域中的应用，注重学生的自主探索和在此基础上的合作交流，重视模拟和实验，不要把这部分内容处理成纯计算的内容，也不能灌输给学生过多的专业术语.

参考文献：

[1]北京师联教育科学研究所制定，《新课程与初中数学教学》.学苑音像出版社，2004 54-77

[2]北京师联教育科学研究所制定，《新课程与高中数学教学》.学苑音像出版社，2004 65-80

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因此，在课程设置上，不能只局限于一套指定的教材，应该在一个统一的教学基本要求的基础上，教材建设应向着一纲多本和立体化建设的方向发展。在教学进度表中应明确规定该门课程的讲授时数、实验时数、讨论时数、自学时数(在以前基础上适当增加学时数)，这样分配教学时间，旨在突出学生的主体地位，促使学生主动参与，积极思考。

2教学形式

1)开设数学实验课教学时可以采用以下几个实验：在校门口，观察每30s钟通过汽车的数量，检验其是否服从Poisson分布；统计每学期各课程考试成绩，看是否符合正态分布，并标准化而后排出名次；调查某个院里的同学每月生活费用的分布情况，给出一定置信水平的置信区间；随机数的生成等等。通过开设实验课，可以使学生深刻理解数学的本质和原貌，体味生活中的数学，增强学生兴趣，培养学生的实际操作能力和应用能力。

2)引进多媒体教学多媒体教学与传统的教学法相比有着不可比拟的优势。一方面，多媒体的动画演示，生动形象，可以将一些抽象的内容直观地反映出来，使学生更容易理解，同时增强了教学趣味性。如在学习正态分布时，可以指导学生运用Matlab软件编写程序，在图形窗口观察正态分布的概率密度函数和概率分布函数随参数变化的规律，从而得出正态分布的性质。另一方面，由于概率统计例题字数较多，抄题很费时间。制作多媒体课件，教师有更多的精力对内容进行详细地分析和讲解，增加与学生的互动，增加课堂信息量。对于教材中的重点、难点、复习课、习题课等都可制作成多媒体课件形式，配以适当的粉笔教学，这样既能延续一贯的听课方式，发挥教师的主导作用，又能充分体现学生的认知主体作用。比如在概率部分，把几个重要的离散型随机变量、连续型随机变量的分布率、概率密度、期望、方差等列成表格；在统计部分，将正态总体均值和方差的置信区间，假设检验问题的拒绝域列成表格形式，其中所涉及到的重要统计量的分布密度函数用图形表示出来。这样，学生觉得一目了然，通过让学生先了解图形的特点，再结合分位数的有关知识，找出其中的规律，理解它们的含义及联系，加深了学生对概念的理解及方法的运用，以便更容易记住和求出置信区间和假设检验问题的拒绝域。这样，不仅使学生对概念的理解更深刻、透彻，也培养了学生运用计算机解决实际问题的能力。

3)案例教学，重视理论联系实际《概率论与数理统计》是从实际生产中产生的一门应用性学科，它来源于实际又服务于实际。因此，采取案例教学法，重视理论联系实际，可以使教学过程充满活力，学生在课堂上能接触到大量的实际问题，可以提高学生综合分析和解决实际问题的能力。如讲授随机现象时，用抛硬币、元件寿命、某时段内经过某路口的车辆数等例来说明它们所共同具有的特点；讲数学期望概念时，用常见的街头用随机摸球为例，提出如果多次重复地摸球，决定成败的关键是什么，它的规律性是什么等问题，然后再讲数学期望概念在产品检验及保险行业的应用，就能使学生真正理解数学期望的概念并能自觉运用到生活中去；又如讲授正态分布时，先举例说明正态分布在考试、教育评估、企业质量管理等方面的应用，然后结合概率密度图形讲正态分布的特点和性质，让同学们总结实际中什么样的现象可以用正态分布来描述，这样能使学生认识到正态分布的重要性及其应用的广泛性，从而提高学生的学习积极性，强化学生的应用意识。

另外，也可选择一些具有实际背景的典型的案例，例如概率与密码问题、敏感问题的调查、血液检验问题等等。通过对典型案例的处理，使学生经历较系统的数据处理全过程，在此过程中学习一些数据处理的方法，并运用所学知识和方法去解决实际问题。新晨

3考核方法

考试是一种教学评价手段。现在学生把考试本身当作追求的目标，而放弃了自身的发展愿望，出现了教学中“教”和“学”的目的似乎是为了“考”的奇怪现象。有些院校概率统计课程只有理论课，没有实验课，其考试形式是期末一张试卷定乾坤，虽然有平时成绩，主要以作业和考勤为主，占的比率比较小(一般占2O)，并且学生的作业并不能真实地反映学生学习的好坏，使得教师无法真正地了解每个学生的学习情况，公平合理地给出平时成绩。而这种单一的闭卷考试也很难反映出学生的真实水平。

所以，我们首先要加强平时考查和考试，每次课后要留有作业、思考题，学完每一章后要安排小测验，在概率论部分学完后进行一次大测验。其次注重科学研究，每个学生都要有平时论文，学期论文，以此来检查学生掌握知识情况和应用能力．此外还有实验成绩。最后是期末考试，以A、B卷方式，采取闭卷形式进行考试。将这4个方面给予适当的权重，以均分作为学生该门课程的成绩。成绩不及格者．学习态度好的可以允许补考。否则予以重修。分数统计完后，对成绩分布情况进行分析，通过总体分布符合正态分布程度和方差大小判断班级的总体水平，并对每道题的得分情况进行分析，评价学生对每个知识点的掌握情况和运用能力，找出薄弱环节，以便对原教学计划进行调整和改进。总之，通过科学的考核评价和反馈，促进教学质黾不断改进和提高。

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二、选取有趣例题，激发学生学习兴趣

美国心理学家布鲁纳说：“学习最好的刺激是对所学学科的兴趣。”学生一旦对数学产生兴趣，就会乐此不疲、甚至废寝忘食，他们会克服一切困难，充满信心地学习数学、学好数学，变“要我学”为“我要学”。选取与现实生活紧密相连的、生动直观的现实生活例子，可以让学生更容易参与进来，激发他们的学习兴趣，同时，也利用了概率知识解决了现实生活问题，最终达到学习的目的。例如，这样一道例题：在美国，有一档由名为蒙提•霍尔的主持人主持的问答竞赛节目。参与竞赛的嘉宾中间能坚持到最后的那一位将有机会打开3扇门中的一扇，其中一扇门后面摆着一辆轿车，另外两扇门后面则是山羊。嘉宾选中哪扇门，哪扇门后面的东西就归嘉宾所有（当然，人都喜欢轿车胜过山羊）。主持人先请嘉宾猜一扇门，然后主持人打开剩下两扇门中的其中一扇后面是山羊的门，并问嘉宾是否要改变选择。

是否改变选择，取决于改变选择猜中轿车的概率高还是不改变最初的选择猜中轿车的概率高，抑或是两种情况概率一样。在美国的杂志上曾有很多数学家对此问题争论不休。如果做一下实验便能得到如表1中的结果。不改变最初的选择猜中轿车的概率为1/3，同样可得出改变最初的选择猜中轿车的概率为2/3。

实际上，在主持人随意打开一扇门的前提条件下，剩下两扇门中其中一扇门后是有轿车的，那么选择任一扇门中奖的概率自然是1/2。但是，如果嘉宾先选择一扇门的话，那么这个问题则变成一个概率问题，可用乘法定理来进行计算。第一次选中车的概率为1/3，不改变选择，第二次概率为1，此外，第一次未选中车的概率为2/3，不改变选择，第二次概率为0。两结果相加得到以下结果同理，若主持人打开门后嘉宾改变选择，获得车的概率就为2/3了。教师要善于创设教学情境，使学生产生新奇感、新鲜感，诱发其学习兴趣，一旦有了兴趣，就会产生极大的学习动力。类似的例题还有很多，如“生日问题”、“三囚犯问题”等，例题选取得好坏是教学成功与否的关键。

三、利用多媒体教学，改变传统教学模式

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二、结合实例强调统计方法的重要性

概率统计是数学的一个重要分支，它的方法别具一格，无论对自然科学还是社会科学，现代统计方法是必不可少的。在教学的过程中，结合实例强调统计方法的重要性，既能加深对于概率统计理论知识的理解，又能激发学生对这门课程的兴趣，具体可从以下几个方面进行考虑：（1）结合日常生活实例进行教学，比如统计学生中同生日的人数，随着统计人数的增加，至少有两人同生日这一事件的频率会接近于1，然后将这一结果与理论概率进行比较；统计吸烟与非吸烟人群中患肺癌的比例，检验吸烟与患肺癌是否存在某种依赖关系；观测一天中某人手机的呼唤次数，然后与泊松分布进行拟合优度检验；统计某年级的外语考试成绩，根据数据进行正态分布的拟合优度检验；等等。（2）结合实例突出统计中的基本方法，参数估计和假设检验是进行统计推断的两种最基本的方法，其涉及的范围十分广泛，在教学的过程中应首先理解方法的基本原理和理论依据，结合典型实例进行分析，比如通过估计湖中鱼的条数，使学生了解矩法和最大似然法的原理和步骤；通过检验自动包装机工作是否正常，使学生掌握假设检验的方法步骤。（3）结合实例系统介绍统计中的基本内容，使学生进一步认识到统计方法的实用性和广泛性，为学生在今后的学习和研究中提供广阔的应用空间。

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大学教育最主要的功能是专业教育，即培养学生树立牢固的专业思想，掌握本专业的基本理论和基本技能，为将来进一步深造或从事专业工作做好充分的准备．大学教育虽然是一种综合素质的培养，但这种综合素质的培养必须靠专业来支撑．任何一个专业目标的实现都必须通过一系列既相互联系，又有明确分工的课程来完成．这一系列课程构成一个完整的系统，而每一门课程自身也是一个系统，它们由自成体系又相互联系的章节，相互联系的一系列概念、判断、推理所构成．于是大学的课堂教学就与中小学有了本质的不同．大学教师不论采用什么模式，什么方法进行教学，都必须坚持一条准则，那就是帮助每一个学生建立自己的知识体系．如果教师仅仅是照本宣科的讲一些条条框框，学生背一些概念、公式、做几道习题，那就根本达不到对知识融会贯通，更谈不上将知识转化为能力，灵活的运用知识．而这基本上是当前大学概率统计教学的实际情况．为扭转这种局面，笔者认为教师在课堂教学中必须把深度和广度结合起来，使学生不仅是了解每门课程内在的知识结构，而是能深刻领会课程所揭示的基本原理，逻辑联系和理论依据;不仅要学好每一门课程，而且能把各门课程知识融会贯通和重组，打下牢固的专业基础;不仅能掌握教科书知识，而且能够以此为基础和线索拓展自己的知识领域，并且具有运用这些专业知识解决实际问题的能力［3］．

每一章结束或课程结束的习题课上，教师要将所学的相关知识进行系统复习．抓住这一机会，组织学生画概念图，通过画概念图使学生既能将所学知识系统化又能培养学生系统化掌握知识的能力，从而有利于大学概率统计教学根本任务的完成．所谓概念图是用来组织和表征知识的工具，它通常是将有关某一主题不同分支和不同级别的概念置于方框中，再以各种连线将相关的概念连接，这样就形成了关于该主题的概念网络，以此形象的说明概念的内涵和相互关系［4］．例如，利用概率统计概念图可使学生很好的掌握这两个数学分支的研究对象、研究条件、研究内容和思想方法的不同(见图1)．学生很长一段时期的认识主要局限于对具有因果关系的确定性的把握，而对揭示偶然世界规律的随机变量了解的总是很肤浅．教师可以通过下面两个概念图让学生深刻理解与掌握概率统计中这一最重要的概念．对于随机变量概念图中的每一个概念还可以画出它的微观概念图，比如“离散型”概念为主题的微观概念图，如图3所示．习题课上往往是教师提供一个不完整的概念图，要求学生给与完善(见图4)．(参考答案是:①随机变量序列的算术平均收敛于其期望的算术平均;②是特例;③是特例;④n重贝努力试验;这样学生所学到的知识会更加系统，可以建立起自己的完善认知结构．在概率统计习题课中经常让学生自己画概念图或自己完善概念图，可以使学生形成系统的知识结构，培养学生的高级思维和创造性思维，提高学生运用概率统计知识分析和解决实际问题的能力．

概率统计习题课的任务不仅是要引导学生系统的掌握概率统计的基础知识，还要激发学生学习概率统计的兴趣．培养数学思维能力和提高运用概率统计知识分析和解决实际问题的能力．数学的价值之一是应用价值，它能激起学生的学习欲望．为此，我们在习题课上尽可能的选择一些既能引起学生兴趣又能培养学生解决实际问题能力的习题．如在学习古典概率时，我们选择了抓阄获取一张电影票与顺序无关的实际问题，进而推广到其它抽奖活动与顺序的无关性;学习数学期望和方差时，我们引入了投资风险问题及体育彩票中奖问题;在学习正态分布时，让学生做设计公交车门的高度的实际问题;在学习贝叶斯公式时，我们让学生解决这样的问题:某同学在超市买了一杯酸奶，饮用后出现中毒症状，送医院经抢救脱险，花费医疗费1万元．该同学要求超市赔偿医疗费用，而超市要追究三个厂家的责任．已知超市从三个厂家进货的比例分别为50%，30%，20%，各厂家的次品率分别为2%，4%，5%，由于杯盖上的商标撕掉了，无法辨认是哪个厂家生产的．如果超市想让三个厂家共同支付医疗费用，问三个厂家各支付多少医疗费用才比较合理?这样的问题学生很感兴趣．通过这样的实际问题，学生不仅掌握了一些抽象概念，而且提高了运用概率统计解决实际问题的能力．

在学习数理统计时，可以出一些实际的小问题让学生解决．例如:统计某门课的期末成绩，看其是否符合正态分布，并求出获得优秀、良好等级的概率，进而评价考试的合理性;利用拟合检验考察系别对英语过级率的影响;学习回归分析时让学生记录年级学生的身高及其父母的身高，分析父母身高对子女身高的影响，并预测未来子女的身高，等等．通过这些改革，学生们的概率统计成绩得到明显提高．所学到的知识不仅更加系统，而且会用这些知识去观察社会，极大的提高了他们解决实际问题的能力．（本文作者：丛玉华、殷烁单位：通化师范学院数学学院）

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2培养学生数学建模思想要改变教学模式

数学建模思想与概率统计教学的有机结合，不但充分体现了概率统计知识的应用性，而且加速了新课程改革理念的实施，推进了概率统计课堂教学模式的转变。旧的课堂模式多采用讲授概念定理，例题示范和习题演练的形式，学生参与的空间有限，对知识背景不了解，导致学了知识却无法进行应用，这样的课堂教学氛围是枯燥的。当把数学建模思想融入到课程中时，教学内容变得丰富起来，学生学习概率统计知识的思维也有原来的理论层面转换到实际应用上了。课堂教学模式的转变，为学生数学建模能力的培养起到了重要作用。

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1．1概念图的由来．

概念图是在20世纪60年代由美国康奈儿大学心理学家诺瓦克教授等人提出的，1984年在《学习如何学习》著作中系统地介绍了概念图，此后，它作为一种组织和表征知识的工具，在一些欧美国家逐渐成为了一种比较盛行的教学形式．然而，在国内概念图的研究相对滞后，仅在近几年才开始有学者进行介绍、引进，并试图在教学中应用，因此，概念图在我国教学领域中的应用研究还很不普及，在概率统计教学中的应用研究还处于起步阶段．

1．2概念图的内涵．

概念图是用来组织和表征知识的工具，它通常是将有关某一主题不同分支和不同级别的概念置于方框中，再以各种连线将相关的概念连接，这样就形成了关于该主题的概念网络，以此形象地说明概念的内涵、外延和相互之间的关系，从而表征学习者对于特定的概念是如何理解和相关联的．概念图是由3部分组成：节点、连线、连接语词．节点表示概念；连线表示两个概念之间的意义联系，并用箭头符号指示方向；连接语词是用来标注连线的，描述两个概念间的关系．连线被贴上了标签，被贴上标签的连线解释了节点之间的关系，箭头描绘出关系的方向，这样读起来就像一句话．诺瓦克在《学习如何学习》著作中介绍了概念图的制作［2］，但由于概率统计概念本身具有对偶性，比如离散型与连续型，估计与检验等，因此为使概率统计知识概念图能够较好地体现事实、规律和公式等知识及其应用方法，概念之间的关系可能是对象与对象、对象与过程，或是过程与过程等之间的复杂关系，也难免牵涉到与运算之间的关系，与图形之间的关系等，它们不是简单的字句所能代表的，因此节点可能会以数学式或图形的形式出现，为此，对于概率统计概念图来说，可以以较宽泛的意义来看待概念图，允许学习者以数学式、图形等作为节点来表征知识（如图1）．概念图的实践价值．在诺瓦克看来，概念图是用视觉再现认知结构、外化概念和命题的一种方法，由于每个人感知事物及其规律的差异，每个人制作的概念图结构也各不相同，因此学生制作的概念图在很大程度上反映了学生的认知结构，教师可以据此了解学生知识的掌握情况，获得教学反馈．从图1可以看出，概念图用视觉表征的优势在于：视觉符号容易被快速识别；用较少的凝缩在概念图中的言语来了解大量的信息；最低限度地使用文本，使学生容易扫视概念间关系的大意；视觉表征创造了单独使用语词所不能传达的整体理解力．不难看出，概念图的理论内涵和实践价值大大超过了一般意义下的概念关系表，这不能不说是知识呈现的一个里程碑．

2概念图在概率统计教学中的应用

2．1概念图可作为先行组织者．

在过去的教学中教师反复强调学生要重视概念的理解，反对死记硬背，并不断地创新新的教学方法促使学生有意义学习．建构主义学习理论认为，只有学生将新知识同化到已有概念框架中，有意义学习才会发生，采用先行组织者策略就是一种促使学生有意义学习的好方法［2］．先行组织者策略是根据奥苏贝尔的有意义学习理论，设计出相互联系的内容群，在演绎推理中首先出现范围较广的上位概念，接着出现范畴较狭窄的下位概念［3］．先行组织者的使命，一是把上课的内容与学习者的认知结构联系起来，二是帮助学习者组织所要学习的材料，以帮助学习者顺利接受新知识．概念图所具有的功能正适合扮演这一角色．上课伊始，教师呈现给学生的作为先行组织者的概念图，所选择的概念应包含学生已经熟悉的学习过的概念，还应包含马上要学习的新概念，如老师讲完概率论后讲数理统计时，应帮助学生比较它们的研究条件、研究对象、研究内容和思想方法，并以概念图的形式展现给学生（如图2）．这样就把要学习的新概念组织在原有的学生已经熟悉的知识网络中，促使新旧知识同化．教师可以将概念图画在黑板上，也可以用幻灯片、计算机等工具以投影方式呈现，在这样呈现的视觉信息基础上，教师再对概念图上的连接线及连接语的意义做出解释，并用客观事例加以说明，这样学生就在新概念与原有概念间所构成的各种有意义的联系中接受了新概念及相应的新学知识，这时有意义学习就发生了．

2．2概念图是学生复习时整理知识的一种有效工具．

调查发现，许多学生概率统计考试难以达标，究其原因，主要是学生对概率统计知识的理解水平较低，知识结构和问题解决技能存有很大缺陷，对概率统计中众多的基本概念和方法记不牢．一种有效的解决方法，就是促使学生在复习时使用概念图．学生构建概念图时，通过概念的列举，促使学生自觉地回忆这些概念，提高记忆效果；通过将概念分成不同的模块，抓住关键概念，分清一般概念和具体概念，促进学生把握概念的内涵与外延，加深对概念的理解；通过层级排列和连接，有助于学生建构概念间的关系，从而提高问题解决能力．概念图还可使零散的知识系统化、结构化，形成图式（如图1所示），图式是一种记忆结构，人的认知必须依靠记忆中已有的图式通过同化和顺化对外部的剌激作出的反应，在人脑中构造图式．“认知心理学家通常将这种对所学命题有所增添或补充的过程称为精致”［4］，因此概念图还是一种“精致结构”．比如教师要求学生以伯努利大数定律为主题画概念图，某一学生所画概念图如图3所示．该学生在一系列复习活动中，不断地反思，修改概念图．在参与小组讨论后添加了该定律的“内涵”，参与班级交流后又添加了该“定律与切比雪夫定律和辛钦定律之间的关系”，观看老师提供的概念图后又添加了该定律的“一个推广”，随着学习的深入，该学生还会在这概念图中添加更多的内容，使概念图趋于完善、精致，如图4所示．安德森认为：对学习材料所作的精致越充分，越能导致良好的记忆［4］．因此使用概念图复习概率统计知识是一种有效的方法．从图4中还可以看出，它与传统的复习方法———归纳要点法和知识框图法相比较，概念图更适合作为学生复习的工具．与归纳要点法相比较，概念图形式上更为凝聚、简洁，概念图以概念为出发点建立定理和公式，更能体现定理和公式的本质含义，与知识框图法相比较，概念图呈现的知识更为具体、全面，所包括的知识范围更加灵活．

2．3概念图是教师检测学生学习的工具．

2．3．1检测学生的错误理解．从学生的概念图中，教师可以发现学生头脑中存在的对概念的错误理解，而这些在传统检测形式中不能很好地外显出来．比如教师只给出频率和概率两个概念，要求学生创建一个概念图，有不少学生画的概念图如图5所示，从该图中反映出在学生的头脑中存在的对概念的错误理解．按极限定义：任意给定的ε＞0，总存在N＞0，当n＞N时，一定有fn（A）－p＜ε，或者说fn（A）－p≥ε这种现象绝对不会发生．而依概率收敛不同，它是指fn（A）－p＜ε成立的可能性是近似于百分之百，但也有可能出现fn（A）－p≥ε这种现象，只是这种现象发生的可能性非常的小，因此概念图中出现的“等同”这一连接和“也可表示为”这一连接是学生的错误理解．

2．3．2检测学生掌握知识的综合水平和能力．传统检测虽有其优点，比如题目简单明了，深难度容易掌握，批改容易．但也存在诸多不足，比如每个题目知识的覆盖面不够宽，一般仅能检测学生对零散知识的理解和掌握的程度，无法检测出学生的知识结构以及对知识间相互关系的认识等，而概念图检测方法不同，它不但可以检测学生对知识的整体把握，扩大对知识的检测面，还可以检测学生对知识之间有机联系的理解程度、理解能力和归纳推理能力等．比如老师给出下列一个不完整的概念图，要求学生根据所学的知识给予补充（如图6所示）．教师就可以从学生所完成的概念图情况，了解学生对大数定律掌握的大量信息，还可以看出学生理解知识的方式，概念图为学生提供的检测结果是学生头脑中关于知识结构的图示化再现．因此利用概念图可以全面检测学生的学习．（答案是：①随机变量序列的算术平均收敛于其期望的算术平均②是特列③是特列④n重贝努利试验⑤limn"P1／n∑ni＝1Xi－1／n∑ni＝1E（X）i＜｛ε｝＝1⑥独立，同分布场合．）学生头脑中存在的错误理解以及学生掌握知识的综合水平和能力，在传统的习题训练中难以具体发现，而大量的习题训练的确可以提高学生传统考试形式的成绩，学生虽然在传统形式的考试中取得了好成绩，但这些错误理解仍然存在，也不能体现学生的综合水平和能力，过去常说的“高分低能”就是一个例子．因此概念图是一种帮助教师检测学生学习的良好工具，教师可依此采取相应的教学补救措施．

3概念图的制作策略

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一、引言

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，是数学专业和其他工科及管理类学生必修基础课程，是工学及经济学硕士研究生入学考试的必考内容之一，分值占到20%～25%。概率论与数理统计遍及科学技术领域、工农业生产，是数学学科中与现实世界联系最密切、应用最广泛的学科之一，是许多新发展的前沿学科的基础。

二、教学存在的问题

1.很多学生把概率论与数理统计这门课程作为纯粹的数学课来学，没有注意到这门学科的趣味性和广泛的应用性。课程本身基本概念、公式较多，难以理解，做起习题来较难下手，缺少利用数学知识分析解决问题的能力，这与我们培养复合型人才的定位是不相适应的。

2.教师为中心的课堂教学。传统的教学模式是以书本为核心、教师为中心的教学模式。但这种应试教育从长期看不利于培养学生创新思维，不能适应时代要求，使学生处于背、记、考的恶性循环之中，扼杀了学生的个性。传统的教学模式注重理论，偏离于实际应用，学生即使学完课程，通过考试之后也很快忘记学过的主要知识点，不能学以致用。

3.学时分配问题。很多工科院校概率论与数理统计课程的学时是48学时，这其中大部分是分配给概率论部分，应用性更强的统计部分的学时少之又少。笔者所在学校的生物专业、测绘专业对数据的处理要求高，学时不能满足学生的高要求。教师讲课过程中重理论轻实践，结果学生缺乏创新精神，不能适应时展的需要。

4.读书式的多媒体教学。多媒体课堂上，有的教师照“片”宣科，缺少师生之间的互动；有的教师的教学视频画面跳转过快，不顾学生听课状态，使学生思路跟不上。这样的教学尽管使用了多媒体，也只是把知识硬塞给学生。

三、教学改革

1.改变教学形式，调动学生的积极性。教学形式要求我们的课堂教学要有“度”，采取适当的方式改变现有的教学状况，如课前先布置知识点，让学生分小组进行讨论，加深学生对知识的理解与学习，提高学生的主动性和探索性，教学一体，增进师生之间的沟通，增加课堂的趣味性。教学过程中，教师可以通过案例调动学生的学习积极性，讲解概率的起源及历史上著名的赌博问题。教师讲解概率论的发展史可以增加数学家如德摩根、蒲丰、皮尔逊、柯尔莫哥洛夫等人物介绍，讲授古典概率模型的生日问题、分房问题、装箱问题、摸球问题、约会问题，让学生体会到概率在我们身边无处不在。教师在教学中要注重知识点的关联性，如一维随机变量与多维随机变量。教师要发现学生易混淆的概念：全概率公式与贝叶斯公式，分布函数与函数分布，互不相容、对立、独立性、不相关等。教师在教学中要详细讲解相关概念，剖析概念的本质区别。

2.开设实验教学。教师教学可以开设实验教学环节，计入学生的平时成绩。例如，学校图书馆单位时间内进入图书馆的人数，观察其是否服从Possion分布。调查信息与计算科学专业学生每月生活费用的分布情况，给定置信水平下的置信区间。通过生活小知识，学生产生对概率论与数理统计的学习兴趣，提高解决实际问题的能力。随着科技的不断进步，Excel、Lingo、Eview、SPSS软件为复杂的统计工作带来极大的方便。教师可以在教学过程中加入一些数学软件教学。例如，Matlab数学软件所带的统计工具箱几乎包括了所有参数估计、假设检验、回归分析等数理统计领域，命令调用十分简单，能培养学生的分析能力、推理能力、建模能力，有利于学生的个性发展，推进学生素质培养。教师可以鼓励学生参加数学建模竞赛，为学生毕业后的发展奠定良好的基础。

3.多媒体教学+传统教学的结合。多媒体技术是教学中的辅助工具，教师可在多媒体上展示教材中的定义、定理并做页码标注，节省时间，让学生多做习题，做到“精讲多练”，提高教学效率。例如，幻灯片使教学效果直观、形象，尤其对合班授课、坐在后面的同学视觉效果会更好。教师以多媒体图形表格的形式给出单个正态总体的待估参数的置信区间、假设检验的拒绝域，可以让学生一目了然，深刻理解概念及结论的本质。多媒体教学主张以教师为主导、学生为主体的教学模式，教师应遵循教学规律，针对学生的反应适时调整教学内容与方式，将传统的板书教学、教师的肢体语言和多媒体课件有机结合，有张有弛，以期达到最佳的教学效果。

4.考试方式的改革。随着复合型人才培养的需要，考试方法的改革势在必行，其主要目的是提高学生的学习积极性，培养学生的学习能力和应用能力。学校可以采用“期末闭卷+平时成绩”的综合考核方式，期末试卷和平时成绩各占一定比例。期末试卷可以减少学生死记硬背的知识，增加考查综合能力的知识点，加大平时成绩的考核力度。学校可以采用多种形式，如作业情况、平时表现、期中考试、实验教学，可以让学生以小论文的形式探讨对概率论与数理统计课程中感兴趣的方面。

四、结论

概率论与数理统计的教学目标是使学生学会书本知识，使学生学会如何应用所学知识解决今后学习和工作中的实际问题，提高学生的创新能力。高校教师应利用多种教学手段，提高课程的教学效果。

参考文献：

[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2011

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关键词：高校教育 概率统计 教学改革 探讨

一、引言

《中国教育改革和发展纲要》指出：谁掌握了面向21世纪的教育，谁就能在21世纪的国际竞争中处于战略主动地位。而数学研究领域决定着一个国家科学技术的进步，是关系着教育体系的核心学科。国外也是如此，1998年，美国教育部长在应美国数学会的邀清所作的演讲中指出“让我们的国家认清数学的重要性，以使所有的教师教更好的数学和更好地教数学”。这无疑给教育工作者提出问题：什么是更好的数学？怎样才能更好地教数学？

随着我国经济的发展，大学教育的普及，高校间的竞争日趋激烈，高校教师也面临着如何优化教学模式，提高教学效率的挑战。人类社会逐步迈向信息化社会，随着计算机技术的迅速发展与广泛应用，数学的应用向各个领域更为广泛和深入地渗透，这就无疑对数学教育提出更高的要求。

21世纪，数学教学目的不仅是培养能掌握数学概念、公式，能解答数学习题的知识型人才，而且更注重数学素质教育，即要面向全体学生，按数学本身固有的特点和学生的认识规律激发学生的潜能，点燃思维火花，运用知识去创造性地解决工作和实践中的有关问题，同时，通过知识载体对学生进行能动的心理和智慧引路，开发悟性，结合学生的思想实际和生活实际促进他们世界观、人生观、价值观的形成发展。

二、概率统计教改的思考

概率统计是高校理工类专业的一门必修课，概率统计学科是一门研究随机现象的学科，它的思想方法与任何其它学科均有所不同，它是一门极富时代性和创造性的学科。而我们的实际情况是教学硬件条件和学生整体素质相对差，学时少、内容多，因而需要学生在较短的时间里接受新事物，并且能够将所学到的知识与日益发展的科学技术联系起来，怎样才能使学生在较短的时间里取得这样的效果呢？根据我们多年来的教学实践，谈谈自己的看法。

1.教学内容的思考。随着近几年教学计划的更新，专业总学时的压缩，概率统计实际是两门课，却只有一门课的学时，学时少、内容多，不可能把所有内容都详尽讲解。以前我们的教学都偏重在概率部分，以至于没有足够时间来完成统计部分的内容，而不管是数学的应用还是从以后工作的需要来看，后面的统计部分都很重要，因此，需要调整这门课程的教学计划。根据新修订的教学大纲，减压概率部分的学时，适当增加实验课的内容。概率部分内容包括：随机事件及概率；随机变量及其分布；多维随机变量及其分布；随机变量的数字特征、极限定理。统计部分内容包括：数理统计的基本概念；参数估计；假设检验；方差分析；回归分析。实验课内容是适当利用数学软件实践数理统计中的方法。

2.教学方法的思考。⑴教学中重视对学生思想方法的指导。各学科都有其特有的学科思想，知识体系就是在这种学科思想的指导下建立起来的。我们教授学生的目的，不是为了把知识越多越好地灌输给他们，而是要教会他们如何思考，如何用学到的知识去解决新的问题。如在概率统计中，许多概念抽象、难懂，更有许多人一时无法接受随机的思维方式，若仍采用严格的数学定义方式，学生恐怕最终只记住了一些定义、定理，知其然而不知其所以然。如讲到一维离散型随机变量的常见分布中的Pascal分布时公式复杂难记，但涉及到应用实例Banach火柴问题，知识点就显得具体化而不是抽象学生难理解的公式。如在统计中，学生只看到了其中大量的公式、方法，背公式、记步骤而却不知为什么要用这些公式、方法，这就需要引导学生理解这些公式方法的原理。其实，统计问题的许多做法都源于非常朴素的思想，如极大似然估计法源于人们对“己经发生的事件应有相对较大的概率”，假设检验源于“小概率事件一次实验中不应发生”，等想法的认同。如果从这些朴素的想法出发，通过一些简单的、学生熟悉的问题出发，由浅入深，由特殊到一般，使学生自然的体会到了“极大似然”、“假设检验”，的思想，再联系到公式就具备了用思想解决实际问题的能力。再例如讲解“数学期望”时，教师提出如何计算打靶平均环数的问题加以引导，学生就会想到平均环数自然是应该用总分除以射击次数，很自然地引出离散型随机变量的期望。由于是学生经过思考自己获得的知识，所以记得住、用得活。在教学活动中，教师启发了学生的思维，学生主动、自觉地学习，学习兴趣提高了，对教学也起了促进作用，而且也有利于学生的认知水平、表达能力及分析问题、解决问题能力的提高，这正符合了我们的教育目标。

⑵注重备课这个环节。课前备课是每一门学科教学过程中必不可少的第一步，概率统计教学也是一样，教师必须在课前作出详尽、周密的备课。教师要对有关知识进行消化、理解、归纳、思考，从而加强学生对知识理解的准确性和完善性，还要考虑到我们学生的实际认知水平，以加强教学环节的严密性。尤其对于概率统计这门应用学科，它是数学中与现实世界联系最密切，应用最广泛的学科之一，更应该注重实例的选择，要让学生理解一个知识点，就构造出一个与此知识点相对应的实例，并由此实例推演过程和结果来得出与之相关的结论，比通过繁杂的理论推理，学生更容易接受和理解，教学效果要好得多。如古典概率中讲到抽签问题时涉及到抽签的公平性，分房问题时涉及到生日问题，知识点就显得具体化，学生很感兴趣更容易理解接受。备课不是一劳永逸的事情，应该根据学生和学科的发展不断地调整。这就需要根据目前的应用情况选取相应例子，让学生意识到其重要性，从而产生求知欲，积极地学习，教师应该不断的充实自己，广泛涉猎各种相关书籍和信息，了解本学科及相关学科的最新进展，把最先进的知识教给学生。

⑶多媒体辅助教学。随着计算机多媒体技术和网络技术的发展，计算机辅助教学的应用已经逐渐成为现代化教学的标志。在大学课程教学领域，计算机辅助教学的应用越来越广泛，也越来越成为一个发展的趋势。多媒体辅助教学对于提高教学效率尤其是培养学生的创新意识和创新能力是非常重要的，对优化教学过程，提高教高质量，具有十分重要的意义，是本科基础课教学改革的重要探索之一。但一些高校的调查表明，教学过程中，多媒体所占的地位应是辅助而非主导，对于概率统计这门比较抽象的学科来说，必要的板书是不可少的。多媒体的图片和动态演示使得教学生动、形象，多媒体显示定理、定义、例题内容节省时间，这些都是受到学生欢迎的，但定理证明，分析问题和解题过程一定要用板书进行，否则，就会使学生感觉“跟不上教师的讲解”或“理解困难”，课堂教学中应采用幻灯片与板书结合的形式是大多数同学的共识。针对我们的学生和机房的具体情况，概率统计这门课也可以用多媒体教学但不一定要完全用，至于怎么把握这个度，是我们每一个任课教师都在探索的问题。我们认为前言及课程介绍，事件的概念、关系及运算，大数定律及中心极限定理，假设检验，方差分析和回归分析这部分内容及例题的书写篇幅比较大，用课件节约时间效果好，其它章节如果条件允许用课件和板书结合对学生理解有好处。

3.教学和科研结合的思考。众所周知，高校的教学和科研是相互促进的，不搞科研就无法真正搞好教学，尤其是对概率统计这门应用学科，要想随时给学生输送新鲜血液，教师就要不停地学习研究，随时关心其学科最先进最前沿的知识，不断丰富自己。我们在教学中一直注重学科间的横向联系，概率统计与集合论、图论、矩阵的联系。目前在概率统计课程教学中介绍数学软件的一些相关用法己成为改革发展的趋势，概率统计这门课的学时较紧且学生的数学软件基础不尽相同，如何在较短的时间内让学生能使用某一数学软件处理相关的概率统计问题己成为一个教改研究问题。现有的数学软件很多，但针对我们的具体情况，充分利用当前极为流行且学生容易掌握的Mathematica软件和Excel软件来实现繁杂的分析统计的数据处理。只要有明确的数学表达式，均能用该系统来实现所有的计算过程。用Excel等软件来实现统计分析中的数据处理还可以尝试应用在具体的教学中。

三、结束语

我们在课堂教学中进行了一些改革，目的是充分调动起学生的学习积极性，把学习的主动权交给学生，使其学好知识，提高学生的数学素质，奠定坚实的基础，在教改的新形势下，对各门课程进行教学改革是很迫切的，作为教师的我们只有不断地研究教学方法，进行教学改革，才能起到事半功倍的效果。

参考文献：

[1]王宏甲：《中国新教育风暴》，北京出版社，2004。

[2]于义良：《实用概率统计》，:中国人民大学出版社，2002。

[3]张建良：《高中数学新课标对数学教师的数学素养提出了高要求》，《数学教育学报》,2005.3。

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1.1做好与中学内容的有效衔接

由于学生在中学时已经初步学习了概率统计的一些内容，但是中学阶段介绍的内容分散、讲解的不够透彻，但涉及的面较广，主要内容都是离散型随机变量．所以，在处理教学内容时，要针对学生的不同情况及时调整．例如，讲解他们较熟悉的内容时，可以多设置提问，在复习内容的同时，对已有内容加以深化，加深理解，揭示定义定理的本质．

1.2由现实实例讲解一些概念的产生背景和思想方法

概率统计是一门与实际生活联系非常紧密的学科，其应用涉及到社会经济生活的方方面面．一些概念，例如：概率、独立性、相关性、数学期望、方差、大数定律、中心极限定理、抽样、样本估计、总体、极大似然原理、矩估计及小概率事件原理等都蕴含着特有的概率统计的思想．笔者在上该课程的第1节课时，就结合若干现实生活中的具体实例，简要介绍该课程的主要内容及在实际中的应用，这样不仅使学生对该课程的内容有个整体的认识，而且还可以激发他们学习该课程的积极性．这些实例中涉及到概率论部分的有：生日问题、抓阄问题，彩票问题，赌博问题及有奖促销问题等[3,4]，涉及到数理统计的有：平均数的欺骗性，产品寿命的估计问题、产品寿命的比较问题、身高和脚长关系问题等．在教学中，都要结合具体的实例加以阐述，让学生知道问题产生的背景和实际意义，以便更好理解概念的本质内涵，如在讲授数学期望时，以概率论中著名的“赌金分配”问题[5]为例：甲乙2赌徒赌技相当，各出赌注50法郎，每局无平局，他们约定谁先赢3局则得全部赌本100法郎，当甲赢了2局，乙赢了1局，因故而中止赌博，让学生思考如何分配这100法郎才算公平；在讲授全概率公式和贝叶斯公式这一节内容时，结合学生熟悉的寓言“狼来了”的故事进行教学，请学生思考：第3次狼真的来了，而村民为什么不相信他了；针对现实世界中人们对信誉的逐渐淡薄，提出了这样一个问题：如果某人向银行贷款连续2次到期未还，银行还会第3次货款给他吗，或者是这样的问题：你的朋友连续2次未能兑现他（她）的承诺，你还会继续信任他吗．这些都可以用全概率公式和贝叶斯公式来讨论和解释的.

1.3联系实际，培养学生的数学应用能力

概率统计所讨论和研究的问题与现实生活有密切的联系，在教学中应该强调概率统计的实际应用，从而激发学生的学习兴趣，促进学生努力学习．例如，在参数估计的教学过程中，笔者举了捕鱼问题[4]的例子，即如何利用概率统计的方法估计湖中鱼的数量，这个问题的提法很笼统，教学中笔者是这样处理的，启发学生把问题转化为数学模型：设湖中有N条鱼，现捕出r条，作上标记后放回湖中．过一段时间后再从湖中捕出s条（s<r），其中有t(0<t<r)条鱼有记号，试估计湖中鱼的数目．对该例子笔者介绍了2种方法，一种用大数定理中关于频率的稳定性的结论；另一种用极大似然估计的方法．同一问题给出不同解法，一方面加强了内容的前后连贯性，更重要的是让学生将理论知识学以致用，提高分析和解决问题的能力．

1.4改革教学手段，加大现代网络技术运用的力度

多媒体计算机和网络介入教育为传统的教学模式和教学方法带来了深刻的变革．教师不但在课堂要熟练地运用多媒体技术进行教学，而且还要充分利用网络技术和现代化的教学条件，积极探索现代教育技术的应用，优化教学手段，以适应新世纪科技发展的需要[6]．为了充分利用现代网络技术，建了一个概率统计课程QQ群，在该群里上传或链接相关的参考资料，该课程的前沿动态和轶闻趣事，回答学生的问题，与学生在线交流等．这样可以把教师的讲授从课堂延伸到课外，把学生的学习从教室里延伸到教室外的任何地方，从黑板上延伸到网络上．

另外，教师可以利用现代化多媒体技术，将较多的教学内容制作成课件，将教学过程清楚地展示给学生，这样能把更多的精力投入到具体内容的分析讲解之中，增加与学生的互动交流，而且通过多媒体教学，可以使抽象的内容直观化，形象化，便于学生理解和掌握．如在课堂教学中，向学生演示连续密度函数图像怎样随着它的参数变化而变化的，如何用统计软件（如Excel，SPSS等）计算二项分布、Poison分布、均匀分布，指数分布、正态分析等的概率；如何用统计软件绘制统计图表、进行参数估计、假设检验等．这些是传统教学都很难做到的，而且学生很感兴趣，效果很好．

2对课程教学的几点思考

2.1将数学建模思想融入日常教学中

从历年的竞赛题看，全国大学生数学建模竞赛和国际大学生数学建模竞赛，涉及到的概率统计知识较多，如彩票问题，电力市场的输电问题，人口模型，医院病床分配，上海世博会的影响等问题，都不同程度地涉及概率统计知识．概率统计中蕴含着丰富的数学建模的思想方法，如变换方法、假设检验、回归分析及方差分析方法等，这些方法正是利用数学建模方法指导概率统计教学的出发点．在该课程的教学中，可以适当增加这方面的内容，培养学生应用概率统计思想方法解决实际问题的能力．

2.2更新教学内容，提高学生的创新能力和应用能力

由于课程学时有限，而该课程的内容有相当丰富，目前，大部分教师在教学中，存在重概率轻统计的现象．概率论部分花的时间较多，讲解的较多，而到统计部分时，由于课时原因，就草草收场，导致绝大多数的学生觉得统计部分难以理解，学了之后也不知如何应用．其实数理统计的思想方法在实际中是非常广泛的，因此，在不影响知识完备性的前提下，可以适当地减少概率论部分的理论性和难度，从直观性、趣味性和易于理解的角度把概率论作为数理统计的基础知识加以介绍．如在概率部分，可以淡化运算技巧，适当加强对模型的建立和模型实际应用的讲述．在讲解数学期望时可引用“免费抽奖问题”的例子，同时增加与经济生活相近的例子，例如：库存与收益问题，有关彩票中奖率问题，隐私问题的调查，以及一些常见的有关概率计算问题的例子[6]．在讲授数理统计部分时，要从实际的案例入手，引领学生进入数理统计部分的学习，这样的实际案例很多，如产品次品率的估计问题，不同厂家同种产品质量的比较问题，不同包装对产品销售的影响问题，身高和脚长之间关系的问题等．因为学生对这些实际问题往往很感兴趣，学习的积极性就会很高，通过对这些案例的分析讲解，学生很容易理解和掌握数理统计中的基本思想和方法，也培养了他们分析问题、解决问题的能力．同时为了加强学生利用数理统计方法分析处理数据的能力，可以适当增加对SPSS，Excel，Matlab等软件的介绍[7]，以及如何使用统计软件分析处理实际问题．

2.3改进考核方法，合理评定学生，促进学生综合素质的提高

现在大多数的高校，该课程的考核方式基本上类似，期末考试成绩占80%（或70%），平时成绩占20%（或30%）．现行的考核方式也不尽合理，不能很好的评价学生的成绩，很有必要进行改进．首先，随着招生规模的扩大和大班教学的普遍化，学生学习的积极性和对做作业态度的差异性很大，学生的作业并不能真实地反映学生的实际情况，使得教师无法真正了解每个学生的学习情况，并合理地给出平时成绩，因此平时成绩存在很大的随意性．其次，期末单一的闭卷考试形式存在很大的偶然性，很难真实地反映学生的真实水平，有些平时不认真学习的学生，为了应付期末考试，在考前临时突击，死记硬背．因此，对考核方法应做出一些相应的调整．可以在平时，给学生布置一些与实际相关的问题，让学生提交作业报告，作为平时成绩的主要依据，适当加大平时成绩的比重，这样就要求平时对学生严格要求，较客观公正的记录学生的平时表现．数理统计课程期末考试分闭卷和开卷2部分，闭卷部分主要考核理论部分；开卷部分主要考核学生对数理统计思想和方法掌握．这样既可克服数理统计题目计算量大，不便于闭卷考试的问题，同时可以全面考核学生的学习情况，给出比较客观的成绩．当然，这些对于命题就提出更高的要求，特别是统计部分的试题，不能是书本上的习题和例题，题目既要考察学生的能力，又不能简单的套用公式计算．

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俗话说,“良好的开端是成功的一半”,“兴趣是最好的老师”,通过第一堂课,老师应让学生对本课程产生兴趣,对任课老师有一个良好的印象,有了这个基础,以后的教学工作就能比较顺利地展开,因此上好第一堂课无论是对老师还是对学生来说都是相当重要的。

在第一堂课,我们首先做一个简单的自我介绍,使学生对自己有一比较清楚的了解,拉近和学生的距离;第二,针对不同的专业,指出学生今后的就业方向、进一步进修学习的方向及注意的问题,使学生对自己的专业有一个更清晰的认识,体现老师对学生的关心;第三,强调课堂纪律、强调作业要独立完成、说明本课程的考核方式,这可以保障今后课堂秩序,检验教学效果,督促学生努力学习;第四,简介本课程的教学计划(包括大纲要求的教学内容、教学进程、相关的其他专题)、学习方法,并针对不同的专业,提出本课程的学习目的、学习要求,除教材外再给出相关的参考书目,提醒学生结合自己的实际情况,制定出各自行之有效的学习计划;第五,对本课程的介绍,这里包括本课程的发展简史、做出贡献的主要人物、所需要的背景知识以及它在不同学科不同专业的简单应用,这样学生能对本课程有一个整体的认识,增强学生学习本课程的积极性;最后,对学生提出一些希望,送出自己对学生的祝福,提出与学生共勉的名言警句,建立融洽和谐的师生关系,以利于今后的教学工作顺利进行。

2统计思想的渗透,提高学生解决实际问题的能力

数理统计的基本思想就是由样本的性质来推断总体的性质(比如我们可用样本的均值来估计总体的均值),而这种推断只是一种归纳推理的过程,并非严格意义上的逻辑证明过程,也就是说它不同于数学问题的证明,它是在一定的可靠性和精确性的要求下给出的结论,是一种概率意义下的反证法。比如,在讲解假设检验时,老师要注重对小概率事件原理的讲解,因为它是假设检验所依据的原则,其原理为“小概率事件在一次试验中是不可能发生”,借助具体的实例将这一原理讲解得清清楚楚、明明白白,使学生对此原理理解透彻,对实际问题能给出正确的判断。当然在这里,我们要举一些小概率事件的具体例子,使得学生更容易接受,比如“第一次摸彩票中大奖”、“第一次坐飞机飞机失事”、“自己股票账户上突然增加了巨额资金”等;再有,对假设检验过程要详细讲解,因为任何统计模型建立之后,为了验证其正确性,假设检验这一过程是不可缺少的部分。

在教学过程中,注重培养学生的统计意识,建立学生的统计思想,详细讲解统计方法,不但能帮助学生尽快建立统计思想、较好地学习统计理论知识,而且也便于学生在今后的学习和工作过程中,能比较熟练地应用这些统计方法解决实际问题,并期待学生能提出新的统计方法,为数理统计的发展做出一定的贡献。

3生动有趣的案例式教学,提高学生的学习兴致

概率统计的应用非常广泛,在课堂教学中,老师适当引入一些与现实生活息息相关的有趣的具体实例,使得理论与实际紧密结合,这不但能提高他们的学习兴趣,增强本课程的趣味性,还有利于学生尽快接受运用新知识。比如,在学习古典概率模型时,老师讲解彩票问题、抽签问题、生日问题等模型;在学习数学期望和方差时,讲解保险问题中的简单的保费问题、投资风险问题;如果课时允许或者学生感兴趣,再举一些数学建模问题中应用到的概率统计方法,或者将这作为课下的兴趣专题,引导学生自己找数学建模竞赛中的相关问题进行剖析,使得概率统计与数学建模方法融合在一起。

4统计知识的拓展,开阔学生的视野

统计知识的拓展,能丰富教学内容,扩大学生的视野,为有兴趣的同学提供进一步努力的方向。如统计方法、图形等如何在统计软件(SPSS、SAS、Eviews等)及Excel中实现;方差分析中如果拒绝原假设,那么后续工作将怎样完成;方差分析中提出的假设条件对于实际问题是否合理,若不合理将作怎样处理等。

5伟大人物的介绍,活跃课堂气氛、塑造学生的人格魅力

伟人的介绍(包括国内国外),可以提高学生的学习兴趣,激发学生的学习热情,活跃课堂气氛,不但能使学生从中学习前辈的艰苦奋斗、坚忍不拔、不断创新的精神,也能对学生的价值观人生观的培养产生潜移默化的影响,使得学生在学习数学知识的同时,又学会了如何做人,达到教书育人的效果。

因此,在概率统计课堂教学中,老师可以适当加入一些概率统计学家的简介,包括他们的头像及一些饶有兴趣的生活典故。例如,在学习“贝努利概型”之前,老师先简介一下雅可比?贝努利及贝努利家族;在数理统计部分,加入对费歇尔(Fisher)、皮尔逊(Pearson)、奈曼(Neyman)的介绍及他们对数理统计的发展做出的贡献,还有我国的许宝禄教授、王梓坤教授所做的工作。

6课堂小结,提纲挈领、画龙点睛

课堂小结,能让学生对每堂课有一个更为清晰的认识、理解,分清各知识点之间联系与区别,以便学生能提高作业质量、做好复习工作。所以,上完一堂课,应注重对本堂课的总结,给出需要掌握的知识点、今后学习中需要注意的问题、难点问题重复解题方法步骤等;同时学完每一章,都要对这一章进行总结,使学生对本章的学习内容有一个清晰的框架,将各知识点进行串联。

7认真批改作业,查漏补缺

老师认真及时批改作业,能发现学生对知识的掌握程度,尤其要对学生共同存在的问题在课堂上要详细说明,引起学生的注意,并和学生探讨出现这种结果的原因(是学生的基础问题还是老师的讲解问题),达到教学相长的效果;对个别问题与学生单独讲解,一起查找原因,因材施教、对症下药。