数学思维的含义范文

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篇1

情境具有强烈的吸引力，对培养学生的数学思维及创造能力有着至关重要的作用。要形成学生主动学习、积极动脑、踊跃参与的课堂教学氛围，教师就必须深入研究教材，突出学生的主体地位，尊重学生的不同观点，鼓励学生想象、质疑甚至标新立异，给予每位学生发表自己见解的机会，最大限度地消除学生的心理障碍。

如讲到“反比例函数的图像上有点A（3，2），求k的值”时，学生通过代入计算，可以求出k的值。如果教师停留在此不再深入讲解求解的技巧，对下面的反比例函数图像中关于面积的题目的讲解起不到帮助作用。所以可以提问：如果A坐标改为（，），赛一赛谁能最快求出k的值？引导学生探索，最终得出：用去分母的办法可得xy=k，即只要是反比例函数图像上的点（x，y），都满足k=xy。

要求学生充分利用这个等式，接下来就可以出题，如：

若反比例函数的图像过点（2，5），则点（ ）也在这个反比例函数的图像上。

A.（10，-1） B.（5，2） C.（1，13） D.（2，-5）

有了上面的引入，这题无需求m的值，即可选出答案B。

二、充分揭示数学思维过程

在反比例函数图像上的点，满足xy=k，在平面直角坐标系的第一象限中可随便描几个在同一反比例函数图像上的点，如图1所示。

图1 图2

在描点的过程中，学生可以看出点A（a，b），B（s，t），ab=k，st=k，就是两个矩形的面积。如果把矩形的一条过原点的对角线连接（如图2所示），则可发现SAOD =SAOE =SBOC =SBOF=。进而让学生考虑：如果画在其他象限内的点，是否也有如上的规律？如果把这条对角线与双曲线的另一支交点也画出，那么这条直线和双曲线构成的是什么图形？这个结论对以后的解题是否有帮助？

教学中引导学生运用逻辑思维、形象思维以及直觉思维等多种思维方式，使题目中的相关信息有序化，通过学生的自主思考产生积极的效果或成果，这种创造性思维能力是正常人通过后天的思考、培养就可以具备的。

三、精选练习，紧扣重点

要培养学生的数学思维能力，教学中就必须采用开放式的教学方法，充分揭示解题的思维过程。因为学生学习的数学知识虽然是前人创造性思维的成果，但是学生作为学习的主体处于再发现的地位，学习活动本质上仍然具有发现和创造的性质，因此解题的思维过程比题目答案本身更应值得重视。

如图3所示，直线l和双曲线（k>0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A，B，P分别向x轴作垂线，垂足分别为C，D，E，连接OA，OB，OP，设SAOC=S1，SBOD=S2，SPOE=S3，试比较S1，S2，S3的大小： 。

解答：经过上面知识的学习，如图4所示，因为点A、B在双曲线上，所以S1=S2=。而点P不在反比例函数的图像上，所以S3≠，设PE与双曲线交点为F，连接OF，SOEF=。所以S3>，答案是S1=S2

图3 图4 图5

如图5所示，正比例函数y=x与反比例函数的图像交于A、C两点，ABx轴于B，CDx轴于D，则ABCD的面积= 。

分析：由上面的讨论，直线、双曲线都是中心对称图形，如果一条经过原点的直线和双曲线相交则还是构成中心对称图形，因此A、C两点关于原点成中心对称，即AB与CD平行且相等，则四边形ABCD为平行四边形，那么对角线AC、BD则把ABCD面积四等分。

解答：SABCD是4个AOB的面积，SAOB==，答案是4×=2。

著名德国数学家希尔伯特在哥廷根大学任教时，常常在课堂上即兴提出一些新的数学问题，并立即着手解决。虽然他并非每次都能得到圆满的解答，甚至有时把自己“挂”在黑板上，但他发现的思维过程却使学生受益匪浅。我国数学家华罗庚教授在自己的教学生涯中，也一向重视概念产生、命题形成及思路获得的思维过程的教学，并着意回答学生提出的“你是怎样想出来的”一类问题。这些事例充分说明了展现数学思维过程对于培养学生数学思维的重要作用。

四、激发学生的好奇心、求知欲

李政道说：“好奇心很重要，有了好奇心，才敢提出问题。”教师最重要的一项职责就在于，要把学生的好奇心引导到探求科学知识上去，使这种好奇心升华为求知欲，从而激发学生自主学习的积极性。

经过上面几道求面积的题目训练后，对于下面几题，学生们应该跃跃欲试了。

图6

如图6所示，在反比例函数（x>0）的图像上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4。分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3= 。

解答：可利用面积割补法，把S1，S2，S3放到由P1与x、y轴构成的矩形中，而由P4与x、y轴构成的矩形被四等分，得出S1+S2+S3=SAP1BO=2-0.5=1.5。

如图7所示，两个反比例函数和（其中k1>k2>0）在第一象限内的图像依次是C1和C2，设点P在C1上，PCx轴于点C，交C2于点A，PDy轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为_________。

图7

解答：构成的阴影部分面积，正好是矩形面积减去两个直角三角形面积，即k1-k2。

教学过程中，只有通过选择和安排合理的、有引导性的问题，才能不断激发学生的好奇心与求知欲。一个恰当而富有吸引力的问题往往能拨动全班学生思维之弦，奏出一曲耐人寻味，甚至波澜起伏的大合唱。因此善问是数学教师的基本功，也是所有数学教育家十分重视并长期研究的一项课题。

五、结束语

数学教学中只有培养学生的“爱学”态度、“乐学”情绪、“会学”技巧、“自学”能力，突出“优化思维品质，培养思维能力”，开阔视野，理论联系实际，培养解决问题能力，才能使学生更适应社会发展。

参考文献

[1] 任樟辉.数学思维理论[M].南宁：广西教育出版社，2001.

[2] 李玉琪.中学数学教学与实践研究[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3] 傅海伦数学教学论[M].北京：科学出版社，2004.

[4] 肖利民.数学教学与学生创造思维能力的培养的影响[J].濮阳教育学院学报，2003（2）：51-52.

[5] 谢传建.浅谈数学教学中创造思维能力的培养[J].福建教育学院学报，2003（3）：62.

篇2

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数

关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：

S=x（50-x）

故函数关系式为：S=x（50-x）。

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0＜x＜50。

即：函数关系式为：S=x（50-x）（0＜x＜50）。

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：

例2：求函数y=x -2x-3在［-2，5］上的最值。

解：y=x -2x-3=（x -2x+1）-4=（x-1） -4

当x=1时，y =-4

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。

其实以上结论只是对二次函数y=ax +bx+c（a＞0）在R上适用，而在指定的定义域区间［p，q］上，它的最值应分如下情况：

（1）当- ＜p时，y=f（x）在［p，q］上单调递增函数f（x） =f（p），f（x） =f（q）；

（2）当- ＞q时，y=f（x）在［p，q］上单调递减函数f（x） =f（p），f（x） =f（q）；

（3）当p≤- ≤q时，y=f（x）在［p，q］上最值情况是：

f（x） =f（- ）= ，

f（x） =max{f（p），f（q）}。即最大值是f（p），f（q）中最大的一个值。

故本题还要继续做下去：

-2≤1≤5

f（-2）=（-2） -2×（-2）-3=-3

f（5）=5 -2×5-3=12

f（x） =max{f（-2），f（5）}=f（5）=12

函数y=x -2x-3，在［-2，5］上的最小值是-4，最大值是12。

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例3：求函数y=4x-5+ 的值域。

错解：令t= ，则2x=t +3，

y=2（t`+3）-5+t=2t +t+1=2（t+ ） + ≥ 。

故所求的函数值域是［ ，+∞）。

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t +t+1在［0，+∞）上是增函数，

所以当t=0时，y =1。

故所求的函数值域是［1，+∞）。

以上例子说明，变量的允许值范围是何等重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点呈中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。

综上所述，在求解函数函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析的能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生的思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。

参考文献：

［1］王岳庭主编.数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集.北京：海洋出版社，1998.

篇3

在数学教学中往往会出现求解函数的关系式，遇到这样问题时如果忽视了所求函数关系式的定义域，将会使求解函数出现错误的结论。

例1：用长14.8m的钢条来制作一个长方体容器的框架，若所制容器底面一边长为x，且比另一底边小0.5m，求容积V关于边长x的函数关系式。

解：设容器高为h，则4（x+0.5+x+h）=14.8，所以h=3.2-2x

V=x（0.5+x）（3.2-2x）=-2x■+2.2x■+1.6x

本题解答到这里并没有结束，从题目中我们不难发现函数关系式还缺少自变量x的取值范围。此时如果引导学生注意解题思路的严密性，强调函数三要素，学生将会有所发现：

因为边长x和x+0.5以及高h均大于0，所以由：

x>0x+0.5>03.2-2x>0得：0

学生思维一旦缺乏严密性，就很容易忽视函数自变量定义域，所以在用函数方法解决实际问题时，务必注意函数自变量的取值范围对实际问题的影响，对学生加强必要引导和训练。

二、利用函数最值与定义域，培养思维灵活性

数学函数求最值的问题充分体现函数定义域的重要性。如果忽视定义域，将会导致最值的错误。

例2：已知函数f（x）=■，x≥1

（1）当a=■时，求f（x）的最小值。

（2）若对任意x≥1，f（x）>0恒成立，求实数a的取值范围。

分析：此题第（1）问，学生会产生三种思路：①利用单调性的定义证明f（x）的单调性再求最值；②利用导数判断函数的单调性再求最值；③利用均值不等式求最值。而前两种方法都较为繁琐，所以学生很容易偏向第三种解法。

错解：（1）a=■时，f（x）=■=x+■+2≥2■+2=2+■，当且仅当x=■时，即x=±■时，f（x）■=2+■

剖析：尽管学生想到了均值不等式这样简洁的方法，但是忽视了均值不等式的应用条件和函数的定义域。因为±■ 1，+∞，所以“=”取不到，故此解法错误。

（2）在（1）的教训下，学生在解答这一小题时开始注意到“x≥1”这个条件，于是作如下解答：

由f（x）>0恒成立且x≥1可得x■+2x+a>0恒成立，由二次函数的知识可知，只需要令

或者作如下解：

若x■+2x+a>0恒成立，则a>-x■-2x恒成立，则只需要令a大于-x■-2x的最大值即可。又-x■-2x=-（x+1）■-1≤-1，所以a>-1。

但是这两个答案都是错的，都是没能把定义域考虑完全，尽管在开始的变形与转化中已经注意到这个问题，但是随着解题的深入，在思维定势的影响下，定义域又忘了。

正解：思路一，x≥1，若f（x）=■>0恒成立，则只需要x■+2x+a>0恒成立，二次函数g（x）=x■+2x+a在[1，+∞）上递增，若在x≥1时，g（x）恒大于0，则只需要g（1）>0。3+a>0，即a>-3。

思路二，由x■+2x+a>0恒成立可得a>-x■-2x恒成立，设g（x）=-x■-2x，其中，x≥1，则只需要a>g（x）■=g（1）=-3，所以a>-3。

由此我们可以发现，学生在解题过程中的思维严密性和灵活性不是短期内就能养成的，这时，教师应当提醒学生注意自变量的取值范围，这样就可以打破学生的思维定势，提高其灵活性。

三、利用函数值域与定义域的关系，培养思维批判性

在数学函数中当定义域和对应法则确定下来，函数的值也将会随之而确定。因此，我们在解答函数值域的问题时，要高度重视函数定义域的问题。

例3：已知函数f（x）=sinxcosx-sinx-cosx，求f（x）的值域。

错解：设sinx+cosx=t，则sinxcosx=■，所以，f（x）=g（t）=■t■-t-■=（t-1）■-1≥-1，故f（x）的值域为[1，+∞）。

剖析：换元后sinx+cosx=t=■sin（x+■）-■≤t≤■

g（t）■=g（-■）=■+■，g（t）■=g（1）=-1

f（x）的值域是[-1，■+■]。

自变量的取值范围对函数值域非常重要，因此，教师要能够严格要求学生对做完的习题进行检验，发现和修订错误，从而培养学生良好的学习习惯，提高学生思维的批判性和严谨性。

四、利用函数单调性与定义域，培养思维深刻性

在解答函数习题时，千万不能忽略函数的单调性，应强调在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随之增减的情况，讨论函数单调性在给定的定义域区间上的变化情况。

例4：指出函数f（x）=■的单调区间。

解：先求定义域：log■（x■2x）≠0，x■2x≠1

又x■2x>0，所以函数定义域为：

（-∞，1-■）∪（1-■，0）∪（2，1+■）∪（1+■，+∞）

设u= x■-2x，则u在（-∞，1-■）和（1-■，0）上递减，在（2，1+■）和（1+■，+∞）上递增。根据复合函数单调性的判断方法，可知f（x）的单调减区间是（-∞，1-■）和（1-■，0）；单调增区间是（2，1+■）和（1+■，+∞）。

篇4

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误.如：

例1 某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：

S=x(50-x)

故函数关系式为：S=x(50-x)．

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围.也就说学生的解题思路不够严密.因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0＜x＜50

即：函数关系式为：S=x(50-x)（0＜x＜50）

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响，要跳出数学看数学，培养思维的广阔性.

2． 注重思维的严密性

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题.如果不注意定义域，将会导致最值的错误.如：

例2 求函数y=x2-2x-3在［－2，5］上的最值．

解：y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-4

当x=1时，ymin=-4

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值.产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化.这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性.

其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)在R上适用，而在指定的定义域区间［p,q］上，它的最值应分如下情况：

(1) 当-b2a＜p时，y=f(x)在［p,q］上单调递增函数f(x)min=f(p),f(x)max=f(q)；

(2) 当-b2a＞q时，y=f(x)在［p,q］上单调递减函数f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；

(3) 当p≤-b2a≤q时，y=f(x)在［p,q］上最值情况是：

f(x)min=f-b2a=4ac-b24a，

f(x)max=max{f(p),f(q)}．即最大值是f(p),f(q)中最大的一个值.

故本题还要继续做下去：

-2≤1≤5

f(5)=52-2×5-3=12

f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=-3

f(x)max=max{f(-2),f(5)}=f(5)=12

函数y=x2-2x-3在［－2，5］上的最小值是－ 4，最大值是12．

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的严密性.

3． 挖掘思维的深刻性

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定.因此在求函数值域时，应注意函数定义域.如：

例3 求函数y=4x-5+2x-3的值域．

错解：令t=2x-3，则2x=t2+3

y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=2t+142+78≥78

故所求的函数值域是78,+∞．

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在［0,+∞)上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1．

故所求的函数值域是［1, +∞）．

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生.也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维的深刻性.

4． 植入思维的批判性

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行.如：

例4 指出函数f(x)=log2(x2+2x)的单调区间．

解：先求定义域：

x2+2x＞0 x＞0或x＜-2

函数定义域为(-∞,-2)∪(0,+∞)．

令u=x2+2x，知在x∈(-∞,-2)上时，u为减函数，

在x∈(0,+∞)上时， u为增函数.

又f(x)=log2u在［0,+∞)是增函数．

函数f(x)=log2(x2+2x)在(-∞,-2)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数.

即函数f(x)=log2(x2+2x)的单调递增区间(0,+∞)，单调递减区间是(-∞,-2).

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏批判性.

5． 利用思维的灵活性

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈.否则要用奇偶性定义加以判断.如：

例5 判断函数y=(x-1)2x-1+1的奇偶性．

解：定义域为{x｜x≠1}

定义域关于坐标原点不对称

函数函数y=(x-1)2x-1+1是非奇非偶函数．

若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：

f(-x)=-x=-f(x)

函数函数y=(x-1)2x-1+1是奇函数．

错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因.

综上所述，在求解函数函数关系式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的灵活性.

篇5

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1002—7661（2012）20—265—02

言语是个体借助语言材料传递信息，交流思想，表达自己的情感，和影响别人的过程。言语不能离开语言材料、语法结构而独立存在。数学言语离不开数学语言。数学语言比较枯燥乏味，所以，培养数学语言比培养语文语言要难得多。

长期以来，人们总认为发展语言能力，是语文学科的任务，其实不然。掌握言语，也是学习数学学科的必要手段，因此，在儿童入学以后，也要在数学教学中培养小学生的言语能力，才能提高学生数学方面的思维素质，很多儿童在数学学习上落后，尤其是低年级，常常是和数学方面的言语掌握得不好有很大的关系。

人的思维和言语是紧密联系在一起的，数学言语的发展，能提高数学概括水平，数学的概念，定理，公式，法则都是抽象的，是概括出来的，思维具有概括性，所以，提高了言语的发展水平，将会提高概括水平，也就提高了思维素质。

为什么要训练小学生数学方面的语言能力，这可以从下面的几个方面来概括说明。

1、开发大脑功能，提高智力水平 现代科学研究揭示，大脑左右半球各有分工：右半球具有形象，灵活，综合等形象思维的优势；左半球具有语言、计算逻辑、分析思维的优势。小学生必须在掌握了一定的数学语言规律后才能独立思考数学问题。

2、训练数学言语，有利于分析解题思路 很多学生能解题，但说不出其中的道理，或者说不准其中的理由，这不利于学生之间的情感交流，这是学生的数学言语未能得到发展的原因，而说不出或说不准道理，又会阻碍对数学的学习。

3、要提高解题能力，就要提高理解能力 数学离不开解题。理解能力强的学生，一般来说，成绩较好，相反，理解能力差的学生，能力较差。

4、训练数学言语，有助于学生总结学习经验 探索学习规律；有助于学生为将来写论文打下良好的基础，有助于老师得到学生准确的信息反馈，培养学生创造性思维，分析解题思路，只有把教学方法与学习方法有机地结合起来，才能大面积地提高教学质量。

5、小学一年级学生理解数学言语特别重要 小学一年级的数学，本来是很简单的，但他们也不是人人都能学好，一个极大的原因就是他们未能理解言语。

言语分为口头言语、书面言语和内部言语。

如何训练学生的数学言语，下面试谈我的看法。

一、训练学生的口头言语，主要从听和说两方面来加以论证

1、训练学生的口头言语 对老师本身来说，要尽量为学生营造良好的言语环境 老师的语言，应该是规范的，不能采用生僻的词语，老师在备课中，要备语言，怎样提问，怎样启发，都要写在教案本上。

2、小学生学习数学语言，应从模仿开始 刚入学的儿童老师要把数学语言说给学生听，再用本地话来解释。如：罗马人的“计算”一词与“石块”是同一个词，因为当时人们的计算是离不开石块的；有些民族的“计算”一词与“手指”是同一个词。因为人们常常用手指来帮助计算。又如：“一共”在本地是怎样解释的，先让学生与本地的某个意思对号入座，不然，不是讲普通话方言的学生就无法理解“一共”的含义。老师讲了某个数学名词术语后，再让学生复述这个名词术语及其意义，让学生模仿老师的语言。

3、老师操作教具作示范，让学生口述操作过程，这有利于培养学生认真看和口述事物发展的顺序，有利于明确算理 教学一年级学生读题，同教学语文一样，让学生跟老师读，读了以后，再让学生自己读，随着年龄的增长，要求学生自己多读数学课本，不要认为只有语文才要读，对概念，定理，法则要多读，甚至背熟，对简单的应用题，由老师经常念题，学生听，听后就做出来，这也有利于培养学生专心致志地听的习惯。

4、比较难理解的句子，要让他们多读句子的解释 如：“甲数比乙数多20%”，这样的句子，大多数学生都说不清楚它的含义，老师给他们解释后，要让他们多读，以便举一反三，它的含义是：“甲数比乙数多的数量是乙数的20%”。

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概念口语训练的主要内容有数和形的含义、数的组成的读法和写法。训练重点应放在概念含义的形成过程和应用过程的表述上。教师可以在学生有一定感知基础上，由扶到放，达到理解概念的含义。例如第一册加法意义的教学。教师创设情境，借助生活让学生懂得如何说，如2+1，可以设计成2只兔子在一块圆形的草地上吃萝卜，教师用圆圈将草地圈上，再出现1只兔子跑进来也要吃萝卜，外面再来一个大圈。这时，教师问学生共有多少只兔子要吃萝卜（让学生体会共有多少个就是把它们合并起来）。这样的引导，一年级的学生就能很快复述把2只兔子和1只兔子合并在一起，求一共是多少只，用加法计算。“+”号表示合并的意思。低年级的学生抽象形象比较差，生活情境可以让他们明白加法概念的含义，虽然教师没有明白说这是概念的含义，但学生可以根据情境来复述加法计算的过程，如果学生在复述时表达不清，教师只要适当点拨就行。

数的含义和运算意义的应用过程，要训练学生看到一个数或一个运算式子，能够在头脑里把抽象概括出来的一般概念与理论，与具体事物联系起来，这是认识过程的第二次飞跃。如看到一个小数或算式，就能讲出它的含义。

二、计算训练重在算理

计算口语训练的主要内容有口算的思维过程和笔算的算理算法。每个学生在口算时都有自己的一个策略，但这个策略有一定的算理在里面，离开了算理，学生口算就会出现错误，教师要重视算理的传授，鼓励学生将怎样算的过程讲出来。如7+5=（ ），这是一年级学生最常要算的口算题，它的算理是凑十法，如何让学生快速凑十，教师要引导学生口述计算过程：7和几凑成10（7和3凑成10），把5分成3和2，7加3得10， 10再加2得12，所以7加5等于12。训练时应注意：1.先理后法，即先理解算理，后概括口算方法。2.先详后略，即先讲详尽的思维过程，再简要说明过程。如上面凑十法的口算过程，当学生说得较熟练时，可以让学生简单说：7+3=10，10+2=12。最后直接说出得数。3.先要求口算达到正确，再要求口算达到迅速。

三、应用题训练重在思路

应用题口语训练的内容有“四讲”。

1.讲题意。先是读题训练。“读”是思维的第一步，是获取信息的阶段。要求学生读得正确、清楚，不漏字、不加字、不读破句子。再是讲题意训练，训练学生用自己的话来复述题意。

2.讲分析数量关系的过程。这是口语训练的重点。数量关系是应用题的难点，只有让学生明白已知条件和问题之间的关系，学生解答时才能变得简单，再难的应用题也是由简单的组合而成的。应用题的算理训练的重点放在两个转化上，一个是把应用题中的日常语言转化为数学语言；二是把数学语言转化为数学式子。如分析“王老师买了32支铅笔，要平均奖给8个同学，每个同学可以得到几支”。学生刚接触这类题目时，教师在引导时要启发学生：把32平均分成8份，每份是几，就是每个同学得到的支数。根据“要分的总数作被除数，平均分的份数作除数”，列式成32÷8。复合应用题分析数量关系的重点放在讲思路上。常用的解题思路有综合法、分析法和分析综合法三种。综合法是从条件想起，常用的思路提示语是“知道了……和……可以求出……”；分析法是从问题想起，常用的思路提示语是“要求……，必须知道……和……”；分析综合法常用的思路提示语是“最后问题的数量关系式是什么”、“这个关系式中哪个数量是已知的，哪个是未知的”、“根据已知条件什么和什么，可以求出未知数量什么”。

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一、数学阅读的特性

首先，由于数学语言的高度抽象性，数学阅读需要较强的逻辑思维能力。在阅读过程中，必须感知材料中的数学术语和符号，并能分析它们之间的逻辑关系，最后达到对材料的理解，形成知识结构，这里面就需要逻辑思维和推理能力。

其次，数学语言的特点也在于它的精确性，每个数学概念、符号、术语都有其精确的含义，没有含糊不清和易产生歧异的词汇，数学中的结论错对分明，所谓一字之差谬以千里。当一个学生试图阅读、理解一段数学材料或一个概念、定理或其证明时，他必须了解其中出现的数学术语和每个数学符号的精确含义，不能忽视或略去任何一个不理解的词汇。因此，浏览、快速阅读方式不太适合数学阅读学习。

第三，数学阅读要认真细致。由于数学知识的逻辑严谨性及数学“言必有据”的特点，要求对每个句子、每个名词术语、每个图表都应细致的阅读分析，领会其内容、含义。对新出现的数学定义、定理一般不能一遍过，要反复仔细阅读，并认真分析直至弄懂含义。数学阅读必须勤思多想。

第四，数学阅读过程中语意转换频繁，要求思维灵活。数学阅读重在理解领会，而实现领会目的的行为之一就是把阅读交流内容转化为易于接受的语言形式。例如：把一个抽象表述方式阐述的问题转化为用你自己的语言；把符号形式和图表表示的关系转化为言语的形式以及把言语形式表述的关系转化为符号和图表形式；把一些用语言形式表述的概念转化为用直观的图形表述形式；用自己更清楚的语言表述正规定义或定理。

学生的数学语言特点及掌握数学术语的水平，是其智力发展和接受能力的重要指标。因此，重视数学阅读，丰富数学语言系统，提高数学语言水平有着重要而现实的教育意义。那么在新课改中，帮助学生提高数学阅读水平就至关重要。

二、培养数学阅读能力的策略

1.在概念中寻找阅读的突破口。引导学生读概念，对数学概念必须理解每个字的含义，会用正确的语言叙述，能举出符合含义的例子，对别人所举例子会根据概念的定义判断是否正确。

2.在定义、定理及公式的教学中培养阅读能力。要分清定义、定理及公式的条件、结论以及适用范围，要掌握推导的思路和方法，在参与推导的过程中要提高抽象思维能力。数学定义、定理是数学基础知识面的重要组成部分，是培养学生数学阅读能力的最佳教材：准确的定义、逻辑的演绎，严密的推理，只有通过学生的阅读学生才能从死的语言物质材料中解脱出来。在阅读过程中，学生必须认读感知定理公式中有关的数学术语和符号，理解每个术语和符号，并能正确依据数学原理分析它们之间的逻辑关系，运用已有的知识，把它与新的印象联系起来，同化形成自己的知识结构，最后达到真正掌握定理、公式。

3.在数学例题中培养学生的阅读能力。引导学生读例题，要审清题意，自己先尝试解答，而后与课本上的解答作对照，若自己错了，就要找出错误原因；若对了，就要看自己的解答和课本上有什么不同，哪一种方法更好，对一组相关联的例题要相互比较，着力寻找，领悟解题规律，掌握规范书写格式。在培养学生阅读几何证明的能力时，我按以下步骤进行：

①先看证明内容，明确各个条件，不看证明过程；②根据题目的条件、结论进行合情猜想，试着用猜想的证明途径和方法进行证明；③若证明出来了再阅读课本证明，并将自己的证明与之对照，依照课本-证明过程修正自己的证明，看看是否不严密，格式是否规范，从中吸取经验；④若思想方法不同，试比较优劣，体会方法；⑤若证明不出来，就阅读课本，在适当的地方暂停，再次启动思维，试着完成后半部分的证明。

在解决梯形的有关问题时，结合例子引导学生归纳出添加适当辅助线，把梯形问题转化成三角形或平行四边形的问题，从而化新为旧，变陌生为熟悉。

4.在阅读中训练学生克服消极定势思维的影响。在长期的学习中，人们的思维会形成定势，积极的思维定势对解题是有帮助的，让人思维顺畅，但消极的思维定势却会产生误导，这就提醒我们，不要因为题目简单、熟悉而麻痹大意，陷入定势思维的误区。

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北师大版的教材和人教版教材是全国范围内使用较为广泛的两个版本，将这两个具有代表性的版本进行比较，是希望通过两者理念、经验方面的碰撞，达到相互借鉴、取长补短的目的，为教师教学资源的选择以及教学设计工作提供参考和建议。

一、两版本教材比较

（一）相同点

1.内容安排位置大致相同

《绝对值》是在引入有理数和数轴以及相反数等基本概念后又一探究、学习的重要内容，一方面，数轴的概念、画法、利用数轴比较数的大小及相反数的概念为本节内容奠定了基础；而另一方面，在有理数运算以及后面根式内容中，都是以绝对值的知识为基础的，因此绝对值的知识起着承上启下的作用，是对数的扩充后相关概念的完备与补充为后续的研究提供条件。两个版本均将这部分内容置于绝对值都安排在相反数和加减法之间。

2.两版本教科书呈现“绝对值及其含义”的路径基本一致

北师大版呈现“绝对值及其含义 ”的路径：

生活中的距离问题文字语言描述绝对值定义绝对值的符号语言用文字语言表述绝对值的代数含义。

人教A版呈现“函数及其含义”的路径：

卡通形象的距离问题借助字母描述绝对值定义绝对值的符号语言用文字语言归纳绝对值的代数含义绝对值代数含义的符号语言。

3.情境引入问题的设计理念大致相同

北师大版与人教版都是借助从实际生活情境中行驶问题抽象出的数轴关注点与点的距离这一核心概念。这样的处理体现出这两个版本的编者运用直观手段本身来进行数学研究的理念。

（二）两版本的不同点

1.绝对值的定义表述不同

北师大版中的绝对值定义：“在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值”；人教版中的绝对值定义：“一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值”。北师大版对绝对值定义的表述简洁、直接，而人教版的定义表述借助字母a这一符号化的表示来定义绝对值，定义中有明确的对象，并且是这一字母具有实际的取值范围，便于师生、生生的表达，交流。

2.绝对值的符号化表示的过程、举例不同

北师版中：“＋2的绝对值等于2，记作＋2=2，－3的绝对值等于3，记作－3=3”，直接将绝对值的文字语言转化为符号语言，―正、一负两个数的绝对值，应用绝对值的几何含义求出例题中各数的绝对值，并考虑“一个数的绝对值与这个数有什么关系”，由此归纳出绝对值的分类情况。人教版利用绝对值的定义直接将数a的绝对值符号化，并且继续列举如下：“A、B两点分别表示10和－10，它们与原点的距离都是10个单位长度，所以10和－10的绝对值都是10，即10=10，－10=10。显然0=0”。“数学知识的形成依赖于直观”，[6]运用绝对值的较为直观的几何含义分别求出这三个数的绝对值，在此基础上直接将文字语言符号化，经历了两次抽象的过程，第一次运用绝对值的几何含义得到各数的绝对值并用文字语言表述，第二次将绝对值的文字语言符号化表示出来。这样的过程增加了概念中的直观性与抽象性直接的联系与转化，“就数学而言，直观与抽象不是对立的，它们从来都是它的双翼”，突出了概念的双向性，加深了学生对于绝对值概念的理解和掌握。符合“通过数形结合的方法实现抽象与具体之间的转化”的原则。七年级学生对数学中的符号语言刚刚接触，学习时理解很困难，建议北师版教材设计时，突出概念的几何含义，在学生的深刻理解绝对值的几何含义后，再利用概念的几何含义求数的绝对值。

3.绝对值的代数含义探索及归纳过程不同

北师大以一正一负两个数为例，在此基础上提出思考“互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？”，用具有较为一般性的例子，再指向具有特殊性的两个互为相反数的绝对值的代数含义的探究，接着以求两负一正，及0等四个数的绝对值，在经历了一个思考一道例题的探求过程后，提出“一个数的绝对值与这个数有什么关系？”的讨论，归纳出绝对值的代数含义。人教版在经历一对相反数＋10、－10的绝对值的表示及结果后，直接归纳出绝对值的代数含义，此过程没有太多的过程与练习，寥寥数语就得出绝对值的代数含义，整个过程简短，学生对数学知识的掌握也要经历量变到质变的过程，建议教学时解决练习1后再归纳绝对值的代数含义。

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一谈及阅读，人们联想的往往是语文阅读，然而，随着社会的发展、科学技术的进步及“社会的数学化”，仅具语文阅读能力的社会人已明显地显露出其能力的不足，如他们看不懂某些产品使用说明书，看不懂股市走势图，等等。此即表明，现代及未来社会要求人们具有的阅读能力已不再只是语文阅读能力，而是一种以语文阅读能力为基础，包括外语阅读能力、数学阅读能力、科技阅读能力在内的综合阅读能力。因此，在只重视语文阅读能力培养的当今学校教育中，加强学科阅读教育研究，探索学科阅读教学的特殊性及教育功能，认识学科阅读能力培养的重要性，就显得尤为重要。这里就数学阅读的特殊性谈谈看法。

数学阅读的特殊性：

数学是一种语言，“以前，人们认为数学只是自然科学的语言和工具，现在数学已成了所有科学――自然科学、社会科学、管理科学等的工具和语言”。不过，这种语言与日常语言不同，“日常语言是习俗的产物，也是社会和政治运动的产物，而数学语言则是慎重地、有意地而且经常是精心设计的”。因此，美国著名心理学家布龙菲尔德说：“数学不过是语言所能达到的最高境界”。更有前苏联数学教育家斯托利亚尔言：“数学教学也就是数学语言的教学”。而语言的学习是离不开阅读的，所以，数学的学习不能离开阅读，这便是数学阅读之由来。

数学阅读过程同一般阅读过程一样，是一个完整的心理活动过程，包含语言符号（文字、数学符号、术语、公式、图表等）的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等各种心理活动因素。同时，它也是一个不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程。但由于数学语言的符号化、逻辑化及严谨性、抽象性等特点，数学阅读又有不同于一般阅读的特殊性，认识这些特殊性，对指导数学阅读有重要意义。

首先，由于数学语言的高度抽象性，数学阅读需要较强的逻辑思维能力。在阅读过程中，读者必须认读感知阅读材料中有关的数学术语和符号，理解每个术语和符号，并能正确依据数学原理分析它们之间的逻辑关系，最后达到对材料的本真理解，形成知识结构，这中间用到的逻辑推理思维特别多。而一般阅读“理解和感知好像融合为一体，因为这种情况下的阅读，主要的是运用已有的知识，把它与新的印象联系起来，从而掌握阅读的对象”，较少运用逻辑推理思维。

其次，数学语言的特点也在于它的精确性，每个数学概念、符号、术语都有其精确的含义，没有含糊不清或易产生歧义的词汇，数学中的结论错对分明，不存在似是而非模棱两可的断言，当一个学生试图阅读、理解一段数学材料或一个概念、定理或其证明时，他必须了解其中出现的每个数学术语和每个数学符号的精确含义，不能忽视或略去任何一个不理解的词汇。因此，浏览、快速阅读等阅读方式不太适合数学阅读学习。

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中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2013）05-0163-01

初中数学学习是学生学习的一个组成部分，显然，它具有学生学习的一般任务和特点。但是由于数学的对象、内容和方法具有高度抽象性、逻辑严谨性，应用广泛性的特点，它在学生学习中占有特别重要的地位和作用。数学知识和数学方法是学习其它学科，特别是理科的必要基础和工具。因此，初中数学的学习任务和学习方法都有其特点。

初中数学学习的主要任务是：（1）学好数学基础知识和技能，包括初中数学中的数学概念、公式、定理、方法、数学语言等的理解和运用；（2）掌握数学思想方法，提高抽象思维能力，逻辑思维能力，空间想象力，独立获取数学知识的能力，使用数学工具和仪器的能力和数学解题能力；（3）形成辩证唯物主义的观点，提高学习数学的兴趣，养成刻苦钻研，善于思考的学习习惯。

1.初中数学学习的三个特点

1.1数学学习是一种比较抽象的、积极的智力活动。由于数学内容是在人们对现实的空间形式和量的关系的感性认识基础上，经过多级抽象概括，甚至把它们理想化、纯粹化、形式化成为表面上好像与客观实际完全无关的符号和图形。它们都是不能单纯用感觉器官去觉察的，必须通过思维才能理解。另外，初中数学内容是采用公理法思想运用逻辑方法来论述的。学生掌握数学概念、公式、定理和方法时，必须通过他们自己去观察、比较、抽象、概括、分析、综合、归纳、演解、推理、判断、想象等一系列的复杂的思维活动过程。因此，数学学习特别需要运用抽象逻辑思维能力和空间想象力。反过来，如果学习数学时，对数学知识能够做到知道、理解、会用、系统化、沟通综合、迁移、推广、创新，必然在掌握数学知识技能的同时，有利于提高学生数学思维能力，发展智力。有人把数学学习譬喻为"思维的体操"就是反映数学学习的智力活动。

1.2数学学习发展规律与数学历史发展过程相类似。从初中数学的对象来看，初中数学内容的安排，基本上与数学历史发展过程相类似。先学习初等数学中的算术、代数、几何知识，主要是常量数学的内容，接着学习函数（主要是初等函数），解析几何，微积分的知识，主要是变量数学的内容。初中学习常量数学时，所运用的思想方法主要是形式逻辑的基本规律（同一律、矛盾律、排中律、充足理由律）和思维形式。可是，学生学习变量的内容必须运用运动、变化、发展、对立统一等辩证观点去考察数学对象。因此，教学思想方法从形式逻辑的思维形式发展到辩证逻辑的思维形式是数学思维发展的一个转折点，对初中生学习来说，也是一个重要的关头。

1.3数学学习具有广泛联系的特点。我们知道，数学对象普遍存在，数学概念、公式、定理、方法总是表现于非常抽象的形式，但是它们都有客观的基础和现实的来源，它们都反映丰富的具体的实际内容。特别是初中数学许多内容与客观实际的事物形象和数量关系有直接的联系，许多数学概念和方法都有各式各样的具体的现实模型。数学方法的应用已经深入到人们生活、社会、生产以及各个学科的领域。数学与学生学习的各门科学知识都有直接的或者间接的联系，特别与自然科学的学习有密切的关系，数学思想方法又可以迁移到其它学科的学习。因此，数学学习要广泛的联系学生生活实际，数学知识的实际应用，特别要广泛联系其它学科的学习，所以，数学学习具有广泛联系的特点。

2.初中数学学习的四点要求

2.1学习数学要充分发挥主观能动性。数学学习既然是一种比较抽象的积极的智力活动，在数学学习过程中，不仅要学好数学基础知识的基本技能，更要锻炼数学思维能力。因此，学习数学必须积极主动、刻苦钻研，充分发挥学习的主观能动性，才能进行积极的智力活动，顺利地完成学习数学的任务。

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数学的偏重理性思维与文科类偏重感性思维不一样，数学要求是实实在在的理论和依据，不能马马虎虎或者将将就就相差一个字都可能会导致整个过程和结果的错误在分析问题的时候如果不能够做到严密和细心，那么就不能充分利用已知条件来解决问题在学习命题与证明这个单元中，很好地体现了数学对学生思维能力各方面的要求，也加强了学生的数学素养，并注重培养学生用正确、理性有效的方法解决问题的生活态度

这个单元的学习可以分为三个模块，包括定义与命题，证明，反例与证明

一、定义与证明

在定义与命题这一块中，主要是学习了一些概念，包括定义的含义，命题的含义，了解命题的结构，理解真命题、假命题、公理和定义的概念在学习这些概念的过程中，判断一个命题的真假是这一块学习中的重点通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法

正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题在判断命题的真假的时候不能凭感觉，而是要找到真切的依据才能进行判断如，一个图形经过旋转变化，像和原图形全等要判断这个命题是真命题还是假命题，首先我们要把这个命题转换成条件和结论的形式，“如果图形是由图形A经过旋转得到的，那么这两个图形全等”然后再对这个结论进行证明我们知道，图形的旋转只会改变图形的位置，而不会改变图形的形状及大小，全等只看两个图象的对应边和对应角是否相等，而不受位置的影响因此，这个命题是正确的

在这里，一个看似简单的真假命题的判断也体现着数学的思维方法首先我们是把一个定义转化成了数学问题，就是转化成了一个由已知条件和结论组成的命题，然后才判断这个命题的真假这充分体现了数学知识解决问题的一般程序和方法也体现了数学对培养学生的理性思维和逻辑能力方面的要求

二、证明

在第二个模块中，主要是学习了证明的含义，体验、理解证明的必要性，了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题，探索并理解三角形内角和定理的几何证明，让学生体验从实验几何向推理几何的过渡，归纳和掌握证明的两种思考方法，包括正向和逆向的思维方法特别是逆向的思维方式，这部分内容的一个难点

证明的含义，教师借助多媒体设备向学生演示课内节前图：比较线段A和线段C的长度通过简单的观察，并尝试用数学的方法加以验证，体会验证的必要性和重要性在新课的学习中，可以参考教科书中的一组直线a、b、c、d、是否不平行（互相相交），让学生先观察、再猜想结论，最后动手验证在学生的活动结束后，教师引入证明，并通过一个例子来让学生体会证明的初步格式教师再小结归纳出证明的含义证明的含义所体现出来的也正用数学解决问题的方式数学问题的解决离不开各种理论依据，就像教科书上所给出的图形一样，视觉会造成误差，看到的不一定就是真切实在的，而用数学的方法证明出来的结论肯定是可信的学习这些知识，可以改变一些看问题只看表面的不良习惯和处事风格，对一个人的全面发展也是非常有意义的

对于证明的含义和表述的格式，在数学当中也有严格的规定如证明命题“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等”是真命题首先要根据题设画出图形，用几何语言描述题中的已知条件、以及要证明的结论（求证）证明过程的具体表述（略）这一块的内容学习中注重几何命题的表述格式：（）按题意画出图形；（）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程

这个证明的格式和过程的学习要求学生即使有了正确的推理和结论，也要用正确的书写格式把证明过程写出来过程的书写反映出来的是一个解决问题的过程，正确的数学有助于帮助学生理清思路，用有条理的内容来表述解决问题的整个过程

在分析和思考问题的过程中，逆向思维数学学习中是一种比较特别的且重要的思维方法用逆向思维去分析和解决问题有时候比正向思维更方便快捷但这种思维的方法与正常的思维习惯不一样，学生可能不太容易接受因此，在学习这部分内容的时候，教师用一些比较典型的例子来讲解和说明，这样才能让学生更好地理解和接受学生在学习和接受这种数学思维的时候，对生活中的很多观念也可能有不同的理解和感受逆向思维是为学习反证法打基础，逆向思维同时也体现了解决问题的方法不是唯一的只要逻辑正确，依据合理，同样可以从不同的角度，用不同的方法来解决问题数学学习中常见的一题多解就是这样的一种发散思维的体现因此，学习数学是培养学生发散思维的有效途径

三、反例与证明

这一块学习的主要是反例的意义和作用，并掌握在简单情况下利用反例证明一个命题是错误的我们对真命题的证明，掌握了一定的方法和技能，那么如何来说明一个命题是假命题

呢？如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了

如，判断以下列命题的真假：（）素数是奇数（）黄皮肤、黑头发的人是中国人（3）在不同顶点上有两个外角是钝角的三角形是锐角三角形要证明这几个命题也并不是很困难，但如果可以从另一方面来思考，用“反例”的方法来证明，那将会比用正常的方法证明容易很多如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了这称为举“反例”，这体现了事物的两面性和用辩证的观点来看问题

如，判断命题“两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”的真假，并给出证明分析：这是一个假命题，要证明它是一个假命题，关键是看如何构造反例本题可以从以下两方面考虑，图三角形AC中，A=AC，在底边C延长线上取点，连A，这样在A和AC中，A=A，∠=∠，A=AC，显然观察图形可知A与AC不全等，或者，在C上任取一点E（E不是中点），则在AE和ACE中，A=AC，∠=∠C，AE=AE，显然它们不全等能举反例说明一个命题是假命题，反例不在于多，只要能找到一个说明即可

反例与证明的学习可以让学生学会从对立的角度去思考问题这同时也体现了数学思维的发散性和多维性，不同的角度看问题，解决问题的方法可以是不一样的，但无论用什么样的方法，体现的数学思维是一样的，就是用多角度发散的思维去思考问题，再用严密的逻辑去分析和证明

总之，学习命题与证明这个单元的内容，很好地体现了数学在解决问题方面的独特思维和方法教师在教学的过程汇总，除了要让学生掌握书本上的知识点外，还要注重发展学生的数学思维和加强学生用数学的知识和思维来解决问题的能力这不仅是新课标对教学的要求，还是素质教育对人才的要求

参考文献：

[1]游仕伟，新课程理念下初中数学思维能力的培养，课程教育研究，：7

[2]付少平，初中数学教学中对学生思维能力培养的研究，现代教育科学中学教师，

[3]王旭，浅谈初中数学创新思维的教学策略，科技视界，：

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教方程会遇到学生提出的各种问题，仅仅告诉孩子“这是规定”肯定是不够的。怎样才能向学生说清楚这些规则背后的“为什么”？一日，突然顿悟：问题的根源其实很简单――“=”，一个小小的等号就能说明这一切！

一、等号的含义

等号，可算得上数学中最普通的符号了，四则运算、解方程、列方程解决实际问题、等式变形等各类数学活动中都离不了它。1557年，数学家雷科德（R.Recorde，1510―1558）在他的《智慧的激励》（The Whetstone of Witte）一书中首先富有创见地用两条平行且相等的直线段“=”来表示“相等”，叫做“等号”。

等号的含义有两个方面：一是表示“运算的结果”，二是表示“等价关系”。 在四则运算中，“=” 是一种分隔符号，意味着开始运算并得到运算结果，等号的右边被认为应当就是答案。也就是说，在四则运算中更多的是用等号来“作某件事的信号”，并显示一个结果。学生在很长的一段时期里所接触到的等号都是这样的含义。随着年级的升高，等号出现在新的学习内容――“方程”中。从本质上说，方程呈现的是两件事情相互等价的一种形态，方程中的“=”则表示在等号左右两边的两件事情在数学上的一种等价关系。

或许是因为这个小小的符号实在太普通、太渺小、太常见了，在实际教学中，我们反而忽视了对它的关注，忽略了它在方程中含义的转变，弱化了它在方程学习中起到的作用，才引发了学生在接触方程初期这一系列的“不适应”和“为什么”。事实证明，倘若教师没能有意识地进行渗透，学生很有可能需要较长的一段思维过渡期来渐渐体会等号含义的新变化，适应等号的新用法。

那么 在方程教学中，如何帮助学生理解等号的含义？学生理解“=”的含义究竟能对方程学习起到什么样的积极作用？

二、等号的启示

1.更清晰地理解方程的概念

史宁中教授曾在“第九届全国新世纪小学数学课程与教学系列研讨会8226；北京会场”的报告中提到如何理解方程的定义问题，他说：“虽然教科书中定义为‘含有未知量的等式’，但应当知道方程的本质是在讲两个故事，这两个故事有一个共同点，在这个共同点上两个故事的数量相等。”也就是说从这个定义出发去判断一个式子是不是方程，意义不大。方程有两个重要的核心思想：建模和化归。这才是方程的数学本质，也是方程教学的重点。至于什么叫方程，什么是一元一次方程等等，在这两个核心思想面前，就显得不那么重要了。如果偏离了这个教学重点，对学生领悟数学本质，发展数学思维都是不利的。

上世纪90年代初，原西南师范大学的陈重穆和宋乃庆在《淡化形式，注重实质》一文中提出了“在数学教学中要注意淡化形式、注重实质”的观点，文别谈到了方程的概念，其中有两点很值得我们注意：（1）方程的概念并没有文字上的定论。文中提及了多个地方对方程概念的叙述，很明显并不一致。（2）人们对于方程的研讨，都是按照方程的实际意义来理解并进行处理的，而不是按定义的条文来进行处理的。

张奠宙教授也发表过类似的观点，他认为：“含有末知数的等式”对方程进行定义无非是种形式化的描述而己，没有实质性的意义。

我们可以清楚地得出结论：在方程的概念教学中，最重要的是体会等号的含义，体会方程的等价关系。在没有实际意义的前提下，讨论“诸如x=0，2x÷5=5……1这样的特殊形式是不是方程”完全没有价值。“含有未知数的等式就是方程”的这种说法，掩盖了方程的模型思想，虽然在形式上符合，但本质上并不是真正意义上的方程。

2.在列方程中体会建模思想

史宁中教授在关于方程思想的访谈中说过：“用等号将相互等价的两件事情联立，等号的左右两边等价，至于其中的关系是用自然语言表示的，还是用数学符号表达的，都不太重要，重要的是等号左右两边的两件事情在数学上是等价的。这就是数学建模的本质表现之一。”

表面上看，方程的建立似乎就是把两个等值的代数式用等号连接起来，但究其实质，不难发现列方程的第一步就是根据等号所体现的等价含义，从现实情景中找到相互等价的两个量，即我们常说的找到等量关系。这也是最关键的一步。在实际解题时，只有首先在心中建立起这个等号，形成一种等价意识，才能有目的地从现实情景中找到相互等价的两个量，然后概括为等价的自然语言，最后抽象成数学表达，用数学符号建立方程，解决问题。这正是建模的过程，也是方程思想的精髓之一。如果没有第一步建立等价意识，那么后面的列方程也就无从谈起，这正是建模思想的源头所在。

3.在解方程中体会化归思想

解方程的关键在于转化，将新出现的方程问题转化为已经解决的方程问题，回归到已知的算法，这正是化归思想。方程的化归将未知转化成已知，其实质则是运算的优化。遵循最佳途径进行运算可以训练学生将复杂问题简单化的思维方式，这对于他们思维习惯的影响是很有裨益的。这就是方程教育价值所在。

学生在透彻理解解方程的过程后，就自然理解了解方程过程中的各种规定，也就不会因为受到四则运算的思维习惯的干扰而出现这么多的“格式错误”了。

一个小小的等号，折射出的是方程中最重要的等价思想。理解这个小小的等号，既了解了方程概念的本质，也感悟到了列方程时的建模思想，体会到了解方程中的化归思想，这才是方程思想的本质！这才是方程学习的价值！这才是方程教学的意义。

【参考文献】

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社.

[2]史宁中，孔凡哲.方程思想及其课程教学设计[J].课程・教材・教法，2004，（9）.