数学分析论文范文

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纵观数学教学的现状，应该看到，应试教育向素质教育转轨的过程中，确实有很多弄潮儿站到了波峰浪尖，但也仍有一些数学课基本上还是在应试教育的惯性下运行，对素质教育只是形式上的“摇旗呐喊”，而行动上却留恋应试教育“按兵不动”，缺乏战略眼光，因而至今仍被困惑在无边的题海之中。

究竟如何走出题海，摆脱那种劳民伤财的大运动量的机械训练呢？我们认为：坚持渗透数学思想和方法，更新教育观念是根本。要充分发掘教材中的知识点和典型例题中所蕴含的数学思想和方法，依靠数学思想指导数学思维，尽量暴露思维的全过程，展示数学方法的运用，大胆探索，会一题明一路，以少胜多，这才是走出题海误区，真正实现教育转轨的新途径。

二、明确数学思想和方法的丰富内涵

所谓数学思想就是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识，它是数学思维的结晶和概括，是解决数学问题的灵魂和根本策略。而数学方法则是数学思想的具体表现形式，是实现数学思想的手段和重要工具。数学思想和数学方法之间历来就没有严格的界限，只是在操作和运用过程中根据其特征和倾向性，分为数学思想和数学方法。一般说来，数学思想带有理论特征，如符号化思想，集合对应思想，转化思想等。而数学方法则具有实践倾向，如消元法、换元法、配方法、待定系数法等。因此数学思想具有抽象性，数学方法具有操作性。数学思想和数学方法合在一起，称为数学思想方法。

不同的数学思想和方法并不是彼此孤立，互不联系的，较低层次的数学思想和方法经过抽象、概括便可以上升为较高层次的数学思想和方法，而较高层次的数学思想和方法则对较低层次的数学思想和方法有着指导意义，其往往是通过较低层次的思想方法来实现自身的运用价值。低层次是高层次的基础，高层次是低层次的升级。

三、强化渗透意识

在教学过程中，数学的思想和方法应该占有中心的地位，“占有把数学大纲中所有的、为数很多的概念，所有的题目和章节联结成一个统一的学科的核心地位。”这就是要突出数学思想和方法的渗透，强化渗透意识。这既是数学教学改革的需要，也是新时期素质教育对每一位数学教师提出的新要求。素质教育要求：“不仅要使学生掌握一定的知识技能，而且还要达到领悟数学思想，掌握数学方法，提高数学素养的目的。”而数学思想和方法又常常蕴含于教材之中，这就要求教师在吃透教材的基础上去领悟隐含于教材的字里行间的数学思想和方法。一方面要明确数学思想和方法是数学素养的重要组成部分，另一方面又需要有一个全新而强烈地渗透数学思想方法的意识。

四、制定渗透目标

依据现行教材内容和教学大纲的要求，制订不同层次的渗透目标，是保证数学思想和方法渗透的前提。现行教材中数学思想和方法，寓于知识的发生，发展和运用过程之中，而且不是每一种数学思想和方法都能象消元法、换元法、配方法那样，达到在某一阶段就能掌握运用的程度。有的数学思想方法贯穿初等数学的始终，必须分级分层制定目标。以在方程（组）的教学中渗透化归思想和方法为例，在初一年级时，可让学生知道在一定条件下把未知转化为已知，把新知识转化为已掌握的旧知识来解决的思想和方法；到了初二年级，可根据化归思想的导向功能，鼓励学生按一定的模式去探索运用；初三年级，已基本掌握了化归的思想和方法，并有了一定的运用基础和经验，可鼓励学生大胆开拓，创造运用。实际教学中也确实有一些学生能够把多种数学思想和方法综合运用于解决数学问题之中，这种水平正是我们走出题海所迫切需要的，它既是素质教育的要求，也本文的最终目的。

五、遵循渗透原则

我们所讲的渗透是把教材中的本身数学思想和方法与数学对象有机地联系起来，在新旧知识的学习运用中渗透，而不是有意去添加思想方法的内容，更不是片面强调数学思想和方法的概念，其目的是让学生在潜移默化中去领悟。运用并逐步内化为思维品质。因而渗透中勿必遵循由感性到理性、由抽象到具体、由特殊到一般的渗透原则，使认识过程返朴归真。让学生以探索者的姿态出现，在自觉的状态下，参与知识的形成和规律的揭示过程。那么学生所获取的就不仅仅是知识，更重要的是在思维探索的过程中领悟、运用、内化了数学的思想和方法。

六、探索并掌握渗透的途径

数学的思想和方法是数学中最本质、最惊彩、最具有数学价值的东西，在教材中除一些基本的思想和方法外，其它的数学思想和方法都呈隐蔽式，需要教师在数学教学中，乃至数学课外活动中探索选择适当的途径进行渗透。

1．在知识的形成过程中渗透

对数学而言，知识的形成过程实际上也是数学思想和方法的发生过程。大纲明确提出：“数学教学，不仅需要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程。”这一思维过程就是思想方法。传授学生以数学思想，教给学生以数学方法，既是大纲的要求，也是走出题海的需要。因此必须把握教学过程中进行数学思想和方法渗透的契机。如概念的形成过程，结论的推导过程等，都是向学生渗透数学思想和方法，训练思维，培养能力的极好机会。

2．在问题的解决过程中渗透

数学的思想和方法存在于问题的解决过程中，数学问题的步步转化无不遵循着数学思想方法的指导。数学的思想和方法在解决数学问题的过程中占有举足轻重的地位。教学大纲明确指出：“要加强对解题的正确指导，要引导学生从解题的思想和方法上作必要的概括”，这就是新教材的新思想。其实数学问题的解决过程就是用“不变”的数学思想和方法去解决不断“变换”的数学命题，这既是渗透的目的，也是实现走出题海的重要环节。渗透数学思想和方法，不仅可以加快和优化问题解决的过程，而且还可以达到，会一题而明一路，通一类的效果，打破那种一把钥匙开一把锁的呆板模式，摆脱了应试教育下题海战的束缚。通过渗透，尽量让学生达到对数学思想和方法内化的境界，提高独立获取知识的能力和独立解决问题的能力，此时的思维无疑具有创造性的品质。如化归的数学思想是解决问题的一种基本思路，在整个初等方程及其它知识点的教学中，可以反复渗透和运用。

3．在复习小结中渗透

小结和复习是数学教学的重要环节，而应试教育下的数学小结和复习课常常是陷入无边的题海，使得师生在枯燥的题海中进行着过量而机械的习题训练，其结果是精疲力尽，茫然四顾，收获甚少。如何提高小结、复习课的效果呢？我们的做法是：遵循数学大纲的要求。紧扣教材的知识结构，及时渗透相关的数学思想和数学方法。在数学思想的科学指导下，灵活运用数学方法，突破题海战的模式，优化小结、复习课的教学。在章节小结、复习的数学教学中，我们注意从纵横两个方面，总结复习数学思想与方法，使师生都能体验到领悟数学思想，运用数学方法，提高训练效果，减轻师生负担，走出题海误区的轻松愉悦之感。

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﹙一﹚明确意义是学会预习的前提

学会预习是现代高一新生的基本素质，预习意义在于：

1、培养良好的学习习惯。学会自觉学习，掌握自学的方法，为以后的学习打下基础。

2、预习有助于了解新课的知识点、难点，为上课扫除部分只是障碍。

3、有助于提高听课效果。预习时不懂的或模糊的问题，上课老师讲解这部分知识的时候，容易将问题搞懂，真正达到预习的目的。

﹙二﹚“读、划、写、查”是预习的基本方法

1、“读”——先将教材精读一遍，以领会教材大意。然后根据学科特点，在反复细读，如：数学概念、规律、例题等逐条阅读。

2、“划”——即划大意、划重点。将一节内容的重点、规律、概念等划下来分别标上记号，以帮助上课听讲时记忆。

3、“写”——即将自己的看法或体会写在书边。

4、“查”——即自我检查预习的效果。合上书本思考刚才看的内容，哪些一看懂，哪些模糊不懂和做课后习题，检查预习的效果。

二、记好笔记是学好数学的环节

学好高一数学在学习方法上要有所转变和改进，而做好数学笔记无疑是非常有效的环节。善于做笔记，是一个学生善于学习的反映，为此数学笔记应该记一些：

1、记疑难问题。将课堂上未听懂的问题及时记下来，便于课后请同学或老师把问题弄懂，不会导致知识断层。

2、记思路方法。对老师在课堂上介绍的解题思路方法和分析思想及时记下来。课后加以消化，如有疑问课后及时问老师或同学。

3、记归纳总结。记下老师的课堂小结，这对于浓缩一堂课知识点的来龙去脉，使学生容易掌握本堂课各知识点的联系便于记忆。

4、记错误反思。学习过程中不可避免的犯这样或那样的错误，“聪明人不犯或少犯同样的错误”，记下自己所犯的错误，并用红笔加以标注，以警示自己避免再犯类似的错误，在反思中提高。

三、做好作业是学好数学的反馈

做好数学作业是学生对书本知识的运用和巩固。在课堂、课外练习中培养良好的作业习惯也很有必要.在作业中不但做得整齐、清洁，培养一种美感，还要有条理，这是培养逻辑能力的一条有效途径，必须独立完成。同时可以培养一种独立思考和解题正确的责任感。在作业时要提倡效率，应该十分钟完成的作业，不拖到半小时完成，拖泥带水的作业习惯使思维松散、精力不集中，这对培养数学能力是有害而无益的。抓数学学习习惯必须从高一年级主动抓起，无论从年龄增长的心理特征上讲，还是从学习的不同阶段的要求上讲都应该进行学习习惯的培养。

四、给高一新生的建议

高一教材知识量明显增大，理论性明显增强，高中学习对理解要求很高，不动一番脑子，就难以掌握知识间的内在联系与区别；综合性明显加强，往往解决一个问题，还得应用其它学科的知识；系统性明显增强，高一教材的知识结构化升级；能力要求明显提高。

进了高中以后，要在学习上制定一个目标，使自己目标明确鼓舞斗志，有目标才有动力；学习上要循序渐进，做什么做多少、先做啥、后做啥、用什么办法采取什么措施都要认真想好。学习上一定要注意：

1、先预习后上课，先复习后作业；上课专心听讲课后认真复习；定期整理听课笔记，不断提高自己的自学能力。要科学安排好时间，选择最佳学习时间和方法，合理分配时间注意劳逸结合，交替用脑，做到科学性、计划性、合理性和严格性。

2、要养成专心致志的学习习惯，学习时集中了注意力，就能使神经细胞“全力以赴”，使学习的内容留下明显的痕迹，就能加深记忆。还要养成自我整理知识的习惯，对所学知识进行综合、提炼的过程，可以加深对知识的理解，巩固所学知识

3、要在预习、听课、记笔记、作业、复习，课外学习中通过各种途径提高自己的思维力、观察力、阅读力、记忆力、想象力和创造力等。特别是对每学一个知识后对自己的认知进行再认知，多问几个“为什么”，从而对所学知识了解更加深透。

生活中无处不存在数学，学好高一数学对以后的学习起着重要作用。高一数学是学习的一个艰苦的磨炼，经过了预习、听课、记笔记、作业、复习的过程，就会打开高一数学的学习思维。只有同学们养成良好的学习习惯，勤奋的学习态度，科学的学习方法，充分发挥自身的主体作用，不仅学会，而且会学，才能达到事半功倍之效，进一步学好高一数学。

参考文献：

[1]范永顺主编.《中学数学教学引论》.石油大学出版社，2000，324～328

[2]互联网.《高一新生如何做数学笔记》.中小学教育网，2006.8.21

[3]互联网.《怎样适应高中的学习》.中国高中生网，2006.6.24

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如华东师大版初一数学（上）第一章P13第六题：请以给定的图形（两个圆、两个三角形、两条平行线）为构件，构思独特且有意义的图形，并写一两句诙谐的解说词。在教学中我让学生先个人设计，发挥想象，并相互交流，然后对全班同学中的优秀作品展示并评奖。如“战车”、“风筝”、“夕阳夹山”、“倒影入溪”等许多构思巧妙、意义丰富的图形加上诙谐的解说词，让同学们体会到成功的乐趣。为用简单的几种几何图形也能构成美丽的图案而感到惊奇，从而大大提高了学习数学的兴趣。

2、对称均衡的数学图案设计，大大提高学生的审美水平和创造力。

对称图形的学习，学生不仅仅是获得了知识，还获得了美的享受，提高了分析问题的能力。客观世界中存在着许许多多的对称图形，它们让我们感受到数学世界的美好。很多的对称图形是前人或现在的人们创造出来的，其中的精品可以说是人类智慧的结晶，这些图形装点着我们生活的方方面面，不仅使我们的审美水平和创造力得到了提高，还使我们多了一条解决问题的思路，对于一些题目，从对称的角度去思考，可以使问题得到巧妙的解答。

、通过发现数学中的和谐美，使学生感到学习数学“有趣”。

数学学科从定义、定理、公理、性质、公式以及数学方法、数学思想等方面来看，表面看来是独立且毫无联系的知识之间都存在着必然的联系。特别是由数学的对称性、统一性所表现出来的和谐性是一种实实在在的美，既有利于减轻学生的学习负担，又使学生感到学习数学有趣。比如在教学华师版初一数学（下）等腰三角形一节中“等腰三角形三线合一”性质时，在等腰三角形的三线（顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线）中，知其一可说明另二。学生掌握这一定理也就容易多了。又如在平行四边形一章中，几种四边形之间既有区别，又有着必然的联系。学生认识从一般的四边形到平行四边形到矩形、菱形、正方形之间的变化过程，对于学生认识几种图形，减轻学习中的负担有很重要的作用，同时学生发现了所有平行四边形间的变化过程、掌握这一类图形间的区别与联系，也感到了学习乐趣。

三、发现数学中的残缺美，提高学生分析问题的能力，使学生感到学习数学也“有惑”，激发学生想学习下去的欲望。

当代中小学数学教科书的“残缺不全”,为学生提供了锻炼思维的机会。当然，这儿指的“残缺不全”是指数学知识因为认知能力的不够而不完整，在我们的教课书中，数学始终在自我矛盾中发展的。还有指数学中的不和谐“比比皆是”，也构成了数学的残缺美，为丰富数学的内涵，培养学生的数学能力起到了不可磨灭的贡献。比如：某教师在教学平均数、中位数、众数的使用时，给学生出了这样一题：某市体委从甲、乙两名运动员中选拔一名运动员参加全运会，每人射击5次，打中的环数为：甲：7环、8环、9环、8环、8环；乙：5环、10环、6环、9环、10环。根据以上数据，你认为选谁参加全运会比较合适？于是同学们对甲乙二人的成绩作了分析：（1）平均数：两人都是8环；（2）中位数：甲是8环，乙是9环；（3）众数：甲是8环，乙是10环。明显从中位数和众数两项指标上看，乙都优于甲，但是市体委领导却选中了甲运动员参加全运会，你认为公平吗？谈谈理由。学生激情高涨。是啊，都觉得应由乙参加全运会，因为运动员的成绩主要指标是平均数，在平均数相同的条件下，为什么不让乙运动员去，因为乙的发挥极不稳定。成绩的稳定性要用另一种量来表示。于是学生迫切想继续研究能够表现成绩稳定的量——方差。但是教师却并不急于讲解，只对学生说在以后的教材中会学习到，这样留下一个不完美的结局，让学生去研讨、解惑，从而激发学生学习的欲望，提高学习的兴趣。

篇4

一

对数学教学如何实施数学学习方法的指导，人们进行了许多有益的探索和实验。首先是通过观察、调查，归纳总结了中学生数学学习中存在的问题，如“学习懒散，不肯动脑；不订计划，惯性运转；忽视预习，坐等上课；不会听课，事倍功半；死记硬背，机械模仿；不懂不问，一知半解；不重基础，好高骛远；赶做作业，不会自学；不重总结，轻视复习”［1］等等。针对这些问题，提出了相应的数学学法指导的途径和方法，如数学全程渗透式（将学法指导渗透于制订计划、课前预习、课堂学习、课后复习、独立作业、学结、课外学习等各个学习环节之中）［2］；建立数学学习常规（课堂常规———情境美，参与高，求卓越，求效率；课后常规———认真读书，整理笔记，深思熟虑，勇于质疑；作业常规———先复习，后作业，字迹清楚，表述规范，计算正确，填好《作业检测表》，重做错题）［3］等等。诚然，这对于端正学习态度、养成学习习惯、提高学业成绩、优化学习品质，采劝对症下药”的策略，开展对学习常规的指导，无疑会收到较好的效果。但是，数学学习方法的指导，决不能忽视数学所特有的学习方法的指导。可以说，这才是数学学法指导之内核和要害。也就是说，数学学法指导应该着重指导学生学会理解数学知识、学会解决数学问题、学会数学地思维、学会数学交流、学会用数学解决实际问题等。有鉴于此，笔者主要从“数学”、“数学学习”出发，来阐释数学学习方法，论述数学学法指导。

二

从数学的角度出发，就是要考察数学的特点。关于数学的特点，虽仍有争议，但传统或者说比较科学的提法仍是3条：高度的抽象性、逻辑的严谨性和应用的广泛性。

1．数学研究的对象本来是现实的，但由于数学仅从空间形式与数量关系方面来反映客观现实，所以数学是逐级抽象的产物。比如三角形形状的实物模型随处可见，多种多样，名目繁多，但数学中的“三角形”却是一种抽象的思维形式（概念），撇开了人们常见的各种三角形形状实物的诸多性质（如天然属性、物理性质等）。因此，学习数学首当其冲的是要学习抽象。而抽象又离不开概括，也离不开比较和分类，可以说比较、分类、概括是抽象的基础和前提。比如，要从已经过抽象得出的物体运动速度v＝v0＋at、产品的成本m＝m0＋at、金属加热引起的长度变化l＝l0＋at中再次抽象出一次函数f（x）＝ax＋b，显然要经过比较（它们的异同）和概括（它们的共同特征）。根据数学高度抽象性的特点，数学学法指导要强调比较、分类、概括、抽象等思维方法的指导。

2．数学结论的可靠性有其严格的要求，观察和实验不能作为论证的依据和方法，而是要经过逻辑推理（表现为证明或计算），方能得以承认。比如，“三角形内角和为180°”这个结论，通过测量的方法是不能确立的，唯有在欧氏几何体系中经过数学证明才能肯定其正确性（确定性）。在数学中，只有通过逻辑证明和符合逻辑的计算而得到的结论，才是可靠的。事实上，任何数学研究都离不开证明和计算，证明和计算是极其主要的数学活动，而通常所说的“数学思想方法往往是数学中证明和计算的方法。探求数学问题的解法也就是寻找相应的证明或计算的具体方法。从这一点上来说，证明或计算是任何一种数学思想方法的组成部分，又是任何一种数学思想方法的目标和表述形式”［4］。又由于证明和计算主要依靠的是归纳与演绎、分析与综合，所以根据数学逻辑的严谨性特点，数学学法指导要重视归纳法、演绎法、分析法、综合法的指导。

3．由于任何客观对象都有其空间形式和数量关系，因而从理论上说以空间形式与数量关系为研究对象的数学可以应用于客观世界的一切领域，即可谓宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学。应用数学解决问题，不但首先要提出问题，并用明确的语言加以表述，而且要建立数学模型，还要对数学模型进行数学推导和论证，对数学结果进行检验和评价。也就是说，数学之应用，它不仅表现为一种工具，一种语言，而且是一种方法，是一种思维模式。根据数学应用的广泛性特点，数学学法指导还要指导学生建立和操作数学模型，以及进行检验和评价。

三

从数学学习的角度出发，就是要通过对数学学习过程的考察，引申出数学学法指导的内容和策略。关于数学学习的过程，比较新颖的观点是：“在原有行为结构与认知结构的基础上，或是将环境对象纳入其间（同化），或是因环境作用而引起原有结构的改变（顺应），于是形成新的行为结构与认知结构，如此不断往复，直到达成相对的适应性平衡”［5］。通过对这一认识的分析和理解，就数学学法指导而言，可概括出以下3点：

1．行为结构既是学习新知的目的和结果，又是学习新知的基础，因而在数学教学中亦需注重外部行为结构形成的指导。由于这种外部行为主要包括外部实物操作和外部符号（主要是语言）活动，所以在数学学法指导中，一要重视学具的操作（可要求学生尽可能多地制作学具，操作学具）；二要重视学生的言语表达（给学生尽可能多地提供言语交流的机会，可以是教师与学生间的交流，也可以是学生与学生之间的交流）。

2．认知结构同样既是学习新知的目的和结果，也是学习新知的基础，故而数学教学要加强数学认知结构形成的指导。所谓数学认知结构，是指学生头脑中的知识结构按自己的理解深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。因此，对于学生形成数学认知结构的指导，关键在于不断地提高所呈现的数学知识和经验的结构化程度。在数学学法指导中，须注意如下几点：①加强数学知识间联系的教学。无论是新知识的引入和理解，还是巩固和应用，尤其是知识的复习和整理，都要从知识间的联系出发。②重视数学思想的挖掘和渗透。由于数学思想是对数学的本质的认识，因而数学思想是数学知识结构建立的基础。常见的数学思想有：符号思想、对应思想、数形结合思想、归纳思想、公理化思想、模型化思想等等。③注重数学方法的明晰教学。数学方法作为解决问题的手段，是建立数学知识结构的桥梁。常见的数学方法有：化归法、构造法、参数法、变换法、换元法、配方法、反证法、数学归纳法等。

3．在原有行为结构与认知结构的基础上，无论是通过同化，还是通过顺应来获得新知，必须是在一种学习机制的作用下方能实现。而这种学习机

制主要就是对学习新知过程的监控和调节，即所谓的元学习。实质上，能否会学，关键就在于这种学习是否建立起来。于是，元学习的指导又成为数学方法指导的重要内容。为此，在数学学法指导中，需要注意：①要传授程序性知识和情境性知识。程序性知识即是对数学活动方式的概括，如遇到一个数学证明题该先干什么，后干什么，再干什么，就是所谓的程序性知识。情境性知识即是对具体数学理论或技能的应用背景和条件的概括，如掌握换元法的具体步骤，获得换元技能，懂得在什么条件下应用换元法更有效，就是一种情境性知识。②尽可能让学生了解影响数学学习（数学认知）的各种因素。比如，学习材料的呈现方式是文字的、字母的，还是图形的；学习任务是计算、证明，还是解决问题，等等。这些学习材料和学习任务方面的因素，都对数学学习产生影响。③要充分揭示数学思维的过程。比如，揭示知识的形成过程、思路的产生过程、尝试探索过程和偏差纠正过程。④帮助学生进行自我诊断，明确其自身数学学习的特征。比如：有的学生擅长代数，而认知几何较差；有的学生记忆力较强而理解力较弱；还有的学生口头表达不如书面表达等。⑤指导学生对学习活动进行评价。如评价问题理解的正确性、学习计划的可行性、解题程序的简捷性、解题方法的有效性等诸多方面。⑥帮助学生形成自我监控的意识。如监控认知方向意识、认知过程意识和调节认知策略意识等等。

四

根据数学内容的性质，数学教学一般可分为概念教学、命题（主要有定理、公式、法则、性质）教学、例题教学、习题教学、总结与复习等5类。相应地，数学学法指导的实施亦需分别落实到这5类教学之中。这里仅就例题教学中如何实施数学学法指导谈谈自己的认识。

1．根据学生的学情安排例题。如前所述，学习新知必须建立在已有的基础之上，从内容上讲，这个基础既包括知识基础，又包括认知水平和认知能力，还包括学习兴趣、认知意识，乃至学习态度等有关学习动力系统方面的准备。因此，无论是选配例题，还是安排例题，都要考虑到学生的学习情况，尤其是要考虑激发学生认知兴趣和认知需求的原则（称之为动机原则）。在例题选配和安排中，可采取增、删、调的策略，力求既突出重点，又符合学生的学情。所谓增，即根据学生的认知缺陷增补铺垫性例题，或者为突破某个难点增加过渡性例题。所谓删，即根据学生情况，删去比较简单的例题或要求过高的难题。所谓调，即根据学生的实际水平，将后面的例题调至前面先教，或者将前面的例题调到后面后教。

2．根据学习目标和任务精选例题。例题的作用是多方面的，最基本的莫过于理解知识，应用知识，巩固知识；莫过于训练数学技能，培养数学能力，发展数学观念。为发挥例题的这些基本作用，就要根据学习目标和任务选配例题。具体的策略是：增、删、并。这里的增，即为突出某个知识点、某项数学技能、某种数学能力等重点内容而增补强化性例题，或者根据联系社会发展的需要，增加补充性例题。这里的删，即指删去那些作用不大或者过时的例题。所谓并，即为突出某项内容把单元内前后的几个例题合并为一个例题，或者为突出知识间的联系打破单元界限而把不同内容的例题综合在一起。

3．根据解题的心理过程设计例题教学程序。按照波利亚的解题理论，一般把解题过程分为弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾等4个阶段。这是针对解题过程本身而言的。但就解题教学来说，还应当增加一个步骤，也是首要环节，即要使学生“进入问题情境”，让学生产生一种认知的需要。对于“进入问题情境”环节，要求教师用简短的语言，在承上启下中，提出学习目标，明确学习任务，激起认知冲突。而对其余4个环节，教师的行为可按波利亚的“怎样解题表”中的要求去构思。一般教师和学生都能够注意做到做好前3个环节，却容易忽视“回顾”环节。

严格说来，回顾环节对解题能力的提高，对例题教学目的的实现起着不可替代的作用。对回顾环节来讲，除波利亚提出的几条以外，更为主要的是对解题方法的概括和反思，并使其能迁移到其它问题的解决之中。

篇5

作者：任感恩

摘要：探讨数学理论为什么1+1=2，弄清楚1+1=2的原理、道理、哲理，不仅要知其然，而且还要知其所以然，简述该深刻内涵揭示的深入细致的数学真理，…。

关键词：1、数学理论为什么1+1=2，2、哲理整性质，3、哲理整小数4、广义整数，5、有限不循环小数，6、有限循环小数，7、最大分数单位1/2，8、小数单位，9、最大小数单位——0.5等等

1、数学理论为什么1+1=2（1+1=2的基本原理、道理、哲理是什么？）：

纯粹数学理论上存在着缺陷与不足，那就是偶数能被2整除、奇数不能被2整除，换言之，纯粹数学在理论上根本无法承认和接受2是数学公理，因为奇数不能被2整除自身就是科学根据与铁的事实，偶数能被2整除、奇数不能被2整除，如此理论太绝对了，已经给纯粹数学的理论造成了不可思议，奇数不能被2整除、能不能以其他方式被2整除？值得深思、探讨、探索——不能还停留在偶数能被2整除、奇数不能被2整除玄学的理论水平上，要深化理论认识，…。

为什么1+1=2，本文回答既简单又深奥：偶数能被2整除，奇数不能被2整除却着实能被2哲理整除，奇数与偶数相反相成对立统一，1+1=2是数学首要公理，1+1=2蕴涵着深刻的对立统一规律，是啊！它真的既简单又深奥，它简单的表面上看似是小学生的基本知识，然而其道理深奥地不可思议、不可理喻、如此道理、哲理并非所有的人都能够理解与接受，更不是小学生能够理解的数学知识，...!

偶数能被2整除，奇数不能被2整除却着实能被2哲理整除，奇数与偶数不仅存在着对立性，而且还存在着共性和同一性，即异中之同，差异中的共性，…，

其一：奇数不能被2整除却着实能被2哲理整除就是指奇数与偶数的异中之同，差异中的共性与同一性，

其二：偶数能被2整除、奇数不能被2整除就是指奇数与偶数的差异性、排斥性、对立性，

因此说，奇数与偶数既有对立性又有同一性，奇数与偶数二者存在着相反相成、对立统一的辩证关系，它揭示着2是数学公理系统的首要公理，这是世界观的认识问题，有什么样的世界观就有什么样的认识论、方法论，如果玄学，无论如何都是无法理解、接受它，如此真理说不清、理还乱、但是它的庐山真面目就是如此，无法更改，古人云“不识庐山真面目、只缘身在此山中”，需要“跳出庐山看庐山”，要摆脱两千多年玄学的严重束缚，…。

为什么1+1=2不是指数论的“1+1”，为什么1+1=2？不仅要知其然还要知其所以然，…，绝对值1+1=2与数论的“1+1”既有差异又有联系，如果把素数2看作偶素数，那么数论的“1+1”是指大于等于6的偶数可表示为两个素数之和——歌德巴赫猜想，无需奇素数，本文素数就是指奇素数3，5，7，11，13，17，19，23，……，…，数论的“1+1”它是绝对值的特殊公理，数论的“1+1”与绝对值的1+1=2在数值逻辑公理系统中一脉相承，在绝对值1+1=2数值逻辑公理系统中蕴涵着数论的“1+1”，数论的“1+1”是数值逻辑公理系统偶环节上的特殊公理，换言之、数论的“1+1”也是数学公理（例如：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11，16=5+11，18=3+15，……，无穷无尽）拥有客观存在性，并非被摘取下来才拥有真实性、摘取不下来就非真实性和非客观存在性，既不肯定也不否定模棱两可、这背离了数学（逻辑）排中律，…。

虽然哥德巴赫猜想数学命题没有被数学专家毕了、依然被人们研究着，但传统的素数“筛法”，此路不通已失去了昔日辉煌，…。

2、自然数与正整数、单位“1”与自然“1”：

1+1=2是科学抽象的、1+1=2以及正整数是相对于广义的单位“1”而言，单位“1”的含量绝对统一，1+1=2并非自然“1”的意义，事实上自然数与正整数既有差异又有联系，自然数是相对于自然“1”而言，正整数是相对于单位“1”而言，正整数是把自然数提升到了抽象的科学高度，由于自然数、时常因单位“1”不统一、“含金量”不一致，如果对自然数直接进行运算是有很大的局限性——有时正确、有时有偏差，我们人类是聪明智慧的，有了数学的广义的单位“1”、正整数，消除了自然数的局限性，…。

3、哲理整小数以及哲理整小数的双重性质（或哲理整分数和哲理整分数的双重性质）：

小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，......，的绝对值拥有相互矛盾的双重性质，其一是哲理整性质、其二是普通小数性质，哲理整性质是指小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，......（注：它们的小数部分均为0.5，只涉及到0.5也可以、也足以）的绝对值比其他普通小数的绝对值整装、…、本文将它们的这一特性简称为哲理整性质（相对整），因为1/2是最大分数单位，则0.5是最大小数单位，因此0.5拥有哲理整性质，它地地道道、的的确确客观存在着，我们的认识迄今为止还未意识到，如此道理、哲理并非所有的人都能够理解接受，唯恐越看越不明白，令人意乱、劳神，...。

哲理整小数：本文将小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…和它们的哲理整性质（相对整）统称为哲理整小数，务必明确的说明，哲理整小数拥有相互矛盾的双重性质，其一是哲理整性质、其二是普通小数性质，…。

哲理整分数：本文将分数1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2……和它们的哲理整性质统称为哲理整分数，哲理整分数拥有相互矛盾的双重性质，其一是哲理整性质、其二是普通小数性质，…。

普通小数：不包含哲理整小数在内的小数简称为普通小数。

普通分数：不包含哲理整分数在内的分数简称为普通小数。

4、1/2和0.5哲理整性质的科学依据:

分数拥有分数单位，数学教科书应该明确指出1/2是最大分数单位，1/1不是最大分数单位、是整数分数，1/1=1依然体现整数性质、是一个特例，然而迄今为止还没有小数单位，数学需要向前发展提出小数单位、最大消暑单位，要明确指出最大小数单位是“0.5”，而且为奇数能被2哲理整除提供客观科学依据，才更符合数学的客观实际！单凭直觉，最大分数单位1/2和最大小数单位0.5还未体现出其真正数学意义，最大分数单位和最大小数单位在本质上体现哲理整性质才是其真正的数学意义，这是如何对待数学真理的重大认识问题，并非可有可无，可无必然是一个数学错误，1/2和0.5的哲理整性质是微小微妙、微乎其微的变化、微不足道的差异性，若不仔细认真观察很难被人们发现，形而上学排斥它、大多数人无法理解接受它，有理难辩啊，难！真的很难！不仅如此还会遭人讽刺、挖苦等等，…。

关于分数和小数：分数单位1/2，1/3，1/4，1/5，1//6，1/7，1/8，1/9，1/10，…对应下的小数应为小数单位，例如：1/2=0.5，1/3=0.333….，1/4=0.25，1/5=0.2，…，1/10=0.1等等，….。

哲理整性质的来龙去脉：在数值逻辑公理系统中，派生子集合，0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……，…从系统发展变化中分化出来，占据整数的位置充分地十足地体现其哲理整性质或者说体现其相对整性质，数值逻辑公理系统为其提供科学依据；最大分数单位1/2、最大小数单位0.5也为其提供科学依据，只有在数值逻辑公理系统中才能够发现0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……（1/2，3/2，5/2，7/2，9/2，11/2，13/2，……）拥有哲理整性质，单凭直觉无从谈起，单凭直觉只能看到最大分数单位和最大小数单位，…。

能被2整除的是偶数，…，整数0，1，-1，2，-2.，3，-3，4，-4，5，-5，……，…为偶数能被2整除提供科学依据举世公认，…。

为了便于理解接受也可以首先把0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…暂时将它们看作哲理整数（相对整数），哲理整数为奇数能被2哲理整除提供客观科学依据，哲理整数指小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…的绝对值比其他普通小数的绝对值整装——因为0.5是最大小数单位，与整数形成异中之同，差异中有共性，数学与哲学将这一特性简称为哲理整性质（相对整）——哲理整数（相对整），但是理解接受以后：绝对不能忘记了哲理整数拥有相互矛盾的双重性质，一是拥有普通小数性质、二是拥有哲理整性质，只承认它们的小数性质认识是片面的，只承认0.它们的哲理整性质认识是片面的，…。

事实上只有把哲理整数统称为哲理整小数体现双重性质才更确切、完整、正确，…。

5、有理数系数值逻辑公理系统（就不展开叙述了）：

{[0～1]}1{[1～2]}3{[2～3]}5……，…（此结构式上下交错对应不能散开）

[0.1～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…

第1环节：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，

第2环节：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，

第3环节：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，

第4环节：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，

第5环节：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，

第6环节：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，

……，…，

∑{[0～1]}意指0与1之间的基数之和，它是集合族、有无穷个子集合或有无穷个数组，其他依次类推，符号：意指派生子集合，很显然，在系统数值逻辑运算过程中，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……从系统发展变化过程中产生分化出来，占据整数位置，充分体现其哲理整性质，即派生子集合，为奇数能被2哲理整除提供科学依据，蕴涵着完整的数值运算规律，数论、集论、算术三位一体、辩证统一，蕴涵着完整数学公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…。

潜无限给数值逻辑奠定基础并给作科学指导，潜无限排斥实无限，…。

实无限只能给数理逻辑奠定基础，如何给数值逻辑作科学指导？实无限排斥潜无限，事实上互相排斥，…。

6、广义整数：

广义整数：将整数和哲理整小数统称为广义整数（将整数和哲理整分数统称为广义整数），…。

7、有限不循环小数：

有限不循环小数：为了便于理解，简言之，我们把无限不循环小数有限数字（小数点右边至少有两位或两位以上不循环数字）称之为有限不循环小数，例如：3.14，3.1415，3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，……，有无限不循环小数必然存在着有限不循环小数，在数值逻辑中，有限不循环小数与潜无限不循环小数拥有替代无理数数值的巨大意义与作用；有限小数中的小数再如此细致地划分出有限不循环小数、有限不循环小数，才更切合实际，在数值逻辑公理系统中会发现：有限不循环小数拥有客观存在性，拥有无限不循环小数就必然存在着有限不循环小数，这的确是一个认识问题，有限不循环小数可表达为分数形式，因此有限不循环小数是有理数，同时还是超越无理数的有限形式，因此可替代无理数数值（无理数的近似值），只谈无限不循环小数（只谈无理数），不涉及到有限不循环小数是不行的，…。

尤其是有限不循环小数，在实质上拥有替代无理数数值的巨大意义与作用——此乃有限不循环小数的重要数学意义。

8、有限循环小数:

有限循环小数:为了便于理解，简言之，我们把无限循环小数有限个循环节（小数点右边至少有两个或两个以上数字循环节）称之为有限循环小数，如：0.1616，0.161616，0.666，0.666666，0.78787878，0.999999，……，有无限循环小数必然存在着有限循环小数，有限循环小数客拥有客观存在性，它可替代无限循环小的数值，…，这也是一个认识问题，有限循环小数可表达为分数形式，因此有限循环小数是有理数，…。

9、普通有限小数：

把小数点后边有一位数或两位数以内的小数简称为普通有限小数，例如：0.9，1.1，1.2，3.6，3.8，5.8，6.8，7.16，………，…。

10、总之、数学理论要有所突破、要有所进展：

数学（算术）需要向前发展有所突破：

（1）提出数学理论为什么1+1=2，

（2）明确指出1/2是最大分数单位，

（3）提出小数单位、最大小数单位、0.5是最大小数单位，

（4）将有限小数细致划分为：

a、哲理整小数：0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，

b、普通有限小数，

c、有限不循环小数，

d、有限循环小数，

（5）有理数系数值逻辑公理系统，

（6）广义整数，

（7）哲理整分数：1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，……，

（8）整数分数：把1/1，-1/1，2/1，-2/1，3/1，-3/1，4/1，-4/1，5/1，-5/1，6/1，-6/1，……统称为整数分数，拥有双重身份，…。

（9）双素数：例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示为两个等值素数之和，双素数星星点点揭示着哥德巴赫猜想拥有客观存在性，无法否定它，

（10）偶素数——2：2既是一个偶数又一个素数，把2简称为偶素数，

等等才更接近数学的实际情况，希望数学教师率先转变数学思维理念给以鼎力支持，…。

总之，依然还是把整数与分数统称为有理数，只不过是又将分数划分为哲理整分数、普通分数、还有整数分数，...，为什么1+1=2——是探索其原理、道理、哲理，一定要弄明白其中的原理、道理、哲理！…，再次说明，如此道理、哲理并非所有的人都能够理解接受，这是很正常的，且末当真、切莫较真，同时也说明一点本文为什么1+1=2的含义不同于1+1为什么等于2？，也未直接涉及到数论的“1+1”，…。

错字、多字、漏字、错误在所难免，本文作为数学学术最新观点，仅供参考、并不强加于人。

参考文献：

1、《辩证唯物主义和历史唯物主义原理》，中国人民大学出版社出版

2、《古今数学思想》（北京大学数学系数学史翻译组译）上海科学技术出版社出版，1981年7月。原作者：（美国数学家）M.克莱因著

篇6

书法教育，包含技能教育、艺术教育、情操教育等多方面的内涵。近年来，书法在心理教育方面的功能逐渐被学界重视。但较多的是侧重如何激发学习兴趣以及书法练习对促进个体心理健康的作用等方面进行研究。至于书法技能形成的内在规律和心理机制，学术界还少有论及。书法，或称书道，是一门心灵的艺术，称之为“法”或“道”，说明其同时又是技能（技巧）性极强的艺术。技能的形成，是书法充分发挥心理调节作用、实现艺术创作的基本前提。笔者拟运用现代心理学理论，结合书法教学实践，对书法技能形成的内在规律进行分析和阐述，以期对书法教学有所启发。

一、书法技能形成的基本心理规律

书法是讲究“心手相应”的技能，技能的形成是进行高级艺术创作的必要前提条件。技能作为一种活动方式按其性质和特点可以分为动作技能和心智技能。动作技能是由一系列实际动作组织起来的完善而合理的活动方式，它表现为身体的肌肉、骨骼运动和与之相应的神经系统部分的活动。而心智技能则是把特定的感知、记忆、想象和思维等心理活动按一定的程序方式组织起来，并顺利完成某种活动的过程。书法技能的训练是动作技能和心智技能相结合的活动，其中书法的书写过程可纳入动作技能的范畴，而读帖、临帖时的思维活动以及创作中的心态等因素则可归入心智技能的范畴。在书法技能的训练过程中，动作技能和心智技能总是相辅相成、有机地结合在一起。书法创作和练习都需要“心手相应”，写出来的字是脑的活动通过手的运笔“外化”的结果。

书法技能的形成必须经过一个从不熟练到熟练的磨砺过程。古代书论历来强调技能的熟练，正如姜夔在《续书谱》中说，书法“所贵熟习精通，心手相应，斯为美矣。”技能的熟练，是经过反复练习所形成的达到高度“完善化”和“自动化”，此时意识对动作的控制程度减至最低。要将技能发展到熟练的程度，必须经过三个阶段，即认知——定向阶段、动作系统初步形成阶段、动作协调和技能完善阶段。这些因素决定了书法学习应该遵循由浅入深、由表及里的原则进行，按照书写姿势、笔画线条练习、间架结构分类练习等顺序进行学习和训练，每个阶段根据不同的任务反复练习，从对字形的局部掌握到整体掌握，再到大脑与动作的协调完善，进而加强动作的熟练和节奏，循序渐进，将局部的用笔联合成一个协调化的运笔模式，运笔速度加快，稳定性和灵活性提高，最后达到得心应手的程度。

临摹是书法技能形成的不二法门，故有“初学不外临摹”之说（见周星莲《临池管见》）。任何技能都是通过模仿和联系获得的，书法是线条的艺术，学习如何塑造好线条形态最常用方法是临摹。临摹实际上是一个观察、记忆的过程，包括对汉字笔画、结构和对指、腕、臂动作的观察和记忆。

二、观察学习：规则的获得

观察是有目的、有计划的主动知觉过程，比一般的知觉有更深的理解性。学生通过观察，对笔画的长短、粗细、偃仰、向背，墨色的浓淡，运笔的节奏，整体的风格、神韵等变化万端的线条组合产生鲜明而具体的感受和感性认识，以便于进行进一步的抽象概括。在学习书法技能的过程中，观察主要可以分为两类。

第一，静态观察。先观察碑帖或范字中点画的形状特征，如侧点、竖点、挑点，悬针竖、垂露竖的异同等等；其次，观察结构特征，看每一点画起笔、送笔、收笔的正确位置，点画间的呼应、交错、揖让和向背等关系，左右、上下偏旁的相对位置，上下左右偏旁所占空间的宽窄、四边留白的多少以及线条间的疏密等等，判断整个间架主体的形状是何种方形，外形是正或斜。

第二，动态观察。观察老师动作：先看握笔松紧；其次看起笔、行笔、收笔的方向、速度、力度，笔锋的提按顿挫；再次感受手感和运力（指力、腕力、臂力）。心理学实验研究表明，观察对正确的动作规则和结构规则的形成具有十分重要的作用，是技能形成的必要准备。

提高观察有效性的关键是对注意力的训练。初学者临摹一般要求尽量逼真，但范字提供的信息很多，要在短时间内准确把握这些信息并不容易。一般来说，读帖时的注意都属于需要一定意志努力的随意注意，维持注意最有效的办法是明确其观察的目的和任务，通过各种强化增强其完成任务的愿望。在没有明确目的指导下的学生往往没有明确的注意对象，他可能对范字的各个部分都泛泛地加以注意，结果往往是顾此失彼。书法教学中可以将目标任务分解，例如第一步只需注意范字的基本笔画，第二步只需注意范字的结构规律等等。这样目的明确，每次注意指向的范围小，集中性更好，对技能的形成更为有利。另外，临摹不成文的或不懂内容的字帖也不利于维持注意。因此在书法教学过程中，融入符合学生年龄特点的诗词或国学经典的教学，相应临写一些诗词或经典，或者对碑帖的内容进行适当的讲解，既是对智力活动的合理组织，又能激发学生兴趣，对维持注意十分有利，同时对文化底蕴的提升、习惯的养成、人格的熏陶等更是大有裨益。三、记忆与表象融合：自由创作的起点

临摹还涉及到记忆的问题，包括对碑帖的形象记忆和对运笔的动作记忆。心理学理论认为：信息刺激在大脑皮层的有关部位建立暂时联系，在大脑中留下一定的“痕迹”，这种“痕迹”的保持就是记忆。临摹就是要将古人法帖中的“信息刺激”——即所蕴含的基本技巧、表现方法等，通过重复模仿训练，在大脑中建立联系和留下痕迹，不断积累后变为自己的能力。记忆是整个书写过程不可或缺的，临摹的成效与记忆的深浅是成正比例的。

传统意义上的临摹一般包括摹、临、背三个阶段。摹的方式很多，有仿影、描红、双钩、单钩等等；临主要指对临，传统的书法教学常常利用田字格、米字格、九宫格将方格切分，让学生容易掌握笔画、偏旁的位置，最终达到去格临写的水平。当然，对临并不一定要用笔写在纸上，有时候也可以通过读帖来完成，正如姚孟起在《字学忆参》中说:“古碑无不可学，汉代摩崖，手不能摹者摹以心，心识其形，手亦从之。”背指背临，或者称为“默临”，就是书写者不对照字帖，凭记忆将字形、笔画和神态写出来，即使手中无笔，也能将所习之字的笔画、结构、运笔一一在脑海中放映。摹、临、背的训练过程，实际上是一个识记、保持和重现的过程。摹写主要是训练对笔画的识记，而对临则主要是训练对间架结构、大小、高低等位置要素的识记。这种识记需要通过长期的训练才能得以保持。背临实际上就是对前期摹写和对临所得到的经验进行回忆和再认。类似背临的这种“尝试回忆”是强化加深记忆更有效的办法。所以，临摹的三个阶段是不断稳定和深化的记忆过程，它们对记忆力的训练各有侧重，而且环环相扣，不可偏废。

通过摹、临、背的记忆训练，使学习者对范字形象和运笔动作形成较为稳固的心理表象。心理表象不再是事物形象的简单再现，而是经过复合、融合，达到比知觉、比个别表象更丰富、更深刻的水平。学习者一旦能建立起记忆表象与运笔写字的联系，用头脑中的记忆表象指导手的动作，再省察动作过程与原有表象的差别，不断完善动作和表象，那么线形的临写就不是简单的描摹，而是一种积极思维活动的过程，是对书法艺术语言本质的思考和把握。

传为王羲之所作的《题〈笔阵图〉后》中，曾经详细描述创作前的心理活动过程：“夫欲书者，先干研墨，凝神静思，预想字形大小、偃仰、平直、振动，令筋脉相连，意在笔前，然后作字。”也就是说，自由创作实际上是一种记忆的延伸和再加工。时下有些书法教育工作者，急于求成，采取直接写成作品给学生临摹的方法去应付各种比赛和展览，在比赛中屡屡获得成绩，这种方法的好处是可以在一定程度上调动学生的积极性。但这种方法打破了记忆形成和深化的链条，不利于学生能力的培养，学生离开了老师的书稿就很难进行独立创作。

结语

书法是一门有几千年历史的古老艺术。历代书论中也有不少关于书法教育的论述，但这些成果往往是个人经验的总结，而且十分零散，几千年来，中国的书法教育模式基本上停留在继承这些经验性的总结层面。这些总结中有不乏精彩的、至今仍然具有启发性的论述，但也有不尽合理的部分，这些都需要运用现代的科学认识去甄别和总结。心理学作为研究教育的有力武器，也应该被应用到书法教学中去，建立系统的书法教育中的心理机制理论，探索更为科学的教学模式。

参考文献：

[1]上海书画出版社，华东师范大学古籍整理研究室.历代书法论文选.上海书画出版社，1979.

[2]张桂光.书法教程.广东教育出版社，1987.

[3]于魁荣.儿童书法生理基础.教育科学研究.1991（6）

[4]陈振濂.书法教育学.西泠印社，1992.

[5]高尚仁.书法艺术心理学.香港文化教育出版社，1992.

篇7

2建立标签关系的反向工程

当我们框定了熵减的方法体系后，在数据间建立血缘关系则显得尤为重要，由于数据生长动力呈现由内而外的泛化驱动，但是本身这种泛化在信息化过程中很多是无组织的行为，缺少逻辑上预先定义，所以数据生成后，大量的数据关系被衰减掉，从正向渠道难以对数据关系建立血缘，工程极其浩瀚复杂。由于血缘关系无法完全在数据生长中自然形成，正向人工干预又存在操作难度，所以反其道而行之则是唯一通道。数据加工的反向性，优势首先体现在由微观到宏观的加工难度大幅下降，因为其工作处于抽象的最底层，使采用众包模式加工成为可能。其次，这种加工模式，可以在有效建立一种数据关系的闭环管理的同时，不会抑制数据生长的空间和速率，不会因加工效率低而凝固数据资产化的进程。在反向加工的过程中，需要通过标签联结数据关系，这时候我们要关注标签的质量和复用度，由于标签定义存在难度，所以要松绑标签定义来促成数据加工的快速实施，解决的重点则迁移到标签在后期管理中的智能化上。首先，可以通过标签在关系联结中的重复出现进行跟踪，识别是标签二义性还是加工者的活动差异。活动差异标签最基本的处理方法是进行聚合，形成知识归纳；二义标签则需要改进表达。其次，依赖血缘关系建立可视化图谱，从数据结构工程里可以有效识别关系路径的黏合点，即发现重复路径中出现的一个以上的标签，消除由知识结构差异造成的人为误会，对标签进行合并。这样，通过标签的智能化后期管理就可以将加工难度上移，建立分层加工的工厂模式。这种加工存在基本准则，并要建立基本的衡量尺度来保证标签有效性，加工工艺可以从标签质量、使用度、命中率等指标进行测量。其中，质量有赖于标签本身定义成分的内涵，要确认其被受众广泛理解；使用度是在加工活动中的使用次数，是否被数据关系广泛应用，使用度较低的标签要确认其存在价值，通过标签间同时出现概率决定其含义表达是否具备唯一性；命中率则建立在使用者的自然需要基础上，如果某一标签绝少被使用者利用或调度，与整体观测结果是否存在数值上的明显差异。整体上看，通过这些基本准则建立标签管理的异常检测分析，来保证加工质量的方式具备技术的可行性，但同时更需要对后期的数据运行建立领域指标模型来校验。

篇8

讲风太盛，是目前全国范围内的最大流弊。有些教师一上“讲台”，就名副其实地当好“讲师”，一堂课从头讲到尾，唯恐讲不够。这些教师把无休止地讲当作万能的法宝，唯讲至上。

讲风太盛，主要表现为三种形式。①机械重复。一步一回头，时刻担心有疏漏不周的地方，自然而然的重复一通。有时为一个无关紧要的细小问题也总要纠缠几分钟方肯罢休。②照本宣科。死搬硬套教本、教参及有关教育教学报刊上的内容，把类似的内容一一搬进课堂里，教学内容成了参考资料的简单罗列和堆砌。

③肆意拔高。有些教师总嫌小学课本里的内容太浅，没有“教头”，因而凭着自己的性子肆意拔高教学难度，或把高年级的内容提前到中年级来教，或把初中的内容提前到小学来教。由于难度提高了，教师也就感到“有得讲了”，于是，口若悬河，滔滔不绝，什么“超纲脱本”，全抛到九霄云外去了，同时也把学生带进了云里雾里，摘得稀里糊涂。

克服和纠正“讲风太盛”，关键应抓好三条。第一是认真备课，在备课时将课上要着重讲的内容写进教案，力求语言简练、明白，切忌语无伦次，杂乱无章。

第二是认真学习和优化选择教法,采用那些先进的教法，克服单纯使用“讲授法”，坚持“一法为主，多法相助”。第三是切实控制好课堂教学结构，除在新授部分作适当讲解外，其余教学环节尽可能少讲或干脆不讲。经过一段时间严格的自我控制，你就会越来越明白“讲风太盛”不仅害学生，也害自己，真是得不偿失，适得其反。

二、形式过多

教学过程离不开一定的形式和手段，这是无可厚非的。但形式过多，往往会分散学生的注意力，影响教学时间和效率。现在有些课，一会儿比赛，一会儿表演，一会儿唱歌，五花八门，应有尽有。让人看不懂到底是数学课还是班队活动？

有些老师还美其名曰：“愉快教育”；真叫人啼笑皆非。

形式过多也表现为三种形式。

一是展览型，把数学课当成了教学具的展览会。

二是热闹型，以说、跳、演等外化活动为主要特征，是一种表面、肤浅的思维过程，真正有效的思维应当是静悄消的内化过程。三是魔术型，教师表演式的一猜就中、一试就准、一列就对、一验就灵，把思维过程全部掩盖了，学生只知道结果而不知道来龙去脉，教学活动成为一种神秘的魔术，把学生思维活动量降到了最低限度。

要克服和纠正“形式过多”的不正之风，关键要抓两条，一是认真学好儿童心理学，根据学生认知特点恰当地选用必要的教学形式，坚决杜绝追赶时髦、盲目效仿、华而不实的种种做法，使教学形式成为教学过程必不可少的载体。二是要注意充分暴露思维过程，揭示知识的发生过程，加强智力活动的内化设计与实施，使知识教学落实到思维训练上去，教学形式有力地促进教学过程的优化发展。

篇9

“数学思想”作为数学课程论的一个重要概念，我们完全有必要对它的内涵与外延形成较为明确的认识。关于这个概念的内涵，我们认为：数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。这种认识的主体是人类历史上过去、现在以及将来有名与无名的数学家；而认识的客体，则包括数学科学的对象及其特性，研究途径与方法的特点，研究成就的精神文化价值及对物质世界的实际作用，内部各种成果或结论之间的互相关联和相互支持的关系等。可见，这些思想是历代与当代数学家研究成果的结晶，它们蕴涵于数学材料之中，有着丰富的内容。

通常认为数学思想包括方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和公理化思想等。这些都是对数学活动经验通过概括而获得的认识成果。既然是认识就会有不同的见解，不同的看法。实际上也确实如此，例如，有人认为中学数学教材可以用集合思想作主线来编写，有人认为以函数思想贯穿中学数学内容更有利于提高数学教学效果，还有人认为中学数学内容应运用数学结构思想来处理等等。尽管看法各异，但笔者认为，只要是在充分分析、归纳概括数学材料的基础上来论述数学思想，那么所得的结论总是可能做到并行不悖、互为补充的，总是能在中学数学教材中起到积极的促进作用的。

关于这个概念的外延，从量的方面讲有宏观、中观和微观之分。

属于宏观的，有数学观(数学的起源与发展、数学的本能和特征、数学与现实世界的关系)，数学在科学中的文化地位，数学方法的认识论、方法论价值等；属于中观的，有关于数学内部各个部门之间的分流的原因与结果，各个分支发展过程中积淀下来的内容上的对立与统一的相克相生的关系等；属于微观结构的，则包含着对各个分支及各种体系结构定内容和方法的认识，包括对所创立的新概念、新模型、新方法和新理论的认识。

从质的方面说，还可分成表层认识与深层认识、片面认识与完全认识、局部认识与全面认识、孤立认识与整体认识、静态认识与动态认识、唯心认识与唯物认识、谬误认识和正确认识等。

二、数学思想的特性和作用

数学思想是在数学的发展史上形成和发展的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识（主要指概念、定理、法则和范例)以及数学方法的本质性的认识。它表现在对数学对象的开拓之中，表现在对数学概念、命题和数学模型的分析与概括之中，还表现在新的数学方法的产生过程中。它具有如下的突出特性和作用。

(一)数学思想凝聚成数学概念和命题，原则和方法

我们知道，不同层次的思想，凝聚成不同层次的数学模型和数学结构，从而构成数学的知识系统与结构。在这个系统与结构中，数学思想起着统帅的作用。

(二)数学思想深刻而概括，富有哲理性

各种各样的具体的数学思想，是从众多的具体的个性中抽取出来且对个性具有普遍指导意义的共性。它比某个具体的数学问题(定理法则等)更具有一般性，其概括程度相对较高。现实生活中普遍存在的运动和变化、相辅相成、对立统一等“事实”，都可作为数学思想进行哲学概括的材料，这样的概括能促使人们形成科学的世界观和方法论。

(三)数学思想富有创造性

借助于分析与归纳、类比与联想、猜想与验证等手段，可以使本来较抽象的结构获得相对直观的形象的解释，能使一些看似无处着手的问题转化成极具规律的数学模型。从而将一种关系结构变成或映射成另一种关系结构，又可反演回来，于是复杂问题被简单化了，不能解的问题的解找到了。如将著名的哥尼斯堡七桥问题转化成一笔画问题，便是典型的一例。当时，数学家们在作这些探讨时是很难的，是零零碎碎的，有时为了一个模型的建立，一种思想的概括，要付出毕生精力才能得到，这使后人能从中得到真知灼见，体会到创造的艰辛，发展顽强奋战的个性，培养创造的精神。

三、数学思想的教学功能

我国《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用修订版)》明确指出：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”。根据这一要求，在中学数学教学中必须大力加强对数学思想和方法的教学与研究。

(一)数学思想是教材体系的灵魂

从教材的构成体系来看，整个初中数学教材所涉及的数学知识点汇成了数学结构系统的两条“河流”。一条是由具体的知识点构成的易于被发现的“明河流”，它是构成数学教材的“骨架”；另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗河流”，它是构成数学教材的“血脉”灵魂。有了这样的数学思想作灵魂，各种具体的数学知识点才不再成为孤立的、零散的东西。因为数学思想能将“游离”状态的知识点(块)凝结成优化的知识结构，有了它，数学概念和命题才能活起来，做到相互紧扣，相互支持，以组成一个有机的整体。可见，数学思想是数学的内在形式，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具。教师在教学中如能抓住数学思想这一主线，便能高屋建瓴，提挈教材进行再创造，才能使教学见效快，收益大。

(二)数学思想是我们进行教学设计的指导思想

笔者认为，数学课堂教学设计应分三个层次进行，这便是宏观设计、微观设计和情境设计。无论哪个层次上的设计，其目的都在于为了让学生“参与”到获得和发展真理性认识的数学活动过程中去。这种设计不能只是数学认识过程中的“还原”，一定要有数学思想的飞跃和创造。这就是说，一个好的教学设计，应当是历史上数学思想发生、发展过程的模拟和简缩。例如初中阶段的函数概念，便是概括了变量之间关系的简缩，也应当是渗透现代数学思想、使用现代手段实现的新的认识过程。又如高中阶段的函数概念，便渗透了集合关系的思想，还可以是在现实数学基础上的概括和延伸，这就需要搞清楚应概括怎样的共性，如何准确地提出新问题，需要怎样的新工具和新方法等等。对于这些问题，都需要进行预测和创造，而要顺利地完成这一任务，必须依靠数学思想作为指导。有了深刻的数学思想作指导，才能做出智慧熠烁的创新设计来，才能引发起学生的创造性的思维活动来。这样的教学设计，才能适应瞬息万变的技术革命的要求。靠一贯如此设计的课堂教学培养出来的人才，方能在21世纪的激烈竞争中立于不败之地。

中学数学教学过程，实质上是运用各种教学理论进行数学知识教学的过程。在这个过程中，必然要涉及数学思想的问

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(三)数学思想是课堂教学质量的重要保证

数学思想性高的教学设计，是高质量进行教学的基本保证。在数学课堂教学中，教师面对的是几十个学生，这几十个智慧的头脑会提出各种各样的问题。随着新技术手段的现代化，学生知识面的拓宽，他们提出的许多问题是教师难以解答的。面对这些活泼肯钻研的学生所提的问题，教师只有达到一定的思想深度，才能保证准确辨别各种各样问题的症结，给出中肯的分析；才能恰当适时地运用类比联想，给出生动的陈述，把抽象的问题形象化，复杂的问题简单化；才能敏锐地发现学生的思想火花，找到闪光点并及时加以提炼升华，鼓励学生大胆地进行创造，把众多学生牢牢地吸引住，并能积极主动地参与到教学活动中来，真正成为教学过程的主体；也才能使有一定思想的教学设计，真正变成高质量的数学教学活动过程。

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两条原理：其一，内部动力原理。即承认学生认识机能中的主观能动性，其中某一个性因素（如数学兴趣）发生变化，将引起其他部分及整体变化（产主学习数学的主动性）。其二，适应与转化发展原理。“适应”即教学应适应学生现有心理状态、知识水平和认知能力；“转化发展”即变学生厌学为爱学，变不会学为会学，变无所作为为积极进取，求得每个学生学习数学的最佳心理状态。

三个原则：

1．智力因素与非智力因素相结合原则。

2．同步教学与异步教学相结合原则。即在教学中，对全体学生的行动，提出统一要求和目标的同时，正确估计出学生发展水平和潜在发展可能性，根据教材内容合理设置阶梯，将学生分成不同阶梯类型，在自学、听讲、讨论、答问与作业中提出不同的要求，使每个学生在班级集体中相对独立地得到发展。

3．学生心理认识规律与知识形成发展规律相结合原则。即遵循认识论与实践论的基本原理，将知识内容进行弹性处理，适应不同层次的学生和每个学生的不同的认识阶段。将新教材的弹性和学生的个性差异融于教法之中。

激励式阶梯教学法的基本作法包括四个方面。

一、定好起跑线

先向学生宣传激励式阶梯教学法的目的。使每个学生真正认识到学习成绩的差异是客观存在的，划分梯级的目的是为了划定每个学生现有的最近发展区，因材施教，最终缩小差异，达到班级整体优化。之后，公布学生双基考查成绩，学生根据自己的实际申报A、B、C三个学习小组。教师宣布备组课堂学习和课外学习的不同标准和要求：C组学生在教师与同学的帮助下完成学习，达到教材的基本要求，完成练习题以及A组习题；B组学生在教师的启发下，达到教材基本要求，独立完成练习题、A组习题及部分B组习题；A组学生独立达到基本要求，主动学习“读一读”、“想一想”、“做一做”等知识拓广性内容，在完成A、B组习题中总结归纳解题思想和方法，同时帮助B、C组学生完成学习任务，共同进步。

二、分阶梯授课

1．备课设阶梯

备课时，教师认真研究教材，抓住问题的本质，了解知识的发生、发展、形成过程，设置合理的认知阶梯：形象记忆性内容设为第一梯级，保证C组学生“吃得了”；抽象理解性内容为第二个阶梯，使B组学生“吃得好”；知识扩展性内容为第三个梯级，满足A组学生“吃得饱”。例如，初二“同类二次根式定义”教学的三个梯级为：（1）实例引入同类二次根式定义，举正反例反复理解；（2）定义应用，充分理解“化简后，被开方数相同的二次根式”，并举几组不是最简二次根式的例子进行理解；（3）定义的拓广，从同类二次根式定义中发现一般同类根式的定义（新教材正文不做要求）。

安排作业时，教师可将课外习题分为以课外习题集和教材B组习题为主的超基本题；以A组习题为主的基本题；以练习题和大部分A组习题为主的起码题，以此来分别满足A、B、C三个学习小组课外作业的要求，把教材以及与教材配套的习题全部落到实处。

2．讲课沿阶梯

激励式阶梯教学法在遵循由浅入深，由易到难的一般讲课规律的基础上，在知识和时间的安排上做了较大的改进。就新授课而言，三个阶梯既独立成段，又前后连贯，以便三个梯级的学生都明白自己在该梯级学习中所扮演的角色，并对思维的发展起定向作用。

在时间的安排上，第一、二个阶梯的授课时间要得到充分保证，一般25至30分钟。这样能保证B、C组学生听懂吃透。第三个阶梯只需点到为止，一般5分钟左右，使A组学生学有余味，即下有界（使每个学生都掌握最基本的内容），上无穷（定向启发，课外发展）。

另外，课堂练习能异于常规教学。各个学习小组的练习内容和标准应有所不同。既要明确不同梯级学生回答相应梯级的问题，又要激励低组学生回答高组问题，完成高组的任务。教师还可将重点内容设置几个有梯度的问题，交给学生讨论，以求自己获取知识。

三、分梯级评估

成功感是人们顺利完成一项工作的重要因素。学习也是如此。在以上分级授课的基础上，学生顺利完成了本梯级的学习任务，而且经常超级答问和超级完成作业，这时，教师应进一步培养其信心，改革考查方法，让学生得到满意的分数。

于是，我们采取如下考查方法：

（1）同一套试卷分两部分命题。双基题80分，拓深题40分，其计分方法是：A组学生实得分＝100分一扣分，B组学生实得分＝（120分－扣分）×100/120。C组学生实得分＝120分－扣分。（此种方法常用于综合考查）。

（2）题同评分标准不同。基础题对低组学生基分高，对高组学生的基分低：以部分知识拓广题补足A、B组学生的基分满100分；允许C组学生做拓广题，作为升级的参考因素。（此种方法常用于单元考查）。

考查成绩90分以上者为该组优秀学生。连同平时的听课、作业以及智力因素等，作为学生升级的量化依据。

四、激励跨梯

学生分级达标后，能力得到了发展和提高，基础得到了巩固，部分学生跨梯条件日趋成熟；老师应在授课中有意识地创造跨梯条件（如超级提问，超级作业），引导他们向上一级台阶过渡。同时，鼓励学生自觉申报跨梯。对部分不能升级，以及个别由于骄傲而退步须降级的学生，教师做好思想教育工作后，采取保级和降级措施。这种定期升级教育活动，一期一般进行两次，对个别超速发展的学生，可随时升级。调级后，老师订出新的目标（如各组的最低分数），使学生有新的奋斗目标。

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一、解题评价的目的

评价是教学活动中常用的一种手段。小学数学的解题评价是实施

数学学习评价的重要组成部分。解题评价是向学生反馈学习情况的一种形式，是帮助老师、家长全面了解学生学习情况的一种手段，目的是激励学生的学习热情，促进学生的全面发展。

《数学课程标准》指出“评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学；应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们的学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。”因此，小学数学的解题评价应充分关注学生的个体差异，发挥其导向、调控、激励、诊断等功能，促进学生全面、持续、和谐地发展。

二、解题评价的内容

小学数学解题评价的核心内容是评价小学生的数学解题能力。具体内容是评价解题思路、解题方法、解题过程、解题结果。

1、解题思路合理与否。对解题思路的评价是一种较高级的思维活动。它是依据一定的评价标准，对各种解题思路权衡比较、全面剖析而作出某种判断的复杂思维过程。注重培养学生对解题思路的评价能力和习惯，就可使学生不仅知其然，而且知其所以然；不仅仅是多学到一种解法，更重要的是站在评价水平的高度上思辨问题。一般说来，凡解题思路合理，即为正确。这是思路评价中的最基本标准。

2、解题方法独创与否。看看哪些解法与众不同，别出心裁。

在正确、合理的思路中选择出比较简捷的解法，剔除那些过繁过难的罕见解法或司空见惯的一般解法。

3、解题过程简捷与否。看看解题过程是否简捷，剔除那些繁难的过程。

4、解题结果正确与否。看看解题结果是否正确。一般说来，解题结果正确与否不作为评价解题是否正确的唯一标准，也不作为评价解题是否正确的主要标准。这是解题评价中的最基本标准。

三、解题评价的形式

解题的评价形式通常不外乎下列四种：

1、教师对学生的评价教师对学生解题的评价包括定性和定量两个方面。定性评价，主要指言语褒贬，应努力挖掘学生解题中的闪光点，在坚持实事求是的前提下讲究评价语言的艺术性——做到褒中有贬，贬中有褒，把握分寸和技巧，使学生心悦诚服。定量评价，主要出现在作业和试卷上，一般来说，定量的评价既要严格又要灵活，对于后进生要尽量宽容，不宜太苛刻，要用发展的眼光看待学生的进步。

2、学生对学生的评价既可以同桌互评，也可以四人一小组讨论，还可全班选代表。这是老师用得较多的形式。

3、学生对自己的评价学生个体的自我评价，是最高形式的鉴赏活动。因此，教师的着眼点应较多地投入到培养学生的自我评价能力上去，通过激发评价兴趣，培养评价习惯，进而提高评价水平。可以说，学生自我评价水平的提高，就反映着解题能力的提高，但解题能力提高，并不等于自我评价能力也得到相应的提高了。

4、家长对学生的评价家长对孩子的期望值较高，因此家长对学生的评价宜坚持客观评价为主。

四、解题评价的原则

对学生解题的评价，既要关注学生知识和技能的理解和掌握，更要关注学生技能的形成和发展；既要关注学生解题的结果，更要关注学生学习的过程中的变化和发展。

笔者认为解题评价的过程中要坚持以下四个基本原则：

1、判断性原则恰当判断学生对基础知识和基本技能的理解和掌握速度。“判断性原则”应遵循《课程标准》的基本理念，以学段的知识与技能目标为标准。应该强调的是，学段目标是学段结束时学生应达到的目标，应允许一部分学生经过一段时间的努力，随着数学知识与技能积累逐步达到。因此，教师可选择“推迟判断法”评价方式。如果教师对某次学生的解题觉得不满意，可允许学生重新解答。当学生通过努力后，改进原解题的错误后，教师可给出鼓励性评语。这种“推迟判断法”评价方式淡化了评价的甄别功能，突出反映了学生的纵向发展。特别是对学困生而言，能让他们看到自己的进步，感受到获得成功的喜悦，从而激发新的学习动力。

2、激励性原则目的以激励为主的评价原则。《数学课程标准》“评价建议”要求“发挥评价的激励作用，保护学生的自尊心和自信心。”在解答一题多解类题目或开放类题目时，对学生说出、写出的不同解法，教师要加以激励，如写出激励性评语：“你真棒！”“你真了不起！”……在阅卷时，应适当给第一种解法以外的每种解法加分。以此来培养学生的创新精神，培养学生的创新能力，增强学生的自信心。

3、过程性原则一种重过程轻结果的评价原则。《数学课程标准》要求“注重对学生学习过程的评价。”“课改前的评价过分关注评价的结果，而忽略了对过程的评价。”特别对解题的评价要忽略关注结果，更要重视解题的过程。如学生在进行简便计算时，简算过程是对的，但结果却计算错了；再如，在解答某道应用题时，学生的分析思路是对的，但由于未看清数字，在解题列式时算式是错的。这时，我们就不能光看算式本身和结果的正确性，而要看到学生思维的正确性。只不过要在旁加注“提示语”，如“如果你细心些！相信你一定能解答正确。”在评价时，要给大部分的分数。

4、发展性原则新课改倡导的“立足过程，促进发展”的评价原则。对学生的评价应当从甄别式评价转向发展性评价。在评价学生的解题时，既要评价学生对数学知识与技能的理解和掌握，更要评价他们技能的形成和发展。应当增强评价的诊断功能和促进功能，更注重学生解题的发展过程，重点放在纵向评价，强调学生解题的过去与现在的比较，着重于学生素质的增值，不是简单的分类级排次序，使学生真正体验到自己进步。

五、解题评价的策略

笔者结合教学实际，谈谈执行《数学课程标准》情况下解题的评价策略——阶段性评价策略、对象性评价策略、相对性评价策略、多元性评价策略、激励性评价策略。

1、阶段性评价策略由于数学知识呈现阶段性，导致解题思路的阶段性，这就是“双基”所起的前提作用。如“一个正方形周长是6分米。求它的面积。”三年级学生还没有学过小数和分数，因而能把6分米化成60厘米做出(604)(604)=225（平方厘米）的解答，理当首肯。但到了高年级，这种解法未必唯一。

2、对象性评价策略某种解题思路的优劣，主要取决于解题对象的认知水平、解题经验、策略及非认知因素的协同作用。某种解法对于教师来讲确实妙不可言，但学生一点也不能理解，又怎么能说是最佳呢？对于甲生来说属于一般的思考方法，对于乙生可能就觉得十分独特。因此，解题思路的优劣随解题对象而变异。这就要求教师了解每个学生的思维特点及头脑中认知结构的组织成分，对其解题思路做出“因人而异”的判断，切忌以优秀生的思路水平为标准去要求、衡量一般生及后进生的思路。

3、相对性评价策略某种解题思路的优劣往往是相对的，有的思路独特但计算繁琐；有的计算简便但思路普通；……教师评价时要

从多种不同角度、层次进行分析比较，促其提高。

如，《东方生活报·小学校园文化》2004年第9期的《不同的比较方法》：“两个学生在比赛跳绳。一名男生3分钟跳了297个，一名女生2分钟跳了194个。谁跳得快？”（苏教版小学教科书《数学》第五册第55页第8题）

解法一：先算出两人每分钟各跳了多少个，然后比较：谁跳得个数多，谁就跳得快。

男生每分钟跳297÷3=99（个），女生每分钟跳194÷2=97（个），99>97，因此男生跳得快。

解法二：男生每分钟跳297÷3=99（个），如果他只跳2分钟，共跳99×2=198（个）。男生2分钟跳的198个比女生2分钟跳的194个多，因此男生跳得快。

解法三：女生每分钟跳194÷2=97（个），她如果也跳3分钟，共跳97×3=291（个）。男生3分钟跳的297个比女生3分钟跳的291个多，因此男生跳得快。

解法四：男生每分钟跳297÷3=99（个），如果女生第1分钟与男生跳同样多，她第2分钟只跳了194-99=95（个）。男生第2分钟跳的99个比女生第2分钟跳的95个多，因此男生跳得快。

解法五：女生每分钟跳194÷2=97（个），如果男生第3分钟与女生每分钟跳得同样多，他前2分钟共跳了297-97=200（个），200>194，因此男生跳得快。

解法六：如果算出两个人在同一时间内各自跳的个数，再比较大小，谁跳的个数多谁就跳的快。因为2与3是相邻的两个自然数，所以可以先算出两人分别在6分钟内各自跳的个数，再比较大小。（想想：还可以算出哪些时间内各自跳的个数？）

男生6分钟共跳了297×2=594（个），女生6分钟共跳了194×3=582（个）。（想一想：为什么可以这样列式？）594>582，因此男生跳得快。

当然，可以先算出跳同样多的个数各自用去的时间，然后比较：谁用的时间少反而跳得快。不过，这道题比较复杂、繁琐。

解法一思路清晰，计算简便，后进生能做出解法一，要从根本上加以肯定；解法二、三、四、五适宜中等生；解法六思路新异但较难理解，适宜优等生。

4、多元性评价策略现在有种误解，以为最佳思路仅有一种，否定最佳思路的多元性。其实，在众多解法中，有时往往有几种思路平分秋色，难以说清谁鹤立鸡群，只能模糊地都定为“好解法”而加以肯定。

如，2004年12月17日《小学生数学报》B2版的《装配自行车》：“一个自行车厂要装配32辆自行车，有60个车轮够不够？”（苏教版小学教科书《数学》第五册P7）

解法1：因为每辆自行车要装配2个车轮，所以32辆自行车需要32×2=64个车轮。已有的60个车轮比需要的64个车轮少，因此不够装。

解法2：因为每辆自行车要装配2个车轮，即前后轮各装1个，32辆自行车各装32个前轮、32个后轮，32辆自行车共需要装32+32=64个车轮。60＜64，因此不够装。

解法3：因为每辆自行车要装配2个车轮，所以60个车轮只能装60÷2=30辆自行车。30＜32，因此不够装。

解法4：要装配的32辆自行车，如果每辆自行车先装1个前轮或后轮，共装了32个车轮，准备的60个车轮还剩60-32=28个。剩下的28个车轮再给32辆自行车各装1个后轮或前轮，少4个。因此，要装配32辆自行车，只有60个车轮不够。

上面介绍的加、减、乘、除四种方法，你能说清哪种思路最佳吗？

5、激励性评价策略有些解思路的确不同凡响，赢得师生一致公认为“最佳思路”，教师就应毫不含糊地加以肯定和表扬，通过记优分、用学生姓名命名“鬃解法”等鼓励先进，激励全体学生善于开动脑筋，大胆别出心裁，这样更能有效地训练学生思维，提高思维品质。

如解答装苹果的应用题：“小猴买来一批苹果，每筐装5千克，可以装6筐。现在只有5只筐，把苹果都装上，平均每筐多装多少千克？”（《数学奥林匹克天天练·小学二年级》，南京大学出版社）

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关键词：自主学习合作学习探究学习

我也是经过老教材熏陶过来的学生，记得以前的课堂中无非就是老师讲解，学生的练习模仿为主，很少在课堂上有探索、讨论，甚至于数学游戏的介入等等，而现在我在备课时花得时间最多的就是：考虑以怎样地方法传授知识，既要知识点到位，又要学生喜欢以这样方式来接受知识。所以我认为，新教材给了我们一个充分展示教学技能的平台，我们要选择合理的教学方法，最大限度地来挖掘学生的潜能，培养学生的创新精神，使学生带着“我要学”的思想走进课堂。

本次课程改革的重点之一是如何促进学生学习方式的变革，它关系到我们的教育质量，关系到师生的感情，关系到学生对学习的正确认识。所以我们今天必须倡导的新的学习方式：自主学习、合作学习、探究学习。着眼于学生潜能的唤醒，创新精神的培养，学生的全面发展，促进师生感情的培养，促进学生有特色地发展；关注学生的终身学习的愿望和能力的形成。

一、自主学习

自主学习是就学习的内在品质而言，相对的是“被动学习”、“机械学习”和“他主学习”。

根据国内外学者的研究成果，自主学习概括地说，就是“自我导向、自我激励、自我监控”的学习；行为注意心理学家认为：自主学习包括三个子过程：自我监控，自我指导，自我强化。如果学生在学习活动之前自己能够确定学习目标、制订学习计划，作为具体的学习准备，在学习活动中能够对学习进展、学习方法做出自我监控、自我反馈和自我调节，在学习活动后能够对学习结果进行自我检查、自我总结、自我评价和自我补救，那么他的学习就是自主的。要促进学生的自主发展，就必须最大可能地创设让学生参与到自主学习中来的情境与氛围。

我最近争对220名七年级学生在这方面做了一个问卷调查，在回答①“有没有自己的学习目标、学习计划”A有(占28%)B没有(占63%)C不明白什么意思(占20%)②在回答“觉得订一个学习计划重要吗？”A重要(占90%)B不重要(占3%)C不知道(占8%)由此可见，学生也知道学习目标和学习计划的重要性，就是没有这样概念，这一点必须由老师提出一定的合乎学生实际情况的要求。

在回答“如果一个人在书房里学习，你能集中精神不开小差吗？”A能（占21%）B不能(占22%)C有时能有时不能(占56%)

说明七年级学生的自我监控能力根本不够，这时候应该由父母帮助孩子做好自我监控。

另外老师也应该做好有关的引导工作，例如预习前应该明确目标，可以提出一两个争论的问题，不然学生在预习中根本不知道要学什么东西。比如：在第一章丰富的图形世界“§1.3展开与折叠”，完全可以让学生按照课本做好需要的折纸与正方体平面展开图。“§1.5生活中的平面图形”可以事先让学生在父母的帮助下找找生活中的平面图形，到课堂上再全班交流，这样既能让学生有一定的预习目标，也丰富了课堂教学形式，更深入地了解了数学在生活中无处不在，体现了数学的重要性。

二、合作学习

合作学习是针对教学条件下学习的组织形式而言的，相对的是“个体学习”。合作学习是指学生在小组或团队中为了完成共同的任务，有明确的责任分工的互学习。

在合作学习中由于有学习者的积极参与，高密度的交互作用和积极的自我概念，使教学过程远远不只是一个认知的过程，同时还是一个交往与审美的过程。更有效的促进学生的情感和社会意识方面的发育，而不是单纯集中力量猛抓他的学习。

在回答“你觉得开展合作学习小组讨论后，你的学习兴趣”A增加了（占74%）B减少了(占1%)C不增加也不减少(占25%)在回答“你感觉经过小组合作学习后，对你和同学或老师相处方面有帮助吗？”A有很大帮助（占80%）B有一点点帮助(占18%)C跟原来一样(占2%)

由此可见，学生非常希望、欢迎合作学习，并且要求经常开展课内外合作学习，合作学习能激发学生学习数学的兴趣，对学生学好数学知识有着很大的帮助，合作学习可以改善课堂气氛，促进学生形成良好的非认知心理品质等方面，美国教育评论家埃利斯和福茨断言：“合作学习如果不是当代最大的教育改革的话，那么它至少也是其中最大的之一。”因此数学课要重视开展、努力开展、精心组织好合作学习。

根据合作学习的调查发现，学生也提出了很多好的建议，主要的有这几点如下：

①我的建议是上课开展合作学习小组人员再多些，四五人太少了；有时可以让我在教室走动方便交流意见；

②小组讨论的方式既能让我们把自己的想法在小组内交流得到肯定或否定，又能知道其他人的想法，一举两得，希望能一直坚持下去；

③这样很好啊，本来我是不懂的，经过讨论后马上就理解了，而且想发言的就发言，不用怕被老师叫到而又回答不出；

④讨论时老师要多走动，但不能大声讲话，不要打断我们的思路；

⑤时间再长些，也可以走动；组合人员最好能我们自由组合；

⑥希望多出些题目，让我们好好研究一下；甚至可以让我们拿到课外去完成；

⑦希望课内讨论时间应再长一些，同时老师也应该参与进来，课外也应多开展这样的讨论，老师应多提供这样的机会与问题给我们；

⑧开展合作学习对我有很大益处，我对数学课的兴趣有了很大的提高，很好！

三、探究学习

探究学习即从学科领域或现实生活中选择和确定研究主题，在教学中，创设一种类似于学生（或科学）研究的情境，通过学生自主、独立地发现问题、实验、操作、调查、搜集与处理信息，表达与交流等探索活动，获得知识、技能、情感与态度的发展，特别是探索精神和创新能力的发展的学习方式和学习过程。

长期以来，学生学习似乎与探究(探索、研究)无关，因而我们的学生普遍缺乏独立性和创造性。其实，在我们的数学新教材中，蕴含着许多可以让学生进行研究的小课题，学生在完成小课题时，往往可以进行合作交流，是改善学生学习方式的一个重要方法。

进行数学小课题研究，在内容上要突出应用性和探索性。可以由教师提出与日常生活有关的数学问题，让学生用不同的思路去解决问题；教师可以提供活动情境，让学生试着发现、提出问题并加以研究；还可以提供一些开放性的素材，组织学生自己探索。选材要突出实践性、应用性、创新性和发展性。

小课题的研究内容应与生活密切联系。教师应该根据实际情况设计一些富有创意的小课题。例如：

①查有关数据，比较坐公共汽车与坐出租车的优劣。

②调查了解某项自己常用的食品（比如有色膨化食品）的成分，并估计它对身体的影响；B

③如图，在正方体A点有一群蚂蚁，B点处有一块蜜糖，试问每只蚂蚁都按不同的路线

往蜜糖B处爬行，试问哪只蚂蚁能够最先A

吃到蜜糖，请画出它的路线。

Ⅰ、你能选择不同的几何模型设计几道相似的数学问题吗？并且做出解答；Ⅱ、你能不能得到这一类问题的解答规律吗？