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第十八讲
数列的综合应用
一、选择题
1.(2018浙江)已知,,,成等比数列,且.若,则
A.,
B.,
C.,
D.,
2.(2015湖北)设,.若p:成等比数列;q:,则
A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
3.(2014新课标2)等差数列的公差为2,若,,成等比数列,则的前项和=
A.
B.
C.
D.
4.(2014浙江)设函数,,
,记
,则
A.
B.
C.
D.
二、填空题
5.(2018江苏)已知集合,.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前项和,则使得成立的的最小值为
.
6.(2015浙江)已知是等差数列,公差不为零.若,,成等比数列,且,则
,
.
7.(2013重庆)已知是等差数列,,公差,为其前项和,若成等比数列,则.
8.(2011江苏)设,其中成公比为的等比数列,成公差为1的等差数列,则的最小值是________.
三、解答题
9.(2018江苏)设是首项为,公差为的等差数列,是首项为,公比为的等比数列.
(1)设,若对均成立,求的取值范围;
(2)若,证明:存在,使得对均成立,并求的取值范围(用表示).
10*.(2017浙江)已知数列满足:,.
证明:当时
(Ⅰ);
(Ⅱ);
(Ⅲ).
*根据亲所在地区选用,新课标地区(文科)不考.
11.(2017江苏)对于给定的正整数,若数列满足
对任意正整数总成立,则称数列是“数列”.
(1)证明:等差数列是“数列”;
(2)若数列既是“数列”,又是“数列”,证明:是等差数列.
12.(2016年四川)已知数列的首项为1,为数列的前项和,,其中,
(Ⅰ)若成等差数列,求数列的通项公式;
(Ⅱ)设双曲线的离心率为,且,求.
13.(2016年浙江)设数列{}的前项和为.已知=4,=2+1,.
(I)求通项公式;
(II)求数列{}的前项和.
14.(2015重庆)已知等差数列满足,前3项和.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设等比数列满足,,求前项和.
15.(2015天津)已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,,.
(Ⅰ)求和的通项公式;
(Ⅱ)设,,求数列的前项和.
16.(2015四川)设数列(=1,2,3…)的前项和满足,且,+1,成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列的前项和为,求.
17.(2015湖北)设等差数列的公差为,前项和为,等比数列的公比为,已知,,,.
(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)当时,记=,求数列的前项和.
18.(2014山东)已知等差数列的公差为2,前项和为,且,,成等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令=求数列的前项和.
19.(2014浙江)已知数列和满足.若为等比数列,且
(Ⅰ)求与;
(Ⅱ)设.记数列的前项和为.
(ⅰ)求;
(ⅱ)求正整数,使得对任意,均有.
20.(2014湖南)已知数列{}满足
(Ⅰ)若{}是递增数列,且成等差数列,求的值;
(Ⅱ)若,且{}是递增数列,{}是递减数列,求数列{}的通项公式.
21.(2014四川)设等差数列的公差为,点在函数的图象上().
(Ⅰ)若,点在函数的图象上,求数列的前项和;
(Ⅱ)若,函数的图象在点处的切线在轴上的截距为,求数列
的前项和.
22.(2014江苏)设数列的前项和为.若对任意正整数,总存在正整数,使得,则称是“H数列”.
(Ⅰ)若数列的前n项和(N),证明:
是“H数列”;
(Ⅱ)设
是等差数列,其首项,公差.若
是“H数列”,求的值;
(Ⅲ)证明:对任意的等差数列,总存在两个“H数列”和,使得(N)成立.
23.(2013安徽)设数列满足,,且对任意,函数
,满足
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列的前项和.
24.(2013广东)设各项均为正数的数列的前项和为,满足
且构成等比数列.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.
25.(2013湖北)已知是等比数列的前项和,,,成等差数列,
且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)是否存在正整数,使得?若存在,求出符合条件的所有的集合;
若不存在,说明理由.
26.(2013江苏)设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.
记,,其中为实数.
(Ⅰ)
若,且,,成等比数列,证明:;
(Ⅱ)
若是等差数列,证明:.
27.
(2012山东)已知等差数列的前5项和为105,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)对任意,将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.
28.(2012湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元.
(Ⅰ)用表示,并写出与的关系式;
(Ⅱ)若公司希望经过(≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金的值(用表示).
29.(2012浙江)已知数列的前项和为,且=,,数列满足,.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求数列的前项和.
30.(2012山东)在等差数列中,,
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)对任意的,将数列中落入区间内的项的个数为,求数列的前项和.
31.(2012江苏)已知各项均为正数的两个数列和满足:.
(Ⅰ)设,求证:数列是等差数列;
(Ⅱ)设,且是等比数列,求和的值.
32.(2011天津)已知数列满足,
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设,证明是等比数列;
(Ⅲ)设为的前项和,证明
33.(2011天津)已知数列与满足:,
,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设,证明:是等比数列;
(Ⅲ)设证明:.
34.(2010新课标)设数列满足
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令,求数列的前项和.
35.(2010湖南)给出下面的数表序列:
其中表(=1,2,3
)有行,第1行的个数是1,3,5,,21,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.
(Ⅰ)写出表4,验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表(≥3)(不要求证明);
(Ⅱ)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列1,4,12,,记此数列为,求和:
.
专题六
数列
第十八讲
数列的综合应用
答案部分
1.B【解析】解法一
因为(),所以
,所以,又,所以等比数列的公比.
若,则,
而,所以,
与矛盾,
所以,所以,,
所以,,故选B.
解法二
因为,,
所以,则,
又,所以等比数列的公比.
若,则,
而,所以
与矛盾,
所以,所以,,
所以,,故选B.
2.A【解析】对命题p:成等比数列,则公比且;
对命题,
①当时,成立;
②当时,根据柯西不等式,
等式成立,
则,所以成等比数列,
所以是的充分条件,但不是的必要条件.
3.A【解析】,,成等比数列,,即,解得,所以.
4.B【解析】在上单调递增,可得,
,…,,
=
在上单调递增,在单调递减
,…,,,
,…,
==
=
在,上单调递增,在,上单调递减,可得
因此.
5.27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成,在数列
中,前面有16个正奇数,即,.当时,,不符合题意;当时,,不符合题意;当时,,不符合题意;当时,,不符合题意;……;当时,=
441
+62=
503
+62=546>=540,符合题意.故使得成立的的最小值为27.
6.【解析】由题可得,,故有,又因为,即,所以.
7.64【解析】由且成等比数列,得,解得,故.
8.【解析】设,则,由于,所以,故的最小值是.
因此,所以.
9.【解析】(1)由条件知:,.
因为对=1,2,3,4均成立,
即对=1,2,3,4均成立,
即11,13,35,79,得.
因此,的取值范围为.
(2)由条件知:,.
若存在,使得(=2,3,···,+1)成立,
即(=2,3,···,+1),
即当时,满足.
因为,则,
从而,,对均成立.
因此,取=0时,对均成立.
下面讨论数列的最大值和数列的最小值().
①当时,,
当时,有,从而.
因此,当时,数列单调递增,
故数列的最大值为.
②设,当时,,
所以单调递减,从而.
当时,,
因此,当时,数列单调递减,
故数列的最小值为.
因此,的取值范围为.
10.【解析】(Ⅰ)用数学归纳法证明:
当时,
假设时,,
那么时,若,则,矛盾,故.
因此
所以
因此
(Ⅱ)由得
记函数
函数在上单调递增,所以=0,
因此
故
(Ⅲ)因为
所以得
由得
所以
故
综上,
.
11.【解析】证明:(1)因为是等差数列,设其公差为,则,
从而,当时,
,
所以,
因此等差数列是“数列”.
(2)数列既是“数列”,又是“数列”,因此,
当时,,①
当时,.②
由①知,,③
,④
将③④代入②,得,其中,
所以是等差数列,设其公差为.
在①中,取,则,所以,
在①中,取,则,所以,
所以数列是等差数列.
12.【解析】(Ⅰ)由已知,
两式相减得到.
又由得到,故对所有都成立.
所以,数列是首项为1,公比为q的等比数列.
从而.
由成等差数列,可得,所以,故.
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,.
所以双曲线的离心率.
由解得.所以,
13.【解析】(1)由题意得:,则,
又当时,由,
得,
所以,数列的通项公式为.
(2)设,,.
当时,由于,故.
设数列的前项和为,则.
当时,,
所以,.
14.【解析】(Ⅰ)设的公差为,则由已知条件得
化简得
解得,.
故通项公式,即.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
设的公比为,则,从而.
故的前项和
.
15.【解析】(Ⅰ)设数列的公比为q,数列的公差为d,由题意,由已知,有
消去d,整数得,又因为>0,解得,所以的通项公式为,数列的通项公式为.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)有
,设的前n项和为,则
,
,
两式相减得,
所以.
16.【解析】(Ⅰ)
由已知,有
=(n≥2),即(n≥2),
从而,.
又因为,+1,成等差数列,即+=2(+1),
所以+4=2(2+1),解得=2.
所以,数列是首项为2,公比为2的等比数列,故.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
所以=.
17.【解析】(Ⅰ)由题意有,
即,
解得
或
故或
(Ⅱ)由,知,,故,于是
,
①
.
②
①-②可得
,
故.
18.【解析】(Ⅰ)
解得
(Ⅱ),
当为偶数时
.
19.【解析】(Ⅰ)由题意,,,
知,又由,得公比(舍去),
所以数列的通项公式为,
所以,
故数列的通项公式为,;
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知,,
所以;
(ii)因为;
当时,,
而,
得,
所以当时,,
综上对任意恒有,故.
20.【解析】(I)因为是递增数列,所以。而,
因此又成等差数列,所以,因而,
解得
当时,,这与是递增数列矛盾。故.
(Ⅱ)由于是递增数列,因而,于是
①
但,所以
.
②
又①,②知,,因此
③
因为是递减数列,同理可得,故
④
由③,④即知,。
于是
.
故数列的通项公式为.
21.【解析】(Ⅰ)点在函数的图象上,所以,又等差数列的公差为,所以
因为点在函数的图象上,所以,所以
又,所以
(Ⅱ)由,函数的图象在点处的切线方程为
所以切线在轴上的截距为,从而,故
从而,,
所以
故.
22.【解析】(Ⅰ)当时,
当时,
时,,当时,,是“H数列”.
(Ⅱ)
对,使,即
取得,
,,又,,.
(Ⅲ)设的公差为d
令,对,
,对,
则,且为等差数列
的前n项和,令,则
当时;
当时;
当时,由于n与奇偶性不同,即非负偶数,
因此对,都可找到,使成立,即为“H数列”.
的前n项和,令,则
对,是非负偶数,
即对,都可找到,使得成立,即为“H数列”
因此命题得证.
23.【解析】(Ⅰ)由,
所以,
是等差数列.
而,,,,
(Ⅱ)
24.【解析】(Ⅰ)当时,,
(Ⅱ)当时,,
,
当时,是公差的等差数列.
构成等比数列,,,
解得.
由(Ⅰ)可知,
是首项,公差的等差数列.
数列的通项公式为.
(Ⅲ)
25.【解析】(Ⅰ)设数列的公比为,则,.
由题意得
即
解得
故数列的通项公式为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)有
.
若存在,使得,则,即
当为偶数时,,
上式不成立;
当为奇数时,,即,则.
综上,存在符合条件的正整数,且所有这样的n的集合为.
26.【证明】(Ⅰ)若,则,,又由题,
,,
是等差数列,首项为,公差为,,又成等比数列,
,,,,,,
,().
(Ⅱ)由题,,,若是等差数列,则可设,是常数,关于恒成立.整理得:
关于恒成立.,
.
27.【解析】(Ⅰ)由已知得:
解得,
所以通项公式为.
(Ⅱ)由,得,即.
,
是公比为49的等比数列,
.
28.【解析】(Ⅰ)由题意得,
,
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
.
整理得
.
由题意,
解得.
故该企业每年上缴资金的值为缴时,经过年企业的剩余资金为4000元.
29.【解析】(Ⅰ)由=,得
当=1时,;
当2时,,.
由,得,.
(Ⅱ)由(1)知,
所以,
,
,.
30.【解析】:(Ⅰ)由a3+a4+a5=84,a5=73可得而a9=73,则
,,
于是,即.
(Ⅱ)对任意m∈,,则,
即,而,由题意可知,
于是
,
即.
31.【解析】(Ⅰ)由题意知,
所以,从而
所以数列是以1为公差的等差数列.
(Ⅱ).所以,
从而
(*)
设等比数列的公比为,由知下证.
若,则.故当,,与(*)矛盾;
若,则.故当,,与(*)矛盾;
综上:故,所以.
又,所以是以公比为的等比数列,若,
则,于是,又由,得,
所以中至少有两项相同,矛盾.所以,从而,
所以.
32.【解析】(Ⅰ)由,可得
又,
当
当
(Ⅱ)证明:对任意
①
②
②-①,得
所以是等比数列。
(Ⅲ)证明:,由(Ⅱ)知,当时,
故对任意
由①得
因此,
于是,
故
33.【解析】(Ⅰ)由可得
又
当时,,由,,可得;
当时,,可得;
当时,,可得;
(Ⅱ)证明:对任意
①
②
③
②—③,得
④
将④代入①,可得
即
又
因此是等比数列.
(Ⅲ)证明:由(II)可得,
于是,对任意,有
将以上各式相加,得
即,
此式当k=1时也成立.由④式得
从而
所以,对任意,
对于=1,不等式显然成立.
所以,对任意
34.【解析】(Ⅰ)由已知,当n≥1时,
.而
所以数列{}的通项公式为.
(Ⅱ)由知
①
从而
②
①-②得
.
即
.
35.【解析】(Ⅰ)表4为
1
3
5
7
4
8
12
12
20
32
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别为4,8,16,32.
它们构成首项为4,公比为2的等比数列.将结这一论推广到表(≥3),即表各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为,公比为2的等比数列.
将这一结论推广到表,即表各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为,公比为2的等比数列.
简证如下(对考生不作要求)
首先,表的第1行1,3,5,…,是等差数列,其平均数为;其次,若表的第行,,…,是等差数列,则它的第行,,…,也是等差数列.由等差数列的性质知,表的第行中的数的平均数与行中的数的平均数分别是
,.
由此可知,表各行中的数都成等差数列,且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为,公比为2的等比数列.
(Ⅱ)表第1行是1,3,5,…,2-1,其平均数是
由(Ⅰ)知,它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为,公比为2的等比数列(从而它的第行中的数的平均数是),于是表中最后一行的唯一一个数为.因此
.(=1,2,3,