分数乘除法的规律范文

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教学目标：（1）知识与技能目标：使学生理解并掌握分式的乘除法运算方法，能进行简单的分式乘除法运算，能解决一些与分式乘除有关的实际问题。（2）数学思考目标：经历探索分式的乘除法运算方法，发展合情推理的推理能力，培养学生大胆猜想的能力。（3）解决问题能力：形成解决问题的基本策略，从特殊到一般，从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算，也为以后学习分式的加减运算作铺垫。（4）情感与价值目标：教学中注意渗透类比转化思想，让学生在大胆猜想中学到方法，培养学习数学的自信心。

教学重点：使学生掌握分式的乘除法运算。

教学难点：分子、分母为多项式的分式的乘除法运算。

教学方法：探究式、引导式、小组交流合作。

教学准备：多媒体辅助。

教学过程：问题1：一个长方体容器的容积为v底面的长为a宽为b，当容器内的水占容积的

时，水高多少？长方体容器的高为____，水高为____

问题2：大拖拉机m天耕地a公顷__，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？大拖拉机的工作效率是

公顷，天，小拖拉机的工作效率是__公顷，天，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的__倍。

（1）学生小组活动：讨论并填空。（2）教师提问：这是一个什么运算？怎样计算呢？

（板书课题：16，2分式的运算1、分式的乘除法）

设计意图：有问题1、问题2创设问题情境，在学生感到新奇而不知所措的过程中激发学生强烈的求知欲、设置悬疑、无疑为学生对本节课的学习创设了良好的情绪状态，面从实际生活引入，体现了数学知识源于生活。

学生交流：分数乘法法则？分数除法法则？分数乘法法则：分数乘以分数，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。分数除法法则：分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。（1）教师叙述：通过上面分数乘除运算可先约分再相乘。但对于除法运算首先把除法化为乘法，然后约分、相乘。设计意图：通过对旧知识的复习、引导学生从旧知识中寻找新知识的生长点，符合新事物的规律、由浅入深、同表及里、逐渐深化。（2）探索新知：你能用代数式表示上题中（（旧知再现）观察下列运算）的计算过程中吗？与同伴

通过类比，得出：①分式乘除法与分数乘除法类似；②“数”变为“式”后，其运算又有不同。

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笔者曾对五、六年级学生作过一项问卷调查，了解学生对乘除法意义的掌握及相应的解决问题能力的情况。为了便于比较，问卷以题组形式呈现。

题组1：

一种饼干的售价为每千克15元，3千克这样的饼干售价是多少？

一种饼干的售价为每千克15元，0.3千克这样的饼干售价是多少？

题组2：

2升橘汁的售价为8元，每升橘汁的售价是多少？

升橘汁的售价为4元，每升橘汁的售价是多少？

题组3：

某种农药2千克加水稀释后可喷洒1公顷麦地，喷洒6公顷麦地需要多少千克农药？

某种农药千克加水稀释后可喷洒1公顷麦地，喷洒公顷麦地需要多少千克农药？

应该说，这种以相同的数学结构出现的问题是很有暗示性的，且题目也是一些基础题，然而问卷结果却表现出了明显的差异：40位被测学生中，每项题组中的第一题综合正确率高达98.3%，而第二题的综合正确率仅为67.5%。这说明，学生对第一学段学习的乘除法问题掌握得较好，进入第二学段却暴露出了问题。具体看学生的错误类型，都是不知道该选择乘法还是除法来解决相应的问题，或是选择了除法，但不知哪个数是被除数（如题组2第二题，很多学生用4×或÷4来解决）。笔者以为，此类问题的存在固然可以从数量关系教学这一角度去分析，但这不应被等同于学生的实际思维过程，只有立足于学生已有的知识经验，探求已有经验对学生产生的影响及数域扩展后给学生带来的乘除法学习障碍，才能真正厘清学生的思维走向，进而对症下药。

二、分析与诠释

毫无疑问，在乘除法教学中，意义的教学是首要的。纵观整个小学阶段，乘除法意义实际上呈现了不断发展的特点，这同时又可看成一个更为漫长的发展过程中的一个环节（如负数、无理数等概念引进后的扩展）。从宏观的角度看，二年级的乘除法意义学习阶段性十分明显，教师无疑会限于并强调“同数连加”的意义，这时学生所形成的内在表征就会有较大的局限性。特别是由于学生在开始学习乘除法时所接触到的都是比较简单的情况，也即主要局限于正整数的乘除，从而就很容易形成以下观念：“乘法总是使数变大，除法则总是使数变小；乘除法中各部分都是整数。”到了第二学段，数概念得到了进一步扩展，此时教师更多关注的是计算本身，对乘除法运算意义一般都只是寥寥数语带过，或简单地以“与整数乘除法意义相同”走过场，而恰恰忽视了乘除法运算意义在新数域的推广过程及所获得的新的含义。以乘法为例，增加了“已知整体求部分”，如“6的是多少”，相应的除法则是“求整体”，如“已知一个数的是4，求这个数”。

显然，从这样的角度去分析，前面所提及的错误的发生也就不足为奇了，因为这在很大程度上反映了这样的现实：题组1中，学生依据直觉意识到第二个问题的答案应小于15，进而，按照他们已建立的观念，乘法总是使数变大，而只有除法才能使数变小，因此，选择了除法；题组2中出现了分数，而学生头脑中的乘除法各部分应是整数，所以一下子就变得茫然，即便正确选择了除法，也不知该将哪个数放在前面；题组3第二题则是与学生之前建立的“同数连加”的乘法意义相冲突，因为这时分数的乘法显然已不能看成“重复的加法”，而是“求一个数的几分之几是多少”，因此就容易出错。

事实上，尽管通过分析找到了学生思维出错的根源，但也应看到这种错的“合理性”，站在学生的角度，他们不过是将仅仅适用于正整数乘除的某些“规律”错误地推广到了正有理数中运用，这当然应当被看成是学生思维发展的一个必然过程。关键是，作为教师应清楚地认识到学生在乘除法意义学习中的局限性和遇到的困难，采取适当的措施引导学生较为自觉地去实现对乘除法意义的必要的推广与更新。

三、小学阶段推广乘除法意义的策略

（一）丰富原型，加深对意义的多角度理解

对于乘除法意义本身而言，其内容是很枯燥的，但它植根于现实的沃土，意蕴丰富。在第二学段的教学中，教师仍应牢牢把握情境这条主线，实现乘除法意义的内涵发展。

在小学阶段，乘除法意义大致有以下几种。

1.等量组的聚集。即通常所说的“连加”。在这一情境下，两个因数的地位并不相同，也就是过去所说的“每份数”“份数”，因此，也就有了两种不同的除法逆运算，即通常所说的“平均分”“包含除”。

2.倍数问题。

3.配对问题。

4.长方形的面积。

这几种原型在第一学段均已出现，但在学生头脑中的印象是浅显、零散的，仅限于正整数，且并未形成对乘法意义的阶段性完整认识。随着学生数概念的发展，相应的乘法意义应与其相互促进。在教学中，教师仍应努力丰富学生头脑中的乘除法意义原型，提高其对意义的表征能力。

如在五年级上册“小数乘法”单元中，笔者设计了这样一道题：请用你喜欢的情境表达“1.3×5”的意义。

经过充分的思考、讨论、交流，学生中产生了很多想法：有的编制了购物、长度、质量、面积等数学问题，有的画实物图或线段图，有的用文字或加法算式直接说明。作品很多，但均从不同角度反映了不同个体对乘法意义在小数领域中的认识表征。此时，笔者不失时机地引导学生对作品进行归类，寻找异同，理解作品背后所表示的意义。学生在整理后发现：1.3×5既可以表示5个1.3相加（等量组的聚集），也表示5的1.3倍或1.3的5倍（倍数问题），还可以用在面积计算中等。也正是在这样的交流共享中，学生原先停留在正整数领域中的乘法意义有了进一步的发展，在丰富的原型中体会到乘法意义在小数领域的推广与延伸。

（二）制造冲突，促进学生对概念的主动更新

建构主义者认为，对于学生在概念学习中发生的错误不应单纯依靠正面的示范或反复练习去纠正，而应以引发主体内在的“观念冲突”为必要前提，使其经历“自我否定”的过程。高年级学生正处于形象思维向抽象思维发展的过渡阶段，已经具备一定的思考能力，如果教师只是简单地将乘除法意义“教”给学生，缺少学习主体的自我内化过程，那么概念的发展就如浮光掠影。因此，教师应创设能引发学生概念冲突的情境，引燃学生思维的火花，引导学生主动对先前的乘除法意义的认识作出必要的调整，将新的含义引入到已有的知识体系中。

以分数乘法的教学为例，一位教师在教学中展示这样一组情境：

（1）我的绳子长米，小明的绳长是我的3倍，小明的绳子有多长？

（2）我的绳子长3米，小明的绳长是我的，小明的绳子有多长？

引导学生通过画图、讨论得出算式，反馈时，教师适时追问：都是×3，表示的意义相同吗？这就引发了学生的思维冲突：如果说第一题可用“3个”解释，那么后一题显然不能，这题的意义又该怎样表述？这样，在对同一算式不同含义的挖掘中，学生很直接地感受到只用以前的“同数连加”的乘法意义已不足以解释分数乘法中出现的新问题，产生了认知冲突，有了扩展新含义的需要。

在此基础上，教师及时引导学生对第二题的算式意义进行研究，注意其发展变化，并指出在引入分数以后，“倍”的概念发展了，既包含了原来的“整数倍”“小数倍”，也包括了这节课所学的“一个数的几分之几是多少”。这样，学生经历了“冲突―建构―顺应”的学习过程，新概念的融入便不再是教师强加，而是主动的更新与顺应。

（三）提取本质，引导学生转换关注视角

前文的分析中曾提及，学生在数域扩展后，容易将在整数乘除法意义学习中的一些“规律”错误地推广到小数、分数乘除法学习中，繁杂的数据构成了学生在学习小数、分数乘除法中的一大障碍。面对新题目，学生往往更多地关注情境中所包含的数量，而不注意其中的文字内容，以及内容背后的运算意义。对此，教师不妨立足学生的思维方式，化繁为简，抓住本质，以此修正认识误区。

基于这样的思考，笔者在实践中进行了尝试。以分数的除法意义教学为例，教材在编排中已经考虑到了学生的学习困难，采用由整数乘除法改编数据后过渡到分数乘除法的方式，帮助学生理解“分数除法的意义与整数除法的意义相同”，即“分数除法是分数乘法的逆运算”。从表面上看，学生通过已有知识已经促成了对新知的理解，而事实上，学生此时的理解仅仅是在特定题组中，脱离了题组这根“拐杖”，学生又会受到数据的干扰。因此，笔者紧接着出示了一组题，要求学生只列式不计算。

（1）把平均分成2份，每份是多少？

（2）里面有几个？

（3）10是的几倍？

（4）一个数的是8，这个数是多少？

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1.1 教学中忽略了模仿练习和习题中的“例题”。新教材的解决问题分散在各单元教学中，题目包含了老教材中大部分的例题，并增加了新知识，但题量较少，因此，从例题到习题变化较大，例题是一种题，习题出现了多种题目。这样的优势是能促使学生关注解决问题的策略，形成解题计划，发展数学思维能力。但问题是少了必要的模仿巩固，教学中我有时也忽略了这个问题；某些题目在教材上是首次出现，我有时也没有按照例题来教学，学生实在很难掌握。部分学生在解决新问题时出现思维障碍，久而久之在解决问题方面也形成了心理障碍。

1.2 忽略了分析数量关系，解决问题时较急躁。新教材中的解决问题重视情境的创设，重视素材的现实性和趣味性，呈现形式图文并茂，鼓励学生根据已有的经验解题，只出现一两句关键的数量结构。所以，教学中，我们更多是关注情景创设，关注信息收集，而忽略了数量关系的分析。

1.3 弱化了解题策略的引领。新教材在解决问题的教学中，重视从学生的生活经验出发。教学中，我只重视了鼓励学生利用已有的生活经验进行解题，弱化了根据题目的特点和学生的思维发展水平，使学生掌握一些常用的解题策略。

1.4 忽略了认知结构的形成。教学中，只重视联系学生经验，重视情境创设，注意信息收集，引导学生自主探索方法，忽略了认知结构的形成。表现在以下两个方面：一是，复杂情境的干扰，创设的情境过于花哨，学生受复杂信息干扰过多，不能关注问题的关键；其次是结构训练的缺失，新教材中的解决问题是分散的，教学中有被教材牵着鼻子走的现象，有时有就题论题的教学现象，不能使数学知识结构化。

2.提高学生解决应用题能力，排解心理障碍的策略。

针对以上的问题，我认为应用题部分的教学，除充分利用新教材的优点——重视联系学生经验，重视情境创设，注意信息收集，引导学生自主探索方法等。同时，也应传承传统应用题的教学精粹。现主要针对教学中的缺失，谈谈如何改进应用题教学：

2.1 透彻理解数量关系。

2.1.1 牢固掌握基础知识。理解和掌握数量关系是解答应用题的前提。应用题与式题的最大区别是：它不用符号而是用文字表达数量之间的关系。学生只有把应用题中用问题表达的基本数量关系弄清楚，才有可能正确列式。而学生要透彻理解数量关系，首先必须牢固掌握一些基础知识，包整数加、减、乘、除的意义，以及使用范围。特别是加减法中，已知较小数及两数的和或差求较大数，已知较大数及两数的和或差求较小数，以及乘除法中，关于1倍数的认识；加与减，乘与除互为逆运算关系；常见的乘除法三量关系，如单价、数量、总价等；一些名词术语的确切含义，如：和、差、积、商、扩大、缩小、增加、减少、增加到、减少到等；每一个概念、性质、公式等。

2.1.2 夯实简单应用题的教学。除牢固掌握这些与理解应用题数量关系有着直接关系的基础知识外，还要加强简单应用题的教学。了解简单应用题的结构条件和问题之间的相依关系是解答复杂应用题的基础。所谓应用题中的数量关系，具体说，也就是已知条件和问题之间的关系，几个已知条件之间的关系。简单应用题的教学，可以使学生熟练地掌握多种数量关系。因此，要提高学生解答应用题的能力，就必须在简单应用题的教学上下功夫，对学生严格要求，严格训练，不仅要求学生懂得题意，能正确列式，而且要求能用简单明确的语言讲清数量关系。在这方面 ，可以采取很多办法。如：在学生理解了加减乘除的意义及应用范围后，让学生编题、变题、填条件、填问题、讲题画图等。这样做，不仅可以对各种数量关系进行区别、对比、综合、归纳，加深对这些数量关系的理解，同时，还可以学习一些推理方法。简单应用题的教学方法 很多，应当结合学生的实际情况，选择有效的教学方法，不能强求一律。但无论采取哪种教学方法，都应达到两个要求，一是能根据两个已知条件提出各种问题；二是能根据一个问题，找到与问题有关联的已知条件。

以上所说的加强基础知识教学和简单应用题的教学是透彻理解应用题中数量关系最关键的两点，这两点突破了，就为学生理解复杂的应用题的数量关系创造了十分有利的条件。复杂应用题由于已知条件和问题之间的关系较远，中间隐蔽了一些条件，所以，分析数量关系比较困难。为此，需要引导学生认真读题，弄清题意，把条件分类，再分析数量关系。

2.2 培养推理的能力，学会推理的方法。一般说，分析数量关系的过程，就是学生判断推理的过程。但由于题目变化很多，学生在解题时往往感到茫然，无从下手，所以必须使他们掌握推理方法。

分析法是由未知推得已知的方法，它的思考过程是从问题开始推导，即要解答所求的问题需要什么直接条件，再以此类推下去，直到所需的条件都是题中已给的条件时，问题才算解决。

综合法是由已知推向未知的方法，它的推导过程是从已知条件开始，一步步求出解答问题所需要的未知条件，最后求出问题。

这两种方法不是孤立的，是互相关联的。由问题入手进行推导时，虽然主要是根据问题找条件，但同时也要思考，找出的条件能不能解答所求的问题。同理，由条件入手思考时，也要考虑所求的问题，否则推导就失去了方向。至于应该采取哪种方法进行推理，要因题而异，灵活应用。

另外，我们在教学中还可以应用其它一些方法进行推理：

（1）列关系式。它比较适用于简单应用题。如：求一个数是另一个数的百分之几的问题。学生往往把除数和被除数颠倒了，但只要一列关系式就可以解决了：乙比甲多百分之几，可列关系式为：乙比甲多的数÷甲

（2）画图推理。它本身类似综合法，但它非常直观，特别是解答复杂的倍数关系或分数乘除法应用题时，通过画图能使学生一目了然，常常能起到恍然大悟的作用。如前所述的题目，一画图，学生便很容易列式解答：

总之，推理方法很多，但都源于综合法和分析法，前面列举的几种就是如此。所以，运用综合法和分析法进行推理是解答应用题的基本方法。

2.3 注重揭示应用题的规律。任何事物都有它本身的规律，数学作为一门自然学科，也同样如此。揭示规律才能开阔学生的思路，受到举一反三的效果。揭示规律通常采用的方法有两种：

一种是对比的方法。如分数乘除法应用题，题目本身差不多，学生在判断时却经常出错。如何揭示它的规律呢？在讲完分数乘除法，经过大量练习后 ，老师可以给三个已知条件，让学生组成三个问题，研究三个问题之间的关系。

三个条件：甲储蓄400元，乙储蓄500元，甲是乙的4/5

三个问题：

（1）甲储蓄400元，乙储蓄500元，甲是乙的几分之几？

（2）甲储蓄400元，甲是乙的4/5，乙储蓄多少元？

（3）乙储蓄500元，甲是乙的4/5，甲储蓄多少元？

三个算式：400÷500=4/5 400÷4/5=500（元） 500×4/5=400（元）

引导学生发现分数乘除法应用题的三种基本类型，就是乘法运算和它的逆运算。把这三种类型应用题不断同时出现，让学生反复区别它们的不同特点后，再总结规律。使学生从模仿（巩固基本数量结构）到变化（建立问题模型），达到举一反三，触类旁通的实效。

另一种是用矛盾的转化揭示规律。如：复杂应用题可通过转化，分解成几道一步计算的应用题来解，几个小题分别解决了，大问题也就解决了；反之，也可以把几道一步计算的应用题合并成一道复合应用题解。在相互转化中，引领学生了解简单应用题与复合应用题的关系，掌握复合应用题的结构，从而提高解决问题的能力。

2.4 学会灵活运用所学的知识。学生掌握某些解答应用题的规律不是最终的目的，更重要的是能运用知识解决实际问题。所以，能否会灵活应用所学知识，是衡量一个学生能力高低的标志。灵活不是单纯的多练就能奏效的，关键在于学生对某些问题理解程度。对问题本质认识越深刻，运用起来也就越灵活。因此，要把知识教活，必须在“懂”字上下功夫，就必须在揭示知识本质上下功夫。

2.4.1 充分利用知识的内在联系，使学生逐步加深对概念本质特征的认识。学生解答分数乘除应用题时常出现这样的错误：把分数乘除法中“÷”的题做成“×”，其原因是学生总用整数乘除法的规律去理解分数问题。有些学生不懂得求一倍数用除法，求一个数的几倍或几分之几是多少用乘法，总是用整数乘除法中越乘越大，越除越小的规律去套分数应用题，结果是乘除混淆。由于学生分数乘除法的意义这一概念的本质特征没有真正理解，所以经常出错误。因此，教学中，应抓住知识的内在联系，充分揭示分数乘除法关系的本质特征，做到温故而知新，逐步深入。

2.4.2 留有余地，加强练习。要使知识转化为能力，还要加强练习。针对新教材练习的特点，应适当增加练习，但一定要注意针对性和灵活性。如针对新教材中新题在习题中出现，必须按例题来教；新题教后，应适当增加模仿练习，巩固技能等。至于题目中灵活性，可采用一题多变、一题多解、条件适当变难等。但须注意的是：①一题多变，要多而不乱。是指题目的变化要用同一件事，从不同的角度出发，提出不同的问题，尽管题目多但不乱，否则，一个题目说一件事，就容易乱。②一题多解，要比较优劣。③条件适当变难，要难而不繁。是指变化一个或两个条件，使题目有一定难度，而不是变化一个或几个条件 ，再引出一些条件使题目很复杂。只有有效把握题目变化的程度，才有可能使学生所学的知识逐步深化，从而达到灵活运动的目的。

总之，应用题的教学是新课程改革中面临的新问题，我们应整合应用题教学的优点，脚踏实地，才能收到实效。

参考文献

[1] 缪玉田编著：《北京市数学教学经验汇编》，化学工业出版社，1982年版。

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系统论强调，“整体功能大于各部分功能之和”，“把事物分割开研究，然后综合，即使综合得再好，也只是一种拼凑”。出于上述的思考，我决定用“整体教学”的思想，对稍复杂的分数实际问题的教学进行尝试。

一、 分析教材，设计整体思路

分析教材，不难发现“稍复杂的分数乘除法实际问题”主要包括两类，一类是“部分数与总数”问题（部总关系），另一类是“多（或少）几分之几”问题（比多比少关系），共有6种例题。分别是：

第一类，部总关系，共有2种。

（1）六年级有500名同学，男生占 。女生有多少人？（2）六年级有女生300人，女生占六年级总人数的。六年级共多少人？

第二类，比多比少关系有4种。

（1）杨树有60棵，柳树比杨树多。柳树有多少棵？

（2）杨树有60棵，比柳树多。柳树有多少棵？

（3）杨树有60棵，柳树比杨树少。柳树有多少棵？

（4）杨树有60棵，比柳树少。柳树有多少棵？

在实际教学时，分成2个课时，第一课时教学“部总关系”的2道例题；第二课时教学“比多比少关系”中的前面2道，学生自主尝试后2道题。这样设计的好处在于，教材中对稍复杂的分数乘、除法实际问题的教学是离散的，而集中起来教学可以优化知识的结构。事实上由于这样的6道例题属于同一范畴的思维方式，解题的依据都是运用分数乘法的意义。同时将分数乘除法实际问题放在一起教学，又便于学生比较、分析这两者之间的区别与联系，有利于学生从整体上理解和把握稍复杂分数实际问题的解题思路。

二、 比较研究，形成数学模型

以教学“部总关系”为例，首先运用线段图分析题目中已知什么，要求什么，让学生明白这两道题的形式是相同的，只不过已知条件与要求的问题不同。

其次抓住关系句，让学生分析数量关系，进一步发现两道题的联系：本质上看这两道题是一样的，只不过第一题单位“1”的量是已知的，所以可以用乘法计算；第二题单位“1”的量是要求的，可以用除法或方程计算，但无论哪一道题，都是用“总人数-总人数×=女生人数”这样的一个相等关系来思考的。

其三是跟进练习，让学生进一步明确什么情况下用乘法计算，什么情况用除法或方程计算，帮助学生厘清乘除法实际问题之间的区别与联系，从而建立有效的解题模型。

三、 调整练习，促进思维发展

在尝试实践时，笔者将分数乘除法实际问题的练习重组，使两者之间的练习交叉分布。每次练习的过程中，既有分数乘法实际问题，又有分数除法实际问题，这样的练习设计，题目还是原来的题目，并没有增加数量，只是调整了顺序，因此没有加重学生的学习负担。但经过重组后的练习设计，更有利于学生从整体上去分析数量关系，并根据分数乘法的意义或所掌握的解题模型来判别是用乘法计算，还是除法或方程计算，而不是简单的模仿或记忆。

这样的处理，明显促进了学生思维能力的发展。在几次测试中，笔者所任教的班级解答这类实际问题的正确率比同轨班级高出许多，甚至第二类（比多比少关系）实际问题的正确率达到100%，也很少有学生将乘法与除法相混淆。这也说明，用整体思想来设计“稍复杂的分数乘除法实际问题”的教学是可行的。

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一、弄清基本概念，加强两种意义的教学

“分数的意义”是教学分数乘除法应用题的起点，“一个乘以分数的意义”是解答分数乘除法应用题的依据。“求一个数的几分之几”和“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题，都是根据这个意义列出乘法算式或方程的。因此，要让学生切实理解和掌握“分数的意义”和“一个数乘以分数的意义”，是进行分数应用题教学的关键所在。

1.强化分数意义

所谓“分数”就是把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。这个概念中有三个知识点：①单位“1”，把要平均分的任何事物看做一个整体，用单位“1”表示，又称整体“1”。②平均分，分数是建立在平均分的基础上的。③表示平均分的一份或几份的数才叫分数。因此，要强化分数意义的教学。重点训练学生说清分数意义这个概念中的三个重点。

2.强化一个数乘分数的意义（能充分利用好数量关系）

学好分数乘法意义，对学好分数应用题至关重要。

（1）沟通整数乘法意义与分数乘法意义的联系：

例：一桶油100千克，1/ 2桶油重多少千克？列式：100×1/2=50（千克）。就是求100的1/2 是多少？ 应注意当倍数不满1时，“倍”字略去。即把100千克平均分成2份表示这样的1 份。

一桶油100千克，3/4桶油重多少千克？列式：100×3/4=75（千克）。就是求100的3/4 是多少？ 即把100千克平均分成4份表示这样的3 份。

这样就沟通了求一个数的几倍和求一个数的几分之几之间的联系，其实质是一样的，使学生感到新知不新，增强了学习的信心，也完成了整数乘法的意义向分数乘法意义的过渡。

二、利用线段图，掌握规律

由于分数应用题比整数应用题抽象，因此，学生更需要借助于线段图作拐杖。只要能画出线段图，题中的数量关系便形象、直观地展现在学生面前，学生更易于理解题中的数量关系，便于找出解题规律。

例（1）：一本书共有300页，看了全书的2/5 ，看了多少页？（此题是部总关系的，让学生从线段图中体会部分与总量之间的关系）指导学生分三步画图：①画出单位“1”的量；②再画出全书的2/5；3）、标出相应的条件和问题。

三、找准等量关系的训练

（1）寻找等量关系的训练要紧紧地联系学生的实际，首先让学生读题后明确是部总关系还是比较关系。如：如部总关系，已知单位“1”的量，和一部分分率，求一部分量；求另一部分量；求一部分量比另一部分量多（少）多少。或反之训练，让学生用方程寻找等量关系。

（2）训练写等量关系式。

例：实际用电比原计划节约了1/9。

等量关系式：原计划×1/9=节约的；

原计划- 原计划的1/9=实际用电

学生根据分数的意义，掌握了等量关系是解答分数应用题的关键，这样就可以正确列式计算，还可顺利地用方程解答分数除法应用题，将分数乘除法的解题思路归结在一起。沟通了知识之间的联系。运用了这种方法分析解题思路，它运用了对应、转化和代数的数学思想和方法，有利于从算术解法向代数解法发展，有利于培养学生应用数量关系式来分析问题和解决问题的能力，同时也有利于学生真正学到一些终身受用的基本思想方法，也完成了分数乘法应用题向除法应用题的过渡。同时也完成了分数基本应用题向复合应用题的过渡。

四、变换单位“1”的训练，提高能力

在解答分数乘除法应用题时，对“1”的理解、掌握和运用也是关键的一环。尤其是对单位“1”变化规律的掌握，不仅直接关系到解题效果，而且对发展儿童的智力，起着不可忽视的作用。在教学中学生对分率的理解是比较困难的，而在分析中如果加强练习，会取得事半功倍的效果。

例：五（1）班男生人数是女生人数的4/5。（或男生是女生的80%）

① 女生人数为单位“1”，男生人数是女生人数的4/5。男生比女生少1/5；

②男生人数为单位“1”，女生人数是男生人数的5/4，女生人数比男生人数多1/4。

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如口算 4.5×0.01= 4.5÷0.01= 这两题时，常常有学生将答案写反了。我想出现这样的错误，是因为学生对于小数乘、除法的算法不太明确：小数乘法是先看成整数乘法计算，最后根据因数中小数的位数点小数点;小数除法，先根据商不变的规律将除数变成整数，再进行计算。还有的学生在计算一个小数除以整数时，在竖式上杠掉了被除数的小数点。这些都是因为没有很好的理解商不变规律对计算小数除法的作用。

错误二：商中间有0;

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案例一：整数除法的意义

师：（出示例1）上周末，老师在超市买了3盒水果糖，每盒水果糖重100克，3盒有多重？

学生根据数学信息列出算式：100×3=300（克）。

师：根据100×3=300（克），请改编成两道整数除法算式及问题。

学生同桌交流，教师巡视，汇报结果。

师：100g=■kg，结合前面的信息，你们能提出哪些问题，写出哪些分数乘、除法算式？

生：小组合作完成变式，汇报结果。

师：（展示学生改编的问题及变式成果）

教师引导学生观察比较整数乘除法的问题和改写后的问题，得出整数除法和分数除法的联系及分数除法的意义，即分数除法就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

评析：“数学教学要从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会。”案例中教师就改变由复习旧知引入新知的传统做法，直接利用贴近学生生活实际事例引入课题，这样的导入引发学生参与的积极性，使学生感到数学就在自己的身边，在生活中学数学，让学生学习有价值的数学。

案例二：分数除以整数

师：（出示例2第一个小问题）把一张纸的■平均分成2份，每份是这张纸的几分之几？同学们小组动手探究一下吧！（活动要求：学生先独立动手操作，再在组内交流。通过折一折、涂一涂、算一算，能发现什么规律？有什么问题？）

小组讨论：（1）从折纸实验和计算来看，你发现计算分数除以整数可以怎样计算？（2）整数可以为0吗？

小组汇报：

方法一：把■平均分成2份，就是把4个■平均分成2份，每份就是2个■，就是■。

方法二：把■平均分成2份，每份就是■的■，也就是■×■。

■÷2=■×■=■=■

最后，同桌之间相互说说算理，四人小组比较以上两种方法。

师生小结：第一种情况会遇到被除数的分子不能被除数整除时，如把■平均分成2分，就不能用第一种方法；而第二种就能用，所以第二种比较简单。

师：（出示例2第二个小问题）如果把一张纸的■平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？

生：（通过折纸独立完成例2第二个小问题。）

生：汇报结果。

■÷3=■×■=■

师：通过比较算式，你能发现什么规律？

师生小结：分数除以一个不等于0的整数，等于分数乘以这个整数的倒数。

评析：学生通过小组合作的方式，动手实际操作，通过折一折、涂一涂、算一算解决“把一张纸的■平均分成2份，每份是这张纸的几分之几？”这一问题，由此引出把■平均分成2份，每份是■的■，也就是■×■；在此基础上，学生独立完成例2第二个小问题：“■÷3=■×■=■”。让学生在合作交流中发现、归纳出分数除以整数的计算法则。通过图形和图示等直观手段，进一步理解了分数除以整数的算理，很好地突破了教学难点。在解决问题的过程中，培养了学生的动手操作、观察归纳能力。

案例三：一个数除以分数

师（出示例3，小明■小时走了2km，小红■小时走了■km。谁走得快些？）：已知什么？

生：已知小明和小红各自的时间和对应的路程。

师：问题求什么？

生：求谁走的快些？

师：求谁走得快些？就是比较什么？

生：就是比较谁的速度快。

师：你能根据题意列出算式吗？

生：小明的速度是2÷■，小红的速度是■÷■。

师：小明■平均每小时走多少千米？

教师先引导学生画线段图分析：

学生小组合作计算，汇报展示成果，教师课件展示：

师生小结：一个数除以一个不等于0的分数，等于乘这个分数的倒数。

评析：案例三，教师仍采取了“放”的形式，让学生对例题中提出的问题积极思考，团结协作，尝试解决，较好地调动了全体学生参与教学活动的积极性，培养了学生的动手操作能力，同时，使学生对分数乘除法的内在联系有了进一步的认识。

总评：这是王庆书老师开展“小团队计算教学实践”活动的一个教学案例，这一案例的教学亮点主要有：

1.激发了学习兴趣，促进了思维的发展。

本案例的教学情境不仅使学生易于掌握教学知识和技能，而且增强学生学习过程中的情感体验，使数学学习变得生动有趣，能激发学生的学习兴趣。

2.化抽象为具体，化抽象为直观。

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［关键词］小数乘除法　运算能力　转化思想　算理　运算定律

［中图分类号］　G623.5

［文献标识码］　A

［文章编号］　1007-9068（2015）08-085

数的运算在小学数学中占有重要的地位，从整数到小数、分数的加减乘除运算，以及运算定律的运用等都占据了很大的比重，因而培养学生的运算能力显得极为重要。《义务教育数学课程标准》中将运算能力作为十大核心概念之一，也充分体现出运算能力在学生成长与发展中的重要价值。

一、渗透转化思想，促进学生熟悉运算方法

转化思想在小数乘除法中起着至关重要的作用，转化思想对提高学生小数乘除法的运算能力，让学生更快更好地熟练掌握小数乘除法运算，提高学习质量，实现知识的生成、发展与提升都起到了不可忽视的作用。

例如，在教学“小数乘法”时，我进行了如下设计。

师：大家请看，我这里有一个边长为0．1分米的正方形，怎么求出它的面积呢？请同学们先列式，再尝试求出结果。

生1：利用正方形的面积公式可以列式为0．1×0．1，0．1分米＝1厘米，可以求出小正方形的面积是1平方厘米，利用面积单位转化“1平方分米＝100平方厘米”就可得出0．1×0．1＝0．01（平方分米）。

师：说得太好了，既正确应用了正方形的面积公式，又复习了面积单位的转化，让我们把掌声送给他。那么还有其他的方法吗？

生2：我在列式为0．1×0．1后，把两个因数都扩大了10倍，变成了1×1，这样积就扩大了100倍，回到原来这个式子上就需要将积缩小100倍，得到0．1×0．1＝0．01。

师：真棒，将小数先转化为整数，然后再将扩大的倍数缩小回来，真聪明，这也就是我们乘法列竖式计算的基本思路。

二、帮助学生理解算理、掌握算法

在教学时，很多教师都只是注重方法的讲解，让学生通过大量的练习来掌握技能，而忽视了学生对算理的理解，殊不知让学生理解算理是运算教学的起点，也是关键，不重视算理的教学就好像是无源之水、无本之木。因此，我们应帮助学生理解算理，让学生在理解算理的基础上更好地形成方法、掌握技能，最终提高运算能力。

在学习“小数除法”时，可先让学生感知“被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变”的性质。这样当除数为小数时，我们就可以通过向右移动小数点来转化为整数，同时被除数也要向右移动相同的位数，这也就是小数除法的基本算理。在这一过程中学生会发现有这么三种情况：被除数也成为整数；被除数还是小数；被除数的末尾需要补0。因此在教学时我们要以此为重点，让学生在理解算理的前提下反复练习小数点的移动规律，强调要把划去的小数点和移动后的小数点分清，划去可以用铅笔，避免出现混淆，并按照先划、再移、后点的顺序，使学生能够将其熟记于心，从而一步一个脚印，扎扎实实地掌握小数除法的运算。

三、突出运算定律的作用，让学生养成主动运用运算律的良好习惯

运算定律的作用体现在解题中就是使运算更加简洁、简便，从而使复杂的计算变得简单，甚至口算都能得出正确的结果。如在学习“小数乘法”时，我们可以通过几组练习让学生感知到整数乘法运算律对于小数乘法仍然适用，这样就可以将运算律推广到小数范围内，让学生体会到数学结论的严密性和科学性。同时要引导学生在计算时先看一看、想一想能不能用运算律，在这一过程中也就发展了学生的数感，使学生养成主动运用运算律的良好习惯，从而激发学生的学习兴趣。

师：我们刚才已经通过尝试得到整数乘法运算定律仍然适用于小数乘法运算，那么大家观察、思考、完成下面的一组题目，看一下能不能用简便方法运算，如果能，用了哪个运算律？

（1）2．5×3．2×0．125 （2）0．18×99 （3）89．7×99＋89．7

生1：第（1）题中我一看有2．5和0．125，就想到了4和8，于是我将3．2写成0．4×8，就可得出2．5×3．2×0．125＝（2．5×0．4）×（8×0．125）＝1×1＝1，这里用到了结合律。

生2：一看第（2）题的结构就知道把99写成（100－1），这样就可以得到0．18×99＝0．18×100－0．18×1＝18－0．18＝17．82，这里用到了分配律。

生3：一看第（3）题的结构也是用分配律的，89．7×99＋89．7＝89．7×（99＋1）＝89．7×100＝8970。

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数学思想是以数学知识为载体的，而小学数学教材主要以知识结构作为编排体系，数学思想方法分散于整个教材之中，小学生很难自主地从教材中挖掘出来，而“数的运算”是“数与代数”领域中所占分量最大的教学内容和数学学习的重要基础，因而，教师需要认真地分析教材，研深读透，看到教材背后隐含的东西，这样才能在教学过程中有效地渗透数学思想方法。笔者对苏教版新课标小学数学教材进行了认真系统的研读，归纳出了“数的运算”蕴含的转化思想。

从表1[2]可以看出，“数的运算”的整体性很强，新旧知识之间的联系非常密切，新知识大都是建立在旧知识的基础上。

加减计算：20以内整数的加减100以内整数的加减多位整数的加减小数加减分数加减。其中20以内整数的加减计算是基础。如32+51可以转化成3+5和2+1两道十以内数的计算，83-64可以转化成13-4和7-6两道计算。多位数计算也同样。分数加减计算如2/9+5/9就是2个1/9加5个1/9，就是（2+5）个1/9，最后也可以看作是20以内数的计算。异分母分数加减可转化成同分母分数加减。小数加减亦然，只需在小数点对齐的基础上按整数加减法计算法则计算即可。

乘除计算：乘数是一位数乘法多位数乘法小数乘法分数乘法。一位数乘法口诀是基础，多位数乘法都可以把它转化成一位数乘法。除数是一位数的除法多位数除法小数除法分数除法。除法中除数是一位数除法的计算方法是基础，多位数除法也都可以把它转化成一位数除法。小数乘除、分数乘除都可以转化为整数乘除，例如计算3.6×0.18，先将它转化成36×18，再根据小数的性质和积的变化规律，最终得出结果。

同时，在“数的运算”过程中，加法与减法之间可以转化，乘法与除法之间可以转化。几个相同加数连加的和，可以转化成乘法来计算。被减数连续减去几个相同的减数，差为零，可以转化成除法来表示。

二、 “数的运算”中转化思想渗透的层次

由上述分析可以看出，“数的运算”内容整体性强、新旧知识联系密切，同时，各年级教材中对转化思想的渗透具有一定的层次。

在低年级，教材只在解决问题的过程中，让学生初步感悟通过转化能够解决新问题，就可视为目标达成，并未进行拓展。例如，在计算教学的起步阶段，学习“20以内的加法”时，例题为9+4=？教材中只用直观、具体的方式将“凑10法”这一转化思想方法的过程呈现出来，以达到解决问题的目的就行了，并不十分深究其中的原因。

到了中年级，教材中没有出现关于转化思想的学习章节，这时就需要教师在引导学生通过转化解决问题的过程中，一方面要让学生感受转化的过程及其带来的益处，另一方面还要适时对转化思想加以概括，使其在学生心中留下深刻的印象。如在三年级下册“（一位）小数的加减”的教学过程中，教师要通过列竖式，总结小数加减就是要“小数点对齐，从低位算起”来渗透转化思想，并明确告诉学生：是“转化”让我们这么轻松地解决了小数相加减的问题。再如四年级下册口算125×72时，我们可将它转化成125×8×9，从而避免繁琐的笔算。 “转化”是帮助我们解决问题的好方法，今后我们遇到新问题无法解决时，就想想能否把它转化为我们学过的知识来解决，进而让学生体会到“转化”真是个好方法。

高年级的学生，经过了中低年级时对转化思想的长期性渗透，在遇到“多位数乘除法”、“异分母分数加减法”等新问题时已经能自觉地在头脑中搜索与该问题有关的旧知识，来帮助他们解决新问题，这时教材中也会出现引导学生对转化思想进行自我总结、概括的话语。如在教学小数加减法时，教材中提出：“小学加、减法与整数加、减法在计算时有什么相同点？计算小数加、减法要注意些什么？”学生通过对教材中这一问题的思考与回答，加深了学生对转化思想的体会与理解，有助于他们在实践中灵活运用。

在“数的运算”中，转化思想的渗透，往往伴随着“数形结合”等思想的运用而呈现出来，以帮助学生更好地理解、更快速地解决问题。当然，在教材中渗透转化思想的最终目的也是要使学生自己体会转化思想的意义和价值，并掌握转化这一思想方法。而应用转化思想的过程，实际上是一个完成复杂向简单、抽象向直观、困难向容易、陌生向熟悉、未知向已知转化的过程，因而在教学中，教师应明确此目标。

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我在应用题教学中，以培养解题能力为中心，设计编排题组对比练习，反复系统地进行训练。以最典型的变式对比训练为例：

1.对比叙述方法。就是题意不变，仅改变题中某些词、句的叙述方法。如关系句中“苹果的筐数是梨的3/2”，改为“梨的3/2 相当于苹果的筐数”。 再如：我把例题改造成有一块果园，梨树的种植面积是6000平方米，桃数种植面积是梨树的3倍，桃数种植面积是多少平方米？学生准备练习后，我依次将其中“3倍”改为0.4倍、2/5、40%。引导学生小结：当数量之间的倍数小于时，通常说成几分之几（或百分之几），可以看作分数倍。那么求一个数的几倍用乘法计算，求一个数的几分之几也用乘法算，理解时可以把分数（或百分数）当作倍数来思考。这样就大大减轻了学生思考的负担，从中也渗透了类比的数学思想。

2.对比重点词语或关键句。重点词语是连接条件与条件，条件与问题的纽带。它是引导学生理解题意，分析数量关系，寻求解题方法的主要线索。比如把单位“1”的量和比较量交换位置，就直接关系到解题时是用乘法还是除法。再如，把关键字“多”改成“少”，，也直接影响到分率的计算。

如：梨树是桃树的3/5，梨树比桃树多3/5，梨树比桃树少3/5

3.对比已知条件。

如：一根绳用去一部分还剩15米，还剩这根绳的2/3，这根绳长多少米？

一根绳用去15米，还剩这根绳的2/3，这根绳长多少米？

通过对比，明确所给已知量对应的分率不同，解题方法就不同。

4.对比问题。就是条件不变，只改变应用题的问题。改变应用题的问题，不仅使题意发生了变化，而且使解题的思路和具体方法都随之发生了变化。

如：一根钢条长5/8米，用去1/4，还剩多少米？

一根钢条长5/8米，用去一部分后还剩1/4，还剩多少米？

5.系统题组训练。就是把应用题中的关键句、关键词，使题意大变，从而导致分析方法、解题方法的改变。

系统题组对比训练的教学过程，就是数量关系不断进行变化的过程。由于形式的多样性、灵活性和复杂性，有利于培养学生思维的广阔性、灵活性和深刻性。思维越广阔，变的途径就越多；思维越灵活，变的式样就越新颖；思维越深刻，变的内容就会越复杂。所以，有利于培养学生良好的思维品质。

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一、提高教师的认识，重视口算教学

不少教师认为口算易教，学生易学，则出现教学中重算法，轻算理；重练习，轻理解；重速度，轻质量；重知识，轻能力的现象，仅满足于机械练习。只注重口算结果，忽视口算能力的训练。遇到偏难一点的口算题时，学生因缺乏能力，掌握不了规律，就用笔算程序代替口算程序。同时，因为受课时数的影响，现在在数学教师中存在着重数学知识的传授，轻口算的学习及训练，在课堂中计算尤其是口算的训练，经常被教师所忽视。大部分的计算教师大都安排到课下让学生自行练习，且反馈也不及时，致使学生的训练量达不到要求，训练的时间没有保证，正确与否没人问，或改错不及时，最终造成学生口算能力下降，笔算错误率过高。

要提高学生的口算能力，首先应先让教师重视起来，转变对口算无视态度，切实把口算教学与训练落到实处，使学生打好扎实的基本功。

二、培养学生良好的口算习惯

良好的习惯是成功的保证，首先，要规范学生的书写习惯，让学生写规范字，做题时按照从上到下，从左到右的顺序，逐步由慢到快，一列一列地做口算题，即我们平时所说的“竖着做”，杜绝漏题现象的发生。其次，要求学生养成认真审题的习惯。学生计算不准确，很多情况在于审题不认真造成的，看题不仔细，不深入思考，想当然，结果一做就错。

兴趣是应激发学生学习动力的有效武器。教学中，应充分利用各种手段创设一些情境，拉近口算与生活的距离，如让学生采访路边摆小摊的摊主，询问他们不用计算器怎么能很快地口算出商品的价钱；让学生对父母、邻居、老师等进行调查活动，了解大人在口算两位数加减两位数时内心的思考过程及理由；我还在班上开展过“小小商店”的活动，让学生在实际的买与卖的交易过程中进行口算。学生亲身经历了上述实践活动，对口算的重要性及其基本方法的价值有了较深刻的认识，提高了对口算重要性的认识，从而更积极主动地参与到口算学习中。

三、发挥课堂主阵地的作用，加强口算教学

课堂是学生进行学习的主阵地，教师要充分利用好课堂时间，做好口算的教学与练习。在课堂上应做到以下几点。

1.加强算理教学

在口算中，让学生有效地掌握口算的基本办法的主要途径是领悟算理，口算办法的灵活运用，又能加深对算理的领悟，因此在教学中教师不仅要教给学生正确合理的算法，而且要重视算理教学。如在教学20以内进位加法时，上课前进行两数凑十和前两数和是10的三个数连加式的铺垫练习，教学时要求学生知道为什么9加几需要将较小的数拆成1和几，并能类推出8加几，7加几等的计算办法。教学后，要求学生会讲口算过程，会写思路图，最后再通过举一反三地训练得以巩固。再如20以内的退位减法教学，上课一开始出示16-7=（？摇？摇），问：“16减7等于几呢？”学生争先恐后地回答：“等于9。”老师又问：“你是怎样想出来的？”学生说：“因为9+7=16，所以16-7=9。”老师给予表扬：“你说得很好，这种办法就叫‘做减法想加法’。”接着老师又进一步引导：“大家能不能想一想用其他办法做这道题呢？”这时学生立即来了兴趣，个个都在积极动脑筋。一会儿有一位学生说：“我是这样想的，先算10-7=3，再算3+6=9。”另一位学生说：“我是这样想的，先算16-6=10，再算10-1=9。”这时学生的思路活了，兴趣被激发起来，个个争相发言，都想展示自己的才华。学生说完之后，教师及时出示不同的退位减法，请学生分别用不同的思路说一说口算过程。通过说理训练，办法活了，口算速度也加快了。

2.加强口算方法的指导与总结

口算要想算得快，算得准，正确的方法是前提，这就需要教师引导学生对口算方法做必要的归纳与总结。如：

（1）用“凑整法”口算。

如加数“凑整”26+5+4=26+4+5。

运用减法性质“凑整”如67-13-7=67-（13+7）。

运用除法性质“凑整”如63÷25÷4=63÷（25×4）。

（2）运用运算定律口算。

利用加法的交换律、结合律、乘法的交换律、结合律、分配律来计算。如25×32把原式变成25×4×8来计算，125×37×8=125×8×37。

（3）利用小数、分数、百分数的互化口算。

在口算小数、分数、百分数有关乘除的题目时，当出现某些难算的数时，可利用小数、分数的互化，以及分数乘除法的法则，将算式进行适当转化，变成易算的问题，如0.75÷11这一类的问题时，可将0.75化成3/4×1/11进行计算就比较容易了。

以上方法规律的总结要贯穿于每一个学期的学习中，根据教材具体知识的学习，反复让学生总结对比，通过这种循序渐进的不断深化，最终要让学生将所学的各种口算方法牢固记忆，达到熟能生巧。

3.加强口算训练，抓住重点，有的放矢

口算教学应从低年级整数入手，低年级口算包括的内容有：100以内的加减法和表内乘除法，其中20以内的加减法是多位数加减法的基础，表内乘除法是多位数乘除法的基础，根据加减法，乘除法的关系，在低年级中抓20以内加法和表内乘法两个重点，重点内容多练习，为以后的复杂口算打下基础。除此以外，还需要注意以下几个问题。

（1）强化记忆性训练。

数学需要背诵记忆，高年级计算内容具有广泛性、全面性、综合性。一些常见的运算在现实生活中也经常遇到，这些运算有的无特定的口算规律，必须通过强化记忆训练解决。主要内容有：

①20以内加减的结果，乘法口诀表。

②分母是2、4、5、8、的最简分数的小数值，也就是这些分数与小数的互化。

③圆周率近似值3.14与一位数的积及与12、15、16、25几个常见数的积。

④25、125这两个数的2倍、3倍一直到9倍的值，熟记4个25是100，8个125是1000等。

以上这些数的结果无论是在平时作业中还是现实生活中，使用频率都很高，所以一定要学生牢记并熟练运用。

（2）坚持训练，培养学生的数感。

提高口算能力，不但要反复训练，还要不断训练，尽量做到人人过关。100以内加减法，100以内乘除法是计算的基本功，重点训练，长期训练，致力于培养学生口算的快、准、活。因此，教师可利用上课前的3～5分钟，对学生进行口算训练。同时，鼓励学生建立口算练习本，根据学习内容，让家长帮助编口算题进行练习，教师再根据学生实际加以针对性指导。通过坚持不懈地训练，让学生获得良好的数感，达到见到常见数的运算能脱口而出的效果。

（3）利用多种方法，多种形式进行练习，增强练习的趣味性。

口算题的出示可以是听算，即教师按一定速度读题，学生口算并说出得数，集体订正。也可以用口算卡片或多媒体课件出示。这种方法既节省时间，又训练了学生的观察能力及思维的敏捷性。

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一、起 因

数学计算对这些孩子来说并不存在很大的困难，只要“跳一跳”还是能摘到“葡萄”的。我们选择高段学生的作业及考试进行了认真仔细的分析，从学生计算出错的情况，暴露出学生在计算方面存在的一些问题，归纳起来主要有以下几个方面：

1.感知粗略，造成差错。

有的同学计算时往往“抄错题”，如：7.9×0.68=把因数7.9错抄成7.6，有的把竖式中的计算结果5.372写到横式中时错抄成5.327。

2.技能欠缺，形成知识性错误。

① 概念模糊不清。如：分数除法计算中， ÷ =会出现 ÷ = × = ，更有甚者学了分数除法计算法则后在计算分数加减法计算试题时也全部用分数除法的方法来计算了。

② 计算法则错误。如：分数乘法计算中，例如 ×10=会出现 ×10= ， ×2与 × 相等。也会出现 × = 的结果。

3.思维定势的作用。

定势是的一种，是一定心理活动所形成的准备状态。计算中受一定的思维“惯性”影响，如看见625÷25×4先算25×4，不恰当地使用了所谓“简便算法”，造成运算错误。

4.习惯不良，造成无谓失误。

部分学生由于平时计算比较随便，如字迹潦草，草稿纸书写随便，计算前不注意审题，计算后不估算、不检查，导致计算中出现错误。

有专家认为：“学习一个数学概念、原理、法则，如果能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，那么学生才会产生他们自己的数学理解。”

二、 归 因

我一直从事小学高段数学的教学，对学生在数学学习能力方面进行了观察，学习有困难学生不仅计算、图形、应用题理解上面都很欠缺，但是想要提高他们的空间思维和应用题理解上还是有一些困难。《标准》指出：“不同的人在数学上得到不同的发展”。因此觉得提高他们的计算能力，让计算成为他们的矮树枝，给予他们成功的体验，拾回他们的学习兴趣，对提高他们的学习责任心和学习成绩会有一定的效果。究其原因，主要有以下几方面：

1.环境因素

计算能力在日常生活中的应用性。它包括口算、估算、笔算能力，它在日常生活中有很强的应用性。

2.师源问题

纵观全国小学数学试题，涉及计算内容的题目在一份试卷中均占85%以上。从这个意义上说，加强计算教学，有效地提高计算的正确率是提高小学数学教学成绩的一个非常重要的方面。

3.学科特点

计算在小学数学教学中占据着十分重要的地位，是小学数学内容的重要组成部分，是学习数学的基础。正确计算是学生学习数学时必须具备和掌握的一项基本功，

4.个体需求

教师在教学中如果能精细培养学生的计算能力，让他们体会到成就感，从而培养了他们的自信心和自尊心，激励他们积极争取，努力向上，对于他们的人生都有积极的意义。

三 、 策 略

如何提高学生的计算能力呢？首先要调动学生学习的积极性。主要是让他们理解一些计算中的算理，合理地运用一些运算中的定律、性质，形成计算技能。加强口算和估算能力的培养，养成认真审题和检验的良好习惯，提高计算的效率和正确率。

1.培养口算能力，切实打好基础

教育心理学常识告诉我们，只有在强烈的动机和浓厚的兴趣驱使下，学习活动才能获得良好效果。就能在较长时间里集中注意力，并不断体验到学习的快乐，体验到成功者的自信。作为教师必须为这些学生找到快乐学习的源泉。

教学情况表明，口算是笔算、估算和简算的基础，是数学的重要组成部分。它有利于训练学生思维的敏捷性，能激发学生学习兴趣。一个学生的计算正确率的高低和计算速度的快慢，与他口算能力的强弱是成正比例的。具体从以下几个方面进行训练：

（1）记忆性训练

高年级计算内容中一些常见的运算在现实生活中也经常遇到，通过强化记忆训练来解决，可以提高计算效率。

（2）针对性训练

小学高年级数学计算的主体形式已从整数转到了分数。通过分析归纳，异分母分数加（减）法只有三种情况，每种情况中都有它的口算规律，问题就迎刃而解了。

① 两个分数，分母中大数是小数倍数的。如“ + ”这种情况，口算相对容易些，方法是：大的分母就是两个分母的公分母，只要把小的分母扩大倍数，直到与大数相同为止，然后按同分母分数相加进行口算：

② 两个分数，分母是互质数的。这如 + =，口算过程是：公分母是5×7=35，分子是（2×7）+（5×3）=29结果是 。如果两个分数的分子都是1，则口算更快。

③ 两个分数，两个分母既不是互质数，大数又不是小数的倍数的情况。

（3）熟练性训练

① 视算式口算训练：这种方法在课堂教学中使用最为广泛，由教师直接出口算卡片，让学生在规定时间内回答出结果。

② 编题互检式口算训练：在师生共同完成新知识点后，让学生根据所学内容，编出相应的口算练习。

③ 听算式口算训练：不出示口算练习，取而代之的是由教师口头读题，开火车式要求学生口答。

总而言之，不同的形式都会产生不同的效果，对口算训练始终保持着浓厚的兴趣，从而进一步提高对学习数学计算的兴趣。

2.养成良好习惯，提高计算正确率

（1）审题习惯

一般计算题审题的方法是两看两思。即：先看一看整个算式，是由几部分组成的，想一想，按一般法则应如何计算；再看一看有没有某些特别的条件，想一想能不能用简便方法计算。学生按照这些方法去做，就能使计算有了初步的保证。

（2）验算习惯

要让学生知道检验的方法，如加法（乘法）的验算用交换加数（因数）的位置再算一遍，除法的验算用商乘除数的方法。即四则混合运算的关系一定要熟练，方程的检验则可用代入法，还要学会检查方法：一般是一对抄题，二对竖式，三对计算，四对得数。

3.重视个体差异，实施分层教学

孔子提出育人要“因材施教，因人而异”，每个学生都存在着两种发展水平，一是现有水平，二是潜在水平，它们之间的区域被称为“最近发展区”。