函数教学论文范文

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篇1

1要把握函数的实质

17世纪初期，笛卡尔在引入变量概念之后，就有了函数的思想，把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹，欧拉在1734年首次用f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。变量说的定义是：设x、y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围内变化时，变量y按一定规律随x的变化而变化。我们称x为自变量，变量y叫变量x的函数，记作y=f(x)。初中教材中的定义为：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化，它致命的弊端就是对函数的实质——对应缺少充分地刻画，以致不能明确函数是x、y双方变化的总体，却把y定义成x的函数，这与函数是反映变量间的关系相悖，究竟函数是指f，还是f(x)，还是y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。

迪里赫莱（P.G.Dirichlet）注意到了“对应关系”，于1837年提出：对于在某一区间上的每一确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫x的一个函数。19世纪70年代集合论问世后，明确把集合到集合的单值对应称为映射，并把：“一切非空集合到数集的映射称为函数”，函数是映射概念的推广。对应说的优点有：①它抓住了函数的实质——对应，是一种对应法则。②它以集合为基础，更具普遍性。③它将抽像的知识以模型并赋予生活化，比如：某班每一位同学与身高（实数）的对应；某班同学在某次测试的成绩的对应；全校学生与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。函数由定义域、值域、对应法则共同刻划，它们相互独立，缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。

对于集合说是考虑到集合是数学中一个最原始的概念，而函数的定义里的“对应”却是一个外加的形式，，似乎不是集合语言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了纯集合论形式的定义：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且满足条件，对于每一个x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，则y1=y2，这时就称集合f为A到B的一个函数。这里f为直积A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一个特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定义的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定义过于形式化，它舍弃了函数关系生动的直观，既看不出对应法则的形式，更没有解析式，不但不易为中学生理解，而且在推导中也不便使用，如此完全化的数学语言只能在计算机中应用。

2加强数形结合

数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在7—12年级所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的，作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教学要做到学生心中有形，函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像，只要心中有形，函数性质就比较直观，处理问题时就会得心应手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。如函数y=log0.5|x2-x-12|单调区间，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0时，x=-3或x=4，知t函数的图像是变形后的抛物线，其对称轴为x=?与x轴的交点是x=-3或x=4并开口向上，其x∈(-3，4)的部分由x轴下方翻转到x轴上方，再考虑对数函数性质即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的实数根的个数，该方程实根个数就是两个函数y=3x2+6x与y=1／x图像的交点个数，作出图像交点个数便一目了然。

3将映射概念下放

篇2

抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f(x)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。

解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。所以近几年来高考题中不断出现，在2009年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花。但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。

一、抽象函数的定义域

例1已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)（a＞0）的定义域。

解析：由由a＞0

知只有当0＜a＜1时，不等式组才有解，具体为{x|1+a＜x≤3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0＜a＜1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为（1+a,3-a]。

点评：1.已知f(x)的定义域为[a,b]，则f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；2.已知f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域即是g(x)在x[a,b]上的值域。

二、抽象函数的值域

解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定。

例2若函数y=f(x+1)的值域为[-1，1]求y=(3x+2)的值域。

解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1，1]。

三、抽象函数的奇偶性

四、抽象函数的对称性

例3已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+g(-x)的值为（）

A、2B、0C、1D、不能确定

解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=，y=f(2x+1)是奇函数，y=也是奇函数，。，，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，g(x)+g(-x)=故选A。

五、抽象函数的周期性

例4、（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则()

(A)是偶函数(B)是奇函数

(C)(D)是奇函数

解:与都是奇函数

函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D

定理1.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(x＋a)=f(x－b)，则y=f(x)是以T=a＋b为周期的周期函数。

定理2.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(x＋a)=－f(x－b)，则y=f(x)是以T=2（a＋b）为周期的周期函数。

定理3.若函数y=f(x)的图像关于直线x=a与x=b（a≠b)对称，则y=f(x)是以T=2(b－a)为周期的周期函数。

定理4.若函数y=f(x)的图像关于点（a,0)与点(b,0),(a≠b)对称，则y=f(x)是以T=2(b－a)为周期的周期函数。超级秘书网

定理5.若函数y=f(x)的图像关于直线x=a与点(b,0),(a≠b)对称，则y=f(x)是以T=4(b－a)为周期的周期函数。

性质1：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=f(b＋x)(a≠b,ab≠0),则函数f(x)有周期2(a－b)；

性质2：若函数f(x)满足f(a－x)=－f(a＋x)及f(b－x)=－f(b＋x)，(a≠b,ab≠0),则函数有周期2(a－b).

特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)（a≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a.

性质3：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=－f(b＋x)(a≠b,ab≠0)，则函数有周期4(a－b).

特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)（a≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a。

篇3

2三角函数概念的历史及其重构

三角函数概念的发展前后经历了4000多年，从早期在天文学中应用的三角学知识可以追溯至古巴比伦年代或者更早．古埃及人由于尼罗河不定期的泛滥而遭受打击，因此他们注意观察尼罗河泛滥的规律以及时间．后来人们注意到每逢天狼星于黄昏之后升起的日子尼罗河就会泛滥．于是人们就开始记录天狼星与太阳的位置，人们为了解决实际问题引入了角等概念．但是这并不是严格意义上的三角学，只能算是三角学的前身，是一种对天文观测结果进行推算的方法．三角学最早的创建者是希腊数学家Hipparchus(约公元前180～公元前127)被称为三角学之父．为了定量地解决天体的位置问题，他将球面三角方法引用于此，并且制作了弦表．弦表是在固定的圆内不同圆心角所应的弦长，此时的正弦指的是圆弧所对弦的弦长相当于现在圆心角一半的正弦线的2倍．后来Ptolemy(约公元100～178)在此基础上又丰富了弦表．在Ptolemy的弦表中，弦指的是当圆的半径为60时弦的长度，而不是一个比值．而印度数学家Aryabhata与希腊人的做法不同，他默认曲线和直线可以用同一单位，此时他计算的弦是圆弧所对弦的半弦长，相当于现在所指的正弦．其后Regiomontanus(1436～1476)在他的著作《论各种三角形》中首次对三角学做了完整、独立的阐述，使三角学正式从天文学中独立出来．在书中采用了印度人的正弦，即圆弧的半弦，明确使用了正弦函数这一概念．讨论了一半三角形的正弦定理，提出了求三角形边长的代数解法，给出了球面三角形的正弦定理和关于边的余弦定理．后来哥白尼的学生、印度数学家Rheticus(1514～1576)最先给出角的正弦概念，把原来说弧的正弦改成了说锐角的正弦．三角形就形成了三角关系的基本结构，相应的圆成了从属．他把正弦、余弦、正切等定义成直角三角形的边长之比，从而使平面三角学从球面三角学中独立出来，至此三角学真正形成了．总之16世纪，三角学从天文学中分离出来，成为数学的一个独立分支，值得注意的是，这时所讨论的“三角函数”仅限于锐角三角函数，而且研究锐角三角函数的目的在于解三角形和三角计算［5］．一直到17世纪，三角仍然是常量数学的主要内容，直到1729年Euler研究插值的方法时用三角级数表示了函数，函数的思想成了三角学的组成部分，变量数学占据了核心地位．随着解析几何和微积分的建立，三角函数的严格解析理论建立了，正弦不再是线段，而是变成了数值，是单位圆上点的纵坐标，而三角级数在实变函数的基础上又形成了另一门重要的数学分支—调和分析．根据上面的历史发展顺序，三角函数概念(以正弦为例)的发展历史大致可以分为正弦是圆弧所对的弦的弦长，正弦是圆弧所对的弦的半弦长，正弦是比值，正弦是单位圆上点的纵坐标［6］．概括的说就是经历了几何的三角学，代数的三角学，解析的三角学．学生在初中学习的锐角三角函数的内容，相当于代数的三角学，是用来解决三角形三边关系的主要工具．而后来当用解析的眼光来看待三角学的时候，三角函数是用来刻画函数性质的工具而不再拘泥于解决三角形边角关系的问题，而任意角的三角函数的研究与圆周运动密不可分．所以锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间关系而发展起来的，任意角三角函数是研究现实中的周期现象而发展起来的，他们研究的现象不同，表现的性质也不同，我们既不能把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广(或一般化)，又不能把锐角三角函数看成是任意角三角函数在锐角范围内的“限定”．学生在高中学习的任意角三角函数的内容应该是以函数的眼光来对待，认真体会其作为函数的一些性质，尤其是周期性．因为三角函数是刻画现实事物周期性很好的一个模型．教材(人教A版)只是在第一节内容上安排了任意角与弧度制的内容，接下来就用单位圆给出了任意角的三角函数，教师的普遍作法也是回顾初中锐角三角函数的定义，然后让学生考虑如何将锐角三角函数推广的任意角三角函数．这种讲法无疑就把学生陷入一个误区，即任意角三角函数是锐角三角函数的推广，自然有很多同学认为任意角三角函数仍然是研究三角形三边关系的工具只是不再局限于锐角三角形，也有很多同学排斥单位圆的定义，觉得不如初中给的“比值法”好，不直观难用来计算．尽管这样的处理方式很直截了当，但对照发生教学法我们发现这种做法存在以下不足:(1)没有讲明高中学习的三角函数与初中学习的锐角三角函数研究的内容和方法都不同，容易造成学生的概念混淆．(2)没有很好的利用单位圆，单位圆是函数周期性的一个很好的体现，在三角函数的后续学习中有很大的作用．但学生在教师的实际教学中体会的很少．基于发生教学法，考虑学生在了解三角函数发展历史之后，就不会陷入锐角三角函数同任意角三角函数概念混淆的误区，能更好的认识单位圆在研究三角函数中的重要作用，体会其作为一个周期函数的性质等等，因此对三角函数的概念的历史进行重构以便于教学．

3任意角三角函数概念的教学设计

基于三角函数概念(以正弦为例)的发展历史，讲其进行重构并应于实际教学．如图1:

3.1学情分析

学生在前面一节已经学习了弧度制，从弧度制一课来讲数学史的引入就很有必要，很多学者在前面的研究中已经给出了很多宝贵的建议［7-9］．在前一节的很好的铺垫下，学生已经体会到引入弧度制的必要性，这也为本节学习单位圆打下了良好的基础．学生在初中已经学过锐角三角函数的定义，对三角函数(正弦、余弦、正切)有一定的了解，而且学生通过弧度制的历史回顾，已经了解了锐角三角函数在解三角形中的作用．因此我建议对于锐角三角函数的概念的回顾可以放在弧度制一课对弧度制的历史回顾之中完成，因为在弧度制最早的也是为了解决三角形边角关系的情况下产生的．是区别于角度制的另外一种度量方式．而在本节课任意角的三角函数中，先不要提及锐角三角函数的定义方式，以免学生发生概念的混淆．等到学生熟练掌握了任意角三角函数的概念以后，再把初高中学习的内容进行对比，这样即可以帮助学生建构知识体系，也能让学生更好的体会任意角三角函数作为函数的性质．

3.2教学情景设计

高中生具有丰富的生活经验和联想，因此从现实生活入手更能激发学生的学习兴趣．如观察:钟表指针的旋转、自行车轮子的旋转、摩天轮、跳水运动员优美的动作，这些周期现象中都存在着超过180°的角，而且形成的图形都与圆有关，那么我们如何研究这种周期现象呢?任意角的三角函数是我们的好帮手，回顾历史我们可知，正弦和余弦是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，是圆对称性的直接反映［10］．因此三角函数也叫圆函数，我们今天学习的内容与初中学习的锐角三角函数存在很大的差别．就此借助单位圆引入任意角三角函数的概念．3.2.1任意角三角函数概念的教学片段问题一:如何借助圆来研究三角函数?回顾历史上数学家的做法，三角学最早起源于天文学，而三角函数是用于研究圆内接图形(主要是三角形)的工具，随着后来的发展是用于研究确定行星位置的工具．那么如何借助于圆来研究三角函数的内容呢?通过观察几组图片，钟表两个指针的运动轨迹、自行车轮子旋转等图片，激发学生的兴趣．显然我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到角的顶点的距离为1(方便定义三角函数)，随着角度的任意扩大，以这个点旋转一周的轨迹—圆，来帮助我们学习三角函数．虽然在此处没有提到，这是数学家欧拉的做法，将单位圆的半径定位1，大大方便了我们研究三角函数的过程．我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆．问题二:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图2，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么:(1)y叫做α的正弦(sine)，记做sinα，即sinα=y;(2)x叫做α的余弦(cosine)，记做cosα，即cosα=x;(3)yx叫做α的正切(tangent)，记做tanα，即tanα=yx(x≠0)．问题三:任一点P的选择，对于任意角三角函数的值有没有影响?回顾最初引入单位圆的过程，学生借助于相似三角形的知识可以得到点P的选择对于任意角三角函数的值没有影响．问题四:任意角的三角函数符号的确定与点p(x，y)的坐标有什么关系?引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r＞0，三角函数值的符号决定于横坐标、纵坐标的正负．问题五:如何借助单位圆研究三角函数的周期性?我们观察图形发现，角度每变化360°的整数倍的时候，角的终边又回到了同一位置，因此终边相同的同名三角函数值应该相等．这样一来可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π(0°～360°)角的三角函数值，简化我们的计算．课后思考:观察单位圆，我们可以得到同角三角函数之间存在着哪些关系呢?为一下节课研究同角三角函数的关系做好铺垫.

4课堂实施与问卷调查

按照HPM视角下的教学设计，研究者在2013年于北京市某重点高中实习期间做了充分的调查研究，并进行了课堂教学的实践．该校在高中一年级学习完必修一之后接着学习必修四的内容，可以说为任意角三角函数内容的学习做了良好的铺垫．该校文理科班级比例为1:3，考虑到文科班的同学对于历史更感兴趣效果应该优于理科班，所以选择2个理科班，1个文科班来进行教学．但是结果却出乎意料，理科生对本节课表示出了浓厚的兴趣，甚至热情高于文科班．以下是对某个理科班同学的课后访谈片段:T(教师):对今天这节课的感觉如何?S(学生):挺好的，感觉比以往新颖，似乎更有兴趣了．T:你理解今天所讲的任意角三角函数与初中学习的锐角三角函数的差别了吗?S:理解了，初中学习内容是研究三角形边角关系的，现在学习的是具有函数性质的．不是同一个内容．S:那你理解在这里引入单位圆的作用了吗?T:差不多吧，圆具有周期性、对称性，用来研究三角函数很好．最后老师又问了一个问题，感觉还有内容要学习．T:那今后采用这种方式上课怎么样?S:好啊，不容易溜号了．图3是对全体授课班级同学学习情况的统计，我们可以看到本节课的教学效果还是显著的．三角函数历史悠久，有几何的、代数的、解析的视角，现在向量也进入教材，三角函数和向量、复数之间的关系也应引起教师重视，教师把对三角函数概念的理解局限于一节课、一章里是不对的，学生对一个概念的理解不是一蹴而就的，需要一个循序渐进的过程．作为教师更要有全局观念，在教三角这一章时要用三角的眼光看待后续内容，适当的选择教学方式方法［11］．因此建议教师在教授任意角三角函数概念的时候，不要把对学生理解此概念的任务放在这一节里，而是在整个单元的教学中都要反复的重视学生对任意角三角函数概念的理解情况．从本课的课堂反馈和效果调查来看，基于HPM视角下的教学设计对于学生深刻理解数学概念有一定的促进作用．

篇4

传统的教育模式的教学方法、教学手段和教学评价已不能适应社会发展和人们学习的需要，基于网络环境下的学科教学和课堂评价的出现和普及，极大的丰富了教学改革的内容，充分有效的利用了教学资源，基于网络环境下的课堂教学与评价把文本、图像、图形、视频、音频、动画整合在一起，并通过互联网进行处理、控制传播、为学生提供了最理想的学习环境。

一、基于网络环境下的数学教学的含义

基于网络环境下的数学课堂教学，根据新课程标准的教学内容和教学目标需要，继承传统教学的合理成分，打破传统教学模式，全天候，不间断，因材施教的新型教学方法，教学与评价的信息在互联网上传输与反馈，极大的优化了教师群体，极大的丰富了学生的知识能力。

基于网络环境下的教学，可以共享教学资源，传递多媒体信息，适时反馈学生学习情况，刺激学生不同的感官，符合学生的学习认知规律，提高学生的学习兴趣，扩大了信息接受量，增大了课堂教学容量，同时又具有实时性，交互性，直观性的特点大大丰富了课堂教学模式，同时又满足了分层教学，因材施教，远程教学等社会需要，开创了教学的全新局面。

二、基于网络环境下数学教学与评价的应用

基于网络环境下数学教学与评价有两大优点：

1、能做到图文并茂，再现迅速，情境创设，感染力强，能突破时空限制，特别是基于.Net技术的交互式动态网页更能提高学生的多种感官的感知效能，发挥个体的最大潜能和创造力，加快学生对知识的理解、接受和记忆，也最能体现新课标的精神，也极大的满足社会全民教育，终身教育的要求。

2、同时全体老师又能通过网络共享教学资源，适时创新资源，使每一位老师都成为名师，使教学的方法水平永不落后。如在讲授函数这部分内容时，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数的图像以及图像变换是重点内容，关于函数图像的传统画法，是通过师生列表，描点，连线而得，这些工作烦，静止孤立，间断的点和线。教师要自制每一节的课件难度大，时间又有限，而基于网络环境下的数学教学，就可以充分利用网络版课件，进行网上学习，从而化静为动，化繁为简，减轻教师的体力负担，使教师有更多的时间进行创新研究，同时让学生在交互的动态的网络环境下学习，函数值随自变量变化而同步变化以及对应运动的轨迹，从而得到完整精确的函数图像，通过交互学习让学生充分体会同一函数不同参数与图像特征之间的联系，充分掌握函数的性质和抓住图像的平移、反射、压缩、拉伸和对称变换特征。若有疑问或好的见解，还可以通过网络进行远程的交流互动。通过多媒体，交互反馈，使学生深刻理解，不易遗忘。也培养了学生自我学习和终身学习的能力。网络环境下的数学教学，教师教得轻松，也有更多的时间进行个别指导，学生学得愉快。学得有趣，这样数学教学的效率也提高了。二、基于网络环境下数学教学突破教学难点

高中数学中有一些知识需要通过抽象思维来解决问题，而这也正是高中数学的难点之一，基于网络环境下的教学可以化抽象为直观，有利于突破难点。

如“二次函数即：y=ax2+bx+c(a≠0)在[m,n]上的最值的探讨，学生对二次函数的开口，对称轴移而区间不动或图像不动而区间变化时函数的最值”不易理解，在网络环境下，学生通过对网络课件的阅读和对a,b,c,m,n的动态控制，能深刻理解数学知识的要点，加上在网上的即时测试和评价，更能有效的掌握它，不再感到难以理解。

三、基于网络环境下的数学教学与评价形式多样化，即时化。

传统的教学形式是教师讲，学生听，这样教学方式课堂容量有限，反馈方式单调，信息交流少，所有的学生步伐相同不利于因材施教，不利于培养学生现代的终身的学习能力，同时不能解放教师，让教师从事更有意义的教育工作。而网络环境下的教学可以同时满足不同用户不同要求，培养活学活用的能力，真正实现教学以学生为中心，教学面向全体通过互联交流互联互动进行分层教学、个别教学实现因材施教，体现新课标的要求，

四、基于网络环境下数学教学应处理好的关系

(1)网络与学生的关系

和谐是教学成功的关键。实践中发现基于网络环境下的学科教学，应加强对互联网海量信息的搜索，筛选，加工，创新。在选好教育资源后，教师要努力探索适时、适用问题，创设学习情境，营造和谐的环境。加上学生对网络应用知识基本掌握，达到网络与人的和谐统一。

(2)网络与教师的关系

基于网络环境下的学科教学优势空前，实践中发现，只有网络环境下的教学与教师灵活生动的讲解和创新的适时评价互相配合，相互促进，协调传递信息，最大限度地发挥网络和教师的优势。