数学初二论文范文

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篇1

[中图分类号]B244.6 [文献标识码] A [文章编号] 1009 — 2234（2014）03 — 0005 — 04

一、“署名问题”的实质

程颢、程颐并称“二程”，其学说一致性在学界已得到承认。①但相信最让研读《二程集》的学者们头疼的就是书中部分言辞的归属问题，因为全书中属于“二先生语”而未明确署名的内容多达130页以上，加之程颢传世之作很少，更增大了区分二人学说观点的困难。学界历来比较重视二程的差异。

朱熹说：

明道语宏大，伊川语亲切。明道说话，一看便好，转看转好；伊川说话，初看未甚好，久看方好。〔1〕

清代黄百家指出：

顾二程子虽同受学濂溪，而大程德性宽宏，规模阔广，以光风霁月为怀；二程气质刚方，文理密察，以峭壁孤峰为体。其道虽同，而造德自各有殊也。〔2〕

冯友兰认为：小程开程朱理学一系，而大程开陆王心学一系；小程属客观唯心主义，而大程属主观唯心主义。他说：

其实，他们兄弟之间的分别是很大的。他们所用的名词虽然相同，但所讨论的哲学问题并不相同。〔3〕

陈钟凡认为大程是神气一元论者，小程是理气二元论者。张立文分析二程的哲学逻辑结构认为，二者“有其大同，亦有其异”。陈来教授也认为“其实二程之间差别很大”。

若从二程思想的一致性来看，“署名问题”亦无大碍。但学界对二程差异的讨论强化了辨别未署名内容的意义，目的在于进一步明晰其理学体系全貌及发展路向。本文认为，从学说概念建立到最终的学术使命，二程之共同点仍为主要。《伊川先生年谱》载：

初，明道先生尝谓先生曰：“异日能使人尊严师道者，吾弟也。”先生既没，……尝谓张绎曰：“我昔状明道先生之行，我之道盖与明道同。异时欲知我者，求之于此文可也。”〔4〕

程颐在《明道先生墓表》中说：

周公没，圣人之道不行；孟轲死，圣人之学不传。……先生生千四百年之后，得不传之学于遗经，志将以斯道觉斯民。〔4〕

程颐以其兄有明圣人之道的大贡献，并自觉置身于传授圣人之学以“觉斯民”之列。于是，二程之差异更引发我们追问：他们如何去完成共有的学术使命？从《墓表》的褒扬可看出程颢开创理学之功，但程颐亦并未因此有所懈怠，反而日益精进，写成《程氏易传》后仍不断修改，希冀有所“少进”，授予门人之际仍言“只说得七分”。结合学术生涯、修养境界及心路历程，我们确实无法否定程颐在其兄逝后二十二年间对理学的发展。我们认为，二程学说之间是前仆后继的发展、完善关系，此即“署名问题”的实质内容。

二、“自然而然”与“因象以明”：程颐对程颢在理本论上的完善

与程颢相比，程颐对自家体贴出来的天理有何完善？先从“理”来看。程颢曾说：

天地万物之理，无独必有对，皆自然而然，非有安排也。每中夜以思，不知手之舞之，足之蹈之也。〔4〕

程颢明确规定了理的自然性，《二程集》中也有多处程颢关于理之自然的论述。如冯友兰所说：

若专就《遗书》中已标明为程颢所说者观之，……则程颢所谓理，似指一种自然的趋势。一物之理，即一物之自然趋势。天地万物之理，即天地万物之自然趋势。〔5〕

《二程集》中有借赞邵雍而以理为自然的文字，并强调“观天理”须“开阔得心胸”，以及“天人无间”、“充塞化育”、“万物一体”、“万物皆备于我”等等，都是说天理的自然而然。正是因为“百理具在，平铺放着”、“元来依旧”，所以物虽不能推却不可谓物无其理，人虽推得却对天理丝毫增减不得。只有抛却私念，置身于天地之间，方能达到充塞无间，与理为一。很明显，这是自然之理下的心性、工夫论。此段文字虽未明确署名，但就上下文逻辑联系、句义相似度来看当出自一人。

程颢曾对其《识仁篇》中“仁者，浑然与物同体”的观点进一步作喻：①

医书言手足痿痹为不仁，此言最善名状。仁者，以天地万物为一体，莫非己也。认得为己，何所不至？若不有诸己，自不与己相干。如手足不仁，气已不贯，皆不属己。〔4〕

既然作为仁者的“我”能够“以天地万物为一体”，达到“浑然与物同体”、“莫非己也”的境界，“天地之用”也就“皆我之用”、“万物皆备于我”了。这种观点，与上述未署名文字意指相同。可以断定，未署名文字当为程颢之语。

从“出于理”、“只为从那里来”等字样看，程颢把自然之理放在了宇宙生成论的本原地位。尽管程颢在体用问题上有过“理义，体用也”、“‘和顺于道德而理于义’者，体用也”、“《咸》《恒》，体用也。体用无先后”等简单论述，但出自于其中的物又不能推，终未对“理”的体用关系做明确、完备的概括说明，在“理”本论问题上论述不够成熟。

程颐论述“理”时用了一个“照”字：

天下物皆可以理照，有物必有则，一物须有一理。〔4〕

“照”在此用的很生动，说明了物象因本体理而得以显现、存在，部分体现出本体与物象的关系。《二程集》中又有一段未明确署名的文字：

今日须是自家这下照得理分明，则不走作。形而下形而上者，亦须更分明须得。虽则心有默识，有难名状处，然须说尽心知性知天，亦须于此留意。〔4〕

“天下物皆可以理照” 说明理本体对万物的根本作用，“须是自家这下照得理分明，则不走作”又说明以理为本体而存在的万物是理的体现。程颐用“照”连接理、象，注重形而上、下的区分和理、象之间的关系，这段文字应为程颐之语。

《程氏易传》是程颐关于理学体系最为成熟、完善的著作。在《程氏易传》中，程颐对理本体作了系统论述。

第一，天下之理为一。

天下之理一也，途虽殊而其归则同，虑虽百而其致则一。虽物有万殊，事有万变，统之以一，则无能违也。〔4〕

程颐将华严宗的“事理三观”总结为“万理归于一理”，认为事事皆有其理，万事之理最终归于一理，从而厘清事、理关系以建立其理本论。

第二，理有对待而恒动无穷。

《程氏易传》云：“理必有对待，生生之本也。有上则有下，有此则有彼，有质则有文，一不独立，二则为文。”天理恒动无穷不仅在于其内在的、阴阳相互关系的运动机制，而且在于“理必有对待”的关系为生生之本。程颐解释《大有》卦《彖传》：“事成而后有败，败非先成者也。兴而后有衰，衰固后于兴也。”成败、兴衰具有对待意义，而先成后败、先兴后衰则从时间流动、超越空间的意义来讨论相互对待关系。在不断成败、兴衰中生成新的事物，新事物衰落之后又被新生事物替代，阴阳关系如此相互对待，乃生生不息之本。程颐解释《未济·序卦》认为，既济矣，物之穷也。物穷而不变，则无不已之理，《易》者变易而不穷也，故既济之后，受之以未济而终焉。未济则未穷也，未穷则有生生之义。〔6〕

既济则物穷而不变，然而《易》者阴阳之道，阴阳相互对待变化无穷，天理恒动生生不已，故《既济》卦之后为《未济》卦。未济即未穷，未穷则生生不已。如此，既济与未济、穷与未穷的阴阳对待关系正是“生生之本”。

第三，体用一源，显微无间。

《易传序》云：“至微者理也，至著者象也。”气聚则有形，气散则形灭，气之聚散发生形象的变化最为明显可见，“以气明道”也就是以“象”明道。理的体用关系具体为理象关系讨论。程颐说：理无形也，故假象以显义。乾以龙为象。龙之为物，灵变不测，故以象乾道变化，阳气消息，圣人进退。〔6〕

“有理而后有象”。理”是事物之所以然而至微无形，故“理”虽决定“象”却要假借“象”以体现自身。乾有刚健不息之理，却又不为人所见，于是通过“龙”这种形象可见之物以显现乾道变化、消息进退之理，即“假象以显义”。“理”把“象”作为表现自身的形式，就是程颐在《答张闳中书》里说的“因象以明理”。

程颐易学中的“圣人之道”合体用为一并以实有可见，“体用一源，显微无间”成为对理象关系的最好解释。“至显者莫如事”，世间事物皆因气而成灭，最为显著可见，属于“象”的范畴；“至微者莫如理”，凡事背后皆有其所以然，便是至微之“理”；“事理一致，微显一源”，至显之事正因其所以然之“理”而得其然。程颐厘清事理之间的体用关系，超越了王弼老庄易形为物之累、无为有之本的矛盾，确立了“理”的实有地位，在《程氏易传》中建立起更为完善的理学体系，而这些皆为其兄长所不及。

三、明言“不容说”的天命之性：程颐对程颢在性论上的完善

有观点认为二程思想的差异主要在工夫论，工夫论的差异则归结为对本体把握和认识的差异。程颐较程颢更为完善的理本论，是探讨二人工夫论关系时必须考虑的因素。

程颢认为万物一体皆自“理”来，只是“人则能推，物则气昏，推不得”，这涉及到“性”的问题。《二程集》有一段论述告子“生之谓性”的文字未曾署名，②文中同意告子“生之谓性” 的提法，认为天地所生之物皆有其性，只是需要对其在“性”上加以区分，不能像佛教那样“只道一般”。文中通过解释《中庸》前三句来阐发“性”，再次强调了万物各有其性，当“循其性命而不失”乃是“道”。文中“以失其本性，故修而复求之”说明了之所以修道复性是因为主观人欲对自然天性有所蒙蔽、毁失，《中庸解》“道之在人，有时与位之不同，必欲为法于后，不可不修”则强调了修道的客观必然性。此文对“性”的解释与《中庸解》相比，最大区别在于修道复性的原因。“随时取义”作为《程氏易传》三大解《易》原则之一，是程颐结合一卦所处的时位、时机，即卦义的特定背景以及卦爻性发生功用的时空环境对其作解。据此原则，我们即便不能确定《中庸解》尽出自程颐之手，至少可以肯定上述未署名文字非程颐之语了。①更重要的是，程颐的“时”与“位”虽有环境和时域的特殊性，但因其流变、交互性又具客观普遍意义而“必欲为法于后”。这样，程颐就为其提出“性即理”做好了准备。

相反，程颢虽提出“道即性也”，但在具体区分“性”时却显得模糊不清。程颢解释告子的“生之谓性”时曾以清浊之水作喻，将“性”看作可善可恶的气禀之性，认为“性即气，气即性”，“善固性也，然恶亦不可不谓之性也”。程颢意识到水有清浊而元初之水为清，以及善、恶皆为性但“元者善之长”等矛盾，同时坚持性本善并提出“此理，天命也”，认为本善之性为天命之性。却又因天命之性在“生之谓性”、“人生而静”之上，终以“不容说”来了结。②朱熹“若比来比去，也终有病。只是不以这个比，又不能得分晓”的评论点到了程颢性论的痛处，张岱年先生之所以认为程颢有关“性”的观点与告子相近，也是这个原因。③

既然物因其气禀为昏而推不得，人究竟何以能推得呢？这还是一个涉及性理关系的本体论问题。程颢引《书》、《易》之语解释“天位乎上，地位乎下，人位乎中。无人则无以见天地”以证明“惟人万物之灵”、人不同于万物而能识天地之处。而他接着解释“天地设位而易行其中”时自设问答说：

何不言人行其中？盖人亦物也。若言神行乎其中，则人只于鬼神上求矣。若言理言诚亦可也，而特言易者，欲使人默识而自得之也。〔6〕

“无人则无以见天地”，程颢并未明确说明其中原因，不得不回到人虽为万物之灵而仍为万物的思路上来，这显然与其“人则能推”的观点矛盾。尽管“言理言诚亦可”，但对理、诚与人的关系及其在人身上的表现未有说明。至于“欲使人默识而自得之”，则与“不容说” 一同走上了不归路，难免有牵强无奈之嫌了。确实，程颢虽然也讲“万物皆备于我”，但他并没有解决万物如何皆备于我的问题，④因为如果不把与道、理为一的“性”讲清楚，人如何能够“反身而诚”以推出天理则始终找不到可挂搭处。若从自然而然之理出发认为人能推而物不能推当属自然，人之性自然不同于物之性，那么“生之谓性”与天命之性则将再次发生断裂。

从子贡那儿留下“夫子之言性与天道，不可得而闻”的问题，到程颐这里归结为性理关系。程颐明言“性即理也”，而他说的“在乎人焉”则是要求人努力摈弃气禀之性中恶的成分，归于天理善性，即“继之者善也”。“动静相因而成变化，顺继此道，则为善也；成之在人，则谓之性也”，程颐在《易说》中对“继之者善也，成之者性也”的解释强调了先天善性之所成在于人，人能够成就先天善性，即继善成性。这样一来，程颐在《易传序》中虽只是说“所传者辞也”，但人却能“由辞以得其意”，程颐继其兄之后欲传承儒家学说、“尊严师道”的目的得到了论证。

经过此番比较，我们可以得出结论：程颐建立的理学体系，实为对程颢未竟事业的推进和完善。于是亦可重新面对《二程集》“署名问题”。程颐云“习到言语自然缓时，便是气质变也。学之气质变，方是有功”，事实上在兄长逝后程颐也确有变化。正如朱子所言：“今之想像大程夫子者，当识其明快中和处；小程夫子者，当识其初年之严毅，晚年又济以宽平处。”程颢作《定性书》年方二十二、三，试想，程颐在其兄写成《定性书》后六十余年间对理学若无创新与完善，焉能担负“尊严师道”、传承儒学之大任？朱熹又何以择其学说以继承之？牟宗三“凡属二先生语者大体皆是明道语，至少亦当以明道为主”的判断自然有其标准，但就学问研读则必不只是穷究其话语归属而已。二程的特殊关系及其在哲学史上的“罕见”现象，更要求我们在享其遗语时不能总困扰于“署名问题”，以致与辨别之初衷南辕北辙。至于二程各开心、理派系的说法，牟先生也认为“朱子实开自伊川，而象山却并不由明道开出，象山亦不自以为学出明道也”。②但凡此种种，都不能影响到二程学说之间应有的密切联系。

〔参 考 文 献〕

〔1〕黎靖德.朱子语类（第六册）〔M〕.北京：中华书局，1986.

〔2〕黄宗羲，全祖望.宋元学案（第一册）〔M〕.北京：中华书局，1986.

〔3〕冯友兰.中国哲学史新编（下）〔M〕.北京：人民出版社，1999.

篇2

 

学习厌倦即厌学，厌学往往是一种不自觉的心理行为。厌学的学生总是不自觉地对学习感到厌倦。主要表现为对学习感到乏味，对学习任务有抵触情绪，缺乏兴趣和学习积极性，上课精神涣散，注意力不集中。有的学生还对老师和家长有厌烦情绪，有的学生则表现为消沉、不安，甚至有的学生经常逃学，厌烦学校等等。如果要求厌学的学生学习，往往会使他们感到痛苦、紧张、急躁，甚至引起语言行为上的对抗和无所谓的态度。

这些年来，在片面追求升学率的应试教育的导向下，各门文化课教学中都有学生厌学的问题，甚至体育课上同样有“厌学”的现象。但是，无论是从理论或者实践上来讲，青少年都应是最喜欢体育的人群。在我十一年的教学中，发现对体育课有真正厌学情绪的只是极个别的学生，这些孩子是因为各科的学习基础太差，自知根本没有考上大学的可能，从而产生厌学情绪，并把这种情绪蔓延到各个学科当中，其中当然包括体育。然而，绝大部分为对体育学习感到乏味体育论文，对体育学习任务有抵触情绪的学生，可以被列入到“假厌学”中，何以见得？请看以下镜头：

镜头一：教师布置跑步练习，部分学生以伤、病为由申请见习。练习完毕，进入球类练习，这部分学生却个个生龙活虎……

镜头二：篮球教学课上做练习，大部分女生往后躲，不愿参与。自由活动时，见到邻班女生踩着健身车，呼拉一声，全都围着老师：“我要玩那个。”……

可见，这些学生内心并不讨厌体育活动或体育课，而是对体育课上教师所教的内容、方法感到枯燥厌倦。体育是一个来自于游戏、发展于游戏的学科，体育受到学生的喜爱本是天经地义的事情，是什么原因使他们不喜欢体育教学呢？对于这一问题的分析与认识不单单是使学生喜欢体育课的问题，而且与教学内容、教学目标、教学方向之间都有非常密切的联系，是一个影响我们推进体育教学科学化进程的重要问题，因此这部分“假厌学”学生值得我们重视并认真地去加以分析与解决论文开题报告范例。

一、研究教材教法，根据学生的年龄、性别特征，结合学校的场地器材情况，认真挑选多数学生喜欢的教学内容

教学摘要求不符合。如图所示：

 

项目

重复年级

跨年级个数

30/50/100米

小一～高三

12个年级

800/1000米

初一～高三

6个年级

蹲距式跳远

小三～六、初二～三、

高二～三

8个年级

跨越式跳高

小三～六、初二～三、

高一～二

8个年级

抛实心球

小二～六、初一、高一～三

9个年级

篇3

二．能够教科研相结合，提高研究的实效性。

教师做课题研究不能够脱离课堂，而要让研究服务于课堂，否则就失去了研究的意义。因此，我在课题研究的过程中，努力寻找和课堂教学的结合点，把两者有机的结合起来，使教研相长，这样做，不仅提高了课堂教学的效果，而且还给课题研究提供了素材和经验。本学期在课题研究方面主要做了下面几项工作：

1.制定了《初二学生数学能力调查表》，通过调查，了解了学生实际的数学水平，为课题的开展提供了依据。

2.认真分析了初一和初二的数学教材和课程标准，从中找出了和物理学习有关的内容，为数学和物理的教学提出了有用的建议。

3.在教学时，注意突出物理和数学之间的联系，引导学生从数学的角度来认识和掌握物理知识，使学生知道两者之间的重要关系，帮助学生建立辩证思维的习惯。提高分析和解决问题的能力。

4.在研究的过程中，主要运用了调查法、行动研究法、案例研究法。制定研究计划，努力实施，及时反思总结。完成调查报告和案例分析。

三．研究结果和总结

经过这一轮的课题研究工作，使我受益匪浅。我不但掌握了基本的研究方法，提高了自己的科研水平，增强了科研兴教的意识，养成了读书的习惯，而且在教学中还形成了自己的教学风格，提高了课堂教学效率。主要表现在以下几个方面：

1.提高了自身的科研水平，掌握了科研的基本步骤和方法。

2.提了了自己的写作水平。学会了制作调查报告，学会了写作案例分析和总结。

3.提高了学生的思维水平和分析解决问题的能力。

4.提高了课堂教学效率和教学水平。

5.为转化学困生积累了经验。

主要成果：

1.写下了一定的读书笔记。

篇4

本文在2002年安徽省亳州市教学论文评选中获中学数学组二等奖 

 

 内容摘要：

2001年人教版初中《代数》第一册（下）第80页B组题中第3题在配套的《教师教学用书》上册第187页所给参考答案及提示是错误的，人教版初二《几何》课本第四章第167页新增添了4.8实现作业一节的图形变换也有错误，笔者以此为标靶对学生进行数学批判思想的培养。

关键词：数学  批判思想  培养

 

初中数学教学目的别强调“培养学生良好的个性品质和初步的辩证唯物主义的观点。”良好的个性品质主要包括“实事求是的科学态度，独立思考，勇于创新的精神”。这中间就有数学批判质疑的思想，批判思想也是实现勇于创新的基础。

一、 批判思想的重要性和意义

任何科学都是一种文化现象，数学也不例外。我们学习数学不仅是为了获取知识，更要通过数学学习接受数学精神、数学思想和数学方法的熏陶，提高思维能力，锻炼意志品质，并把它们迁移到学习、工作和生活的各个领域中。

数学发展的历史同时也是数学文化的发展史、数学批判继承思想的发展史。每一次对传统错误观点理论的批判都深刻推到着数学的革命，对数学的发展起着深远的影响。如无理数的发现，华罗庚指出苏家驹的一类五次方程求解的错误。

对学生数学批判思想的培养，更有利于正确观念的巩固，有利于形成良好的个性品质及实事求是、独立思考、不盲目迷信权威的辩证唯物主义的观点。如能对现行数学教科书和国内较权威的数学刊物中的错误或疏漏作为批判对象进行批判一定会对学生形成数学批判思想具有强大的震撼力和深刻持久性。易使学生感受到成就感，能提高学生数学学习的参与意识和兴趣，极大地调动学生数学学习的非智力因素，增强数学科目的吸引力。

二、 如何具体培养学生的数学批判思想

1、          确立批判的对象。任何人都有可能出现错误，哪怕是万分之一的机会我们也要捕捉到。许多数学课外辅导书籍，数学杂志以及现行教科书和教师教学用书中的错误都可以作为批判的对象。如前所述能对现行教科书和教师教学用书和国内较有权威性的数学刊物中的错误或疏漏作为批判的对象还具有特别的意义。

2、          展示批判对象的全貌，引导质疑。通过展示批判对象的全貌，可先让学生独立思考，无论思考的结果是否与批判对象一致都可引导学生对某些疑点质疑，这是关键的切入口。

3、          剖析批判对象错误的原因，给出正确的结论。

4、          建议以学生集体的名义把以上批判活动写成小论文寄给有关作者或刊物出版社，体会成就感和提高参与意识。

5、          与学生共同讨论和感受数学批评思想对数学学习的意义和影响，对学生进行数学思想教育。

三、 个案列举

（一）、你的苹果分到了吗？

2001年中学数学室修订的《九年义务教育三年制初级中学教科书（试用修订本）·代数》第一册（下）第80页B组题中第3题是：“把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，则余8个；如果前面每人分5个，则最后一个人分得的苹果数不足3个，求小孩的人数及苹果的个数。”。本题在配套的《教师教学用书》上册第187页所给参考答案及提示如下：“孩子的人数和苹果的个数分别为5,23;6,26;7,29;8,32;9,35.设有X个孩子，则苹果的个数是3X+8，根据题意得，

3X+8≤5（X-1）+3

    X≥5

取X=5,6,7,8,9.即可求出相应的苹果个数”。同时在《教参》第90页注释中有“应注意的是，这里的‘几个’常指‘10个以内’”。

首先这个题目的上述解答是错误的，新审查通过的教科书已作了更正。本题解答的错误被笔者发现既偶然又颇有一番意思。笔者当时教授初二年级，一个偶然的机会听到一个初一数学老师为学生讲解本题时就如教参书上一样解答，才知道教科书和教参上关于本题的错误解答。

当笔者认真研究这个题目时，发现本题并非难题，凭那位老师的智力水平完全能解答正确，何以就这样盲从于教学参考书？

笔者意识到本题蕴含的批判价值，就把原题及其解答抄到初二班的黑板上，让学生观察思考，并郑重其事地告诉学生这是教师教学用书的解答。一段时间后，学生基本上形成这样三种观点：第一种，少数确信教参书的解答是错误的。第二种，肯定上述解答的正确性。第三种，虽然自己解出正确答案，而面对教参的解答显出不自信。学生的不自信正如上述那位初一老师一样，迷信教材编著者的权威。学生焦急期待的神情让笔者感到时机已经成熟。笔者向学生提出了两个问题：①，任意举出参考答案中的一组解：8,32；则前面7人分32个苹果每人平均能分到5个吗？②，你们在小学求解应用题中的“几个”仅指“10个以内”吗？问题提出后学生略微思考了一下，就彻底否定了前述解答的过程。然后笔者分析和解答了本题。详述如下。

分析：“如果前面每人分5个，则最后一人得到苹果数不足3个”，首先，“不足”二字，从《新华字典》查的“足”字释义为“满，充分，够量”那么“不足”只能理解为“不够量”即“少于”而不能含有“等于”之意。如果设小孩为X人，那么上面这句话应理解为：苹果总数至少要能够满足前面（X-1）个小孩每人5个，剩下最后一人得到的苹果数应少于3个。参考答案中只列出了一个不等式，解得小孩人数仅有下限，这是不够的。认为“几个”常指“10个以内”纯属无稽之谈。

解：设有X个孩子，则苹果的个数是3X+8，根据题意，得：

0≤（3X+8）-5（X-1）＜3

解得，5＜X≤6.5

因为X只能取整数，所以取X=6，则苹果个数是3×6+8=26

答：孩子的人数和苹果的个数分别是6,26.

最后我们以班级的名义给中学数学室寄了一封信，指正其错误。当今年新学期开学后，教科书的答案作了修改与我们的解答一致时，同学们才真正体会到了成就感和批评思想的深刻含义。以后我班的学生就用“你的苹果分到了吗？”来表达对那次批判教学活动的纪念。

（二）、轴对称的无奈

现行人教版初二《几何》课本第四章第167页新增添了4.8实现作业一节。笔者在将要指导学生学习和实习，恰逢笔者学校进行公开课教学。在备课时，笔者发现了该小节有一处错误。摘引如下：“例4 ，已知图5，请你作出图6.通过观察，发现图5与图6之间有什么关系？

我们以点O为中心，作出图7，再以直线L为对称轴，作出图8，再由轴对称的有关知识即可作出图6.”

（注：着重点由笔者添加）

在我指导学生预习和制作图形模板时，让学生按课本“作出图8，再由轴对称的有关知识即可作出图6.”认真阅读和动手用模板画图。

    在课堂上，我提问学生，你们作出图8，再由轴对称的有关知识可以可以作出哪些图形？学生立即着手去作图，有的学生展示了自己做过的一些图形。结果没有能按要求作出图6的。让学生通过自己的实践否定了课本上那句话。我又提问：可以用什么方法由图8作出图6呢？学生又通过动手操作，结果得出了两种可行的方案，即由图8平行移动可作出图6或者由于8利用中心对称的知识也可以作出图6.最后我又鼓励学生如果确认自己的方法正确课本的说法错误，那就以班级的名义给中学数学室寄封信指正其错误，同学们非常乐意地去做了这件事，现在正等着回音呢。