对角线的规律范文

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篇1

引言

夸美纽斯的《大教学论》不仅把反映教育这一复杂事物的各种属性和关系的概念与范・畴构成一个互相联系的独立的理论体系，而且对于教育和自然、社会和人的身心发展的关系作了新的探索和论证，试图寻找教育的规律性还表现在他使教学理论近代化。同样对于学，它也有很深刻的指导意义。它如何体现在“学”的理论体系中？我就这一观点谈谈自己的见解。

夸美纽斯的“泛智教育”思想在现代社会中有着怎样的现实意义？

一、培养有知识、有能力、有素质的人

夸美纽斯的“教育教学理论体系”的内容是：（1）熟悉万物；（2）具有管束万物与自己的能力；（3）使自己与万物均归于万物之源的上帝。其中熟悉万物指的是博学，博学包括一切事物、语言和语文的知识。阐明了教育要培养见多识广而具有献身精神的人，而这光靠教育还远远不够。具有管束万物与自己的能力指的是德行与恰当的道德，包括外表的礼仪，还有我们内外动作的整个倾向；自己与万物均归于万物之源的上帝指的是宗教与虔信，宗教与虔信是内心的一种崇拜，使人心借此可以皈依最高的上帝。

按照夸美纽斯《大教学论》中的观点，教育目的是培养在身体、智慧、德行和信仰各方面和谐发展的人。教育不仅要教给学生知识，更要启迪、发展学生的智慧。要注重学生本身的因素，尊重人、注重人的个性充分地、自由地、全面地、和谐地发展。这正是新课标培养人才的一项重要标准。

二、在现代社会学习理论中具有重要意义

学习理论是对学习的实质及其形成机制、条件和规律的系统阐述，其根本目的是为人们提供对学习的基本理解，从而为教育教学奠定较科学的基础。学习最终要回归自然。

夸美纽斯在第六章开篇提到：“人是造物中最崇高、最完美、最美好的，我们已经知道，知识、德行与虔信的种子是天生在我们的身上的，但是实际的知识、德行与虔信却没有这样给我们，这是应该从祈祷、从学习、从行动中去取得的。”因此，要形成一个人，就必须由教育完成：“人人都应该接受教育”，“人人均须学习一切”，“把一切事物教给一切人”，夸美纽斯的这种“泛智教育”思想，可迁移为“泛智学习思想”：“人人都应接受学习”，“人人均需学习一切”，“一切人要学习一切事物”。这里的“应”、“需”、“要”正体现了学习中需要具有浓厚的学习兴趣，需要养成良好的学习习惯，需要掌握适合自己的学习方式方法。夸美纽斯的“泛智教育”思想在现代社会学习中的现实意义及启示表现在以下方面:兴趣、学习习惯、学习方式方法。

（一）兴趣来源于自然顺应性

夸美纽斯在第十五章―第十九章中阐述了教学理论，其中在第十七章教与学的便易性原则中在提及学的一般原则中提到“自然使它的原料真能获得它的形状”，“应该用一切可能的方式把孩子的求知与学的欲望激发起来”。的确，学习兴趣是内在动机在学习上的体现，学习兴趣是学习积极性中很现实、很活跃的心理成分，它在学习活动中起着十分重要的作用。

1.产生学习动力。

学习兴趣是学生学习的最主要的动力，或者说几乎是唯一的动力。“教未见趣，必不乐学”，“知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者”，学习兴趣是学习积极性中最现实、最活跃的成分，是直接推动学生主动学习的一种内部动力，是热爱学习、产生强烈求知欲的基础。人作为一种动物，所有的行为都是直接或间接按照自己的意志一直行动的，而这一切都必须有足够的动机――可能外界的压迫或者一时的发奋可以暂时充当这种动机，但是任何纯被动的行为是无法持续太久的。只有有了内在的动力――兴趣，学习行为才能高效地持续下去。

2.端正学习态度。

兴趣是最好的老师，兴趣源于态度，因此态度决定细节，细节决定成败，这一说法的根源还是在于自然原理。夸美纽斯的“自然适应性”思想并不完全是从“自然原理”中引申出的，而是他以丰富的教育实践为根基，运用了科学的教育研究方法的结果，而科学的教育研究方法又得自于他丰富的教育实践和对客观自然规律的尊重。同样，学习也应尊重客观自然规律，人对于某一事物的学习，只有有了浓厚的兴趣，才会产生学习动机，将这转化为动力，从而完成这一事物的学习。

3.使人集中注意力，产生愉快紧张的心理状态。

心理学研究表明，学生在学习中的个别差异，并不完全因天资不同，更主要的是由于注意不同，可见，高度集中注意力是保证高效率学习的必要条件。

（二）学习习惯起源于自然顺应性

夸美纽斯首次向自然要真理，以自然为师，运用自然的法则解决人类的自身问题。大教学论中提到我们的身体需要一种有规律的、有节制的生活，才能保持健康精壮。知识的习得亦如此，“点滴复点滴，顷刻成大垤”，于此就需要养成良好的学习习惯。

1.从现有学校多年来的教育看。

初中生学习习惯的培养成效并不理想，教学有效性不高，很难培养出高素质的人才。没有良好学习习惯的人，不能适应与时俱进的社会，终将被社会淘汰，教育必须适应新形势、新情况，必须重视学生学习习惯的培养。

2.从学生的身心发展特点看。

不重视良好学习习惯的养成，不仅对学生的学习不利，而且可能会影响到对学生健康人格的形成。

3.从实际教育工作看。

没有培养起下一代良好的个体素质，学生只会“死学”，就相当于学生有了知识没有实践，或者不会实践，甚至有的学生只有在老师督促下才能学，自己没有良好的学习习惯而不会学。这不是教育的目的。学生良好的学习习惯本质要求是使学生自主学习，学会能动地、创造性地学习。因此，习惯培养是必需的、非常重要的，一定要落实，让他们懂得如何珍惜时间，合理安排时间，学习先干什么，再干什么，做到有条不紊，循序渐进，形成懂得生活、学习、纪律习惯，以致终生受用。

（三）学习方法来源于自然顺应性

“人类的学习应从人生的青春开始”，“早晨最宜读书”等都说明学习讲究的是自然顺应性。

1.做好学习开端的准备。

学习的知识不是孤立的。当基础知识记得越来越牢，学习的难度系数就会递减。良好的开端是成功的一半，夸美纽斯说：“在开始任何专门学习以前，要有心灵的准备，使之能接受那种学习。”在把握学习的黄金时间的同时，要在每一个阶段的学习中开好头，打好基础，为今后的学习做好铺垫。

2.遵循从易到难、循序渐进的学习原则。

原则四中提到，自然从容易的进到较难的，学习就好比鸟儿学飞，人学走路一样，要遵循一定的认知规律。

3.做好回顾与反思。

辛尼加所曾说：“回到自然，回到我们被共同的错误（即最初的人所作出的人类错误）所驱使以前的状态就是智慧。”大教学论中“自然选择一个合适的物件去动作，或是先把它加以合适的处理，使它变得更合适”，正体现了这一观点，在成长的过程中需要不断回顾与反思，才能够不断使自己进步，使自己不断完善。

《大教学论》是夸美纽斯教育思想的代表作，是夸美纽斯留给人类的宝贵的教育理论财富，为历代教育家所瞩目。他依据自然适应性原则，详述了教与学过程中应遵循的规则。作为历史上一位杰出的教育家，夸美纽斯无论在教育理论还是在教育实践上都作出了不朽的贡献，并且具有深远的影响。

参考文献：

篇2

（1）上图画出了三到六边形的对角线，观察后将下表填写完整.

（2）若一个多边形的内角和为1440°，求这个多边形的对角线条数.

分析与解:

解法1：（1）易知，六边形的对角线条数为9.通过作图也易知七边形的对角线条数为14，那么n边形呢？

现将多边形边数与对角线条数提取进行分析：

边数 对角线条数分析及梯形面积公式法表达式

观察上表发现，将相邻对角线条数两数作差，再对作差后的相邻新数作差，它们的结果都为常数1.当设多边形的边数为n，对角线条数写成和的形式时，第一个数是2，最后一个数是1×n-2，共有（n-3）项，用梯形面积公式法求得n边形对角线条数为：

×（n-3）=（n-3）

（2）由n边形内角和公式可得：1440°=（n-2）×180°，解之得n=8.

这个多边形的对角线条数为：×（8-3）=20（条）.

解法2：（只对n边形的对角线条数进行探究）

现先对二次函数的性质进行研究.对于二次函数y=x+2x+2，有下表成立：

对y相邻的数求差得：10-5=5，17-10=7，26-17=9，37-26=11，…

对相邻新数再次求差得：7-5=2，9-7=2，11-9=2，…

发现的值连续两次作差为同一常数，再对其他的二次函数研究也有这样的结论，因此可以得出二次函数存在这样一个性质：二次函数的函数值连续两次作差为同一常数；反过来，如果一数列存在着：连续两次作差为同一常数，它的序数与所对应的数的表达式满足某个二次函数.利用这个性质，求本例n边形的对角线条数：

由解法1中的（1）可知，对角线条数相邻两数作差，再对作差后的新数作差，它们的结果都为同一常数，所以多边形边数及所对应的对角线条数满足某个二次函数.设这个二次函数为y=ax+bx+c，对多边形边数x及所对应的对角线条数y取出三对数：（3，0），（4，2），（5，5），于是有0=9a+3b+c2=16a+4b+c5=25a+5b+c，解之得：a=，b=-，c=0.

所以多边形边数x及所对应的对角线条数y满足二次函数:y=x-x，

当x=n时，有y=n-n=n（n-3），

七边形对角线条数为：×（7-3）=14（条）.

例2：瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱的奥妙大门，请你按这个规律写出第七个数据是?摇 ?摇.

分析与解:

解法1：分子中第1个数:9=3；第2个数:16=4；第3个数:25=5；第4个数:36=6，

第n个数分子应该是（n+2）.

分母中：序数 分母对应数分析及梯形面积公式法表达式

分母中的数两次连续作差后为同一常数2，进一步分析可知，当设序数为n，分母对应的数写成和的形式时，第一个数是5，最后一个数是2×n+3，共有n项，用梯形面积公式法求得第n个数分母为：

×n=n（n+4）

第n个数为：

当n=7时，所对应的数是=.

解法2：（只对分母存在的规律进行探究）

由解法1知，分母中的数两次连续作差后为同一常数，所以分母中的序数及所对应的值满足某个二次函数.设此二次函数为y=ax+bx+c，对分母中的序数x及所对应的值y取出三对数：（1，5），（2，12），（3，21），于是有5=a+b+c12=4a+2b+c21=9a+3b+c，解之得：a=1，b=4，c=0.

所以分母中的序数x及所对应的值y满足二次函数:y=x+4x，

第七个数的分母为：y=x+4x=7+4×7=77.

由例1和例2的解法2可知，当一数列连续两次作差后为同一常数，数列序数与对应的数满足某个二次函数的表达式，利用待定系数法，解出来的二次函数常数项都为0，是不是所有满足这种情况的二次函数的常数项都为0呢？请看例3.

例3:（2009牡丹江市）有一列数：-，，-，，…那么第7个数是?摇 ?摇.

分析与解:

解法1：易知，数列符号，单序数为负，双序数为正，分子按序数排列，关键的就是找分母的表达式.现将分母序数及所对应的数提取进行分析：

序数 分母对应数分析及梯形面积公式法表达式

分析发现，分母所对应的数两次连续作差后，为同常数2.可以预测，除符号和2外，第n个数，当写成和的形式时，第一个数是3，最后一个数是2×n-1，共有（n-1）项.

第n个数除符号外，分母为:2+×（n-1）=n+1

第n个数为:（-1）

第7个数为:（-1）=-.

解法2：（只对分母存在的规律进行研究）

由解法1知，分母所对应的数连续两次作差后，为一同常数2，所以分母中的序数及所对应的值满足某个二次函数.设这个二次函数为y=ax+bx+c，对分母中的序数x及所对应的值y取出三对数：（1，2），（2，5），（3，10），于是有2=a+b+c5=4a+2b+c10=9a+3b+c，解之得：a=1，b=0，c=1.

所以分母中的序数x及所对应的值y满足二次函数:y=x+1，

第七个数的分母为：y=x+1=7+1=50.

由上三例可知，如果一数列存在着：连续两次作差为同一常数，它的序数与所对应的数的表达式满足某个二次函数，利用待定系数法，解出来的二次函数常数项不一定为0.

例4:如图，ABC中边BC上有n个点，每个点都与A连接，共有多少个三角形？

分析与解：用列举法进行探究.在BC上：有3个点（即B、D、C）时，有ABD、ABC、ADC共3个三角形；

有4个点（即B、D、E、C）时，有ABD、ABE、ABC、ADE、ADC、AEC共6个三角形；

有5个点（即B、D、E、F、C）时，有ABD、ABE、ABF、ABC、ADE、ADF、ADC、AEF、AEC、AFC共10个三角形；

例4题图

按同样方法列举，可知，当BC上有6个点时，共有15个三角形.

进一步分析还发现，这些三角形个数两次连续作差后，为同常数1.

即，第一次求差得：6-3=3，10-6=4，15-10=5，21-15=6，…

再次求差得：4-3=1，5-4=1，6-5=1，…

利用本文的二次函数一性质进行求解，设这个二次函数为y=ax+bx+c，对BC上的点数x及所对应的三角形个数y取出三对数：（3，3），（4，6），（5，10），于是有3=9a+3b+c6=16a+4b+c10=25a+5b+c，解之得：a=，b=-，c=0.

所以分母中的序数x及所对应的值y满足二次函数:y=x-x.

当x=n时，有y=n-n=n（n-1），

即ABC中边BC上有n个点，每个点都与A连接，共有（n-1）个三角形.

利用梯形面积公式法解决本例也很捷径，请读者自行完成.

综上所述，当一列数，只要两次连续作差后为同一常数，它的表达式除观察利用综合知识解决外，还有两种方法较为捷径：

1.它的某一项都可以写成有规律数的和的形式.当两次作差为同常数1时，和的最后一项是与1的倍数有关（如例1、例4）;当两次作差为同常数2时，和的最后一项是与2的倍数有关（如例2、例3）;……然后再求项数，代入梯形面积公式法：

篇3

无论应用怎样的教学方法，教师都需要先了解其理论基础．数学变式教学同样具备其独有的理论基础．对于人类的生长周期，我们能够应用逻辑学中的“运算”进行划分，其中，人类的智力成长周期可以分为四个阶段，依次是感触规律阶段、规律探索阶段、运算作用阶段、运算规律操作阶段．根据智力成长的周期特性，我们不难发现，学习其实是需要准备的，尤其是对数学知识这种抽象性很强的知识，更需要学生做出充分的准备和积极的探究．初中生的智力成长正在运算作用阶段，逐渐向运算规律操作阶段发展，当然，这不是绝对的，每个学生都不一样，有些学生能力较强已经发展到运算规律操作阶段，而有些学生则还处于规律探索阶段．因此，初中阶段，学生的思维能力正在发展，对于学生理解能力的培养是非常重要的．数学中有很多概念和符号都比较抽象，学生在理解时会出现很大难度，难以快速地形成系统的知识框架．目前，很多初中数学教师在课堂教学中，应用文字讲解加符号教学的方式进行教学，这对学生知识理解的帮助作用是微乎其微的．学生在难以理解知识的情况下，智力成长也会受到阻碍，从而导致学习效率无法提高，初中数学教学失去意义．在初中数学变式教学中，其教学活动是围绕着培养学生理解能力这一主题展开的，通过教学知识的理论与应用，将传统的理论教学变成应用教学．

二、发挥变式教学的作用

在明确变式教学的理论基础后，还需要在实际的教学过程中进行应用，充分发挥其作用．变式教学的基本教学思路是，在教学中增加一题多变、一法多用、一题多解等模式的应用，通过培养学生的思维理解能力，提供教学有效性．在初中数学变式教学中，对于某一知识难点的理解，教师不能沿用过去硬性灌输的低效方法，应当将理论与应用相结合，围绕同一理论知识，设计多种类型的题目，然后引导学生在解题的过程中，理解其中蕴含的数学理论知识，这样学生能够对数学理论知识有非常透彻的理解，将来无论遇到什么样的题型，学生都能发掘其理论知识本质，从根本找出解决的方法．在变式教学中需要用到非常多的例题，看起来与题海战术有相似之处，但两者的本质是完全不同的，变式教学引用例题，不是为了让学生见到更多题型，按套路解题，而是在教学抽象理论知识的时候，通过灵活多变的题目，将枯燥乏味的理论知识演绎出来，让学生运算规律操作得到充分的锻炼．在初中数学中应用变式教学，可以有以下三个作用．

其一，数学理论知识的变式突显教学的重点．变式教学能够很好的促进数学理论知识教学．在初中数学变式教学中，对于数学抽象理论知识的教学，无论是定理、概念、性质还是公式，都可以与其应用教学结合起来，首先从比较具有特殊性的问题入手，将抽象的理论知识具象化，让学生对知识有初步的了解，然后再逐渐发展到一般性的问题当中，对理论知识进行普适性讲解，从而易化学生对知识的理解，帮助学生快速掌握．

篇4

在如图1所示的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上9个数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，这样的图形叫做三阶幻方，相等的和叫做幻和。

1.幻和。由题设知图1中的幻和为15，它可以通过以下计算求出：

（1+2+3+4+5+6+7+8+9）÷3=45÷3=15。

即幻和等于9个数的和的。

2.中心数。处于幻方最中间的数我们称为“中心数”。观察图1可知其中心数为5，其位置最为关键，因为它要分别与第二行、第二列以及两条斜对角线上的数进行求和运算，因此应首先确定中心数。中心数应如何确定呢？

如图2，经过幻方中心方格有4条虚线，每条虚线上的3个数之和都等于幻和。

所以4条虚线上的3个数之和=幻和×4。

又因为幻和×4=9个数之和+中心数×3（因为中心数重复了3次），

即幻和×4=幻和×3+中心数×3。

两边都减去幻和×3，得幻和=中心数×3。

所以中心数=幻和÷3=15÷3=5。

故图1中最中间方格中的数应为5。

3.四个角上的数。除了中心数外，我们发现幻方中4个角上的数也很重要，因为他们各自都要与一行、一列及一条对角线上的数进行求和运算。显然，只要中心数和4个角上的数确定了，则其他的数便可根据幻和来填写了。

如图1，在1至9的点数中，3个不同的点数相加等于15的有以下8种情形：

①9+5+1；②9+4+2；③8+6+1；④8+5+2；

⑤8+4+3；⑥7+6+2；⑦7+5+3；⑧6+5+4。

因此每行、每列以及每条对角线上的3个数可以是上述8个算式中任意一个算式中的3个数。但是，由于中心数是5，且4个角上的数要同时出现在3个算式中，所以符合条件的4个数只有2、4、6、8（注意：他们都是偶数位上的数）。将它们分别填在4个角上，其他的数就好填了。例如，图1中的点数就是一种填法。

要注意的是，虽然2、4、6、8填在4个角上可得到8种填法，但它们都可以看作是通过一个图的旋转和翻折得到的，因此只能看作是一种填法。

规律总结：根据上面对图1的分析与探究，对于三阶幻方这种填数游戏我们可得到以下规律：

（1）中心数=幻和÷3（一般就是这9个数从小到大排列后中间的那个数）。

（2）4个角上的数的确定：先将已知的9个数按从小到大的顺序排列起来，并编号1～9，则偶数位上的数就是4个角上的数。同时要注意，将编号为2、8号的数填在幻方的一条对角线上，编号为4、6号的数填在幻方的另一条对角线上。

（3）确定了中心数和4个角上的数之后，再根据幻和便可填写其他的数了。

牛刀小试

请在图3的空格中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的3个数之和都等于48。

牛刀小试参考答案：为解题方便，我们可将图3幻方中其余空格内的数分别用字母来表示，如图4所示。

因为幻和是48，所以中心数E=48÷3=16。根据幻方图中已有数据可得到：

D=48-（18+16）=14；A=48-（14+19）=15；