数学思想论文范文

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为便于进行“数学思想”的教育研究，本文围绕“数学思想”的内涵、分类、特点和功能等问题作些基础工作。

二、数学思想的内涵和分类

数学思想是几千年数学探索实践所创造的精神财富。根据数学哲学的近代研究，所谓数学思想指的是数学活动中的价值观念和行为规范。数学思想的内涵十分丰富，主要有数学创新思想、数学求真思想、数学理性思想、数学合作与独立思考思想等。限于篇幅，本文重点仅就其中三种数学思想进行论述。

三、数学创新思想

1．创新思想的概念

结合新情况、寻找新思路、解决新问题、创立新理论，这种思想叫创新思想。

2．数学创新思想的几个特点

首先，问题是数学创新的起点。群论的创造是为了解决四次以上代数方程是否有根式解的问题。超限数的创立是为了进一步弄清数学分析的基础，为了解决画家怎样把立体的东西画在平面上，产生了射影几何。……可以说：“没有问题就没有数学创造。”

再者，创造的自由性在近现代数学中表现得越来越明显。德国数学家康托说：“数学的本质就在于自由。”他主张数学家自由创造自己的概念，而无需顾及是否实际存在。这个认识使康托有可能超越有限的世界，以数学家的严密性建立起集合论和超限数；使几何学家超越感觉想象的空间，去研究非欧空间、n维空间；使公理数学家有可能建立抽象的纯数学和种种特异的数学来。…总之，使数学家永葆创新思想，推动数学永往直前。

3．数学创新思想的教育功能

创新是科学的本质，是社会发展的不竭动力。由于数学创新的典型事例多、创新实践对外界条件要求较少、创新成果易于展现，所以通过数学培养学生的创新思想是一条事半功倍的途径。通过数学创新思想的培养，能够克服学生唯书、唯师、唯上，照抄照搬的陋习，增加学生探索研究问题的主动性，提高学生思维的创新性、广阔性、流畅性及灵活性。

四、数学求真思想

1．求真思想及其意义

求真思想是不懈追求真理的思想。真理是人们在社会实践中形成的对主客观事物及其规律的正确认识。人类只有掌握了真理，才会能动地改造世界。因而，求真是科学的首要目的，求真思想是科学发展的内在动力。

2．数学求真思想的特点

数学不同于其它科学，它是人类根据自己的需要而抽象建构起来的，它的真理性必须经受逻辑和实践的双重检验。

数学求真的艰难历程，磨练了数学特有的求真思想。

首先数学求真比任何学科都重视逻辑。波利亚说：“对选择恰当的实例进行检验，这是生物学家肯定猜想的唯一方法。但是对数学家来说，对选择的实例进行验证，从鼓励信心的角度来看是有用的，但这样还不能算是数学里证明了一个猜想。”

其次，数学求真要不轻信经验。非欧几何的平行公理和许多定理是与我们的经验不相符合的，但它们却构成了一个相容的几何系统，并在现代物理学中得到应用。“全体大于部分”在常识中是当然的事，但在无限领域中却不成立。这是因为经验只能反映事物的表象，不能揭示事物的实质。

再则数学求真要勇于批判。非欧几何的诞生可以追溯到对欧氏平行公理的怀疑。勒贝格积分的建立是由于发现了黎曼积分的局限性。希尔伯特创立形式公理化方法，是因为认识到了欧氏公理系统的不严格。这说明，不同观点的论争同样是数学发展的重要动力。

还有，同所有科学一样，数学求真也离不开刻苦钻研。瑞士数学家欧拉一生忘我工作，在双目失明的情况下，还口述了400篇论文和好几本书。正是这种思想才促成了他的丰功伟绩。

3．数学求真思想的教育功能

数学求真思想能够激发人们追求和坚持真理的勇气和自信心。养成独立地发现问题、思考问题和解决问题的习惯，不惧怕困难、不屈服挫折。教育人们客观公正地看待一切，不轻信经验，不迷信权威，不随波逐流。

五、数学理性思想

1．数学理性思想的内涵

依靠思维能力对感性材料进行一系列的抽象和概括、分析和综合，以形成概念、判断或推理，这种认识称为理性认识。重视理性认识活动，以寻找事物的本质、规律及内部联系，这种思想称为理性思想。

2．数学理性思想的形成

虽然理性思想在不少学科都有表现，但它最早却是由数学引入的，并逐步成为数学思想的核心和灵魂。

早在公元前6世纪，希腊数学、哲学之父泰勒斯就看到：仅仅以个别测量实例的需要为目标，埃及人中流行的测量土地的方法是笨拙的。他认为：人类不但可以从实际经验中获得知识，也可以从已认可的事实出发，经演绎推理得出新的知识。如果作为出发点的事实正确，推理方法正确，所得的结论也必然正确。据此，他提出测地术应上升为建立在一般原理上的演绎的几何学。

在泰勒斯将演绎推理引入数学后，希腊毕达哥拉斯学派接着提出：数学中的数、点、线、面及各种数学概念是人思维的抽象及概括，与实际事物截然不同。虽然思考抽象事物比思考具体事物困难的多，但数学的抽象概括却给人类带来了最大的好处：研究对象一般性及所得结论的普适性。

演绎推理与抽象概括相结合初步形成了数学理性思想。希帕索斯发现不可通约量后，人们开始认为感性认识是不可靠的，只有理性认识才是可靠的，并且渐渐地把演绎推理作为检验数学真理的必经途径之一。

3．数学理性思想的教育功能

理性思想是数学对人类文明的最大贡献。数学理性思想的教育可以使人类看到理性的力量，增强利用思维推理获得成功的信念。提高思维的严谨性、抽象性、概括性、深刻性，养成重视理论、勤于思考的习惯。其中的公理化思想还能培育法制观念和法制社会。

六、进行“数学思想”教育研究的相关建议

笔者认为，“数学思想”教育研究可分为基础研究和普及研究两方面。基础研究包括：如何从数学认识论和数学实践中发掘“数学思想”的内涵、特点，如何从数学史、数学家传记中发掘“数学思想”的巨大作用和典型事例等。笔者相信，只要我们将上述基础研究和普及研究有机结合，就一定会使“数学思想”的教育取得长足的进步，也一定会使“数学思想”的教育获得突破性飞跃。

【摘要】本文阐明了“数学思想”教育研究的重要意义，介绍了“数学思想”的分类，详细地论述了三种“数学思想”的内涵、特点和教育功能，提出了“数学思想”教育研究的相关建议。

【关键词】数学理性思想数学求真思想数学创新思想

参考文献：

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“数学思想”作为数学课程论的一个重要概念，我们完全有必要对它的内涵与外延形成较为明确的认识。关于这个概念的内涵，我们认为：数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。这种认识的主体是人类历史上过去、现在以及将来有名与无名的数学家；而认识的客体，则包括数学科学的对象及其特性，研究途径与方法的特点，研究成就的精神文化价值及对物质世界的实际作用，内部各种成果或结论之间的互相关联和相互支持的关系等。可见，这些思想是历代与当代数学家研究成果的结晶，它们蕴涵于数学材料之中，有着丰富的内容。

通常认为数学思想包括方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和公理化思想等。这些都是对数学活动经验通过概括而获得的认识成果。既然是认识就会有不同的见解，不同的看法。实际上也确实如此，例如，有人认为中学数学教材可以用集合思想作主线来编写，有人认为以函数思想贯穿中学数学内容更有利于提高数学教学效果，还有人认为中学数学内容应运用数学结构思想来处理等等。尽管看法各异，但笔者认为，只要是在充分分析、归纳概括数学材料的基础上来论述数学思想，那么所得的结论总是可能做到并行不悖、互为补充的，总是能在中学数学教材中起到积极的促进作用的。

关于这个概念的外延，从量的方面讲有宏观、中观和微观之分。

属于宏观的，有数学观(数学的起源与发展、数学的本能和特征、数学与现实世界的关系)，数学在科学中的文化地位，数学方法的认识论、方法论价值等；属于中观的，有关于数学内部各个部门之间的分流的原因与结果，各个分支发展过程中积淀下来的内容上的对立与统一的相克相生的关系等；属于微观结构的，则包含着对各个分支及各种体系结构定内容和方法的认识，包括对所创立的新概念、新模型、新方法和新理论的认识。

从质的方面说，还可分成表层认识与深层认识、片面认识与完全认识、局部认识与全面认识、孤立认识与整体认识、静态认识与动态认识、唯心认识与唯物认识、谬误认识和正确认识等。

二、数学思想的特性和作用

数学思想是在数学的发展史上形成和发展的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识（主要指概念、定理、法则和范例)以及数学方法的本质性的认识。它表现在对数学对象的开拓之中，表现在对数学概念、命题和数学模型的分析与概括之中，还表现在新的数学方法的产生过程中。它具有如下的突出特性和作用。

(一)数学思想凝聚成数学概念和命题，原则和方法

我们知道，不同层次的思想，凝聚成不同层次的数学模型和数学结构，从而构成数学的知识系统与结构。在这个系统与结构中，数学思想起着统帅的作用。

(二)数学思想深刻而概括，富有哲理性

各种各样的具体的数学思想，是从众多的具体的个性中抽取出来且对个性具有普遍指导意义的共性。它比某个具体的数学问题(定理法则等)更具有一般性，其概括程度相对较高。现实生活中普遍存在的运动和变化、相辅相成、对立统一等“事实”，都可作为数学思想进行哲学概括的材料，这样的概括能促使人们形成科学的世界观和方法论。

(三)数学思想富有创造性

借助于分析与归纳、类比与联想、猜想与验证等手段，可以使本来较抽象的结构获得相对直观的形象的解释，能使一些看似无处着手的问题转化成极具规律的数学模型。从而将一种关系结构变成或映射成另一种关系结构，又可反演回来，于是复杂问题被简单化了，不能解的问题的解找到了。如将著名的哥尼斯堡七桥问题转化成一笔画问题，便是典型的一例。当时，数学家们在作这些探讨时是很难的，是零零碎碎的，有时为了一个模型的建立，一种思想的概括，要付出毕生精力才能得到，这使后人能从中得到真知灼见，体会到创造的艰辛，发展顽强奋战的个性，培养创造的精神。

三、数学思想的教学功能

我国《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用修订版)》明确指出：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”。根据这一要求，在中学数学教学中必须大力加强对数学思想和方法的教学与研究。

(一)数学思想是教材体系的灵魂

从教材的构成体系来看，整个初中数学教材所涉及的数学知识点汇成了数学结构系统的两条“河流”。一条是由具体的知识点构成的易于被发现的“明河流”，它是构成数学教材的“骨架”；另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗河流”，它是构成数学教材的“血脉”灵魂。有了这样的数学思想作灵魂，各种具体的数学知识点才不再成为孤立的、零散的东西。因为数学思想能将“游离”状态的知识点(块)凝结成优化的知识结构，有了它，数学概念和命题才能活起来，做到相互紧扣，相互支持，以组成一个有机的整体。可见，数学思想是数学的内在形式，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具。教师在教学中如能抓住数学思想这一主线，便能高屋建瓴，提挈教材进行再创造，才能使教学见效快，收益大。

(二)数学思想是我们进行教学设计的指导思想

笔者认为，数学课堂教学设计应分三个层次进行，这便是宏观设计、微观设计和情境设计。无论哪个层次上的设计，其目的都在于为了让学生“参与”到获得和发展真理性认识的数学活动过程中去。这种设计不能只是数学认识过程中的“还原”，一定要有数学思想的飞跃和创造。这就是说，一个好的教学设计，应当是历史上数学思想发生、发展过程的模拟和简缩。例如初中阶段的函数概念，便是概括了变量之间关系的简缩，也应当是渗透现代数学思想、使用现代手段实现的新的认识过程。又如高中阶段的函数概念，便渗透了集合关系的思想，还可以是在现实数学基础上的概括和延伸，这就需要搞清楚应概括怎样的共性，如何准确地提出新问题，需要怎样的新工具和新方法等等。对于这些问题，都需要进行预测和创造，而要顺利地完成这一任务，必须依靠数学思想作为指导。有了深刻的数学思想作指导，才能做出智慧熠烁的创新设计来，才能引发起学生的创造性的思维活动来。这样的教学设计，才能适应瞬息万变的技术革命的要求。靠一贯如此设计的课堂教学培养出来的人才，方能在21世纪的激烈竞争中立于不败之地。

(三)数学思想是课堂教学质量的重要保证

数学思想性高的教学设计，是高质量进行教学的基本保证。在数学课堂教学中，教师面对的是几十个学生，这几十个智慧的头脑会提出各种各样的问题。随着新技术手段的现代化，学生知识面的拓宽，他们提出的许多问题是教师难以解答的。面对这些活泼肯钻研的学生所提的问题，教师只有达到一定的思想深度，才能保证准确辨别各种各样问题的症结，给出中肯的分析；才能恰当适时地运用类比联想，给出生动的陈述，把抽象的问题形象化，复杂的问题简单化；才能敏锐地发现学生的思想火花，找到闪光点并及时加以提炼升华，鼓励学生大胆地进行创造，把众多学生牢牢地吸引住，并能积极主动地参与到教学活动中来，真正成为教学过程的主体；也才能使有一定思想的教学设计，真正变成高质量的数学教学活动过程。

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第一，“懂得基本原理使得学科更容易理解”。心理学认为，“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习。”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识。就属于下位学习了。下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去。学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容。

第二，有利于记忆。布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记。”“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来。高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的。无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”

第三，学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”。布鲁纳认为，“这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识。”曹才翰教授也认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的，”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移。”美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比。才能迁移到具体的类似学习中。”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。

第四，强调结构和原理的学习，“能够缩挟‘高级’知识和‘初级’知识之间的间隙。”一般地讲，初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的，特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了，有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们以新的涵义。而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容，如集合、对应等。因此，数学思想、方法是联结中学数学与高等数学的一条红线。

二、中学数学中的主要数学思想和方法

数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高。我们认为，在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想。其理由是：(1)这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容；(2)符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握；(3)在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多：(4)掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础。

此外，符号化思想、公理化思想以及极限思想等在中学数学中也不同程度地有所体现。应依据具体情况在教学中予以渗透。

数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们的数学知识，经验以及数学思想掌握情况密切相关。从有利于中学数学教学出发，本着数量不宜过多原则。我们认为目前应予以重视的数学方法有：数学模型法、数形结合法、变换法、函数法和类分法等。一般讲，中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下，运用数学方法，通过一系列数学技能操作来完成的。

三、数学思想方法的教学模式

数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系。这就决定了他们在教学中的辩证统一性。基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式：操作——掌握——领悟。

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二、渗透时要讲究循序渐进

数学思想方法的学习和学习数学知识的过程是一样的，也需要一个认知的过程，经历从感性到理性，从领会到形成以及从巩固到实际应用的一个形成过程。因此，在教学时，教师就可以根据“教师引导——逐步渗透——适时总结”这一教学方法再结合教学的内容来设计教学的过程，始终坚持循序渐进的教学原则进行授课，这样可以有意识地反复渗数学的思想方法。例如，教学中，教师就可以渗透“数形结合”这一教学方法来教学数学知识，在学习“和倍应用题”的时候，可以以线段图的方式进行数形结合，这样能够促使学生更快、更好地去理解题意和解决问题，等以后学生再学习图形的面积、体积或者解答复杂的问题时，也会很快地用到这一数学思想方法，提高他们的学习效率。因此，在数学教学中，采取循环渐进的教学原则对于学生今后的学习是非常重要的。

三、渗透符号化的数学思想

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在维果茨基看来，“最近发展区”对智力发展和成功的进程，比现有水平有更直接的意义。他强调，教学不应该指望于儿童的昨天，而应指望于他的明天。只有走在发展前面的教学，才是好的教学。因为它使儿童的潜在发展水平不断提高。

依据“最近发展区”的思想，“最近发展区”是教学发展的“最佳期限”，即“发展教学最佳期限”。即，在最佳期限内进行的教学是促进儿童发展最佳的教学。教学应根据“最近发展”。“如果只根据儿童智力发展的现有水平来确定教学目的、任务和组织教学，就是指望于儿童发展的昨天，面向已经完成的发展程”。这样的教学，从发展意义上说是消极的。它不会促进儿童发展。教学过程只有建立在那些尚未成熟的心理机能上，才能产生潜在水平和现有水平之间的矛盾，而这种矛盾又可引起儿童心理机能间的矛盾，从而推动了儿童的发展。例如，初中一年级负数的教学，学生过去未认识负数。教师可以举一些具体的、具有相反意义的量。如，可用温度计测温度的例子，在零摄氏度以上与在零摄氏度以下的时候的温度怎样表示，以吸引学生，使他们渴望找到表示这些量的数。从而解决他们想解决未能解决的问题。这样的教学过程中的矛盾而引起的心理机能的矛盾，使学生很快掌握了负数的概念，并能运用其解决实际问题。

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2.“数形结合思想”在实际生活中的应用

将实际问题转化，运用数形结合的思想去解决。“数形结合”思想可以帮助理解抽象的问题，会在实际生活中有很大的应用。“数形结合”的思想不仅在教学中有用，利用数形结合的思想来解决现实生活中的问题有很大的帮助。例如：对于在实际生活的中，需要地域500元购入60元的单片软件3片，需要购入70元的磁带2个，额选购方式有几种？其实这样的题目就是对于数形结合思想、排列以及数学中不等式的解法的考查，那么只要设需要软件x片，需要磁带y盒，然后列出不等式，相反，如果用列举法一一列出，是可以解决的，但是过程就会变得麻烦。因此，掌握数形结合思想对实际问题的解决作用是很大的。

3.“数形结合思想”在几何当中的应用

中学数学中对于“数形结合”思想对于直线、四方形、圆以及圆锥曲线在直角坐标系中的特点，都可以在图形中寻找解题思路。不论是找对应的图像，以及求四边形面积等的几何问题都有很大的应用。例如：已知正方形ABCD的面积是30平方厘米，E，F是边AB，BC上的两点，AF，CE并且相交与G点，并且三角形ABC的面积是5平方厘米，三角形BCE的面积是14平方厘米，要求的是四边形BEGF的面积。在求解过程中，结合图形，连接AC\BG并设立方程可巧妙求解。可见，在具体实际的几何中的分析与思考，运用到数形结合思想就会将问题变得简单。

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用字母表示数是由特殊到一般的抽象，是中学数学中重要的代数方法。初一教材第一章代数初步知识的引言中，就蕴涵用字母表示数的思想，先让学生在引言实例中计算一些具体的数值，启发学生归纳出用字母表示数的思想，认识到字母表示数具有问题的一般性，也便于问题的研究和解决，由此产生从算术到代数的认识飞跃。

学生领会了用字母表示数的思想，就可顺利地进行以下内容的教学：（1）用字母表示问题（代数式概念，列代数式）；（2）用字母表示规律（运算定律，计算公式，认识数式通性的思想）；（3）用字母表示数来解题（适应字母式问题的能力）。因此，用字母表示数的思想，对指导学生学好代数入门知识能起关键作用，并为后续代数学习奠定了基矗

2分类思想

数学问题的研究中，常常根据问题的特点，把它分为若干种情形，有利问题的研究和解决，这就是数学分类的思想。初一教材中的分类思想主要体现在：（1）有理数的分类；（2）绝对值的分类；（3）整式分类。教学中，要向学生讲请分类的要求（不重、不漏），分类的方法（相对什么属性为类），使学生认识分类思想的意义和作用，只有通过分类思想的教学，才能使学生真正明确：一个字母，在没有指明取值范围时，可以表示大于零、等于零、小于零的三种情形。这是学生首次认识一个有理数的取值讨论的飞跃，不要出现认为一个字母就是正数、一个字母的相反数就是个负数的片面认识。这样，学生做一些有关分类讨论的题也就不易出错，使学生养成运用分类思想解题的习惯，培养严谨分析问题的能力。

3．数形结合的思想

将一个代数问题用图形来表示，或把一个几何问题记为代数的形式，通过数与形的结合，可使问题转化为易于解决的情形，常称为数形结合的思想。初一教材第二章的数轴就体现数形结合的思想。教学时，要讲清数轴的意义和作用（使学生明确数轴建立数与形之间的联系的合理性）。任意一个有理数可用数轴上的一个点来表示，从这个数形结合的观点出发，利用数轴表示数的点的位置关系，使有理数的大小，有理数的分类，有理数的加法运算、乘法运算都能直观地反映出来，也就是借助数轴的思想，使抽象的数及其运算方法，让人们易于理解和接受。所以，这样充分运用数形结合的思想，就可突破有理数及其运算方法的教学困难。

4方程思想

所谓方程的思想，就是一些求解未知的问题，通过设未知数建立方程，从而化未知为已知（此种思想有时又称代数解法）。初一代数开头和结尾一章，都蕴含了方程思想。教学中，要向学生讲清算术解法与代数解法的重要区别，明确代数解法的优越性。代数解法从一开始就抓住既包括已知数、也包括未知数的整体，在这个整体中未知数与已知数的地位是平等的，通过等式变形，改变未知数与已知数的关系，最后使未知数成为一个已知数。而算术解法，往往是从已知数开始，一步步向前探索，到解题基本结束，才找出所求未知数与已知数的关系，这样的解法是从把未知数排斥在外的局部出发的，因此未知数对已知数来说其地位是特殊的。与算术解法相比，代数解法显得居高临下，省时省力。通过方程思想的教学，学生对用字母表示数及代数解法的优越性得到深刻的认识，激发他们学好方程知识，运用方程思想去解决问题。由此，学生用代数方法解决问题和建立数学模型的能力得到了培养。

5化归思想

化归思想是把一个新的（或较复杂的）问题转化为已经解决过的问题上来。它是数学最重要、最基本的思想之一。初一数学中的化归思想主要体现在：

（1）用绝对值将两个负数大小比较化归为两个算术数（即小学学的数）的大小比较。

（2）用绝对值将有理数加法、乘法化归为两个算术数的加法、乘法。

通过这样的化归，学生既对绝对值的作用、有理数的大小比较和运算有清晰的认识，而且对知识的发展与解决的方法也有一定的认识。

（3）用相反数将有理数的减法化归为有理数的加法。

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首先，我们确立了以“儿童”作为数学教育研究和实践的基本立场“。儿童数学教育”就是以儿童发展为本，满足儿童发展需求，符合儿童认知规律的教育。进一步，我们需要提炼能反映儿童数学教育系统本质特征的因素。英国学者欧内斯特(P.Ernest)在《数学教育哲学》中，提出了数学教育哲学应围绕以下四个基本问题展开：数学的本质、数学学习活动的本质、数学教育的目的、数学教学活动的本质。参考这一框架，儿童数学教育思想提出了儿童观、儿童数学教育价值观、数学观。（1）儿童观儿童数学教育思想的“儿童观”是：儿童是活生生的人、儿童是发展中的人。“儿童是活生生的人”，意味着儿童是具有丰富情感、有个性、有独立人格的完整的生命体。因此，教师要尊重儿童、理解儿童、善待儿童，使得每一个儿童都能有尊严地生活在集体中。“儿童是发展中的人”，意味着儿童是有潜力的人，但又同时具备不成熟的特点，因此教师要充分相信儿童，要注意开发、挖掘儿童身上的潜能，儿童能做到的教师一定不要包办代替，促进儿童的自我成长，让其在自主探索中形成自信和创新能力。儿童又是未成熟的个体，所以教师要包容、悦纳他们的错误，并善于利用错误资源，使之成为促进儿童再发展的新能源。因此，儿童的学习应是学生的主动建构及与同伴和教师互动交流的活动,是一个自产生、自组织与自发展的过程。教育的任务就是激发和促进儿童“内在潜能”，并使之循着儿童成长的规律获得自然和自由发展。（2）儿童数学教育价值观儿童数学教育思想的“价值观”是：数学教育的价值是促进学生的全面发展，数学教育的目标是使学生在数学学习的过程中汲取知识、增长智慧、浸润人格。为此，教师要教与生活联系的数学，要使学生体验数学知识产生的生活背景，感受数学的发生、发展和应用过程，感受数学的价值；要教相互联系的数学，在学习新知识中播下知识的“种子”，在沟通联系中体会数学的整体；教有思想的数学，注重数学的基本思想，使学生收获数学思考和问题解决的方法，启迪学生的智慧；教美的数学，使学生在学习过程中体会数学的内在魅力，从而产生好奇心和兴趣，进而为形成美的心灵和情操奠定基础；教能完善人格的数学，使学生形成“做真人、懂自律、负责任、有毅力和会自省”的品格。（3）数学观关于数学本质及其作用的认识对学校的数学课程，教学与教学研究的发展有着关键的影响(J.Dossey)。M.Niss更是强调数学教师数学观的重要性，他有一段应当引起所有数学教师深思的话:“缺乏多元多维的数学观也许是今天数学教师的致命弱点。”对于“多元多维”的理解，至少可以体现在如下方面：数学不仅仅是计算，而是包括着数量、关系、图形、规律、不确定性、解决问题等丰富的内容。数学不仅仅包括静止的结果，更包括生动活泼、富有创造的发生、发展和应用过程。数学不仅仅需要演绎推理和证明，还需要观察、分析、类比、归纳、实验等火热的思考，还需要好奇、自信、毅力、实事求是…………

2.以特色课堂为核心的教学策略

在数学教学实践中，吴正宪团队创造了体现儿童数学教育的八种特色课堂：真情流淌的生命课堂、经验对接的主体课堂、思维碰撞的智慧课堂、机智敏锐的灵动课堂、纵横联通的简捷课堂、以做启思的实践课堂、追本溯源的寻根课堂、充满魅力的生活课堂。“真情流淌的生命课堂”的基本特征是：用真心引领学生进行学习；用真情营造学生敢说敢为的学习氛围；用真情唤起学生成长的力量。“经验对接的主体课堂”的基本特征是：运用情境唤起学生的经验；用学生经历过的例子帮助学生学习；鼓励学生形成自己的理解和表达方式。“思维碰撞的智慧课堂”的基本特征是：激发学生在“问题串”中不断深入地进行思考；鼓励学生在比较中辨析；促进学生在解决“冲突”中提升。“机智敏锐的灵动课堂”的基本特征是：预设灵动的学习资源；创造灵动的学习机遇；激发灵动的学习智慧。“纵横联通的简捷课堂”的基本特征是：梳理学生心中的数学；在联系中启发学生新的生长。“以做启思的实践课堂”的基本特征是：鼓励学生在操作和实践中体验；促进学生在体验中进行思考；激发学生在思考中进行创造。“追本溯源的寻根课堂”的基本特征是：体现数学发生和发展的创造过程；在数学思考过程中体验数学的思想方法；感受数学的文化价值。“充满魅力的生活课堂”的基本特征是：从生活实际中创设情境；鼓励学生运用数学解决实际问题；积淀生活经验回归数学。

二、“再起航”：儿童数学教育思想理论内涵的提炼与创新实践

2014年12月8日，北京教育科学研究院儿童数学教育研究所正式成立，研究所的成立是为了真正体现北京教科院基础教育教研工作的价值，促进实现既体现教育真谛又具有首都特色的北京儿童数学教育教学，提炼北京市儿童数学教育思想和教育教学研究成果。研究所的成立标志着儿童数学教育思想研究和实践进入了一个新的阶段，这一阶段的一项重要工作是开展“儿童数学教育思想理论内涵与创新实践”的研究。这项研究工作正是对儿童数学教育思想的深化。深化主要体现在三个方面。第一，在新课程背景下的深化。在课程标准中，对于数学教学提出了一些新要求，比如培养学生发现和提出问题的能力。这些应该在儿童数学教育实践中得以体现。第二，在价值分析、学生研究基础上的深化。儿童数学教学实践，离不开对于教育价值全面实现、遵循儿童学习规律的这些基本问题的叩问。本研究将选择小学数学的某些核心内容开展教育价值分析、学生学习路线的研究，并在此基础上进行教学和评价的整体设计。第三，在实践效果检验下的深化。教学研究和改革的效果如何，需要进一步做教学实验，在实践中加以检验。

1.进一步完善和构建“儿童数学教育思想”

本研究将进一步提炼和总结儿童数学教育思想的内涵，总结出具有普遍意义的儿童观、儿童教育观、数学观，指导数学教学的实践。具体说来，需要回答以下几个主要问题：第一，儿童数学教育思想下的儿童观、儿童教育观、数学观是什么？第二，儿童数学教育思想体系的核心要素及其关系是什么？第三，儿童数学教育思想指导下的课程设计、教学、评价的特点和原则是什么？

2.开展儿童数学教育视角下的整体教学实验

能够对课程与教学实践产生最直接、最为具体影响的教育研究可能非教学改革实验莫属，儿童数学教育思想指导下开展的教学实验必然具备“整体”的特征：第一，教育价值在儿童发展中的整体实现；第二，基于价值分析、学生研究的教学评价的整体设计。根据数学课程改革的新要求、教师实践中的困惑、本课题的研究基础，本课题选择以下两个方面作为研究的切入点：培养学生发现和提出问题能力的整体教学实验、发展学生数据分析观念的统计教学整体实验。（1）培养学生发现和提出问题能力的研究和实践自20世纪80年代以来，有关数学问题提出的教学研究引起了国内外数学教育界的关注。其主要原因在于：以“问题解决”为核心的数学教育改革运动的兴起，以及知识经济社会对数学教育提出的创新人才的培养要求。许多国家都把培养学生的问题提出能力作为一项重要的课程目标，在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，也把原来的“分析和解决问题能力”拓展为“发现和提出、分析和解决问题的能力”。围绕着“培养学生发现和提出问题的能力”，以下问题需要我们深入思考和实践：第一，一个“好”的数学问题发现和提出的过程一般经历了哪些环节？学生的思维过程是什么？第二，不同年级的学生在发现和提出数学问题的目标和过程方面有何差异？促进他们提高的策略方面有什么不同？第三，从整体设计上看，培养学生发现和提出问题能力不仅仅局限在学习之前，素材也不仅仅停留在根据情境提出问题上，特别是如何培养学生运用数学的眼光从生活中发现问题，还有哪些培养目标、培养时机、选择素材和活动设计？第四，发现和提出问题，对于不同学生的作用和价值是什么？（2）发展学生数据分析观念的统计教学研究在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中将数据分析观念作为统计课程的核心，并阐述了数据分析观念的内涵“：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴含着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律，数据分析是统计的核心。”这实际上也体现了人们对统计课程教育价值的深入理解。在教学实际中，无论是教材编写还是教学实施，大家普遍感觉统计知识和技能的落实比较容易，但数据分析观念在各个年级的具体表现是什么，如何根据不同年级学生的特点设计合理的活动来发展数据分析观念，这些都是亟待解决的问题。针对以上的两个切入点，我们将采取教学实验的研究方法，设计基于价值分析、学生研究的整体教学实验方案；按照新的教学实验方案进行教学实验；对于教学实验过程中和之后学生的变化和发展进行评估；分析实验的效果，学生在解决实际问题方面的能力、学生的数据分析观念是否有提高，有哪些方面的提高，其典型表现(群体表现和个案学生表现)是什么；在实验的基础上对于教学和评价提出建议。

3.儿童数学教育思想指导下的课例研究

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1、明确基本要求，渗透“层次”教学。《数学大纲》对初中数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”。在教学中，要求学生“了解”数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等。这里需要说明的是，有些数学思想在教学大纲中并没有明确提出来，比如：化归思想是渗透在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中的，方程（组）的解法中，就贯穿了由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法。

教师在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想的应用，而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题。在《教学大纲》中要求“了解”的方法有：分类法、类经法、反证法等。要求“理解”的或“会应用”的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图象法等。在教学中，要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次。不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用”的层次，不然的话，学生初次接触就会感到数学思想、方法抽象难懂，高深莫测，从而导致他们推动信心。如初中几何第三册中明确提出“反证法”的教学思想，且揭示了运用“反证法”的一般步骤，但《教学大纲》只是把“反证法”定位在“了解”的层次上，我们在教学中，应牢牢地把握住这个“度”，千万不能随意拔高、加深。否则，教学效果将是得不偿失。

2、从“方法”了解“思想”，用“思想”指导“方法”。关于初中数学中的数学思想和方法内涵与外延，目前尚无公认的定义。其实，在初中数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难分割。它们既相辅相成，又相互蕴含。只是方法较具体，是实施有关思想的技术手段，而思想是属于数学观念一类的东西，比较抽象。因此，在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，是使数学思想与方法得到交融的有效方法。比如化归思想，可以说是贯穿于整个初中阶段的数学，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化，课本引入了许多数学方法，比如换元法，消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等。在教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用。这样处置，使“方法”与“思想”珠联璧合，将创新思维和创新精神寓于教学之中，教学才能卓有成效。

二、遵循认识规律，把握教学原则，实施创新教育

要达到《教学大纲》的基本要求，教学中应遵循以下几项原则：

1、渗透“方法”，了解“思想”。由于初中学生数学知识比较贫乏，抽象思想能力也较为薄弱，把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。因而只能将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机，重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题。忽视或压缩这些过程，一味灌输知识的结论，就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机。如初中代数课本第一册《有理数》这一章，与原来部编教材相比，它少了一节——“有理数大小的比较”，而它的要求则贯穿在整章之中。在数轴教学之后，就引出了“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”。而两个负数比大小的全过程单独地放在绝对值教学之后解决。教师在教学中应把握住这个逐级渗透的原则，既使这一章节的重点突出，难点分散；又向学生渗透了形数结合的思想，学生易于接受。

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例1.计算1/2+1/3。（五年制小学数学第八册第96页例1，原是应用题）

学生刚开始学习异分母分数加法，怎样求出它们的和，是一个所要解决的未知问题，为了解决这个问题，必须把它化归为学生能解决的已知问题，即通过通分，把异分母分数加法化为同分母分数加法，使之达到原问题的解决。即：

─────────（化归──────────

│1/2÷1/3=?│——│3/6-2/6=?│

───────────────────

───────────────────

│1/2÷1/3=5/6│——│3/6÷2/6=5/6│

───────────────────

例2怎样计算圆的面积呢？（五年制小学数学第十册第7页）

这里要推导出圆面积公式，在推导过程中，采用把圆分成若干等份，然后拼成一个近似长方形，从而推导出圆的面积公式。这里把圆剪拼成近似长方形的过程，就是把曲线形化归为直线形的过程。

─────────（化归）──────────

│求圆面积S[,圆]│———│求长方形面积S[,长]│

││（剪拼）││

───────────────────

────────────────────

│S[,圆]＝πr×r│——│S[,长]＝长×宽│

│＝πr[2,]│││

──────────│c/2r│

──────────

从以上两例看出，利用化归思想解决数学问题的过程，可以以下图来表示：

───────────（化归）──────────

│所要解决的问题│———│已经解决的问题│

─────────────────────

─────────────────────

│原问题的解决│———│问题的解决│

─────────────────────

数学思想和数学方法是密不可分的。化归思想是化归方法的理论根据，化归方法是化归思想的具体实施。在小学数学教学中有多种化归方法。现举下面几种常用的方法：

1.分割法。这是通过对未知成分进行分割，以实现由未知向已知化归的一种方法。

例：计算右面图形的面积。（五年制小学数学第七册第115页例4）

（附图{图}）

这个图形是任意五边形，无法直接计算它的面积，可以把它分割成一个平行四边形和一个梯形，并分别计算出面积，再求两个图形面积的和，就求出了这个五边形的面积。

2.叠加法。这种方法是为了解决一个普遍性问题或求得一个适合各种情况的共同规律，必须从各个具体问题或各种具体情况中找出规律，然后得到共同规律，以实现由一般到特殊的化归，求得问题的解决。

例：怎样计算三角形面积？

三角形有各种形状，如果能找到各种形状三角形的面积计算公式，就可以推导出一般三角形的面积计算公式。教学时可以引导学生用已掌握的长方形、正方形、平行四边形的面积计算公式推导出三角形面积公式（见上图）

（附图{图}）

3.交会法。这种方法是先分别求得满足所求问题的各个条件的解集，进而求得解集的交集（公共解），从而使问题得到解决。

例：一路公共汽车每隔4分钟开出一辆；二路公共汽车每隔6分钟开出一辆；三路公共汽车每隔8分钟开出一辆；当第一次三条线路的公共汽车同时开出后，至少隔多少分钟三条线路的公共汽车又同时开出？

这是一道思考题，学生较难理解“用求它们的最小公倍数”来解答，如果用交会法就比较容易理解。解法是：

──────┬───────────────────

│分共汽车│各次开出时间（分）│

├──────┼───────────────────│

│一路│481216202428323640……│

│││

│二路│6121824303642……│

│││

│三路│816243240……│

│││

──────┴───────────────────

就是至少隔24分钟，三条线路的公共汽车又同时开出。

4.局部变动法。这种方法适用于有多个变量的问题，运用此法求解时，可以先只把一个变量看作为变量，而把其他所有变量暂时看作不变量，于是单独研究这一变量的变化结果；接着又单独研究另一个变量的变化结果，而把其他所有变量暂时看作不变量。这样下去，以实现由整体向局部的化归，从而求得问题的解决。

例：一个林场用喷雾器给树喷药，2台喷雾器4小时喷了100棵。照这样计算，5台喷雾器6小时可以喷多少棵？（五年制小学数学第七册第79页例5）

此题的解法是先把时间看作不变量，求出每台喷雾器4小时喷了多少棵(100÷2)；再把台数看作不变量，求出每台喷雾器每小时喷了多少棵(100÷2÷4)；然后求出5台喷雾器每小时可以喷多少棵(100÷2÷4×5)；最后求出5台喷雾器6小时可以喷多少棵(100÷2÷4×5×6)。这样通过局部变动的方法，使问题得到解决。

5.映射法。此法是指在两类数学对象之间建立某种对应关系，通过映射将原来的问题化归为新问题，在求得新问题的同时，也就求得原问题的解。

例：一条水渠，横截面是一个梯形，上口宽2.4米，下底宽1米，水渠中的水深1.2米。如果水流的速度是每分钟5米，那么1小时流过的水有多少立方米？

解答此题要学生在理解水渠内的水流1小时，就是流了300(5×60)米的基础上，求出1小时的流水量。这就要把求流水量的问题，映射为一个求横截面是梯形的直棱柱的问题，这个直棱柱的体积是(300×(2.4+1)×1.2/2=)612立方米，即1小时流过的水有612立方米。

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（二）在教学目标中体现数学思想方法。数学思想方法的渗透，教师要有意识地从教学目标的确定、教学过程的实施、教学效果的落实等方面来体现。在备课时就必须注意数学思想方法的梳理，并在教学目标中体现出来。例如在备“除数是小数的除法”一课时，就要突出化归的思想方法，让学生明确如何把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法；在备“比的基本性质”一课时，就要抓住类比的思想方法，明确比的基本性质与分数的基本性质、商不变的性质的联系和区别。

（三）在学生课前预习的过程中加以指导。课前预习是学生学习数学知识的必要环节，有利于学生充分利用已有的知识、经验，在自主学习、探究中初步了解知识的形成脉络、结构；了解知识中蕴含的算理、算法；理清编者的意图。在学生预习时只要稍加指导就可以将一些数学思想方法潜移默化的渗透给学生。如，苏教版数学四年级《找规律》。在课前预习时，教师提出明确的预习要求：仔细看书中的主题图，叙述出你从图中知道的信息，弄清数量是多少？你能发现哪些数量之间有关系？你能从中找到规律吗？学生在教师的提示指导下完成了以上的课前预习作业，思考了相关的问题。在课堂新授时只要教师稍加点拨，大部分学生都会理解。教师将探索规律有意识的渗透到教学之前，在教学中就可以充分为学生进行思维的深层次引领。

二、在课堂教学的全过程中渗透数学思想方法

（一）在教学情境的创设中渗透数学思想方法

小学数学源于生活，服务于生活。在教学情境的创设过程中，教师有意识地把生活原型提炼为数学问题，既体现数学的本质又使学生在解决数学问题的过程中理解了生活。如，在“角的度量”一课的教学情境创设时，教师出示了坡度不同的三组滑梯：①坡度较缓，②坡度适中，③坡度较陡。问学生“：你会选择哪组滑梯？这样选与什么有关系？”学生经过交流明白与坡度有关，坡度就是斜面与地面的夹角。这时教师将实物图符号化为∠，，学生经历了由实物到图形到符号的转化过程，将生活情景化归到有关角的大小的认识，很自然的向学生渗透了对应思想和化归的数学思想。

（二）在新知的学习探究过程中渗透数学思想方法

1.在概念的提炼和形成过程中渗透数学思想方法

小学数学教材中的概念，因受学生年龄、认知水平等因素的制约，大多采用描述性的方法，这样使得学生对概念的理解抽象难懂。因此，教师要借助一定的感性材料让学生在实践中从数学思想方法的高度来认识概念和掌握概念。例如：教学“圆的认识”一课，教师将学生带到操场上，分组、纵向战成一列，在每组最前排学生的前面放一个圆环，进行原地立定投环比赛。随着学生投环的进行，后面的学生就会认为这样比赛不公平。因为距离圆环越远，投环就越困难。这时教师抛出问题：怎样站投环才公平呢？学生经过争论、交流后认为站成圆圈，把园环放在圆圈的正中央，每人离圆环的距离相等，这样才公平。此时教师及时指出这就是我们今天要学习的“圆的认识”，圆环就相当于是圆心，每人到圆环的距离就相当于半径……教师借助具体、形象的感性材料，让学生在经历了圆心、半径等概念的形成的过程中向学生渗透了对立统一的思想和归纳的思想，加深了学生对概念的理解。

2.在算理、算法的揭示中渗透数学思想方法

在计算教学中，表面上看，计算技能的培养为解决问题提供一种工具，其本身的思维训练功能并不明显。事实上，只要我们的教师善于揭示计算教学中蕴含的数学思想方法，认真地把握、巧妙地设计，计算技能的教学同样能促进学生的思维。课例中，教师借助方块模型，帮助学生构建起直观的混合运算的数学模型，充分应用了数形结合的思想。学生借助“形”感悟混合运算的结构，在填数建模的过程中初步发展了模型思想。

3.在规律探索的过程中渗透数学思想方法

在数学教学中，数学规律是最基本的知识形式。数学规律的揭示需要具体的数学知识，但更多的是依靠数学思想方法。因此，在数学问题的探究发现过程中，要精心挖掘数学的思想方法。如，在教学苏教版四年级“找规律”一课时，首先呈现：在一条20米长的路的一侧，每2米种一棵树，能种几棵？面对这一挑战性的问题，学生纷纷猜测：到底有几棵？此时，教师出示图1（如下图1）先引导学生理解“每2米”就是植树的“间隔”。再让学生动手画一画、用实物摆一摆、议一议，在经历了动手操作后，将学生的结果归纳为如图2（如下图2）的3种情况。让学生在观察后概括出：两端都种，可以种6棵；一端种一端不种，可以种5棵；两端都不种可以种4棵。紧接着让学生进一步讨论：除了“每2米”种一棵，还可以怎样种？学生在上面探究思路和过程的启发下，很快得出每4米、5米、10米、1米、20米种一棵的结果。此时，教师因势利导，进一步引导学生观察、归纳、总结出植树问题的规律。通过这样的探究活动，向学生渗透了探索归纳、数型结合、数学建模的思想方法，使学生感受到数学思想方法在规律探索中的重要作用。

4.在数学活动的操作实践中渗透数学思想方法

数学知识发生、形成、发展的过程也是思想方法产生、应用的过程。在此过程中，向学生提供丰富的、典型的、正确的直观背景材料。通过实际操作，再现数学形成的过程，渗透数学思想，使学生在掌握数学知识技能的同时，真正领略数学思想方法。如“，平行四边形的面积”一课，在探究平行四边形的面积时，先放手让学生小组合作。在交流中学生发现都是把平行四边形变成了长方形。“为什么要把平行四边形变成长方形呢？”在教师的追问下引导学生说出将平行四边形面积变为长方形的面积，将新知识变成旧知识。教师及时小结“这种把新知识转化成旧知识的方法叫做转化。”转化方法的引入水到渠成。接着组织学生讨论：平行四边形和转化后的长方形有什么关系？在计算长方形面积的基础上怎样计算平行四边形的面积？引导学生折一折、画一画、移一移、拼一拼、说一说等活动。学生通过思考、操作、探究、交流等活动，经历了知识的形成过程，领悟到了“转化”这一研究数学的思想和方法。通过操作，既培养了学生获取知识、观察和操作能力，又帮助学生理解了转化的数学思想，构建数学思想方法模型。

5.在问题解决的过程中渗透数学思想方法

由于数学思想方法具有高度的抽象性，教师在教学中要有意识地把抽象的数学思想方法一点一滴地渐渐融入具体的、实在的问题解决过程中，使学生逐步积累对这些数学思想方法的初步的直觉认识。比如在教学苏教版二年级《求比一个数多几的数》一课，“男生有5人，女生有8人，女生比男生多多少人？”时，在师生操作、交流中引导学生通过将男生与女生排队的方法（用实物图）、用、等图形来代替男、女，从图中一眼看出女生比男生多3人，到学生用算式计算：求8比5多几？引导学生经历从实物直观图形直观符号（式子）数学化的过程中初步感受了数形结合、一一对应的思想方法。

6.在数学知识的拓展延伸中渗透数学思想方法

数学知识的拓展和延伸是学生对所学知识理解和运用的价值体现。数学教学中教师往往在学习了新知后及时地出现一些比较开放、容易激发学生兴趣爱好，调动学生积极参与思考的练习，既检验了学生对知识的掌握情况，又开发了学生的思维，同时也渗透了数学的思想方法。如，在教学了万以内数的认识之后，教师出示了这样一个游戏活动：两个同学一组做猜数游戏，一名同学说数，另一名同学猜。通过游戏活动，学生在体会数的大小以及这个数与其它数之间的关系的同时，还将学习一种解决问题的策略，其中包含着朴素的二分法和逐步逼近的数学思想。

（三）在练习的巩固、反馈中渗透数学思想方法

在数学教学中，数学习题的解答过程，也是数学思想方法的获得过程和应用过程。学生做练习，不仅能巩固和深化已经掌握的数学知识以及数学思想方法，而且能从中归纳和提炼出“新”的数学思想方法。如，在一年级学生学完20以内加法后，可以完成这样的练习。如图：在图中描出横排和竖排上两个数相加等于10的格子，再分别描出相加等于6,9的格子，你能发现什么规律？通过这样的练习能帮助学生熟练地进行20以内的加法，渗透数形结合的数学思想。并且数值与图形结合有利于为学生以后学习坐标系、图像等知识打下基础。

（四）在知识的归纳总结与反思中提升数学思想方法

数学教学中对某种数学思想方法进行概括和强化，不仅可以使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在的规律，而且可使学生逐步体会数学思想方法的精神实质。如，一位教师在教学“平行四边形的面积”一课时，是这样引导学生进行总结与反思的：“这节课同学们通过动手操作、合作交流的方式，自己概括出了平行四边形的面积计算公式，并且运用平行四边形的面积计算公式解决了相关的问题，那么你们通过这节课的学习有哪些收获呢？”学生在小组合作讨论的基础上，总结道“：通过这节课的学习，我们不但掌握了平行四边形面积计算公式———平行四边形的面积等于底乘高，还学会了运用公式解决相关的实际问题，掌握了转化的数学思想方法……”这样的总结与反思，不仅帮助学生进一步明确了应掌握的知识与技能，还在数学思想方法上给与学生以启迪，这就大大拓展了学生的思维空间。

三、在学生的课后生活中渗透数学思想方法

（一）在课外作业、练习中渗透

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二、引导学生针对实际问题建立数学模型

数学学习的最终目的是应用数学知识解决实际中的问题，在教学中，要注重引导学生利用学过的数学知识建立数学模型解决实际中的问题，其中的关键是将实际的数学问题转化为相关的数学知识，使抽象的数学问题具体化、简单化．例如，某图书馆需要一批书架，到市场购买是890元一件，图书馆自制是590元一件，但需要制作场地和制作设备，得知制作场地及设备的租赁费为5100元，问怎样获得这批书架图书馆最合算?对于实际问题的解决，首先，将实际数学情景与数学知识联系起来进行分析，正确设元．如例题，设图书馆需要书架x件，即得出:商场购买书架需要的支付金额为890x，制作书架需支付的金额为(590x+5100)元．然后对其进行分析，当890x=590x+5100时，图书馆用于购买书架和定制书架的支出相同，通过求解x=17(件)．结合题意分析:当x=17时，两种方案的结果相同;当x＞17时，购买支出的费用较高，就应考虑选择制作书架;当x＜17时，购买支出的费用较低，那么选择购买就划算一些．在数学知识理论的支持下，图书馆所需的书架数量即使任意发生变化，我们也能得到最佳的定制方案，以确保书架购置成本的最低化．

三、巧建数形模式解决数学问题

数形结合模式在数学解题中非常关键，数形的结合往往能使一些困难问题简单化、复杂问题直观化．在数学教学中，要善于引导学生将抽象的代数问题与直观的几何图形结合起来进行求解．例如，20个同学去郊游，打算在湖中荡舟，每艘小船可坐4人，租金是40元，每艘大船可坐6人，价钱是50元，同学们怎样租船划算．对于该问题凭想象解决往往是不可靠的，有的同学认为，租2艘大船2艘小船，刚好坐满，不浪费是最划算的．有的同学认为租小船划算、便宜，到底怎样最合算，不是我们能够讨论出结果的，而应该用“数学的脑子”去思考问题．设租大船x艘，租小船y艘，求解:50x+40y的最小值．结合6x+4y≥20求解．首先分析得出3x+2y≥10(x，y都为整数)结合3x+2y=10的图形。