对角线的规律范文

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篇1

引言

夸美纽斯的《大教学论》不仅把反映教育这一复杂事物的各种属性和关系的概念与范・畴构成一个互相联系的独立的理论体系，而且对于教育和自然、社会和人的身心发展的关系作了新的探索和论证，试图寻找教育的规律性还表现在他使教学理论近代化。同样对于学，它也有很深刻的指导意义。它如何体现在“学”的理论体系中？我就这一观点谈谈自己的见解。

夸美纽斯的“泛智教育”思想在现代社会中有着怎样的现实意义？

一、培养有知识、有能力、有素质的人

夸美纽斯的“教育教学理论体系”的内容是：（1）熟悉万物；（2）具有管束万物与自己的能力；（3）使自己与万物均归于万物之源的上帝。其中熟悉万物指的是博学，博学包括一切事物、语言和语文的知识。阐明了教育要培养见多识广而具有献身精神的人，而这光靠教育还远远不够。具有管束万物与自己的能力指的是德行与恰当的道德，包括外表的礼仪，还有我们内外动作的整个倾向；自己与万物均归于万物之源的上帝指的是宗教与虔信，宗教与虔信是内心的一种崇拜，使人心借此可以皈依最高的上帝。

按照夸美纽斯《大教学论》中的观点，教育目的是培养在身体、智慧、德行和信仰各方面和谐发展的人。教育不仅要教给学生知识，更要启迪、发展学生的智慧。要注重学生本身的因素，尊重人、注重人的个性充分地、自由地、全面地、和谐地发展。这正是新课标培养人才的一项重要标准。

二、在现代社会学习理论中具有重要意义

学习理论是对学习的实质及其形成机制、条件和规律的系统阐述，其根本目的是为人们提供对学习的基本理解，从而为教育教学奠定较科学的基础。学习最终要回归自然。

夸美纽斯在第六章开篇提到：“人是造物中最崇高、最完美、最美好的，我们已经知道，知识、德行与虔信的种子是天生在我们的身上的，但是实际的知识、德行与虔信却没有这样给我们，这是应该从祈祷、从学习、从行动中去取得的。”因此，要形成一个人，就必须由教育完成：“人人都应该接受教育”，“人人均须学习一切”，“把一切事物教给一切人”，夸美纽斯的这种“泛智教育”思想，可迁移为“泛智学习思想”：“人人都应接受学习”，“人人均需学习一切”，“一切人要学习一切事物”。这里的“应”、“需”、“要”正体现了学习中需要具有浓厚的学习兴趣，需要养成良好的学习习惯，需要掌握适合自己的学习方式方法。夸美纽斯的“泛智教育”思想在现代社会学习中的现实意义及启示表现在以下方面:兴趣、学习习惯、学习方式方法。

（一）兴趣来源于自然顺应性

夸美纽斯在第十五章―第十九章中阐述了教学理论，其中在第十七章教与学的便易性原则中在提及学的一般原则中提到“自然使它的原料真能获得它的形状”，“应该用一切可能的方式把孩子的求知与学的欲望激发起来”。的确，学习兴趣是内在动机在学习上的体现，学习兴趣是学习积极性中很现实、很活跃的心理成分，它在学习活动中起着十分重要的作用。

1.产生学习动力。

学习兴趣是学生学习的最主要的动力，或者说几乎是唯一的动力。“教未见趣，必不乐学”，“知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者”，学习兴趣是学习积极性中最现实、最活跃的成分，是直接推动学生主动学习的一种内部动力，是热爱学习、产生强烈求知欲的基础。人作为一种动物，所有的行为都是直接或间接按照自己的意志一直行动的，而这一切都必须有足够的动机――可能外界的压迫或者一时的发奋可以暂时充当这种动机，但是任何纯被动的行为是无法持续太久的。只有有了内在的动力――兴趣，学习行为才能高效地持续下去。

2.端正学习态度。

兴趣是最好的老师，兴趣源于态度，因此态度决定细节，细节决定成败，这一说法的根源还是在于自然原理。夸美纽斯的“自然适应性”思想并不完全是从“自然原理”中引申出的，而是他以丰富的教育实践为根基，运用了科学的教育研究方法的结果，而科学的教育研究方法又得自于他丰富的教育实践和对客观自然规律的尊重。同样，学习也应尊重客观自然规律，人对于某一事物的学习，只有有了浓厚的兴趣，才会产生学习动机，将这转化为动力，从而完成这一事物的学习。

3.使人集中注意力，产生愉快紧张的心理状态。

心理学研究表明，学生在学习中的个别差异，并不完全因天资不同，更主要的是由于注意不同，可见，高度集中注意力是保证高效率学习的必要条件。

（二）学习习惯起源于自然顺应性

夸美纽斯首次向自然要真理，以自然为师，运用自然的法则解决人类的自身问题。大教学论中提到我们的身体需要一种有规律的、有节制的生活，才能保持健康精壮。知识的习得亦如此，“点滴复点滴，顷刻成大垤”，于此就需要养成良好的学习习惯。

1.从现有学校多年来的教育看。

初中生学习习惯的培养成效并不理想，教学有效性不高，很难培养出高素质的人才。没有良好学习习惯的人，不能适应与时俱进的社会，终将被社会淘汰，教育必须适应新形势、新情况，必须重视学生学习习惯的培养。

2.从学生的身心发展特点看。

不重视良好学习习惯的养成，不仅对学生的学习不利，而且可能会影响到对学生健康人格的形成。

3.从实际教育工作看。

没有培养起下一代良好的个体素质，学生只会“死学”，就相当于学生有了知识没有实践，或者不会实践，甚至有的学生只有在老师督促下才能学，自己没有良好的学习习惯而不会学。这不是教育的目的。学生良好的学习习惯本质要求是使学生自主学习，学会能动地、创造性地学习。因此，习惯培养是必需的、非常重要的，一定要落实，让他们懂得如何珍惜时间，合理安排时间，学习先干什么，再干什么，做到有条不紊，循序渐进，形成懂得生活、学习、纪律习惯，以致终生受用。

（三）学习方法来源于自然顺应性

“人类的学习应从人生的青春开始”，“早晨最宜读书”等都说明学习讲究的是自然顺应性。

1.做好学习开端的准备。

学习的知识不是孤立的。当基础知识记得越来越牢，学习的难度系数就会递减。良好的开端是成功的一半，夸美纽斯说：“在开始任何专门学习以前，要有心灵的准备，使之能接受那种学习。”在把握学习的黄金时间的同时，要在每一个阶段的学习中开好头，打好基础，为今后的学习做好铺垫。

2.遵循从易到难、循序渐进的学习原则。

原则四中提到，自然从容易的进到较难的，学习就好比鸟儿学飞，人学走路一样，要遵循一定的认知规律。

3.做好回顾与反思。

辛尼加所曾说：“回到自然，回到我们被共同的错误（即最初的人所作出的人类错误）所驱使以前的状态就是智慧。”大教学论中“自然选择一个合适的物件去动作，或是先把它加以合适的处理，使它变得更合适”，正体现了这一观点，在成长的过程中需要不断回顾与反思，才能够不断使自己进步，使自己不断完善。

《大教学论》是夸美纽斯教育思想的代表作，是夸美纽斯留给人类的宝贵的教育理论财富，为历代教育家所瞩目。他依据自然适应性原则，详述了教与学过程中应遵循的规则。作为历史上一位杰出的教育家，夸美纽斯无论在教育理论还是在教育实践上都作出了不朽的贡献，并且具有深远的影响。

参考文献：

篇2

（1）上图画出了三到六边形的对角线，观察后将下表填写完整.

（2）若一个多边形的内角和为1440°，求这个多边形的对角线条数.

分析与解:

解法1：（1）易知，六边形的对角线条数为9.通过作图也易知七边形的对角线条数为14，那么n边形呢？

现将多边形边数与对角线条数提取进行分析：

边数 对角线条数分析及梯形面积公式法表达式

观察上表发现，将相邻对角线条数两数作差，再对作差后的相邻新数作差，它们的结果都为常数1.当设多边形的边数为n，对角线条数写成和的形式时，第一个数是2，最后一个数是1×n-2，共有（n-3）项，用梯形面积公式法求得n边形对角线条数为：

×（n-3）=（n-3）

（2）由n边形内角和公式可得：1440°=（n-2）×180°，解之得n=8.

这个多边形的对角线条数为：×（8-3）=20（条）.

解法2：（只对n边形的对角线条数进行探究）

现先对二次函数的性质进行研究.对于二次函数y=x+2x+2，有下表成立：

对y相邻的数求差得：10-5=5，17-10=7，26-17=9，37-26=11，…

对相邻新数再次求差得：7-5=2，9-7=2，11-9=2，…

发现的值连续两次作差为同一常数，再对其他的二次函数研究也有这样的结论，因此可以得出二次函数存在这样一个性质：二次函数的函数值连续两次作差为同一常数；反过来，如果一数列存在着：连续两次作差为同一常数，它的序数与所对应的数的表达式满足某个二次函数.利用这个性质，求本例n边形的对角线条数：

由解法1中的（1）可知，对角线条数相邻两数作差，再对作差后的新数作差，它们的结果都为同一常数，所以多边形边数及所对应的对角线条数满足某个二次函数.设这个二次函数为y=ax+bx+c，对多边形边数x及所对应的对角线条数y取出三对数：（3，0），（4，2），（5，5），于是有0=9a+3b+c2=16a+4b+c5=25a+5b+c，解之得：a=，b=-，c=0.

所以多边形边数x及所对应的对角线条数y满足二次函数:y=x-x，

当x=n时，有y=n-n=n（n-3），

七边形对角线条数为：×（7-3）=14（条）.

例2：瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱的奥妙大门，请你按这个规律写出第七个数据是?摇 ?摇.

分析与解:

解法1：分子中第1个数:9=3；第2个数:16=4；第3个数:25=5；第4个数:36=6，

第n个数分子应该是（n+2）.

分母中：序数 分母对应数分析及梯形面积公式法表达式

分母中的数两次连续作差后为同一常数2，进一步分析可知，当设序数为n，分母对应的数写成和的形式时，第一个数是5，最后一个数是2×n+3，共有n项，用梯形面积公式法求得第n个数分母为：

×n=n（n+4）

第n个数为：

当n=7时，所对应的数是=.

解法2：（只对分母存在的规律进行探究）

由解法1知，分母中的数两次连续作差后为同一常数，所以分母中的序数及所对应的值满足某个二次函数.设此二次函数为y=ax+bx+c，对分母中的序数x及所对应的值y取出三对数：（1，5），（2，12），（3，21），于是有5=a+b+c12=4a+2b+c21=9a+3b+c，解之得：a=1，b=4，c=0.

所以分母中的序数x及所对应的值y满足二次函数:y=x+4x，

第七个数的分母为：y=x+4x=7+4×7=77.

由例1和例2的解法2可知，当一数列连续两次作差后为同一常数，数列序数与对应的数满足某个二次函数的表达式，利用待定系数法，解出来的二次函数常数项都为0，是不是所有满足这种情况的二次函数的常数项都为0呢？请看例3.

例3:（2009牡丹江市）有一列数：-，，-，，…那么第7个数是?摇 ?摇.

分析与解:

解法1：易知，数列符号，单序数为负，双序数为正，分子按序数排列，关键的就是找分母的表达式.现将分母序数及所对应的数提取进行分析：

序数 分母对应数分析及梯形面积公式法表达式

分析发现，分母所对应的数两次连续作差后，为同常数2.可以预测，除符号和2外，第n个数，当写成和的形式时，第一个数是3，最后一个数是2×n-1，共有（n-1）项.

第n个数除符号外，分母为:2+×（n-1）=n+1

第n个数为:（-1）

第7个数为:（-1）=-.

解法2：（只对分母存在的规律进行研究）

由解法1知，分母所对应的数连续两次作差后，为一同常数2，所以分母中的序数及所对应的值满足某个二次函数.设这个二次函数为y=ax+bx+c，对分母中的序数x及所对应的值y取出三对数：（1，2），（2，5），（3，10），于是有2=a+b+c5=4a+2b+c10=9a+3b+c，解之得：a=1，b=0，c=1.

所以分母中的序数x及所对应的值y满足二次函数:y=x+1，

第七个数的分母为：y=x+1=7+1=50.

由上三例可知，如果一数列存在着：连续两次作差为同一常数，它的序数与所对应的数的表达式满足某个二次函数，利用待定系数法，解出来的二次函数常数项不一定为0.

例4:如图，ABC中边BC上有n个点，每个点都与A连接，共有多少个三角形？

分析与解：用列举法进行探究.在BC上：有3个点（即B、D、C）时，有ABD、ABC、ADC共3个三角形；

有4个点（即B、D、E、C）时，有ABD、ABE、ABC、ADE、ADC、AEC共6个三角形；

有5个点（即B、D、E、F、C）时，有ABD、ABE、ABF、ABC、ADE、ADF、ADC、AEF、AEC、AFC共10个三角形；

例4题图

按同样方法列举，可知，当BC上有6个点时，共有15个三角形.

进一步分析还发现，这些三角形个数两次连续作差后，为同常数1.

即，第一次求差得：6-3=3，10-6=4，15-10=5，21-15=6，…

再次求差得：4-3=1，5-4=1，6-5=1，…

利用本文的二次函数一性质进行求解，设这个二次函数为y=ax+bx+c，对BC上的点数x及所对应的三角形个数y取出三对数：（3，3），（4，6），（5，10），于是有3=9a+3b+c6=16a+4b+c10=25a+5b+c，解之得：a=，b=-，c=0.

所以分母中的序数x及所对应的值y满足二次函数:y=x-x.

当x=n时，有y=n-n=n（n-1），

即ABC中边BC上有n个点，每个点都与A连接，共有（n-1）个三角形.

利用梯形面积公式法解决本例也很捷径，请读者自行完成.

综上所述，当一列数，只要两次连续作差后为同一常数，它的表达式除观察利用综合知识解决外，还有两种方法较为捷径：

1.它的某一项都可以写成有规律数的和的形式.当两次作差为同常数1时，和的最后一项是与1的倍数有关（如例1、例4）;当两次作差为同常数2时，和的最后一项是与2的倍数有关（如例2、例3）;……然后再求项数，代入梯形面积公式法：

篇3

无论应用怎样的教学方法，教师都需要先了解其理论基础．数学变式教学同样具备其独有的理论基础．对于人类的生长周期，我们能够应用逻辑学中的“运算”进行划分，其中，人类的智力成长周期可以分为四个阶段，依次是感触规律阶段、规律探索阶段、运算作用阶段、运算规律操作阶段．根据智力成长的周期特性，我们不难发现，学习其实是需要准备的，尤其是对数学知识这种抽象性很强的知识，更需要学生做出充分的准备和积极的探究．初中生的智力成长正在运算作用阶段，逐渐向运算规律操作阶段发展，当然，这不是绝对的，每个学生都不一样，有些学生能力较强已经发展到运算规律操作阶段，而有些学生则还处于规律探索阶段．因此，初中阶段，学生的思维能力正在发展，对于学生理解能力的培养是非常重要的．数学中有很多概念和符号都比较抽象，学生在理解时会出现很大难度，难以快速地形成系统的知识框架．目前，很多初中数学教师在课堂教学中，应用文字讲解加符号教学的方式进行教学，这对学生知识理解的帮助作用是微乎其微的．学生在难以理解知识的情况下，智力成长也会受到阻碍，从而导致学习效率无法提高，初中数学教学失去意义．在初中数学变式教学中，其教学活动是围绕着培养学生理解能力这一主题展开的，通过教学知识的理论与应用，将传统的理论教学变成应用教学．

二、发挥变式教学的作用

在明确变式教学的理论基础后，还需要在实际的教学过程中进行应用，充分发挥其作用．变式教学的基本教学思路是，在教学中增加一题多变、一法多用、一题多解等模式的应用，通过培养学生的思维理解能力，提供教学有效性．在初中数学变式教学中，对于某一知识难点的理解，教师不能沿用过去硬性灌输的低效方法，应当将理论与应用相结合，围绕同一理论知识，设计多种类型的题目，然后引导学生在解题的过程中，理解其中蕴含的数学理论知识，这样学生能够对数学理论知识有非常透彻的理解，将来无论遇到什么样的题型，学生都能发掘其理论知识本质，从根本找出解决的方法．在变式教学中需要用到非常多的例题，看起来与题海战术有相似之处，但两者的本质是完全不同的，变式教学引用例题，不是为了让学生见到更多题型，按套路解题，而是在教学抽象理论知识的时候，通过灵活多变的题目，将枯燥乏味的理论知识演绎出来，让学生运算规律操作得到充分的锻炼．在初中数学中应用变式教学，可以有以下三个作用．

其一，数学理论知识的变式突显教学的重点．变式教学能够很好的促进数学理论知识教学．在初中数学变式教学中，对于数学抽象理论知识的教学，无论是定理、概念、性质还是公式，都可以与其应用教学结合起来，首先从比较具有特殊性的问题入手，将抽象的理论知识具象化，让学生对知识有初步的了解，然后再逐渐发展到一般性的问题当中，对理论知识进行普适性讲解，从而易化学生对知识的理解，帮助学生快速掌握．

篇4

在如图1所示的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上9个数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，这样的图形叫做三阶幻方，相等的和叫做幻和。

1.幻和。由题设知图1中的幻和为15，它可以通过以下计算求出：

（1+2+3+4+5+6+7+8+9）÷3=45÷3=15。

即幻和等于9个数的和的。

2.中心数。处于幻方最中间的数我们称为“中心数”。观察图1可知其中心数为5，其位置最为关键，因为它要分别与第二行、第二列以及两条斜对角线上的数进行求和运算，因此应首先确定中心数。中心数应如何确定呢？

如图2，经过幻方中心方格有4条虚线，每条虚线上的3个数之和都等于幻和。

所以4条虚线上的3个数之和=幻和×4。

又因为幻和×4=9个数之和+中心数×3（因为中心数重复了3次），

即幻和×4=幻和×3+中心数×3。

两边都减去幻和×3，得幻和=中心数×3。

所以中心数=幻和÷3=15÷3=5。

故图1中最中间方格中的数应为5。

3.四个角上的数。除了中心数外，我们发现幻方中4个角上的数也很重要，因为他们各自都要与一行、一列及一条对角线上的数进行求和运算。显然，只要中心数和4个角上的数确定了，则其他的数便可根据幻和来填写了。

如图1，在1至9的点数中，3个不同的点数相加等于15的有以下8种情形：

①9+5+1；②9+4+2；③8+6+1；④8+5+2；

⑤8+4+3；⑥7+6+2；⑦7+5+3；⑧6+5+4。

因此每行、每列以及每条对角线上的3个数可以是上述8个算式中任意一个算式中的3个数。但是，由于中心数是5，且4个角上的数要同时出现在3个算式中，所以符合条件的4个数只有2、4、6、8（注意：他们都是偶数位上的数）。将它们分别填在4个角上，其他的数就好填了。例如，图1中的点数就是一种填法。

要注意的是，虽然2、4、6、8填在4个角上可得到8种填法，但它们都可以看作是通过一个图的旋转和翻折得到的，因此只能看作是一种填法。

规律总结：根据上面对图1的分析与探究，对于三阶幻方这种填数游戏我们可得到以下规律：

（1）中心数=幻和÷3（一般就是这9个数从小到大排列后中间的那个数）。

（2）4个角上的数的确定：先将已知的9个数按从小到大的顺序排列起来，并编号1～9，则偶数位上的数就是4个角上的数。同时要注意，将编号为2、8号的数填在幻方的一条对角线上，编号为4、6号的数填在幻方的另一条对角线上。

（3）确定了中心数和4个角上的数之后，再根据幻和便可填写其他的数了。

牛刀小试

请在图3的空格中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的3个数之和都等于48。

牛刀小试参考答案：为解题方便，我们可将图3幻方中其余空格内的数分别用字母来表示，如图4所示。

因为幻和是48，所以中心数E=48÷3=16。根据幻方图中已有数据可得到：

D=48-（18+16）=14；A=48-（14+19）=15；

篇5

在学习数学的时候使用有意义学习的方式，学生可以不用重新发现，而只需要在原有知识体系中寻找和新知识之间稳定的关联点，让它们之间进行融合，完成新旧资料之间的同化过程，从而实现知识的积累或者知识结构的改变。比方说，在学习“四则混合运算定理”的时候，学生只需要在已经学会单独使用这四种运算方法的前提下，记住“先进行乘除，后进行加减”的运算顺序，就可以完成这一新知识点的学习。逻辑性是数学的最大特征，相互联系的知识点构成一个完整的系统，这就让数学学习具有较大的思想性[1]。因此，大部分的数学知识需要使用有意义学习的方式来完成学习。

一般来说，有意义学习数学的过程，不但是学生通过新旧材料之间的关系学习新知识的过程，也是学生利用它们之间的联系对原有知识体系进行改造的过程。而完成这一过程的关键是对知识的“理解”。对于学生来说，这一过程是创新学习思维方式，是激发思考，是让他们保持兴奋的动力；对于教师来说，这一过程是教师遵照人类能力形成的一般原则指引学生通过努力实现能力提升的过程。

2.有意义接受学习的过程

关于新知识的学习，皮亚杰的观点是：学习不是学生对新知识的阐述，而是原有知识和新知识之间相互影响的过程。奥苏贝尔对这一观点进行了延伸，他认为学习新知识的过程就是对学生心理和新知识结构进行了解的过程[2]。

他这一观点的重心是学生对新材料的接受程度，学习的关键在于他原有的知识体系是不是和新知识之间有联系点，有意义学习的过程中材料和原有知识体系内部知识点相互影响，而这种影响不但是对新材料的影响，也包含对原有知识体系的改变。奥苏贝尔通过特别的公式来展现同化是如何发生的，他用“a”代表新材料，用“A”代表原有知识体系中的知识点，那么同化发生的过程就可以通过下面的式子展现：

同化之后，不但新材料的意义有所转变，就是原有知识点也都具备了新的意义。A转变为“A'”，a转变为“a'”。但是式子中所表现的只是同化过程的一个环节，在这一环节结束之后，马上就会有新的环节开始，也就是遗忘环节。假如在这一环节结束之后，不能很好地实现“A'+a'”状态中两个元素的分离，慢慢的“A'+a'”的综合就会被A'或A所取代，也就是说新材料在新的知识体系中被遗忘或者是取代。所以说这只是整个同化过程的一个子过程，随着这个子过程的完成，会有一个新的过程接踵而至，这就是遗忘过程。而想要减少新知识的遗忘，必须立即进行下一个同化环节，增加新材料中的可利用元素。其进程可以展现如下：

奥苏贝尔用同化这一观点来总结学习的规律，我们把这种模式归纳总结运用到教学当中去帮助学生开展有意义接受学习，在保持原有知识的前提下去拓展新知识[3]。奥苏贝尔在这方面没有得出最终结果，但是他用上面的公式来表示同化的过程，说明他还是在这方面进行了试验的，这样的试验具有不同凡响的意义。

二、有意义接受学习教学案例

1.下位学习案例（新授课：矩形）

本案例中的教学是对于矩形的新授课，学生之前已经学习了平行四边形，所以在进行矩形的新授课时，想首先在平行四边和矩形的定义之间建立联系，然后再讲授矩形的相关知识。

（1）思考

①当∠a发生改变，平行四边形的两条对角线的长度相应的怎么改变？

②当∠a是锐角时，对角线是否等长？如果∠a是钝角呢？

③当∠a是直角时，平行四边形为矩形，对角线是否等长？

答：在上述活动中

①当∠a的大小发生变化时，两条对角线也会发生相应的改变，长度较长的对角线相应变短，短的则会变长。如果∠a变成直角时，两条对角线的长度则会相等。当∠a再发生变化时，对角线的长度又会发生相应的改变。

②当∠a是锐角或钝角时，平行四边形对角线的长度不等。

③如果∠a是直角，此时的平行四边形就属于矩形，这时两条对角线是等长的。

结论：任意一条对角线都能把矩形分为两个全等的直角三角形，两条对角线将矩形分为四个等腰三角形。所以，关于很多矩形问题的解决可以通过直角三角形或者是等腰三角形来解决。

矩形的性质：对边平行且相等；四个角都是直角；对角线等长且平分。

（2）巩固练习

下图中，矩形abcd，ad、cb交于点e，∠aeb=60°，ac=4cm.

①aec是什么形状？

②求对角线的长。

分析：①矩形的性质中就有对角线相等并平分，所以ae=ec，在aec中，因为∠aec=60°，而且两边ea=ec，所以aec是等边三角形。

②可直接运用矩形的性质来求对角线的长度。

解：①在矩形abdc中，

ad和cb是矩形abdc的对角线，ad与bc等长且平分

ea=ec，所以aec为等腰三角形。

又∠aec=60°

aec是等边三角形。

②aec是等边三角形，

ea=ac=4cm，矩形的对角线不但相等而且平分，可以得出ad=cb=2ea=8cm

对角线长度为8cm。

想一想：当平行四边形的对角线相等时，这样的平行四边形是什么四边形？怎么证明？和同学相互交流。

答：对角线等长的平行四边形是矩形。

证明：图中的平行四边形abdc中，ac=bd，cb=ad，cd=ab

abc=bdc（SSS）

∠acd=∠bdc

又ac//bd

∠acd+∠bdc=2∠acd=180°，即∠acd=90°

平行四边形abdc是矩形

对角线等长的平行四边形是矩形

由以上叙述我们可以总结出判读矩形的两个条件：

①内角为直角的平行四边形是矩形

②对角线等长的平行四边形是矩形

（3）归纳总结

①矩形的性质

所有内角都是直角；对角线不但相等而且平分；对边平行而且相等；轴对称图形。

②矩形的判别条件

矩形的判别可以分为两个步骤来进行，首先是看待定四边形是不是平行四边形，然后就要找出平行四边形中是否有直角。

（4）评析

平行四边形是一种比较特殊的四边形，而矩形在平行四边形中也是属于比较特别的一种，矩形就是平行四边形的一个下位概念。因为矩形是通过对平行四边形的条件加以限定而得出的，说明了相较于矩形，平行四边形具有更强的包摄性。通过矩形的学习，不但巩固了平行四边形的关键属性，还对平行四边形的关键属性进行了扩充。

对教材进行相应的分析可以得出，本节学习的课程符合有意义接受学习的条件，本节课程体现了奥苏贝尔学习理论中的“下位学习”。新的关于矩形的知识和已掌握的关于平行四边形的知识形成了下位关系，新的概念被同化以后并没有使上位概念发生本质的改变，但是上位概念具备了更强的概括性、包容性以及可迁移性。可以利用这一关系对平行四边形进行加工，找出平行四边形和矩形二者之间的关系：对角线相等的平行四边形就是矩形；平行四边形中有一个内角是直角的就是矩形等。矩形的知识就会被同化到平行四边形的知识结构中，而平行四边形的原有知识结构也会得到补充，就建立起了新的平行四边形的知识结构[5]。

2.上位学习案例（新授课：二元一次不等式）

（1）出示情景

呈现不等式题目并求解：y2-y-2

方案一，转换为不等式组，师生共解。如下：

根据原不等式等价于（y-2）（y+1）

y-20或者y-2>0y+1

所以解不等式组即原不等式的解集为：

{y|-1

方案二，应用变式，师导生解。如下：

根据原不等式等价于：

y2-y+■-■-2

教师在此处需要留足时间，便于学生认真思索上式的变式如何呈现。

思考后得出：|（y-■）|

（2）提出问题

①教师提出问题：假如不动笔解不等式，你有没有办法写出不等式y2-y-2

②教师“搭桥”：请你思考原式的补集并思考跟不等式的解集有什么联系？

③教师继续引导：仔细观察不等式y2-y-20及方程y2-y-2=0，认真思考，你有什么新发现？或者是你有哪些疑惑呢？

④学生汇报交流。

发现1：通过计算得知方程y2-y-2=0的根是-1和2；观察不等式会发现，他们的解集分别与-1和2有关，数轴直观的显示出y2-y-20的解集集中在两根之间的区间。发现2：根据上面的规律，我们可以先求出方程的根，再求不等式的解。

（3）归纳提升

①先求出一元二次方程的根y1，y2（y1

②教师表扬学生表述的非常清楚。新的情况是，附加说明a

（4）拓展练习

①2y2-3y-2>0 ②-5x2-4x>2

③-x2+2x+3

（5）评析

从本节课的片段中不难发现，这是一节典型的“上位学习”方式的具体运用，符合有意义接受学习的基本条件。本节课中学生的原有知识与新授知识（一元二次不等式的解法）之间构成了典型的上位关系。（见图3）

上位关系示意图清晰地显示出新知识与原有五个知识点之间的联系，新知识既是对原有知识的归纳概括，又能将原有知识加以整合运用。例如，解集是要用集合来呈现，求解过程通常需要化归后解决，数形结合的直观理解等，可见，新知识与原有知识相比，其包容性与概括性更强[5]。

化归思想、迁移思想以及数形结合思想的渗透与应用贯穿整个过程，师生的数学探究包含了教师的有效引导和学生的主动探究、积极思索、合理总结，整个案例呈现出了高效地运用上位学习的方式完成有意义接受学习的过程。

参考文献

[1] 王艳青，代钦.高中数学解题教学中的分类讨论策略.内蒙古师范大学学报（教育科学版），2011（12）.

[2] 刘丽娟.奥苏贝尔有意义学习理论及对当今教学的启示.南方论刊，2009（5）.

篇6

分析TCRs产生的谐波，主要有四类方法。①恒流源法：基于TCRs的典型谐波频谱和特定运行工况的基波潮流结果，根据恒流源法的公式计算得出TCRs注入系统的谐波电流[6-8]，该方法在目前的谐波分析中应用广泛。②诺顿等效电路模型：在恒流源模型的基础上并联表征TCRs谐波电压和谐波电流自耦合效应的导纳[9,10]，但未考虑谐波电压和谐波电流之间的互耦合作用。③基于传递函数的模型：TCRs中背靠背的晶闸管交替导通和关断，任一晶闸管导通时定义开关函数为1，所有晶闸管都关断时定义开关函数为0[11-13]；基于此传递函数，在频域中推导得出TCRs的谐波模型[14]。该模型通过两个导纳矩阵将TCRs各次谐波电压和谐波电流的耦合关系展示出来，模型准确但计算复杂。④时域法：用微分方程描述TCRs电压和电流之间的关系，通过求解微分方程得出TCRs注入系统的谐波电流[15]。该方法准确，但对大系统来说，搭建模型所需的工作量大且仿真运行时间长。

以上各谐波模型的提出均以在谐波潮流中应用为主，缺乏对TCRs谐波特性的分析。而研究TCRs的谐波产生特性，将有助于对谐波源建模采取合理的近似和简化以及谐波潮流分析的进行。频域中TCRs的谐波矩阵模型[14]通过完全解析的公式将TCRs端口各次谐波电压和谐波电流之间的耦合关系直观地展示出来。本文将基于TCRs的谐波耦合矩阵模型，对TCRs的谐波产生特性进行深入分析。研究发现，TCRs的每次谐波电流均由三部分组成：由基波电压产生、由同次谐波电压产生以及由不同次谐波电压的耦合作用产生的谐波电流。本文首先分析了谐波电流各组成部分的贡献大小，在此基础上提出了TCRs的忽略谐波电压共轭影响的模型、解耦的模型和恒流源模型，给出了各简化模型的解析计算公式，并研究了触发延迟角对简化模型精度的影响。

2TCRs的谐波耦合矩阵模型

TCRs多按三角形联结方式在三相电路中使用，如图1所示。3及3的倍数次谐波经三相电感环流而不注入交流系统。根据三相TCRs的工作原理和传递函数，可在频域中推导出其谐波耦合矩阵模型[14]式中，h=1,5,7,…,H，H为所计算的谐波最高次数，hI和hV分别为TCRs端口的h次谐波电流和电压相量，hV为hV的共轭分量，Y和Y是TCRs的谐波耦合矩阵模型。矩阵各元素的解析表达式为式中，为晶闸管的触发延迟角；L为TCRs中的电抗值。模型表明，TCRs的谐波电流不仅由其端口的谐波电压产生，而且也与其谐波电压共轭分量有关。该模型将TCRs端口的谐波电压和它所产生的谐波电流之间的耦合关系通过Y和Y两矩阵直观地体现出来，且矩阵的各元素以完全解析的公式给出。通过分析谐波耦合矩阵元素的特点，可对TCRs的谐波产生机制进行分析。

3TCRs的谐波耦合矩阵特性分析

首先给出Y+、Y各元素相对大小的直观比较（见图2，触发延迟角为20°）。所有元素均以1,1Y（幅值最大的元素）为基准进行标幺化，对比结果以百分比的形式给出。由图可知，Y的对角线元素、第一行、第一列以及Y的第一行元素有较大的幅值，说明这些元素所对应的电压分量在TCRs的谐波电流产生中起主要作用。

3.1基波电压的作用

Y+、Y的第一列元素共同表征了TCRs端电压的基波分量对TCRs各次谐波电流产生的影响。因Y的第一列元素为零，该影响完全由Y+的第一列元素决定。由式（2）可知，h,1Y的幅值有如下形式：式中，sin(h1)的取值在（0,1）的范围内；h,1Y的幅值随谐波电流次数h的增大，以21h的速度递减。如果供电电源中不含谐波，TCRs产生的谐波电流随谐波次数减小的速度将大于整流装置[13]。由式（3）可知，任一元素幅值均是触发延迟角的函数，图3示出了h,1Y随触发延迟角和谐波次数的变化规律（所有元素均以1,1Y为基准进行标幺化）。这一列元素不含任何谐波的作用，是恒流源模型的解析计算公式。因此可将式（1）所示的完整模型分为基波电压（恒流源模型，Shh,11IYV）与谐波电压的作用两部分，如式（4）所示。

3.2谐波电压对基波电流的作用

TCRs的基波电流主要由基波电压通过1,1Y产生（1,1Y即为TCRs基频下的等效导纳），但Y+和Y的第一行均有非零元素，表明TCRs将供电端的部分谐波电压转化为基波电流送入系统。h,1Y元素的幅值为该幅值随谐波次数的增大以1h的速度递减。图4所示为了元素幅值随触发延迟角和谐波电压次数的变化规律。研究发现，随触发延迟角的增大，1,1Y并不总是第一行中幅值最大的元素，如当70时，1,5Y成为幅值最大的元素。但从电力系统实际考虑，单次谐波电压畸变率一般小于5%，因此该转化作用对基波潮流的影响不大。

3.3TCRs的谐波自导纳

Y+对角线元素表征h次谐波电压与h次谐波电流之间的自耦合效应，即TCRs的谐波自导纳，计算公式如下：推导发现，对角线元素的幅值以1/h的速度递减，与值为πL[32(2π)]的电抗具有相同的特性，表明TCRs在谐波频率下等值为πL[32(2π)]的感性电抗。但该值与TCRs在基频下的电抗并不相同。由式（2）可知，基频下TCRs的电抗值L1为式（6）和式（7）可作为TCRs诺顿等效电路模型中自导纳的修正公式[10]。

3.4谐波电压与谐波电流的互耦合

TCRs谐波电压与谐波电流之间的互耦合效应，即某次谐波电压对另外一次谐波电流的影响，可由分析Y+的非对角线元素得出。Y+的非对角元素幅值为元素的幅值随谐波次数h的增大而递减，同时元素还随hk递减。hk是h次谐波电压与k次谐波电流之间的距离，距离越近，h,kY越大。为衡量互耦合作用的强弱，定义参数K+为因谐波电压和谐波电流都是奇次，hk一定是偶数，因此K+必具有如下形式：K+随两耦合谐波次数的距离而变化，同时也随触发延迟角变化，其变化规律如图5所示。分析式（9）和图5可得出以下结论：（1）对于h次谐波电流，（hk）次谐波电压对其产生的影响与（h+k）次谐波电压产生的影响具有相同的幅度。（2）对任意触发延迟角和hk组合，K+总小于1，即在Y+矩阵的任一行（h＞1），对角线元素总是幅值最大的元素。（3）对任意触发延迟角，hk值越小，对应的导纳矩阵的元素幅值越大，即离对角线元素越近，谐波电压与谐波电流的耦合作用越强。（4）当触发延迟角接近90°时，K+接近1，此时对角线元素变得非常小（见式（2）），所以TCRs的谐波耦合作用是很弱的。

3.5谐波电压共轭的贡献大小研究

为研究TCRs端口谐波电压共轭对其谐波电流产生的影响，定义K为Y元素h,kY与Y+对角线元素h,hY幅值之比K随谐波电压和谐波电流次数之和hk变化，当k=h=5时,hk取得最小值。图6为K随触发延迟角的变化规律。可见，K比K+更小。当触发延迟角60≤时，K小于0.2。这表明，TCRs供电端电压的共轭分量在TCRs谐波电流产生中的作用要远小于其端电压相量。

4TCRs的谐波分析简化模型

通过以上对TCRs谐波耦合矩阵元素的取值规律和物理意义的分析，得出TCRs的谐波产生有如下特点：（1）Y+第一列元素表征TCRs端电压基波分量对TCRs谐波电流产生的影响。此列元素不含任何谐波电压的作用，是恒流源模型的计算公式。（2）Y+对角线元素总是每行中幅值最大的（h＞1），且离对角线越近的非对角线元素幅值越大。这表明，对任一次谐波电流，同次谐波电压与其产生的自耦合效应要强于不同次谐波电压与其的互耦合效应，互耦合的程度随谐波电压和谐波电流距离的增大而减小。（3）TCRs供电端电压的共轭分量对TCRs谐波电流产生的作用远小于其端电压相量。

基于谐波耦合矩阵元素的取值规律以及TCRs的谐波产生特性，可对TCRs的谐波模型进行简化。（1）Y+模型：忽略谐波电压共轭对各次谐波电流产生的影响+IYV（12）（2）解耦模型：在Y+模型的基础上，进一步忽略Y+的非对角线元素，即忽略谐波电压和谐波电流的互耦合作用，并将基波电压对谐波电流产生的影响表示为恒流源这是TCRs的解耦谐波模型，为电流源ShI并联上谐波自导纳。在谐波潮流中采用此模型时可使得各次谐波潮流独立计算，计算量将大为减小。（3）恒流源模型：在解耦模型的基础上，进一步忽略各次谐波电压和谐波电流之间的自耦合效应，只考虑基波电压的影响，可得出TCRs的恒流源模型，其谐波电流的解析计算公式与式（13）中的ShI相同。恒流源模型由于计算简单方便，是目前各类谐波分析中广泛采用的模型。

5触发延迟角对简化模型精度的影响

篇7

1、一个三角形的两边长分别为3cm和7cm,则此三角形的第三边的长可能是()

A.3cmB.4cmC.7cmD.11cm

2、下列运算中，正确的是（）。

A.a•a2=a2B.(a2)2=a4

C.a2•a3=a6D.(a2b)3=a2•b3

3、如图,已知点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使ABC≌DEF,还需要添加一个条件是()

A.∠BCA=∠FB.∠B=∠E

C.BC∥EFD.∠A=∠EDF

4、下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）。

A、a(x+y)=ax+ayB、x2－4x+4=x(x－4)+4

C、10x2－5x=5x(2x－1)D、x2－16+3x=(x－4)(x+4)+3x

5．下列图形中，属于轴对称图形的是（）。

6、已知，，则的值为（）

A、9B、C、12D、

7、如图，ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，ADC的周长为9cm，则ABC的周长是（）

8、使分式有意义的x的取值是()

A.x≠0B.x≠±3

C.x≠-3D.x≠3

9、点M（3，－4）关于x轴的对称点的坐标是（）

A.（3，4）B.（－3，－4）

C.（－3，4）D.（－4，3）

10、如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是（）

A．54B．110C．19D．109

二．填空题(每小题4分，共32分)

11、五边形的内角和是.

12、一个汽车牌在水中的倒影为，则该车牌照号码

是____________。

13.已知x＋y＝1，则＝。

14、分解因式：2a2－4a=.

15、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是。

16、微电子技术的不断进步,使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小.某种电子元件的面积大约为0.0000007mm2,用科学记数法表示为mm2.

17、多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是___________。（填上一个你认为正确的即可）

18．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF。给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③ACN≌ABM；④CD=DN。

其中正确的结论有(填序号)

三、简答题：（共8大题，共88分）

19、计算与化简求值（1、2小题各5分，3小题8分，共18分）

（1）(2)[(x＋y)2－(x－y)2]÷(-2xy)．

（3）先化简,再求值:（），其中x2﹣4=0．

20.分解因式(每题6分，共12分)

21、解方程。（8分）

-1=.

22、（6分）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹，）

如图，已知点M、N和∠AOB，求作一点P，使P到

点M、N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．

23、（10分）如图，给出五个等量关系：①②

③④⑤．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．（8分）

已知：

求证：

证明：

24、（10分）甲，乙两人准备整理一批新到的试验器材，若甲单独整理需要40分钟完工，甲、乙共同整理20分钟，乙再需单独整理20分钟才能完工。

（1）乙单独整理这批试验器材需多少分钟完工？

（2）若乙因工作的需要，他整理的时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？

25、（12分）请仔细观察表中数据，并回答下列问题。

边数34567…n

从一个顶点出发的对角线的条数01234

上述对角线分成的三角形个数02345…

总的对角线条数025914…

（1）用含n的式子分别表示从一个顶点出发的对角线的条数，上述对角线分成的三角形个数，总的对角线条数。答案直接写在表格中。

（2）若一个多边形的总对角线数为54条，求该多边形的边数和以及内角和度数

26、（12分）观察下列等式

12×231=132×2113×341=143×3123×352=253×32

34×473=374×4362×286=682×26......

以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成的两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”。

（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”

篇8

无论应用怎样的教学方法，教师都需要先了解其理论基础。数学变式教学同样具备其独有的理论基础。尤其是对数学知识这种抽象性很强的知识，更需要学生做好充分的准备和积极的探究。初中阶段，学生的思维能力正在发展，对于学生理解能力的培养是非常重要的。数学中有很多概念和符号都比较抽象，学生在理解时会出现很大难度，难以快速形成系统的知识框架。目前，很多初中数学教师在课堂教学中，应用文字讲解加符号教学的方式进行教学，这对学生知识理解的帮助作用是微乎其微的，学生在难以理解知识的情况下，智力成长也会受到阻碍，从而导致学习效率无法提高，初中数学教学失去意义。例如：学习极限知识时，教师引入了一个例子：比较1与0.999哪个大？有的学生认为1大，根据极限理论，即使无限增大，也不可能超过1；也有一些学生认为0.999大，因为0.333接近三分之一个，如果在此基础上扩大三倍，那么结果显而易见。在初中数学变式教学中，其教学活动是围绕着培养学生理解能力这一主题展开的，通过教学知识的理论与应用，将传统的理论教学变成应用教学。

二、发挥变式教学的作用

在明确变式教学的理论基础后，还需要在实际的教学过程中进行应用，充分发挥其作用。在变式教学中需要用到非常多的例题，看起来与题海战术有相似之处，但两者的本质是完全不同的，变式教学引用例题，不是为了让学生见到更多题型，按套路解题，而是在教学抽象理论知识的时候，通过灵活多变的题目，将枯燥乏味的理论知识演绎出来，让学生运算规律操作得到充分的锻炼。在初中数学中应用变式教学，可以有以下三个作用。

其一，数学理论知识的变式教学的重点，变式教学能够很好地促进数学理论知识教学。在初中数学变式教学中，对于数学抽象理论知识的教学，无论是定理、概念、性质还是公式，都可以与其应用教学结合起来，首先从比较具有特殊性的问题入手，将抽象的理论知识具象化，让学生对知识有初步的了解，然后在逐渐发展到一般性的问题当中，对理论知识进行普适性讲解，从而易化学生对知识的理解，帮助学生快速掌握。

其二，数学变式教学有助于学生思维能力的提高。初中数学变式教学的实质是对理论知识的教学，在教学的过程中，学生的思维理解力一直在提升，对知识的深入探究，也能锻炼学生的思维深度。在变式教学中，通过反例的列举，能够从另一个角度，将知识的本质更清晰地反映出来，同时，学生在学习的过程中，将反例与原问题对比分析，能够提高学生的思维批判性，增强学生的判断能力；数学变式教学中，一题多解、一法多用以及一题多变等模式，能够将各类问题的多个角度展现在学生面前，学生在学习的过程中，能够有效提升自身的思维全面性和敏捷性。

其三，变式教学可以培养学生的辩证思维能力和逻辑推导能力。例如：在教学有关多边形的对角线的知识时，如果教师直接说出其公式，学生并不能很快的理解，对此，教师可以应用变式教学，举出这样的例子：从多边形的一个顶点，作对角线（如图所示），问题一，四边形从一个顶点出发，可以作1条对角线、五边形可以作2条、六边形可以作3条、那么七边形可以作几条对角线？n边形呢？问题二，上面做出的对角线把四边形划分为两个三角形、把五边形划分为3个三角形、六边形4个，问，把n边形划分为几个三角形？问题三，根据以上规律，探究多边形内所有对角线的条数，问，n边形有几条对角线？

篇9

所谓生成式探究是指在课堂教学过程中，对动态生成的问题进行的局部探究。课堂是教师教学的主阵地，是学生获得知识的主渠道。在这个动态过程中，学生作为认知的主体，会带着自己的认知结构参与课堂活动，从而使课堂生成了许多课前没有预料到的情况，当情况发生时，教师要针对生成的问题类型进行有效的处理，其中有些问题进行局部探究是一种很好的选择。第一，动态生成的问题情境，学生具有迫切地想探究事物本质属性的认知心理，通过探究使学生能够揭开问题的本质。第二，探究有助于增强学生的主体意识。在课堂探究中，每一个学生都有机会发表自己的认识和观点，每一个学生都能对其他学生的观点进行评价，这样有利于调动学生的学习积极性、主动性、自觉性，从而发挥学生的主体作用，增强学生的主体意识。第三，探究有利于培养学生的观察能力，有利于培养学生发现问题、解决问题的能力，有利于培养学生创新能力。例如：点到直线距离概念教学。

案例1。

师：很多同学在运动会上跳过远，跳远时，裁判员是如何测量运动员成绩的？（不犯规的情况下）

生1：从起跳点鞋的后跟测到落地点鞋的后跟。

生2：不对，是从起跳点鞋的前尖测到落地点鞋的前尖。

生3：你们两个说的都不对，是从落入沙坑鞋的后跟测到起跳板的。（同学认为生3说的正确。）

师：如何从落入沙坑鞋的后跟测到起跳板？

生4：用皮尺测量。

师：如何测？起跳板是一块板，有一定的长度和宽度，测到不同的位置，运动员的成绩是一样的吗？

生5：不一样，不公平。

生6：从落入沙坑鞋的后跟测到起跳板前边，并且皮尺要垂直于起跳木板。

师：为什么要垂直于起跳板前边？

生7：不垂直成绩不唯一，而且都比垂直的远。（联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）

师：皮尺相当于一条线段，起跳木板前边相当于一条直线的一部分。实际上是一条满足什么条件线段的长度是运动员的成绩？

生7：落入沙坑鞋的后跟到起跳板前边所在直线的垂线段的长度。

师：这实际就是一条直线外一点到一条直线的距离，叫做点到直线的距离。请同学给出定义。

生8：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离。

思考：以上是一个概念的教学过程，动态生成的探究问题，通过教师根据问题变化情况，由教师提出局部探究的主题，学生进行局部探究的过程。首先教师提出问题，跳远时，裁判员是如何测量运动员成绩的？整个问题在学生的回答的过程中，动态生成的第一个探究问题是当学生得到“是从落入沙坑鞋的后跟测到起跳板的”，一部分学生感觉得到答案了。这时教师反问到“如何测？起跳板是一块板，有一定的长度和宽度，测到不同的位置，运动员的成绩是一样的吗？”引发了学生的探究，然后经过学生的争辩，最终得到了问题的答案。

以上通过教师、学生思维的相互碰撞，使学生的思维得到激活，最后对如何科学合理测量成绩达成共识。最后给出点到直线距离定义，水到渠成。在此过程中，学生如数学家一样，以主人身分去发现问题、探究解决问题，培养了学生的创新能力。

二、递进式探究

所谓递进式探究，是指利用递进式变式题组创设问题情境，进行的探究。递进式变式题组是指在课堂教学中，为了达到某一教学目的，根据学生的认知规律，合理有效地设计一组数学问题，且这组数学问题又有一定的内在逻辑联系，即前一个问题是后一个问题的特殊情况，后一个问题是前一个问题的一般的情况，这样由特殊到一般的题目组合称为递进式变式题组。这种递进式变式题组，层层递进，由浅入深，由简到繁，循序渐进，螺旋式上升，有利于学生对问题本质的深刻理解，进而掌握规律。规律是事物发展过程中本身所固有的必然联系。规律是客观存在的，是不以人们的意志为转移的，人们只能发现规律，利用规律，不能改变规律。苏霍姆林斯基说“人的内心里有一种根深蒂固的需要，总想感到自己是发现者、研究者、探寻者”。数学教学中有很多规律需要学生去探究，教学中要鼓励学生去探究规律并掌握规律，教师要为学生的学习创设探究情境，建立探究的氛围，促进探究的开展，把握探究的深度，这样才能调动学生探究的积极性，激活学生探究的潜能，以寻到规律。

案例2：幂的乘方法则的探究过程，给出如下递进式变式题组，以使学生自主探究规律。

（1）（23）4=2（） （2）（a3）4=a（ ）

（3） （2m）n =2（） （4）（am）n=a（）

思考：显然（1）是底数、指数都是具体数，学生很容易利用乘方的意义得到问题的答案。接下来（2）（3），在（1）的基础上，（2）把底数由具体数变成了字母，（3）把指数由具体数变成了字母。（4）是在（2）（3）的基础上，把底数、指数都变成了字母，得到了一个一般的幂的乘方的规律。在以上探究过程中，充分运用一组递进式变式题组，由特殊到一般地进行探究，使学生跳一跳就能摘到果子，从而使学生能够顺利地得到乘法法则，同时建构数学认知结构。

三、类比式探究

所谓类比式探究，是指当新知识与已有的知识之间有相同或相似之处时，运用类比推理进行的探究。第一，类比推理作为一种合情推理的方法，在数学知识的发现中发挥着巨大的作用。波利亚曾说过：“类比是伟大的引路人”，并在《怎样解题》中说：“在求解（求证）一个问题时，如果能成功地发现一个比较简单的类比题，那么这个类比问题可以引导我们到达原问题的解答”。第二，《标准》对类比方法提出了教学建议，“通过观察、实验、归纳、类比、推断获得猜想”。第三，通过类比有利于学生的知识发生正迁移，利用已有的旧知识，来认知新知识，有利于使学生头脑中建立完善的知识网络，从而加深对数学知识的理解。例如，通过平方根和立方根知识，让学生类比探讨n次方根知识。通过分数的基本性质，让学生类比探讨分式的基本性质。通过全等三角形的判定方法，来探索相似三角形的判定方法等。

四、实验式探究

所谓实验式探究，是指利用实验的方式进行的探究。《标准》指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。通过数学实验，使学生把所学的知识用于生产、生活、实际，体验知识和形成过程，用数学的思维方式去观察世界、感悟世界。在函数教学后，设计探究活动。

案例3：一天中，8时至12时，一个电线杆的影子长度与时间之间是否存在函数关系？

（1）收集数据

（2）分别以时间为横坐标，影子长度为纵坐标，在平面直角坐标系中，分别描出各点，并用光滑曲线将这些点连接起来。

（3）影子长度L是时间t的函数吗？为什么？

思考：实验性探究要与学生的生活紧密结合。因为要探究的问题是学生没有解决过的问题，对学生有一定的挑战性，但如能与学生的生活经验相结合，有利于问题的解决。一是学生生活经验经内化后，成为了学生进行认知的固着点，这样有利于学生进行新的建构。二是要与学生的学习内容相结合。这样便于学生利用已有的知识进行深入的研究。三是实验本身要有很强的可操作性，这样更有利于学生的实验操作，获得知识。上述实验性探究在函数教学后，让学生自主进行探究，首先可使学生加深对函数概念的深层次理解，同时掌握进行实验研究的基本方法。其次让学生体会到数学是平平常常的、自自然然的、就在我们身边，就在我们生活中。

五、推理式探究

所谓推理式探究，是指通过逻辑推理的方式进行的探究活动。《标准》指出：义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力。李大潜院士认为：“老是量，就倒退到尼罗河时代去了”，价值在于理性思维，从公理出发的演绎推理。姜伯驹院士在政协的提案指出：“三角形内角和等于180°这样的基本定理，让学生用剪刀将三个角进行拼接实验。只知其然不知其所以然，如何培养思辨能力？”可见在数学教学中培养学生的推理能力是数学教学的核心任务之一，有很多知识是需要学生通过理性推理获得，因此教学中，教师要创造条件，让学生通过逻辑推理的方式去获得知识，这是培养学生的独立思考能力、创新能力非常重要的方法之一。

案例4：平行四边形一条对角线所在直线上的两个不同点（非平行四边形对角线的交点，两个点同时在一条对角线上或同时在一条对角线的延长线上）如果分别到这条对角线两个端点的距离相等，那么这两点与平行四边形另外两个顶点的连线构成的四边形是什么图形？

分析：探究此命题分五种情况，二种情况是两点都在对角线上（非端点，非对角线交点），另二种情况是两点都在对角线的延长线上，还有一种情况是两个点就是对角线的两个端点，这时命题显然是成立的，因此下面只对另外四种情况进行证明。

情况1：如图1，已知？荀ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF。探索四边形BEDF形状，并证明。

证明：联结BD交AC于点O，因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD，又因为AE=CF，所以OA-AE=OC-OF，即OE=OF，所以四边形BEDF是平行四边形。

情况2：如图2，已知？荀ABCD中，E、F是对角线AC所在直线上的两点，且AE=CF，探索四边形BEDF形状。

证明：联结BD，因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD

又因为AE=CF，所以AE+OA=CF+OC，即OE=OF，所以四边形BEDF是平行四边形。

情况3：如图1，已知？荀ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AF=CE。

探索四边形BEDF形状。

分析：由AF=CE，所以AF-EF=CE-EF，所以AE=CF，从而问题转化为情况1。

情况4：如图2，已知？荀ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AF=CE，探索四边形BEDF形状。

分析：由AF=CE，所以AF-AC=CE-AC，所以CF=AE，从而问题转化为情况3。

综合以上情况，四边形BEDF是平行四边形。

思考：一是推理性探究，探究问题要在学生的最近发展区内。让学生跳一跳，就能摘到果子，获得成功的体验，并在成功的快乐中，充分激活学生的潜能。二是探究的问题应该有代表性、典型性，是一类问题的突出代表，具有共性特点。目的是尽量做到能用典型问题这一把“钥匙”开一类“锁”，以达到“做一题，通一类，会一片”的效果。三是上述数学问题只要满足本命题的条件，都可通过证明平行四边形的策略进行解决，此法是解决这类问题的一个通法。数学问题多种多样、千变万化，但有很多问题的本质都是相同的，只不过把它的非本质属性变化了一下，对这些问题加以归纳、概括其本质属性，就会得到解决此类问题通用解题方法，从而达到举一反三、事半功倍的教学效果。

总之，在教学中一是要结合学生的生活经验，二是要结合学生的数学认知结构，三是要考虑问题研究的价值。科学合理地选择探究性的问题，使学生经历发现、操作、实验、归纳、猜想、验证等数学活动，从而培养学生的探究精神、探究能力和创新能力。

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新课程标准要求，初中学生要初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科学习中的问题，学会从具体、特殊的数学事实中探究出其存在的规律，增强应用数学的意识。为适应新的教学理念及社会和谐发展的需要，为培养学生养成探索规律和发现新知识的行为习惯，人民教育出版出版的初中数学教科书（九年义务教育初中数学课本）编写有以下的规律探索题目：

图1

1. 七年级上册数学课本（人教版）第73页数学活动1：如图1所示，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如果图形中含有2、3或4个三角形，分别需要多少根火柴棍？ 如果图形中含有n个三角形，

2. 七年级下册数学课本（人教版）第84页习题7.3第1题：画出六边形的全部对角线。（拓展思维：如果是n边形，全部共有多少条对角线？）

3. 九年级上册数学课本第28页习题22.1第7题：参加一次聚会的每两人都握一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？

4. 九年级上册数学课本第48页习题22.3第6题参加一次足球联赛的每两队之间都进行两比赛，共要比赛90场，共饿多少个队参加比赛？

探索规律数学题会给学生带来困惑，学生不知从何下手。因此在教学中，鼓励学生亲自动手（画图和列表），从简易开始，逐渐递增，认真观察，寻找常量和变量，探索变量变化的规律，并归纳总结解探索规律数学题的一般步骤和解题思路。以上1-4题应列表如下（表1）：

表1

个数1234567…n

火柴数33+2×13+2×23+2×33+2×43+2×53+2×6…3+2n

边数45678…n

对角线数22+32+3+42+3+4+52+3+4+5+6…2+3+…+（n-2）=0.5n （n-3）

人数23456…n

次数11+21+2+31+2+3+41+2+3+4+5…1+2+3+…+（n-1）=0.5n（n-1）

队数23456…n

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初中生的思维定势是一种普遍的心理现象。在学生的学习中,既有积极的作用,也有消极的作用。积极的作用表现在:学生按常规的思维模式去学习和发散思维能力的发展。初中数学这门学科对学生的发散思维要求比较高,培养学生的发散性思维是数学教师努力的方向。对学生加强思维发散型习题的解题指导和练习训练,是培养学生发散思维有效途径之一。下面我结合实例谈谈个人的做法与体会。

案例一:菱形有哪些性质?如何判断一个四边形是菱形?

菱形是一种特殊的平行四边形,除具有平行四边形所有的性质外,还具有以下性质三个性质:(1)四条边都相等;(2)对角线互相垂直;(3)没一条对角线平分一组对角。

判断一个四边形是菱形的方法:

(1)四条边都相等

(2)对角线互相垂直的平行四边形

(3)有一条对角线平分一个内角的平行四边形

发散型习题1:在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,从(1)AB=CD;(2)AB∥CD;(3)OA=OC;(4)OB=OD;(5)ACBD;(6)AC平分∠BAD这六个条件中,选取三个推出四边形ABCD是菱形,如(1)(2)(5)推出四边形ABCD是菱形。再写出符合要求的两个:___________推出四边形ABCD是菱形;____________推出四边形ABCD是菱形;

分析首先依据题意画出图形如下,

再联想平行四边形及菱形的判定方法,

由“对角线互相垂直的平行四边形”是菱形可得(3)(4)(5);由“有一条对角线平分一个内角的平行四边形”是菱形可得(1)(2)(6)或(3)(4)(6)。

答案:(3)(4)(5)(1)(2(6)

变式演练1如图所示,菱形ABCD的周长为40cm,∠BAD=120°,对角线AC的长为()

A. 5cmB.5(根号下3)cmC.10cmD. 103cm

发散型习题2:已知ABCD,试用两种方法将平行四边形ABCD分成面积相等的四个部分。

分析:平行四边形是中心对称图形,过对称中心的每一条直线可将平行四边形ABCD分成面积相等的两个部分。由于平行四边形对边平行,而两条平行的距离相等,可利用等底等高的三角形面积相等这一条件。

解方法一:连接AC、BD。如下图所示。

方法二:过对称中心分别作平行于AB、CD的平行线EF、MN即可。如下图所示。

方法三:过AD、BC的中点作直线EF,连接BE、DF即可。如下图所示。

案例二:等腰梯形的性质和判定

等腰梯形的性质:等腰梯形同一底上的两角相等,对角线相等。

等腰梯形的判定方法:

发散型习题1如下图所示在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB>CD,AD=BC,BD平分∠ABC,∠A=60°,梯形的周长为20cm,试求梯形的面积。

分析:由等腰梯形的性质,可知∠A=∠ABC=60°,由BD平分∠ABC,可得∠2=∠3=30°,则∠ADB=90°,因此有BC=DA=1/2AB,可求出上下底的长及梯形的高。

解在等腰梯形ABCD中,∠A=∠ABC=60°。

BD平分∠ABC,∠2=∠3=30°

∠ADB=180°―(∠A +∠3)=180°―(60°+30°)=90°,

AB=2AD。

AB∥CD,∠1=∠3,进而∠1=∠2。

CD=BC=AD。

AD+CD+BC+AB=20

CD=4,AB=8,AD=4。

作DEAB,垂足为E,则∠ADE=30°

AE=1/2BD=2,

DE=

S梯形ABCD=(CD + AB)•DE =

发散型习题2如下图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C,点E是BC边的中点,求证:AE=DE。

分析要证AE=DE,可证ABE≌DCE,联想等腰梯形的判定定理和性质定理。

证明在在梯形ABCD中,

∠B=∠C,

梯形ABCD是等腰梯形。

AB=DC。

点E是BC边的中点,

BE=CE

ABE≌DCE,AE=DE。

发散型习题3(本题由学生自主完成,教师检查、点拨):在数学活动课上,要求同学们做下面的“循环分割”操作,然后再探索规律:如下图是一等腰梯形纸片,其腰长与上底长相等,且底角分别为60°和120°,按要求开始操作(每次分割,纸片不得有剩余)。

第1次分割,先将原等腰梯形纸片分割成3个全等的正三角形,然后将出的一个正三角形分割成3个全等的等腰梯形。

第2次分割,先将上次分割出的3个等腰梯形中的一个分割成3个全等的正三角形,然后将刚分割出的一个正三角形分割成3个全等的等腰梯形;以后按第二次分割的方法进行下去……

(1)请你在下图中画出第一次分割的方案图

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日本著名数学教育家米山国藏认为，把问题简单化是学习数学的最基本精神. 无论是生活中的问题，还是数学本身比较复杂的问题，简单化是发现数学规律的有效途径. 教师在其间建立适当的路标，引导学生由简单到复杂学习，由低层次到高层次去学习、去生成新的再创造问题.

在几种常见课型中，如何体现再创造教学的本质？譬如：概念课中，如何让学生理解概念本身乃至概念背后所体现的学科思想方法；习题课中如何通过题目训练学生思维的发散；如何分解综合题，设计问题串，把习题还原成挑战学生认知过程的探索问题；复习课中如何整合知识形成体系，引领学生站在一定的高度看问题.

一、学科概念形象的再创造

学科概念是掌握该学科知识体系的基石，通过生活实例、演示实验给学生提供一个平台，让学生在问题情境中体验概念形成的过程.

在新人教版第五章相交线与平行线的“三线八角”教学中，面对刚刚接触几何的学生，教学中除了揭示定义的数学本质外，借助于直观的形象的教具以丰富学生的感性认识，概括出“三线八角”的识别要领：如图1，同位角∠1与∠2成“F”型.如图2，内错角∠3与∠4成“Z”型.如图3，同旁内角∠5与∠6成放倒的“U”型， 让学生充分地理解概念。

在概念学习过程中，教学生以学习方法，有利于学生学习能力的培养.

二、一题多解、一题多变，解法的再创造

在“平行四边形的判定”的例题教学中，设计如下：如图4，ABCD,点E、F在对角线BD上,BE=DF,求证：四边形AECF为平行四边形。

1、给学生一定的时间进行解题探究，让每个有想法的学生“说题”

【生1】：先证明两次三角形全等（ABE≌CDF,ADF≌CBE），得两组相等边(AE=CF,AF=CE)，再利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明四边形AECF为平行四边形.

【生2】：只用一次三角形全等（ABE≌CDF），得到AE=CF，进一步证明AE∥CF，再利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出结论“四边形AECF为平行四边形”.

【生3】：“连接AC、BD相交于点O”，利用“平行四边形的对角线互相平分”得到OA=OC,0B=OD;结合BE=DF，进一步得到OE=OF,再利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明.

【生4】：可不可以利用“平行四边形是中心对称图形”证明啊？（可以）又如何表达呢？…

通过以上“一题多解”的说题,充分展示学生的思维过程,各种不同的证明方法得以唤醒与巩固。

2、借助变式训练，引导学生思维向纵深发展

【变式1】如图5，如果E、F在对角线BD的延长线上，连接AE、EC、CF、FA，能否证这个四边形是平行四边形？通过这个变式，揭示 “等量加等量(或等量减等量)还是等量”.

【变式2】如果再增加两个点，也就是说“有四个点在两条对角线或它们的延长线上”，你能构造图形吗？学生给出四种图形,如图6所示：

【老师点评】：这些变式的解题方法都是从“对角线”来证明，这些

图形里外都是平行四边形，是一种典型的“母子关系”.

其他同学还有别的想法吗？有一位学生，提供了图7：

【学生】已知平行四边形ABCD是中心对称图形。

直线绕着点O旋转到任意位置，都可以得到相等线段.设分别与AD、BC相交于点E、F，可证OE=OF,在对角线BD的延长线上截取BM=DN,则有四边形EMFN是平行四边形.

【老师】百变不离其宗――四边形的“对角线”，这是编题的最本质所在.

通过说题及例题变式，引导学生归纳题目的共性，多题归一，产生以题带类的教学效果.

三、思维方式的再创造

1、选题具有针对性、典型性和灵活性

在复习课中选例能针对教学的重点、难点和考点，有代表性，同时贴近学生的“最近发展区”，能起到示范引路、方法指导的作用. 还应在情境设问、立意等方面作变化，从不同角度使学生对知识和方法有更深入的理解. 在二次函数复习课中。

例如：如图8，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于两个不同的点A(－1，0)，B(m，0)，与y轴交于点C，且∠ACB＝90°。

(1)求m的值和抛物线的解析式；

(2)已知点D(1，n)在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E． 在x轴上是否存在点P，以点P，B，D为顶点的三角形与AEB相似，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由。

2、 巧用课堂提问，激活学生思维

第一、调度好新旧认知的联结点，第二、促进思维活动的良好起步，设计问题，先热身训练。

【问题6】探点一：连结DB，在x轴上，点P有否可能在点B右侧？

(只要观察∠DBx与∠EBA是否有可能相等,即求∠DBx的大小和∠EBA的取值范围)

探点二：在x轴上的点B左侧是否存在点P?

四、发掘“土定理”，以题带类，结论的再创造

数学的最大特征就是简约性. 再创造的价值不仅仅是把某一个题目做出，而是要不断寻求数学理性思维的生长点，选择最佳途径，从而进入新的探求境界，努力培养学生用数学的意识和数学建模的能力.

在初三复习课时，通过例题练习让学生领悟到某些知识点之间的联系，还要帮助学生整合知识块，归纳出一些“土定理”，对学生寻求一类题型的思路有导向作用. 以相似基本图形“三线一等角”土定理的课堂设计为例：

1、先给出基本图形的特殊情况，让学生认识到模型的特征.

如图13,已知：∠A=∠B=∠DEC=90°, 你能得出哪些结论？

【老师】如果这“三等角”∠A=∠B=∠DEC=.(如图16)，还能得出上述结论吗？说出你的理由.

【归纳】 “一线三等角定理” ：

如图13，点E在直线AB上，且∠A=∠B=∠DEC，则ADE∽BEC文字叙述为：如果顶点在一条直线上的三个角相等，那么它们所在的两个三角形相似.点评：这个“土定理”有普遍意义，它有利于我们在相似三角形中寻找解题思路.

【变换题目的条件】：

简单化是发现数学规律的有效途径. 教师的任务是在其间建立适当的路标，在问题驱动下引导学生由简单到复杂学习，由低层次到高层次去学习、去生成新的再创造问题.教学中关注思维形成的过程，为再创造学习寻找生长点；学会借题发挥，重视高层次的思维、深层次的知识和实质性的对话. 努力培养学生对问题的剖析能力、促成以题带类的本质性迁移，把借助数学内容的学习让学生去发挥数学资源的再创造价值作为追求的最高境界。