大学概率论知识点总结范文

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二、开放学生思维，明确教学目的

在数学教学过程中，学生是是教学的主体，每个人都有自己的思维能力，所以教师必须明确教学目的，使学生的思维得到尽可能的开放，促进学生探索创新能力的不断提高。因此，教师在选择案例时，要综合评估学生的学习能力，对概率的概念、公式进行仔细讲解，将统计知识点贯穿到整个课堂教学，使案例突出教学重点，达到知识点融汇教学的教学目的。开放课堂教学，不仅可以使学生掌熟练握更多的概率论与数理统计知识点，更能拉近学生与作者、学生与自己的师生距离，使师生之间的感情更加融洽，从而大大提高教学质量的目的。

三、有效组织教学，提高综合能力

在数学学习是整个过程中，打好基础是非重要的，因此，在概率论与数理统计的教学中运用案例教学，教师要有效组织教学，促进学生综合能力的提高。针对概率论与数理统计的难点和易点，循序渐进的提升难度，让学生熟练掌握每个知识点，培养学生敏捷的数学思维能力，不断开阔学生的视野，使学生的概率论与数理统计分析能力变得更强，从而达到提高教学质量的目的。例如：针对篮球投篮问题，根据球队人数的变化来计算投篮的概率，从最简单的计算开始，随着人数的变化，计算复杂程度也变得越来越高。这就是一个概率论与数理统计知识点逐渐加深的案例，通过这个案例教学，学生的思维能力可以不断增强，综合能力也会得到不断提高。

四、课后教学总结，不断改革创新

概率论与数理统计的教学中，案例教学方法应用的课后总结，是教师对课堂教学不足的完善，可以有效保证案例教学的教学质量，不断创新教学方法和模式，同时促进教师自我的不断提升。课后总结，分为学生的总结和教师的总结，学生通过总结，可以对案例教学进行仔细的分析，培养学生处理问题和解决问题的思路，提升学生实践动手能力；教师总结时，对重点知识进行再度印象加深，促进学生不断探索和创新，从而促进教师教学的不断创新。

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【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）07-0155-01

数学是研究自然科学的基础工具之一，对科技领域和现代生产实践产生了巨大的推动作用。而《数学分析》作为信息与计算科学专业一门主要的专业基础必修课，其教学的成败对信息与计算科学专业的学生的数学素质的培养起着关键的作用。它是后续课程《常微分方程》，《概率论》，《数理统计》，《数值分析》等的基础。《数学分析》中的有些知识点在这些课程中得到了直接的应用，需要在《数学分析》教学中加以强调及重视。以下就本人的所知总结如下：

一、归结原则在《概率论》中的应用

定理1 若存在单调增（减）数列a■，满足

（i）■an=x■，

（ii）数列■f(an)=A，

则有■f(x)=A（■f(x)=A）。

这个定理在《概率论》中证明分布函数F(x)的右连续性时起到了关键的作用。在《数学分析》中强调这个定理，将为学生理解分布函数F(x)的右连续性奠定基础。

二、傅里叶变换的应用

《概率论》中分布的特征函数是研究随机变量分布的一个重要内容。连续分布的特征函数和其概率密度是一一对应的。第一，特征函数在求随机变量和中简化了计算过程。第二，有些多元随机变量的密度函数无法表示出来，但其特征函数是唯一确定的，例如多元正态分布，如果其方差矩阵非正定，其概率密度将无法写出，但是其特征函数是唯一确定的。因此特征函数在研究多元随机变量的分布中起到不可忽视的作业。而特征函数正是概率密度的傅里叶变换，在《数学分析》中强调傅里叶变换的定义，性质，对学生理解和运用特征函数奠定基础。

利用傅里叶积分变换的性质求线性微分方程和线性微分方程组的解也是一个重要内容。

三、多元函数极点存在必要性的应用

1.最大似然估计是《数理统计》的一个重要内容，而求似然函数的最大值点的依据就是多元函数极点存在的必要性。

2.线性回归分析中确定系数的最小二乘法的理论依据就是多元函数极点存在的充要条件。

3.条件极值是《数值分析》中求最优化解的主要方法,而拉格朗日函数正是求条件最优解的常用方法，在教学中可以联系《数值分析》，有针对性的加以讲解。

四、含参变量积分的应用

1.《概率论》中求边际概率密度及求分布的特征函数的依据是含参变量的积分和含参变量反常积分性质。

2.《概率论》中伽玛分布和贝塔分布是含参变量反常积分B函数和 函数的应用。B函数和г函数的定义，定义域，性质， B函数和г函数的关系在研究伽玛分布和贝塔分布中起到了很重要的作用。如《数学分析》中的如下例题：

例：计算积分■e■dx

解：令t=x■，则■e■dx=■■e■t■dt=■г（■），

利用B函数和г函数的关系得到

B(■,■)=■г(■)■，

再利用B函数的另一表达式，得到

B(■,■)=2■dθ=π，

所以得到结论г(■)=■,■e■dx=■■e■t■dt=■г（■）=■。证毕。

在这个问题的证明过程中用到了B函数和г函数的关系，B函数的性质，而结论

г(■)=■, ■e■dx=■

更是《概率论》研究正态分布，伽玛分布和贝塔分布数的关键。这个例子的证明及结论有针对性加以强调，对后续的《概率论》有重要的作用。

五、黎曼积分的应用

黎曼积分在物理和工程上有重要的应用，其定义和计算方法是《数学分析》的重要内容。在《概率论》，《数值分析》，《常微分方程》，《泛函分析》等后续课程中，黎曼积分的计算和性质是学生面对的一个难点.在《数学分析》教学中，可将后续课程的内容，有针对性加以强调。

六、《数值分析》的几个知识点

误差估计和近似计算是《数值分析》的两个主要教学内容。

微分中值定理是误差估计的主要理论依据。

函数项级数是近似计算的主要依据。

例如：计算■cost■dt。

解：因为cost■=■■其收敛域为t∈R。由幂级数性质，可知

■cost■dt=■■■dt=■■■t■dt=■■。

当k充分大是，可得到■cost■dt的近似值，而且可以估计近似值的误差。

梯度方向是函数变化率最大的方向，在近似计算中可以加速近似计算的收敛速度,降低计算量。

了解后续课程的教学内容，在《数学分析》中有针对性的加以强调，或将后续课程的内容作为例题来讲，可以激发学生的求知欲和好奇心，为后续课程的教学奠定基础。

本人学识有限，关于《数学分析》在后续课程中的应用，还有待相关任课教师进一步完善。

参考文献：

[1]《数学分析》（第三版），复旦大学数学系，欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋编，高等教育出版社

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概率论与数理统计是一门十分重要的大学数学基础课，也是唯一一门研究随机现象规律的学科，它的实际应用背景很广，在科学技术与人类实践活动中正在发挥着越来越大的作用和影响。因此学生应该掌握这门课的基本知识理论，并会把他们应用到社会实践当中。

学生在学习和掌握这门课程的过程中普遍感到概念抽象，思维难以开展，方法难以掌握。在传统的教学中，往往都是以教师讲解公式定理为主，填鸭式地灌输给学生，学生往往死记硬背，同时由于我国高等教育大众化的实现，越来越多的学生进入大学校门，独立学院的学生入学水平参差不齐，数学基础知识比较薄弱。 所以怎样提高概率论与数理统计的教学质量，已经成为我们迫切需要解决的问题。笔者根据多年的教学经验和实践，谈谈对概率论与数理统计教学的一些体会。

1 案例教学，培养学生兴趣，注重理论联系实际

兴趣是最好的老师，它可以激发学生的情感，可以引导学生自主学习。概率论与数理统计的一些概念过于抽象，公式较多，又不易理解，尤其对独立学院的学生来说，他们的数学基础薄弱更容易产生厌学怕学心理，对于课本中一些抽象的定义与概念，可以在讲授之前穿插概率史的介绍，这样学生容易理解知识的来源背景及用处。概率论与数理统计所研究的总是渗透到我们生活的方方面面，每个理论都有直观背景。在教学中，教师应从抽象概念的背景入手，精心选择有趣的实例，去激发学生的学习兴趣，使学生在趣味中掌握概率论与数理统计的基本思想和方法。

比如，在讲授全概率公式和贝叶斯公式时提出一个有趣的问题：假如你有机会参加某电视台的一档娱乐节目，支持人拿着三个商标对你说，其中一个商标后面的奖金是2000元，另两个后面的奖金分别为100元和10元，你可以随意选择一个商标，主持人知道商标后面的奖金数，他打开了一百元的一个商标，比方打开2号商标，他对你说再给你一次机会，允许你改变原来的选择，你是坚持选1号还是改选3号呢？这时引导学生开展讨论，从而引入全概率和贝叶斯公式。

该课程的主要特点是与现实生活联系较密切，采取案例教学法，就是在课堂上选择一些实际案例，结合所教学生的专业，阐述概率论与数理统计的应用，激发学生的兴趣，同时可以增强学生分析问题和解决问题的能力。如讲授随机现象时，用抛硬币、元件寿命、某时段内经过某路口的车辆数等例来说明它们所共同具有的特点；讲随机事件独立时，以有放回摸球和无放回摸球为例，阐述独立的定义及应用。又如讲授正态分布时，举例说明一个地区成年男子的身高服从正态分布，结合概率密度的图形，身高在？滋的附近的概率非常大，？滋值也就是这一地区成年男子身高的均值。同时让同学们总结实际中什么样的现象可以用正态分布来描述，这样能使学生认识到正态分布的重要性及其应用的广泛性，从而提高学生的学习积极性，强化学生的应用意识。

2 采用灵活多样的教学方法，提高教学质量

关于教学方法，在课堂教学中要突出“教师为主导，学生为主体”的教学理念，针对不同专业的学生，不同的教学内容采用相应的教学方法，如“类比教学法”、“问题教学法”、“讨论法”等。

类比联想是一个很重要的教学方法，通过类比联想可以串联不同层次类似的内容，帮助学生理解与记忆。教师在备课及教授过程中，要对各章节知识点各部分难点及证明进行归纳、类比和总结。在实际讲授过程中可联系离散讲连续、联系一维讲多维，联系已学知识引出新的知识，自然过渡，深入浅出的导出要学内容。例如一维连续型随机变量？字的概率密度f（x）的五条性质，完全可以推广到二维连续型随机变量（X，Y）的概率密度f（x，y）的性质。再如随机变量的数学期望为E（X）=■xipi（离散型）与E（X）=■xf（x）dx（连续型）做类比，得出期望的本质就是加权求平均。在数理统计部分还应让学生体会到参数的区间估计与假设检验在处理方法上的不同以及它们之间的联系等等。事实证明，像这样的类比教学可以起到事半功倍的效果。

独立学院的学生基础差，不善于分析问题，解决问题，如果举例太多，学生会摸不清重点. 因此，教师在备课时首先对题目进行分类，并在例题后附加类似问题，以便让学生能对知识有深刻的认识，并能达到举一反三的效果。例如古典概型主要讨论五类问题：摸球问题、分球入盒问题、抽取问题、随机取数问题、分组问题。其中的分球入盒模型可用以描述许多直观背景很不相同的随机试验，比如生日巧合、住房分配、旅客下站、印刷错误等都可以归结为分球入盒问题。人可以看成小球，把365天、房间、车站看成盒子，这样学生只要掌握了一个题目的解题办法，其它类似的问题都可以解决，学生才能真正的掌握基本知识并学会运用。

3 多媒体教学与板书推导相结合，教学形式多样化

在概率论与数理统计的教学中，利用多媒体课件，可以把教师从简单、重复的教学环节中解放出来。教师有更多的精力对内容进行详细的分析和讲解，增加了课堂信息量。同时，多媒体教学使抽象的内容更直观，通过动画演示，教师的授课过程显得生动形象，使学生更容易理解知识，同时增强了教学趣味性。比如我们动态演示了正态分布的两个参数的变化对其图形的影响，使学生很直观地感知到均值？滋是它的位置参数，方差？滓2是形状参数，了解到它们是如何决定正态曲线。在数理统计部分，教师可把几个常用的重要统计量的分布密度函数用图形表示出来，让学生先了解图形的特点，以便更容易求出假设检验的否定域。当然，教师在使用多媒体课件时，也要结合其他的教学手段。如一些公式的推导证明，需要教师板书，边推导边总结，不时地启发式提问学生，调节课堂气氛，让学生真正理解公式证明的过程。

【参考文献】

[1]茆诗松.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2006.

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【基金项目】洛阳理工学院重点教学研究计划项目（No：09-JY013）

目前，概率统计方法的应用几乎遍及科学技术的各个领域，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有着广泛的应用.概率论与数理统计课是一门基础课，又是一门实践性很强的课程.高等学校的大部分本科专业都开设此课程，甚至在现行的中学课本里也安排了很多概率统计知识.因此，学生应该掌握这门课程的基本知识和理论，并会把它们应用到社会实践当中.而这门课又被认为是一门较难学的课程，主要原因是以往的教学中偏重于基本概念和理论的讲解，而忽视了实践应用环节的训练，使学生为考试而学习.学后不用，致使学生在实践中遇到概率统计问题时往往束手无策，无法建立概率统计模型，不会用概率统计的方法分析问题、解决问题.总之，概率论与数理统计本科教学模式的改革是必要的，通过教学进行改革，注重对学生应用能力的培养，才能使学生成为现实社会所需要的人才.

一、概率论与数理统计课程教学内容的改革

目前使用教材是由浙江大学盛骤等人编写的普通高等教育“十一五”国家级规划教材《概率论与数理统计》.考虑到工科学生的特点，在教学中参考美国斯皮格尔等编写的全美经典学习指导教材《概率与统计》的部分内容，精简了理论性过强的内容以及一些定理的证明，对于过分依赖运算技巧的内容和习题也作了简化处理.但是为了强化应用及培养同学及早确立数理统计的思想，在假设检验、方差分析等传统的应用内容的知识点上着重讲解应用思想，而且不拘泥于教材，有意识地加强了其他一些应用方面的内容，如加强概率与统计和几何的相互密切联系，用几何直观性处理抽象概念；与专业课相结合，利用计算机辅助教学提高课堂教学效果；统计软件的选讲等.

二、概率论与数理统计课程教学方法的改革

在针对概率论与数理统计教学方法改革工作中，通过教改试点班，继续深入地进行教学改革工作，全面展开了概率论与数理统计课堂教学改革与实践活动，形成了一些清晰的认识，比较清楚地认识到目前教学中存在的一些突出问题，并摸索总结出一些具体的措施.通过对教改试点班级的概率论与数理统计课堂教学的具体实施，形成更清晰的认识，对目前教学中存在的一些突出问题，摸索并总结出一些具体的措施加以解决.概率论与数理统计教学方法改革的主要研究与实践工作分成以下几个方面进行归纳总结.

1.精讲多练，增强学生的主动性和独立思考能力

（1）精讲.结合试点班的少学时特点，开展了“精讲多练”等新教学方式方法的改革实践.探索出一些概率论与数理统计课程教学工作与培养学生的能力、素质，提高培养质量的具体措施，如注重开展综合训练，定量、半定量教学，解决与工程实际结合密切的问题，以大知识量课堂教学等向自学过渡等方式、方法.

（2）多练.对传统的作业、习题课学生的态度不认真，直接影响练习效果；学生在课下自学有一定的盲目性.解决这一问题的方法就是改变过去每章末尾上一次习题课的做法.可以改为增加习题课次数，缩短习题课的频次间隔，上小习题课，习题课与正常课结合进行.注重讲解解题方法，归纳解题思路.同时抽时间进行若干次公开答疑，收集学生的问题老师公开解答，使全班学生受益.

（3）案例教学.概率统计课是一门应用性很强的学科.教师在教学过程中应适当将教材中的内容扩展，设计一些实例进行讲解，能让学生自己主动地去学习，从而提高学生的应用能力.如运用古典概率公式解决“鞋子配对问题”“生日巧合问题”“赌博问题”，运用统计估计与假设检验解决“先尝后买产品促销问题”“吸烟与患癌症的相关性”，用中心极限定理解决“保险公司盈利与亏损的问题”等等.这些都能使学生感觉到概率统计与身边的许多事情都有一定的联系，找出其存在的问题、根源，并策划出解决问题的方案.这种方法有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的实际应用能力.

2.注重数学思想方法的教学和培养建立数学模型的能力

利用数学方法解决实际问题时，首先要进行的工作是建立数学模型.建立数学模型的过程，就是将错综复杂的实际问题，抽象概括为合理的数学模型的过程，而对实际问题的理论分析和科学研究则是在模型上进行的.因此，建立一个较好的数学模型是至关重要的，它既要有扎实的专业理论知识，丰富的想象力，又需要寻求合适的数学方法.

在授课时不仅注重“三基”训练，还要突出概率与数理统计的基本思想、基本方法.在授课时通过插讲一些数学史料、介绍概率学科相关分支内容等以突出数理统计的基本思想、基本方法，从中发现内在联系和思想方法的渗透.同时注重现代数学思想方法的渗透.例如，讲概率时结合一些性质和方法，可以引入概率论在计算机仿真、生态学和工程项目风险管理等学科中取得的成果；对数理统计，可以介绍它在数据挖掘、机器学习中的应用等.尤其是在课外开展一些专题讲座，更能增强学生对未知领域强烈的探索欲望，激发自己的创新能力.

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根据教育部《关于启动高等学校教学质量与教学改革工程精品课程建设工作的通知》的精神,精品课程应体现“五个一流”,即“一流教师队伍、一流教学内容、一流教学方法、一流教材、一流教学管理等特点”。虽然概率论与数理统计目前是一门校级精品课程建设项目,但我们仍以“五个一流”为目标,扎实开展概率论与数理统计课程的教学内容、教学方法、教学材料、教学管理等方面的课程建设工作。

1.1优化概率论与数理统计课程教学内容文献[1]指出,一流教学内容是指在教学内容上,体现现代教育理念和时代要求,深入开展教育理论研究,结合课程的历史沿革和特征,以知识整合为课程体系建设的核心,重在课程的精品内涵建设,始终保持科学性、先进性和系统性,及时反映和吸收本学科领域的最新研究成果,积极整合优秀教学成果和科学研究成果,体现新时期社会、政治、经济、科技发展对人才培养提出的新要求。对于研究生精品课程建设,特别要注意课程教学内容要反映本学科最新研究成果。概率论与数理统计作为一门研究生公共基础课程,它的作用是为专业学习与开展研究服务,是作为一门专业的工具性课程开设的。所以它在内容取舍上必须考虑专业需要,所反映的概率统计最新研究成果重点是应用性成果,而非理论性成果。为了做到课程教学为专业服务的要求,我们首先设计了概率论与数理统计课程教学内容需求调查表,对相关院的导师和研究生进行了调查,然后对调查反馈意见进行分析,提炼出专业最需要的内容。进而对本课程原有教学内容和教学重点进行了调整,大量地引入了现代数据分析方法和统计软件的介绍,从原来注重概率论理论教学转向数理统计方法的教学。

1.2探索概率论与数理统计课程“理论—案例—讨论”的三步教学方法一流的教学方法,就是要在教学中运用学生乐于接受的教学形式,采取先进的教学手段,达到激发学生学习兴趣的目的[1],教学形式可以多种多样,比如直观式、启发式、讨论式、参与式、案例式等都是生动有效的形式,使用哪种形式,关键在于要根据教学对象、内容和目的因材施教。考虑到研究生在主动学习、独立思考等能力方面比本科生更强,在开展研究生课堂教学时,要更多地采取讨论式和案例式等形式。以往我们主要采取教师课堂讲授的教学方法,学生对授课内容不能做到理论与专业结合,对如何将概率论与数理统计的理论与方法应用到专业学习与研究中去,学生一直比较迷茫。为此课程建设小组成员改革教学方法,总结出“理论—案例—讨论”的三步教学方法,也就是在课堂上结合理论教学分析案例,并开展讨论。在理论部分,既要详细阐述数理统计方法,也要介绍这些方法的背景、思想,还要交待如何用统计结果对问题进行合理的解释。比如在方差分析中就要讲清楚为什么要引入F统计量进行分析、如何用F统计值进行合理的试验分析等。为了使案例教学切合专业实际,反映专业研究最新研究成果,我们在各专业杂志上收集了有关利用概率统计方法进行数据分析的文献,先期布置研究生阅读各自专业的文献,课堂上要求他们介绍文献是如何利用数理统计方法去处理研究问题的,进行集体讨论。这样可以让学生加深对理论的认识,能够感性地掌握将理论应用到实际问题中去的过程。

1.3完善概率统计课程教学材料进入到21世纪后,教材已从传统意义上的纸质书,扩展到了电子教材、多媒体课件、网络课程、教学资源库等辅助教学材料,形成所谓的立体化教材。就目前来说,纸质教材还是主体,其它教学材料仅起到辅助教学的作用。要建设一流的教材,首先要使它所涉及的“内容具有基础性、先进性和科学性,并反映本课程所涉及学科的最新成果”[2]。其次要使课程辅助教学材料形式多样,内容丰富,能够最全面地支持教师的教学,能够最大限度地满足学生的自主学习需要。在课程教学材料建设方面,我们根据优化的教学内容,重新制定了教学大纲,编写了具有基础性、先进性和科学性的概率论与数理统计纸质教材。在辅助材料建设上,除了制作PPT教学软件外,我们收集了大量的课程内容相关文献和专业应用案例,并对这些文献按学生专业再按知识点分类,对每篇文献都研究了讨论题目,并建立数据库供教师和学生查询。

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实际上，统计方法在应用于具体问题的时候，需要许多环节，其中最重要的是需要学生动手来推算该具体问题中涉及到的分布密度――特别是联合密度、边际密度与条件密度，演算方法应用中的变量变换及相应的分布密度，计算变量的数字特征，这些都是统计方法应用的基本环节，如果计算推演这一环节没有经过扎实地训练，那么在这一环节上经常会出错，统计结论就可能是错的。

上面的错误归结起来并不是同学的统计学没有学好，而是他(她)的概率论基本训练没有到位，因此有必要突出强调应用统计类课程所需要的重要知识点，在讲授概率基础课程时候加以特别强化训练。最重要的知识点主要有：

1.列出基于已知分布密度推导各种特殊数据类型的广义概率密度的相应方法。在实践中最常用的数据类型主要有：一元连续型、多元连续型(常见且基本)，一元离散型、多元离散型(常见且基本)，同时具有离散型与连续型分量的多元数据(常见但不基本)，右删失数据(工程与生物领域常见但不基本)、左截断数据(不常用又不基本)，具有缺失分量的多元数据(常见但不基本)，都可以给出相应的方法求广义概率密度。

2.概率基本公式应用与条件分布的演算。教会学生正确地写出三大概率基本公式所需的各个要素，特别是关于条件概率及其密度的演算。重中之重有两处：一是会求离散变量关于连续变量的广义条件密度(十分常用)，二是会利用广义条件密度及广义边际密度求离散变量与连续变量的广义联合密度(十分常用)。

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在互联时代下的今天，学习越来越社会化，新的学习方法和技术手段的引入使得高等教育正面临着前所未有的变革，“自主学习”作为主体性教育的基础，已逐渐深入各学科教育领域.数学知识的获得，数学能力的形成，渗透了许多自主学习的因素.概率论与数理统计是众多专业的基础类必修课程之一，在高等教育这个水平上倡导自学这门课程，是为学习专业课程和储备数学知识奠定基础.因此，从当前的教育实际出发，分析和研究影响概率论与数理统计自主学习的因素，构建以提高学生自主学习能力为目的的概率论与数理统计教学策略尤其重要.

一、什么是自主学习

自主学习是指学生个体在学习过程中的一种主动而积极自觉的学习行为，它是建立在学生自己“想学，会学，坚持学”的基础之上的.国内外对自主学习的研究大致可分为三个阶段：自主学习思想的提出，自主学习的实验以及自主学习的系统研究.20世纪70年代末，国内学者对自主学习的理论与实践进行了较多研究，出现了11项以指导学生自主学习为目标的教学实验，并把相关的教学实验结果以理论形式总结了出来.此外我国的心理学者在借鉴国外自主学习研究成果的基础上开展了一些自主学习的心理学研究.至此，我国的自主学习研究进入了系统化阶段.

二、目前概率论与数理统计自主学习的现状

尽管目前国内的自主学习研究已经取得了较多的研究成果，但也存在一些问题和不足，主要有以下几个方面：研究对象多为中小学生，对大学生的自主学习研究较少；研究涉及的学科领域较单一；研究内容多侧重于有利于学生自主学习的教学模式.

概率论与数理统计知识体系既来源于自然世界，又与学生在现实生活中不断的积累有关.但是，在学生的长期学习过程中，由于教师教学方式缺乏灵活性和数学知识结构自身的复杂性与延伸性，往往使得学生对自主学习产生了畏惧心理，自主学习意识淡薄，自主学习能力急待提高.

通过文献资料法和访谈法对目前学生的概率论与数理统计自主学习的现状进行了调查，得出如下结论：

（一）概率论与数理统计自主学习水平整体一般

以课程代码为04183的全国高等教育自学考试中概率论与数理统计课程内容和考核要求为例，该门课程考核的知识点共34个，又分为识记、领会、简单应用、综合应用四个认知层次.对于前期微积分课程基础较好的同学而言，自主学习该门课程中的大数定理与数理统计内容也较困难，总体自主学习水平一般.

（二）女同学自主学习水平的宽度和深度均高于男同学

女同学在自主学习的目标、方法与学习管理上都比男同学较好，女同学认真仔细的性格特征能使她们更快地适应自主学习的学习氛围，也能较好地对自己的自主学习过程进行监控管理.

（三）随着多媒体工具的介入，自主学水平急待提升

到了大学阶段，随着认知能力的提高和社会经验的丰富，学生们更趋向于选择灵活便捷的学习方式，幕课与微课的出现为自主学习提供了一定的辅助作用.但是，学生自主学习的积极性、主动性和自主学习的方法、策略都有待提高.

三、改进概率论与数理统计自主学习策略

综上可知，影响概率论与数理统计自主学习的因素主要有学生已有的数学必备知识、学生自主学习的主动性、已掌握的数学学习方法与技能、具体学习内容的难易程度等等.

由此，对概率论与数理统计自主学习提出一些建议：

（一）进一步培养学生对概率论与数理统计课程自主学习的主动性与积极性

在数学课堂教学过程中，教师的主要目的在于构建学生主体，创设学生自主学习的环境，提供学生自主学习的机会.通过引导学生意识到课程的重要性，帮助学生设置合理的学习目标，实施多种教学方式，创设问题情景等方法，不断提升学生的主体性意识，真正发挥学生的创造性思维.

（二）指导对概率论与数理统计课程自主学习的方法和策略

数学是高度概括抽象的理论科学，在其中使用了大量形式化、符号化的语言，因此数学自主学习更需要讲方法和策略.分层次学习法，专题学习法，小组探讨研究法等学习方法的指导，能进一步提升自主学习的效率.

（三）提倡学生采用多种类移动在线学习方式，全面辅助提高自主学习的效果

在互联网技术高速发展下的今天，知识的传播速度大大提高.作为更容易对新生事物产生兴趣并接受它的新时代大学生，在概率论与数理统计的自主学习过程中可合理采用微课、慕课等学习方式，以达到预期的学习效果.

（四）建立适当的学习效果评价模式，促进学生自主学习的深入进行

评价模式的建立是为了促进学生自主学习的发展，科学的评价与及时的反馈是概率论与数理统计课程自主学习的推动剂.在实施中，要遵循定性与定量相结合、过程与结果相结合、个体与全面相结合的原则，重视个体差异，注重鼓励性评价.

总之，学生自主学习能力的培养需要长期的积累，学生主体能力的发挥更多地依赖于教师的引导和学生的主动参与.实现自主学习是新时期素质教育的要求，也是学生全面发展的需要.

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2寓教于乐，注重教学实例的引入

在概率与数理统计的教学过程中，学生经过高中部分的重复知识学习后，慢慢就进入枯燥，乏味的学习时期，此时，作为教师要积极调动学生学习的积极性，调节课堂气氛，否则将会出现不想学不愿学，越来越退缩的状况。比如在学习条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式的时候，由于是大学概率论的新知识，部分学生便出现不愿思考的苗头，这个时候一定要扼制住这种苗头。一方面，强调此部分的重要性；另一方面，据实际的例子来说明理论。笔者在这部分教学中恰当举了“吃西瓜”的例子，取得了不错的教学效果。在讲全概率公式的之前先讲解了划分的概念，此时开始举例：把一个西瓜分成若干份，每位同学一份，这样就很实际的把划分的两个条件讲清楚了；接下来每名同学开始“吃”一口，让大家思考整个西瓜“被吃”的那部分占整个西瓜的比例，这个比例应该如何求解呢？这个时候就可以恰当的引出全概率的公式；然后又给大家一个问题：这个西瓜“被吃”的这部分来源于我们同学的力量，那么现在思考一下由张三（其中一名同学）吃的那一口占整个“被吃”西瓜的比例，这个时候就可以完整的推出贝叶斯公式。通过这个实际的例子，学生不仅记住了公式，还了解了这些公式在实际中的作用。

3适时补充知识，及时对比归纳总结

在概率论的教学过程中，连续性随机变量的知识点要用到定积分、变限积分、二重积分等知识，由于学生在整个高等数学的学习过程中，学习不够扎实或者有些知识已经有所遗忘，这个时候适时补充高等数学的相关知识，对概率论的教学会有重要作用。作为学生在学习知识，作为一个社会人在社会上生存，都是在不断总结前面的经验，不断对比过去的人，过去的事，过去的自己的一个过程。而在整个概率论的教学过程中，运用对比教学手段，将会使学生对知识有一个前后系统的认识。进行对比学习，同时给学生点播人生的一点哲学，这将对学生的一生都会受益。比如，在多维随机变量的数学期望的教学过程中，采用纵向一维离散与连续型随机变量数学期望求法的对比、横向一维与多维随机变量数学期望求法的对比。通过这些对比不仅能很好的掌握本节知识，还能更好的复习了前面所学的知识。

4注重实际应用，多元化教学

时代的发展需要更多的高素质人才，他们除了要学好丰富的理论知识之外，还必须学以致用，这样才能推动时代的发展，我们学数学的目的是为了应用它去解决实际问题。因此，增强数学应用意识，培养学生数学应用能力，是素质教育的重要内容，也是数学教学的任务之一，因此培养学生的数学应用能力刻不容缓。

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中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）08（b）-0056-01

独立学院是中国高等教育办学体制改革创新的重要成果，它以母体学校为载体，又借鉴了企业的管理模式，培养出了越来越多的应用型人才，为发展民办高等教育事业、促进高等教育大众化做出了积极贡献。概率统计是一门应用性很强的基础课，不仅对于后继课程的学习，在自然科学等中也都有着很重要的作用。它研究的是随机现象统计规律性的一门学科，具有思想性强、概念抽象、模型及公式多的特点，被学生认为比较难学的一门课。在本文中，根据概率统计的特点，以及笔者多年在南京邮电大学通达学院教学的经验，探索独立学院中概率统计的教学方法。

1 独立学院“概率统计”学与教的现状

1.1 学生学习基础薄弱，学习环境亟需改善

与其他一本、二本的学生相比，刚进入大学时，独立学院的很多学生更容易进入一种轻学习重活动的状态，而参与过多的活动必然会占用大量的学习时间，再加上独立学院中学生的数学基础相对薄弱，对学习数学缺乏自信心、自控性不强，就会给高等数学的学习带来极大地困难，从而为后面概率统计的学习埋下隐患。

学生的学习环境包括学习风气及考试环境等。班级的学习风气对于学生的学习有着重要的作用。同处一个大班的小班相差十几分就可以说明这一点。而建立良好的学风，营造积极向上的氛围是很多独立学院班级所欠缺的。再者，独立学院的考试环境一般是宽松的，这里的宽松，指的是每年多次的重修和补考机会。机会多多，又没有严厉的限制手段，就会使学生不易珍惜，久而久之会养成惰性与传承性的不良风气。

1.2 理论性强、缺乏应用

到目前为止，缺少完全适用于独立学院学生的优秀教材，因此，很多学校使用和一本、二本相同的教材，这也是可以理解的。但一般的本科教材，内容丰富，理论性和逻辑性都很强，应用性相对较弱，而概率统计教学的课时是一定的，这就导致了在具体教学过程中，授课教师比较注重理论的讲解与证明，忽视了课后训练和课后应用的环节。久而久之，会使基础相对薄弱的学生丧失学习的兴趣，产生厌学的情绪。

2 独立学院“概率统计”教学方法的探讨

2.1 调动学生学习积极性，建立和谐的师生关系

在教学过程中，任课教师应该根据各专业学生的实际情况，制定出适应于独立学院的教学计划，并和学生建立和谐的教与学关系。虽然独立学院的学生基础有差距，但是很多学生都有很强的自尊心和认同感，言语上的轻视极易引起他们对教学活动的抵触情绪，影响教学效果。因此，良好的师生关系是非常必要的。而真诚的态度、适当的鼓励、及耐心的讲解都会给学生传达着关心与帮助，激发他们的学习激情，逐步引导他们的主观能动性，建立自主学习的信心，而这些正是独立学院的很多学生所欠缺的。

2.2 优化内容、淡化理论、强调实践应用

考虑到独立学院学生数学基础相对薄弱的现实，在教学过程中应该针对具体情况，对教学内容进行优化，注意概念的直观化和模型的形象化、注重思想及方法的渗透，引用典型示例和合理推导替代繁琐的计算及证明过程，不能完全照搬，否则，只会导致事倍功半的结果。

此外，注意到独立学院以培养更多的应用型人才为目，应该鼓励学生学以致用，加强实践性环节的引导。这部分可以如下进行：（1）加强例题的分析讲解，起到举一反三的作用；针对课后习题，在把握大纲的基础上，根据学生的学习基础分层次地布置，这样可以避免部分基础相对较差的学生因为不会而去抄袭，养成不良习惯；（2）在教学过程中，结合具体知识点引导学生就生活中的实例或简单的数学建模竞赛题目进行建模，培养学生的建模思维；（3）为了加强学生对知识点的把握，引导学生进行内容总结，写成报告的形式；（4）Matlab、Mathematics等的使用，结合我校数学实验的开展，引导学生就概率统计中的问题，如各类密度函数的性质，大数定律及中心极限定理的的直观演示等，进行操作，而这些问题大都容易进行，不仅可以加强知识的应用，减少繁琐的计算过程，还可以使学生更直接地理解内涵；（5）鼓励学生参加数模类竞赛，加强解决实际问题的能力。当然，相对较难的全国大学生数学建模竞赛，校赛相对简单，因此，鼓励学生参加校赛，是目前需要推广的事情。

2.3 采用启发式、案例式、口诀式等多样化教学方式

概率统计中存在着许多可以类比的内容，比如离散型和连续型随机变量、一维和二维随机变量、有关均值方差的置信区间和假设检验等，大都有思想相似，逐步深入的特点，因此，可以采用类比的方法进行启发式讲解；此外，课本中所讲述的各类概率模型都存在例证，也可以启发同学去探索。

具体到案例，日常中的很多事例谚语，如“捕鱼问题、大海捞针、水滴石穿”等都可以用概率统计中的知识加以验证或解释。这些内容就不一一阐述。

除了启发式与案例式，根据概率统计中知识点多的特点，借助网络，将要掌握的重点、难点总结成规律口诀，进行传授，方便学生理解记忆，也是一种可以尝试的方法。下面，我们将列举部分口诀。

我们知道，抽样分布是数理统计中的重要内容，是参数估计及假设检验的基础，而在使用统计量进行推断时，通常要用到有关正态总体的三种分布。这三种分布是学习的重点，又是难点。可以借助下面的口诀更方便记忆。

正态方和卡方出，卡方除n商F，若想得到t分布，一正开卡再相除。

不难理解：相互独立的标准正态分布的平方和可以得到卡方分布，两个卡方分布除以各自的自由度再取商可以得到F分布，而T分布则可以由标准正态分布除以开平方后的卡方分布（当然还得除以自由度）得到。

而下面这段口诀则揭示了它们的适用范围及图形情况。

均值检验用U-T，分位对称莫大意；方差单双对卡F，左窄右宽要牢记。

即：均值检验用U检验法（方差已知）和T检验法（方差未知），这两类检验法对应的标准正态分布和T分布对应的密度图是关于y轴是对称的；方差检验用卡方检验法（单个总体时）和F检验法（两个总体时），这两类检验法对应的卡方分布和F分布对应的密度图是左窄右宽的。

当然，除了上面考虑的措施外，还可以在教师技能的培养、考核机制的选择等方面进行完善。相信通过这些努力，对提高独立学院的概率统计教学大有裨益。

参考文献

[1] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2008.

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一、钻研透彻一本考研数学辅导书胜于你多看三本同类的书、不要盲目地做题

考研数学中，相比于高等数学丰富多变的题型与方法，概率论与数理统计这门学科考查的题型固定、单一，解题技巧较少。因此：

一不要同时看太多本的辅导书。因为每本辅导书里概率的体系和解题方法、技巧都是差不多的，假如你的手上一共有两本辅导书，那么就深入钻研这两本，掌握“三基”，掌握题型，做完每一道练习题。

二不要搞题海战术。例如，同学们在学习概率论与数理统计的时候不要一头扎入古典概型的概率计算中不可自拔。概率论的第一部分就是关于古典概型与几何概型的计算问题，有很多问题是很复杂的，一旦陷入这一类问题的题海中，要么你的脑瓜会越来越聪明，要么打击你的信心，对概率论失去兴趣。一般同学都会处于后一种状态。我们应该挑准一本练习册，多做几遍上面的题目，每做一遍，都回头总结一下，此题的考点是什么，应用了哪些基本方法，把题目做精做透。

二、对概率论与数理统计的考点整体把握

考研中，概率论的重点考查对象在于随机变量及其分布和随机变量的数字特征。所以对于第一条中所讲的古典概型与几何概型这部分，只要掌握一些简单的概率计算就可，把大量精力放在随机变量的分布上，尤其是第四章二维随机变量及其分布，是重中之重。数理统计的考点在于一是与抽样分布相关的统计量的分布及其数字特征，二是参数估计的两种方法。这就是对一门课程整体把握的优势。

三、重视“三基”，重视基本功的熟练度

想要数学高分，就是要对常规题型有无可争议的熟练度。近年来考研数学的一大特点就是计算量逐年加大、答题时间紧。如果只是满足于会做，是远远不够的，要达到不但会做，而且最短时间内正确的做出来的层次，这才叫做基本功。

四、复习的中后期，在有一定基本功的情况下，应重视真题，多做真题

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关键词：

数理统计;专科;讲授方法

数理统计作为一门常见课程在很多大专院校都有设置，并且很多专业都将其列为专业基础课程。以作者所在学校为例，就有中药学、中药制药技术、药品营销等五个专业开设此门课程。但随着时代的发展，在专科层面教学方面逐渐产生了很多问题。首先，随着大学扩招，特别是高考人数逐年下降，使得上大学变得越来越容易，特别是专科院校。作者所在学校最低录取分由前几年的300多分逐渐下降到今年的200分。其次，由于专科位于录取最末端，所以很多专业实行文理兼招，而文科生学习数理统计这门课程有先天不足。最后，国家对专科学生培养定位为技能性人才，也就是偏重于动手能力而不是理论。

这和本科院校教学有很大的不同，而数理统计作为理科本生就蕴含一些理论，这些理论不是想绕开，就可以或是就能够绕开。上述这些问题要求授课教师不能够故步自封，应该与时俱进，做到真正意义上“备学生”“备教材”“备教法”。

一、模糊处理，通俗讲解

所谓“模糊”，不是了解，也不是半讲解。而是基于学生实际情况，对定义、定理等数学性知识点，特别是用数学语言表述的定理，应该用通俗语言或“接地气”语言加以“翻译”。具体技巧可以用比喻、类比等手段加以说明，切忌使用数学语言加以讲解。例如数理统计中分布函数涉及到微积分这个知识点，而现实情况是专科院校一些专业已经删减了微积分这门课程。这就要求老师对微积分进行“模糊”处理，比如可以讲解离散情况下的分布函数，由此类比连续情况下的分布函数，再比如可以通过物理的质量等于体积乘以密度来类比连续情况下的概率计算。这些都要求教师要扩展思维、发挥想象，通过虚实结合来模糊处理一些晦涩知识点。

二、归纳总结，理清脉络

数理统计这门课程与其他学科融合时会产生一些新的名称，例如医药数理统计、工程数理统计，但究其本质仍属于数学类。所以其课程内容蕴含着较强逻辑性，这不同于有些依靠大量记忆的课程。加之学生基础薄弱且文科生较多，所以很多学生阅读教材后，感觉一头雾水，理不清教材内容章节号。而教材的章节号恰恰是统计学公式的分水岭，理不清教材脉络，也就理不清公式分类，导致学习后处于似懂非懂状态。所以要求教师做到以下两点：第一，每次课后都要进行归纳总结，逐渐扩展到相关几个章节的总结，乃至整本教材。最好以板书形式写在黑板上。第二，带领学生理清课本章节号，这有助于学生区分公式。例如假设检验这部分，可分为离散、连续两大部分。而每部分又可分为几类，教师应该先局部总结，然后再整体总结，并且在总结的同时一定要带领学生理清章节号，以便于学生课后自行复习巩固。

三、理解原理，应用至上

专科层面学生强调实际应用能力，这是国家对高职高专院校的定位。数理统计这门课程也强调学生利用软件对数据结果进行分析计算。但这会造成一种假象，即学生只要会用软件计算即可，甚至在与一些专业教师进行交流时候发现，很多教师认为只要学生能够“依葫芦画瓢”即可。这个说法似乎有一定合理性，但弊端也很明显：首先，很多公式来源于原理，不理解原理而死记公式，很多公式看上去非常接近，如果问题稍作调整，学生将无所事从。其次，从长远角度来讲，学生不能永远生搬硬套几个公式，工作以后面临新问题怎么办？怎么去应对？都要解决。所以对原理的理解必不可少，但是考虑到学生的基础，也不能提过高要求，所以提倡够用适度，即达到理解层面就可，而不是掌握。例如，方法分析法在数理统计中多次出现，每一次公式表达都不一样，如果不理解方差分析的精髓，单凭死记硬背很容易出错。在理解原理的基础上强调应用，这里主要是指用软件来计算结果，对于专科学生而言，推荐使用Excel，不主张使用SAS或SPSS软件。后两者涉及编程，实际效果并不好。

四、分类明确，精确判断

数理统计公式较多，专科层面公式接近30个，而本科层面多达50多个。这些公式之间的界限有时并不十分明显，所以教师上课时要做到：第一，阶段分类总结以及全局分类总结。第二，公式之间的区别必须重点强调。例如，假设检验可以分为离散和连续两大类。而离散和连续又都可分为单个参数和两个参数，而单个参数和两个参数又都可分为三种情况。又如两个参数假设检验与单个参数情况下的配对检验从数据上十分相似，必须从细节甚至生活常识加以区分。

五、结束语

以上四点都是作者七年数理统计本专科教学工作心得所在。通过逐年教学效果和班级之间的对比，学生普遍比较认可，学习效果也较好。当然，由于学生之间个体差异较大，所以还存在很多需要完善的地方，比如对于基础较好，进而需要进一步学习的同学的教学策略需要在以后讲授中不断探索与提高。

参考文献：

[1]肖鹏，杜燕飞.概率论与数理统计教学改革的几点思考[J].数学教学研究，2009

[2]陈新美，张国强，王桦.概率论与数理统计教学改革与实践[J].湖南科技学院学报，2006

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概率论与数理统计是研究随机现象及其统计规律的一门科学，也属于高校非数学专业中的一门重要数学基础课程。作为一门实用工具，概率统计被广泛应用于多个领域，如医学、生物学、经济学、金融学、气象预报、人工智能、工农业等领域。很多大学生数学基础比较薄弱，并且不同生源的学生数理基础更是参差不齐。因此，概率统计这门课成为不少学生学习中的拦路虎。在此背景下，应该如何培养学生学习这门课的兴趣呢？笔者结合多年的从教经验，简要谈一谈自己的教学心得，以供参考。

一、重视备课环节，做好教学准备

备课是教学工作中的第一步，也是每个教师的必备功课。对于概率统计教学来说也是一样的，教师在授课前必须做好备课工作。首先，要对相关知识进行消化、归纳，探索，让这些空洞的知识变得更加直观，以便于学生的理解。要特别重视实例的选择，为了让学生理解一个知识点，就应构造出一个与之对应的实例，再根据实例来推演过程与结果，最终得出相关的结论。这样学生更容易理解，教学效果也会更好。比如，在教学数学期望概念时，可将例子改为彩票或证券投资的平均收益，这是很多学生都关心的问题，学生也能认识到这一概念在实际生活中的重要性，从而学习兴趣大增。当然，备课也并非一劳永逸的，教师要根据专业特点、学生认知水平来合理选择教学实例，才能起到事半功倍的效果。

二、开展趣味性教学，激发学习兴趣

与其它应用性极强的学科相比，概率统计学这门课程具有高度的抽象性与严密的逻辑性。因此，教师很难用形象生动的语言来激发学生的学习兴趣。但是我们可以在教学过程中穿插关于该学科的发展史、历史人物故事及有关典故，以增加教学的趣味性，达到激发学生学习积极性的目的。在上第一堂课时，可介绍概率论的起源，以调动学生的好奇心。此外，还可介绍现代统计学的相关奠基人，包括我国统计学家许宝碌，在斯坦福大学统计系的走廊上可以看到许宝碌与其他著名的统计学家的照片。在教学中可穿插一些有趣的例子来调动学生的学习兴趣。比如，对于《静静地顿河》的作者是否是肖霍罗夫存在不少争议，可以通过概率论中的频率来解决这一问题。首先，我们收集肖霍罗夫的书信以及其他著作，从中分析其写作风格与用词习惯，计算出频率，然后与《静静地顿河》中的写作风格、用词进行一一对比，便可得出结论。

三、善于利用多媒体教学，使教学更加生动形象

相对于传统的板书教学，多媒体教学利用图片、音频、视频等工具能让教学内容更加直观形象，也便于学生理解。概率统计学本身知识晦涩难懂，我们教师要善于利用多媒体技术，精心准备课件，将知识难点生动化、形象化。概率统计学中涉及到很多相似的知识点，一般需要通过类比、归纳的方式进行总结，以帮助学生把握知识的实质与区别。比如，在学习“区间估计”与“假设检验”相关内容时，可制作多媒体课件，通过链接比较的方式，动态显示区间估计、假设检验所用统计量的异同点。同时，也可通过例子让学生观察区间估计中的估计区间与假设检验中的否定域的异同点。另外，在多媒体教学中还应充分利用常用的统计软件，如Excel、SPSS、Eview、Maple等。通过多媒体展示，让学生学会如何计算样本均值与样本方差。同时，还可用各种图形进行表示，从而使概率统计更加直观。这样能使有限的课堂时间得到充分的利用，并能节约运算量与时间。这样也能培养学生的软件应用能力以及分析问题与解决问题的能力。

四、加强教学互动，构建和谐师生关系

教学是师生间的双边互动过程，双方要共同参与，相互配合。因此，师生间要经常交流，教师才能明白教学环节中的不足之处，同时，也才能激发学生的学习兴趣，拉近师生间的距离。这样才能使教学相长，相得益彰。讨论课是由师生共同完成教学任务的一种教学形式。不同于传统的以教师为主体的教学模式，更强调学生的主体地位，营造出更平等、自由的学习氛围。师生间可围绕某个问题互相探讨，也可让学生走上讲台发表个人意见。比如，在学习区间估计方法时，笔者就单双边估计问题组织了一次讨论课，学生可各抒己见，自由讨论。通过问答与辩驳，促使学生主动思考，积极探索，极大调动了他们学习的积极性与科研兴趣。同时，也培养了他们的口头表达能力与综合分析能力。另外，除了在课堂上注意师生互动外，教师还可利用网络平台、邮件等方式与学生进行交流，了解学生的学习态度以及学习中的困难，再给以相应的指导。

总之，概率统计学与我们的日常生活联系紧密，在很多领域正发挥着重要的作用。伴随着信息时代的到来，数学教师要着重培养大学生综合运用数学知识解决实际问题的能力，为他们的后续学习与今后的工作打好必要的数学基础。对于概率统计学，教师要充分结合课程特点与学生学习情况，积极探索有效的教学手段，改进教学方式方法，将理论与实践相结合，培养大学生的统计思想与统计能力，使其能灵活运用统计方法解决实际问题。

参考文献：