数学思维的主要类型范文

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中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2012）-06-0096-01

一、高中学生数学思维障碍内涵

思维是人脑对客观事物的反应，是一种大脑活动。人类大脑在接触世界时，会对客观事物进行信息采集和处理，然后进行逻辑思考，这一系列复杂的过程称为“思维”。思维障碍是指人脑对客观事物进行逻辑思考时，不能准确得出一般性结论（普遍真理），与正确的思维相比存在逻辑误区，无法形成正确的思维。同时，不能掌握正确的逻辑推理能力，无法学会既定的逻辑思考法则，也属于思维障碍。小学和初中教育阶段，数学学科重点培养学生掌握基本的数学法则和数学规律，形成一定的数学思维，高中数学相比之前的数学教育，存在一个明显的转型，由运算能力的培养转向数学逻辑能力的培养，因此，高中数学通过数学学科知识教育，如三角函数等数学定理等，来重点培养学生的逻辑运算能力。因此，高中学生数学思维障碍，实际上是一种逻辑思维障碍，没有形成正确的逻辑思维和数学思考能力。

二、高中学生数学思维障碍类型和成因

（一）高中学生数学思维障碍的类型。高中学生数学思维障碍，总体来说包含以下几种类型。首先是思维定势障碍，这种思维障碍源于学生在之前的理解中形成思维定势，无法接受其他的逻辑推理。其次是功能固定思维障碍，这种思维障碍使得自己的思维固定在一个方面，不能使思维发散和同类推理。第三是概念思维障碍，对概念理解不清、概念之间的混淆极易造成这类思维障碍。第四是兴趣思维障碍，也成为非智力思维障碍，主要源于学生兴趣的缺乏和对数学知识的主观排斥。还有其他的思维障碍，如经验型、干扰型等等。

（二）高中学生数学思维障碍的成因。上述几种思维障碍的类型，在形成原因上具有很强的相似性，并且促使某种思维障碍形成的原因有很多，有些甚至是相互影响的。但是，不同的思维障碍类型之间有着一定的差别，主要表现在思维障碍的形成过程上。因此，需要对数学思维障碍根本原因进行分析，然后分析不同类型思维障碍的形成原因。

1.逻辑推理方式引起的思维障碍。逻辑推理方式引起的思维障碍是数学思维障碍的根本原因（除去主观排斥因素）。实际上，高中数学思维障碍在形成因素上是一致的，即自身的思维存在误区，因此不能很好的接受正确思维的锻炼。人在接触世界时，会根据自身的情况对事物进行思考，信息量越多逻辑推理越复杂，因此每个人思考中利用的信息都是不一样的，这会使不同的人形成不同的逻辑推理方式，这是影响学生接受正确数学思维培养、形成数学思维障碍的最重要原因。

2.思维定势障碍的成因。思维定势障碍的成因是学生在之前接受的思维锻炼中，形成非常固定难以改变的思维定势，使他在接触其他的普遍规律时，无法将思维装换过来，即使这两种思维并非表现同一个普遍规律，但他任然无法跳出定势思维的影响，因此不能掌握其他的思维类型。比如在三角函数的学习中，sin=tan·cos，学生初中三角函数的学习当中已经接触到这个运算法则，因此形成了较强的思维定势，当他再接触cotA=cosA·cscA这个公式时，思维不能形成正确的转换，就如同形成条件反射一般，在逻辑推理上缺少一环，没有自己思考和转换的痕迹。

3.功能固定思维障碍成因。功能固定思维障碍在形成的根本原因上与上述的思维定势障碍的相似，都是逻辑推理和逻辑运算方面的原因。但是，功能固定思维障碍更在数学法则的应用上使学生思维受到限制，比如学生在学习余弦定理时，教师举的例子是测量地球半径，而当这个公式应用到其他方面的时候，学生就不能拿来解决问题了。功能固定思维障碍在于学生对事物的理解缺乏转换能力，不能看到两个相同事物之间的相同规律。

4.概念思维障碍的成因。概念思维障碍的形成也是一种逻辑能力的欠缺，表现为对概念的理解存在误区，或者理解得较浅显，无法对其深入理解。概念思维障碍，使学生在解题当中，往往只能解决与概念的叙述联系较紧密的题型，稍微一转变，或者反向推导，学生就不能正常应用概念了。另外，只能解决较简单直观反映概念的题，当两个概念或者法则综合起来时就不能进行正确的区分，也是概念思维障碍的表现形式。

5.兴趣思维障碍的成因。兴趣思维障碍，与其他的思维障碍相比既简单又复杂，简单是因为学生并非能力的欠缺或者逻辑推理不正确而形成思维障碍，复杂是一旦形成兴趣思维障碍，学生在主观上会对数学科目的学习存在抵触情绪，这种主观的情绪无法用技术手段解决。

三、高中学生数学思维障碍突破研究

上文中提到形成数学思维障碍的原因具有较强的一致性，因此不再针对不同的思维障碍进行分析，这里将探讨突破数学思维障碍的一般性原则。

（一）贯彻落实新课程改革要求。针对传统教育对学生能力培养方面的欠缺，党和国家提出新课程改革的要求。突破高中学生的数学思维障碍，就要贯彻落实新课程改革的要求，将学生置于课堂教学的主置，培养学生的自学能力和自我理解能力，数学思维障碍会在一定程度上得到突破。

（二）加强教学引导。加强教学引导，是指批判继承原先的高中数学教学模式，转变教学方法，对数学概念和数学法则的教学，采取更易于学生接受的方式。要做到这一点，教师首先应当研究高中阶段学生的思维特点，在他们本身思维特点的基础上采取相适应的教学方法。

（三）具体问题具体分析。不同的思维障碍在形成原因上有着细小的差别，因此针对不同的思维障碍，教师要了解它们的类型，并且弄清形成原因，然后具体问题具体分析，采取适合的方法进行引导。

分析高中学生数学思维障碍的成因和突破措施，有助于高中数学的教学实践开展和教学效果的提升。

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关键词：

类比思维；高中数学；解题应用

所谓类比思维就是从两个事物之间在某些方面的相似中推出其他事物相同或不同属性的思维推理模式。包括：通过新事物对已掌握知识进行回忆与巩固的联想模式和通过类比在不同事物间查找相似、相异之处的思维模式。类比思维的运用，可有效提高数学解题效率，培养和提高学生的综合素质能力。本文就自身在高中数学解题中的实际经验，总结类比思维在解题实践中的有效应用，与大家分享如下：

一、类比思维在高中数学解题中的重要性

在高中数学学习中，有效的学习方法很多。类比思维作为高中数学解题中的一个重要思维模式，在实际应用中显示出了它独特的重要性。首先，基于类比思维的解题，我们能够将新旧不同知识进行全方位、有效的对比，从而强化我们已有的记忆并对不同知识面进行分类区别，避免了所学知识的混淆，也有助于消除我们学习中的不良习惯。类比思维的解题，还有助于我们积极构建已学知识的知识网络，使学习和应用更具清晰化、条理化。通过类比思维在数学解题中的有效应用，我们能够更加深入的理解数学知识并培养和提高我们的自学、自创和自行研究问题的能力。创新能力的不断培养拓宽了我们对数学解题的思维模式，提高了学习兴趣。总之，在类比思维的运用中，我们能够不断向未知领域前进，并提高自身的数学学习能力[1]。

二、类比思维在高中数学解题中的有效应用

在高中数学学习中，很多人感觉很吃力，学习成绩不够理想。从高中数学整体的学习上来看，如果我们能够掌握科学合理的学习方式，也就能够快速有效地解决数学问题，从而提高学习效率和学习成绩。这时类比思维作为数学解题思维的重要模式之一，在实际应用中就显示出它独有的有效性。现就以位置关系、概念、图形特征等类型的数学问题为例，阐述类比思维在解题中的具体运用。

1、基于位置关系类型的类比思维应用

高中数学学习中，几何知识内容比较丰富，并具有一定的抽象性。繁杂而抽象的理论增加了我们对知识的理解难度。如何学好几何知识和有效解决系列问题，对同学们的逻辑思维能力就有了较高的要求。而类比思维在学习中的有效运用，使我们瞬间能够明白几何图形的相交、相切、相离等多种位置关系，对高效解题十分有利。类比思维在其中的运用重点是，寻找相似知识点之间的不同，进行对比着记忆和学习[2]。在运用类比思维时，我们必须对知识的异同点加以准确、有效的把握，才能更好运用类比思维来解题。例如：在“直线与圆的位置关系”和“圆与圆的位置关系”中，容易混淆的知识点比较多，所以我们在学习中就应该积极寻找二者的差异，必要时可在草纸上画出二者之间的位置关系。这样我们的解题思路就能够更加清晰，更有效地高效解题。

2、基于概念类型知识的类比思维应用

在概念类型的知识教学中，我们也可以运用类比思维，同样能够取得良好的学习效果。以代数为例：在学习过程中，诸多抽象的概念需要我们加以有效理解。如果相类似概念同时出现，则难以有效区分。如果我们通过类比法对数学概念进行区别学习，以了解相似概念之间的相同和不同点，对以后学习知识的推进非常有利。例如，在“推理与证明”知识内容的解题中，演绎法和归纳法两个概念相类似，使我们在解题过程中极易产生误区，降低解题效率。运用类比思维于其中，将两种概念的解题方法、应用方式进行类比分析，使复杂问题简单化，同时也能够使我们对二者的概念加以更加深入的理解。

3、基于图形特征类型的类比思维应用

立体几何是高中数学的重难点，在学习立体几何时，对我们抽象思维、逻辑思维的要求更高。如果不能对立体几何图形知识内容加以有效的把握，则难以解决数学难题。在学习中，图形特征是比较容易混淆的知识点。基于此，我认为，对立体几何的图形特征学习中，可运用类比思维，不仅能够快速寻找图形特征的差异，而且可强化自身对数学知识内容的记忆。例如，圆柱、球台、圆锥等立体几何图形，虽然都具有各自独特的特点，但是受诸多因素的影响，使我们在解决数学问题过程中，可能对各立体几何图形的特征不能有效把握。因此，在引入类比思维的条件下，我们为区分各图形特征，可自己动手制作各图形的模型，并对图形的侧面进行展开，以更好区分各自的不同。可见，类比思维在图形特征类型知识内容中的有效应用，对解题十分有利[3]。

三、结论

在高中数学解题过程中，可运用的数学思想模式相对比较多。类比思想作为其中的一种重要思维模式，它贯穿于高中数学学科的始终。通过对该思维模式在解题中有效应用的研究，使得数学学习不再成为难题，也有效地提升了我们在学习中的主动性、创造性，培养了良好的思维方式和正确的学习习惯。在学习中也不断提高了我们对数学学习的浓厚兴趣，为将来进行数学科学研究奠定良好的基础。

作者：梁雨田 单位：内蒙古省包头市第九中学高三18班

参考文献：

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【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）32-0141-01

一、引言

作为一门自然学科，数学知识包罗万象，但是，在高中的数学基础学习当中，数学知识更多的是复杂的逻辑关系、数字解答能力以及对几何图形的分析，对学生的抽象思维能力开始提出较高要求。老实说，相比其他科目，高中数学学习更容易让学生产生枯燥感，产生厌学情绪。但如果教学教学方法得当，在数学的学习通过理论基础知识的学习，让学生举一反三的对相同类型题做出解答，引导学生在数学的解答中运用严密的思维和发散性思维，掌握了学习方法，运用数学思维，就会让学生产生兴趣，主动的去学习。本文主要研究高中数学思想方法现状。

二、高中数学思想方法教学的内容

高中数学的思想方法教学在新课改以后，逐渐产生了变化，第一个是教师的责任意识得到了加强，教师在吸取传统教育中的精华，并积极学习新的数学思想方法，在教学中不断实践。高中数学思想方法教学让教师和学生之间的互动交流更加频繁，使教师和学生亦师亦友，教师积极帮助学生创建数学思维，让学生参与到数学的学习中。

在教学中，高中数学思想方法教学，让学生与教师之间多了一层平等的关系，教和学是相对的，在解答问题时，不是被动的学，而是倡导疑问精神，引导学生带着疑问学，带着疑问去听，和教师共同解决数学问题。在教学中引导学生正确的数学思维方式，激发学生的学习兴趣，发挥学生的主观能动性，让学生自主学习，在实践和讨论中学会数学的思想方法，提高数学成绩。

三、高中数学思想方法教学现状的分析

受应试教育影响，高中数学思想方法教学现状在现阶段，并没有完全的脱离传统的教学模式，“题海战术”依然存在。学生在数学学习中并没有真正掌握学习方法和思想方法，有些学生的思维模式没有被打开，所以数学学习的方法与语文、外语的学习方法一样，死记硬背，相同种类的类型题做很多遍，达到条件反射性记忆，见到做过的类型就套用模式，一旦出现没有做过的类型题，就完全没有了破解能力。教师在教学中，依然让学生记下公式，根据习题类型套用公式，这样的数学思想方法教学，并没有真正意义的实现学生的素质教育。因为现阶段，我国实施素质教育政策，新的教育体制，让教师正在逐步转变教学方法，但是高中数学思想方法教学的培训机构较少，不能让教师有一个固定的教学理念和教学目标，教师的教学思想方法需要在实践中不断的探索，所以教师会对新的数学教学思想方法不习惯。

高中数学思想方法教学应该让教师树立正确的教育意识，在数学教学中培养学生的创造性思维和洞察力，比如：在几何图形学习中，学生看不出平面的图形，就可以让学生使用模型、工具进行理解，让学生树立立体思维模式，学习可以让学生进行美术的拓展学习，让学生更好的对数学几何进行理解。在高中数学教学中，教师不应该像传统教育一样，让学生反复做题，盲目的学习数学，这样的数学学习起不到锻炼思维能力的作用。要想学习好一门课程，首先应该对这门课程产生浓厚的兴趣，教师可以在教学中，让学生们了解学好数学的重要性，数学的知识贯穿于每个人的日常生活中，任何科学的发明创造都少不了严谨的数学思维，教师在教学中可以先让学生喜爱数学，提高学生的学习效率。在课堂上，教师应该在枯燥的数学学习中，找到有趣的知识点，让学生共同讨论，也让学生适当的休息几分钟大脑，保证讲到重点、难点问题时，学生的注意力集中。在高中数学思想方法教学中，应该主要培养学生的思维模式，提高课堂的上课效率和课后的自主学习效率。

四、结语

数学的学习是以理论知识为基础，为学生创建数学的思维能力，让学生在数学中找到自己的学习方法，遇到问题时有自己的思想方法，高中数学思想方法的教学应该让教师积极学习更好的教学模式，增强自己的教学水平，在教学中把数学的学习方法传达给学生，让学生形成自己的数学思维模式，提高学习效率。综上所述，高中数学思想方法教学应该在教学实践中不断的探索与完善。

参考文献：

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中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1673-0992（2010）11-0000-01

一．数学中几种重大的思维方法[1]

(1) 算术向代数的发展算术与代数是数学最古老的分支，是内容与形式的结合。从思为发展的过程来说，从算术思维向代数思维的过渡，是中学数学与小学数学的质的飞跃。从这种意义上说，过分追求算术思维的难度不仅对培养学生学习兴趣、数学爱好不利，而且对未来代数发展也毫无必要。

（2）几何学的发展与代数化几何与代数的结合，是数学发展的重要一步，它所表现的数学方法是数学中重大的方法之一。其中，数量的关系表示了一个直观或抽象的几何模型，而这种直观或抽象的几何模型能够帮助人们从不同的角度，不同的层次来实现对现实世界的理解和认识。

（3）常量向变量的发展――无限的数学思维将有限、无限、运动、静止这些描述事物变化的哲学范畴，在今天赋予了数学的具有确切内涵的表达。数学的确定化、逻辑化以及有关无限的思维方式不仅带动了数学的发展，实际上也影响了整个人类的思维方式。

（4）概率论――随机现象的数学思维随机现象的研究，不仅推动了原有的必然性数学理论的发展而且使人们对世界的客观规律的变化有了更深刻更全面的认知理解。

（5）模糊数学的数学思维方法 数学思维不仅能考察偶然的随机事件并找出在它背后的规律而且可以把模糊不清的中介状态给出明确的数学表示。模糊数学的思维方式扩大了数学的应用领域，不仅在自身的领域非常重要，更重要的是在有信息革命之称的计算机领域。它大大提高了计算机模糊识别、模糊选择、模糊决策的能力。

二． 数学思维方法培养

从数学发展的意义上来说，数学作为一种源于社会实践的理性构造的学科，有很强的现实性和可操作性。Mezirow(1991)认为思维是一种对问题解决方案的批判和检查过程，主要对问题方案的前提、内容和过程进行审查，以学会合理的解决问题[2]，我们从以下几个方面进行说明。

2.1数学思维方法严密性的培养

对题目进行深刻分析，解决某类问题过程中，一般情况下，学生的信息源提取是并不完善的，探究问题的出发点仅仅停留在某种形式或内容上，不善于变化，缺乏多角度去思考问题，遇变、求变的情理准备不足，由此造成的思维错误，学生在分析和解决数学问题时，往往只顺着事物的发展过程去思考问题，注重由因到果的思维习惯而忽视了其他的思考方法。思维不全面，不注重变换思维的方式，缺乏沿着多方面多角度去探索问题、解决问题的途径和方法。

2.2 化归的数学思维方法的培养

化归的数学思维方法是把一个数学问题转化为另一个比较容易解答的数学问题，然后再加解决的数学思维方式和数学解题方法，它是一种广泛应用的数学方法。主要有等价变形、恒等变形、同解变形和参数变形的方法来把复杂的数学问题简单化。

2.3反思型数学思维方法的培养

研究人员将同的反思类型思维方法的培养分为三种类型，一是在别人帮助下进行的反思性教学，主要以他人的反馈信息展开反思，如学生对照同学的不同意见或教师对照专家观点，检查自己的思维和成绩；二是没有帮助进行的反思性教学，主要围绕“解决问题"过程展开反思；第三种类型就是，深层意义的个人领悟，不仅对问题的解决进行反思，还要问题的产生根源进行追根问底[3]。正如，荷兰著名数学教育家弗赖登塔(H．Freudenthal)教授指出“反思是数学思维活动的核心和动力”、“通过反思才能使现实世界数学化?”。他认为反思是数学创造性思维的重要表现，它是一种高层次的数学创新活动，是数学活动的动力[4]。知识并不是固定不变在那里等待被发现的，只有通过不断地反思，它才能得以不断地扩展和生成[8]。对于知识的学习，需要反思使合理的行动具有自觉的目的，使行动具有深思熟虑和自觉方式，使学生在头脑中形成的问题成为自己的问题，从而引起他的注意：反思能预先进行有系统准备，建构一个良好的学习习惯。

新概念并不能保证被学生真正的接纳，为此教师引导学生通过概念图的帮助，把已知的和未知的建立联系，便于学生同化或顺应的吸纳新概念。只是这种联系的认识有正误之分，需要教师及时的关注加以纠正，但值得强调的一点是概念图中的联系必须由学生自己完成，教师不能越俎代庖。

最后对于概念的巩固与应用中，要鼓励学生尽量用数学概念解决问题，其实就是教会学生用数学新概念所对应的数学语言和数学思想方法进行思考。如指数函数概念建立以后，就应该将生活中的指数问题熟练的转化为形如y形式加以思考，既巩固了概念又为后面对数函数的学习提供了一个很好的反思性生长点。

希尔伯特曾这样说“在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们没有认识到更一般的概念，眼下要解决的问题不过是一连串有关问题的一个环节[5]。”

所以我们要在日常教学中抓基础，注意平时点滴。

三．结束语

关于中学生数学思维方法培养研究是一个庞大的研究课题，本文仅从三个方面概述了如何对中学生数学思维方法的培养，其中反思型思维方法的培养我对其进行细致的描述其目的在于反思型思维方法不仅适用于任何年龄段学生的学习而且不需要过多的设备简单易行而且效果显著，别适合教学设备不先进的地区。

参考文献

[1] 王宪昌．数学思维方法[M]．北京：人民教育出版社，2002，61-83．

[2] LyDavid Kembet，Alicejoens，Alice ioke，Jan mckay，Kit Sinclair，Haxfison tse，Celia webb．Frances wongand Ella yeun，Determining the leve of eftive thinking from students witten journals using a coding scheme based On the work of Meizirow[M]．Interntional jouranl of lifelong educatioru January-Fcbmary 1999,VoL．18,NO．1,18-33．

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小学高年级是学生学习的关键阶段，对学生走进初中具有基础性作用，且知识的难度也有了提升。与一般的课程内容不同，小学高年级数学对解决问题的要求非常严格，题目类型多样，需要学生具有较强的逻辑能力，在解题中可以实现举一反三。但是由于教学上的不足和传统思想的影响，我国小学生的数学解决问题的解题能力还非常薄弱，无法找到正确的解决对策，甚至会导致学生产生厌学情绪。本文结合我国小学高年级数学解决问题教学的现状，简单阐述教学中面临的问题，并根据实际提出突破教学的科学对策，促进学生的全面发展。

一、目前小学高年级数学解决问题教学存在的不足

就目前来看，小学高年级数学解决问题教学主要存在以下三个方面的不足：

第一，教学形式单一。小学生以形象思维为主，兴趣的培养是学习的前提。但现如今，我国小学高年级的数学解决问题教学仍旧存在单一化的倾向，教学中没有利用现代化设备，教学方式只有枯燥的讲解，方法单一、封闭，不利于调动学生的学习兴趣。

第二，解决问题讲解“类型化”。解决问题题目多种多样，类型丰富，然而很多小学教师却只是凭借经验，将解决问题分为几个简单的模块，让学生尽快掌握解答技巧，实际上很多学生只是机械地记住了答案，根本没有理解其中的道理。

第三，忽视了对学生数学思维的培养。据调查，目前小学高年级的数学解决问题教学仍旧在搞“题海战术”，不断地让学生做类型题，使学生的数学思维被严重僵化，不利于学生发散思维的培养。

二、小学高年级数学解决问题教学的突破策略

（1）通过多样提问调动学生的学习热情。小学高年级学生正处于思维活跃时期，教师要突破传统数学解决问题教学存在的弊端，就必须利用多样化的手段增加问题类型，将教学活动变得更加富有乐趣。另外，多样化的提问还可以调动学生的思维，使其摆脱思维局限性。例如，题目小红有10支钢笔，小明的钢笔数量比小明的2倍少4支，小明有多少支钢笔？教师在讲解完问题之后，可以再提出另一个问题：小明比小红多几支钢笔？再次调动学生的思维，让学生产生积极的学习情绪，提高数学解决问题的学习效率。

（2）利用画图分析法培养学生的抽象思维。学生以形象思维见长，对于抽象的解决问题有莫名的畏惧心理。其实，只要学生理清数量关系，建立数学模型就能很顺利地列出数学式子，解决问题。数学解决问题对学生的逻辑思维、数学能力具有很高的要求，教师必须能够通过画图表的方式向学生传授分析问题的办法，帮助学生理清解题思路，找到解题技巧。例如，小明买了一本280页的漫画书，计划用7天看完。实际每天比计划少看5页，这本书实际看了多少天？列表分析：

借助这种列表的方式，可以让学生直观清晰地看到出题人的意图，然后快速地解决问题。学生在独自面对其他解决问题时，就可以顺利建模，触类旁通，提高解题效率。

（3）让学生自编数学解决问题。想要提高解题能力，降低解题难度，教师在完善自己教学水平的同时，还要对学生的自主探究能力进行培养，只有会编题目的学生才能够解答问题。因此，结合教材的内容和教学的重点，教师可以适当让学生编撰题目，根据自己生活经验提出问题。例如，根据买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少X？学生就自主编写了：3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5 台拖拉机6天耕地多少公顷？这样的题目，对自己的能力有了明显的锻炼。

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一、初中数学采取学案导学法的必要性

作为新型教学模式，学案导学教学法从上世纪末引用到教学以来，在新课程背景下日益成为教育研究者与基层的教育工作者关注之焦点。将这一教学方法引入初中数学课堂，具有多方面的优势。首先，将数学学案作为引导的合作学习、自主创新方法有助于克服初中数学传统上教学存在的不足，大大促进师生、生生的合作和交流。数学学案和教材担负传授知识、培养学生自学能力、引导思路的作用，在数学学案引导下，学生的动手动脑能力得到提升，进行自学和自练，独立阅读、思考以及解决问题的能力得到提升。其次，新教育之下的新型师生关系也得到建立。学生的探究与教师的指导互相结合，实在是为学生在教师指导之下对学习活动进行自主探究，师生间相辅相成、紧密联系，相互作用。教师的指导是学生自主探究实践的前提，教师以学生自主探究为指导基层，达到了师生相互共同学习的目的。

二、初中数学学案导学的类型

根据分类标准的差异性，学案导学教学法可以分成不同类型，每一类型都各具特色。根据现有的分类方式，和相关的调查访谈，现将学案进行以下三个维度的划分：课程进度、课程类型、以及问题设计。

1.课程进度类。依据课程内容进度的不同，学案可分为新授课、复习课和习题课。其一，新授课是以新知识的学习为主要任务，是学生获取新的知识、进行知识结构改善的过程，也是学生的认知能力、创新能力、思维能力的发展过程。在具体的教学过程中，应当依据学生们的认知规律进行学案的制定，体现注重知识的连续性、进行基础的配套练习等特点。在学案当中学习目标的确定上，要具体、完整、规范。其二，复习课目的在于巩固、加深课本的知识，对已学知识进行梳理、归纳、转化辨析，对知识间的内在联系进行挖掘，达到知识的融会贯通，以提升学生进行实际问题解决的能力。在这一过程当中，教师要选择体现学科的能力点、知识点、学科思维特点的题目作为学案的配套练习，例如经典题目、历年中考试题等。其三，习题课作为学生进行概念巩固、公式演练、提升能力的“主战场”，教师的正确引导至关重要，主要体现为在学生活动过程中，教师在教学情景设置上既要体现教学目标，又要体现知识发展的过程和学生进行事物认识的规律。习题课的学案，在选题上十分关键，教师要根据教学的内容和重点，有针对的精心选题，所选的题型应当具有代表性，其思路方法则具备一般性，联系知识上则具有广泛性。

2.课程类型类。初中数学课程类型一般分为概念课和命题课，不同的类型所使用的学案各不相同。前者的学案侧重于把抽象的概念具体化，以帮助学生在已掌握的概念基础之上进行新概念的同化，从具体到抽象进行概念的理解掌握；后者更为注重对学生的逻辑思维进行培养、训练，将锻炼学生归纳推理的能力作为重点。其一，对于概念课，学案材料一般丰富生动具体、习题的形式多样。教师应当帮助学生克服概念具有的抽象性，从感性的图形、定义当中概况本质特性，让学生对于概念的来龙去脉充分了解，以加深对于概念的理解。例如，“棱长相等的长方体称为正方体”这一概念，教师通过具体的例子，抽象出概念的基本要素——角、边及其相互间存在的数量关系与空间关系，让学生真正掌握概念本质含义，并运用到实际的问题解决当中来。其二，对于命题课，在学案编制上重视对于学生思维能力的培养，强调通过课前预习与前测学习，帮助学生对所学的知识和已有知识进行关系确定，从而找到数学命题本身的生长点，引导学生去发现定理生成的过程，为学生加深理解、认识创造条件。例如，在等式性质课程当中，学案首先阐述学习数学命题——等式性质的必要性，给予已有的概念帮助学生建立起新旧知识间的联系，尔后再引入具体的课程知识。

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    一、关于初中数学实验类型划分的概述

    初中数学实验,由于其实验的内容、目的以及实验所采取的工具等因素不尽相同,分类的方法与标准也呈现各自的特点.当下,关于数学实验的分类大致有以下几种.

    (一)按照数学知识素材来划分

    初中数学实验可分为数与代数实验、图形与几何实验、统计与概率实验、综合与实践实验等等.甚至可以根据更为具体的知识素材来分类.例如:有理数实验、代数式实验、图形的运动实验、特殊角的实验等等.此种分类方法的特点是,通过实验课题,我们便可了解实验的大概内容,适合作为章节实验,但对于实验的目的、实验的手段等其他信息则体现较少.

    (二)按照实验的目的来划分

    初中数学实验可分为验证性实验和探究性实验.验证性实验是通过实验操作、观察、记录、分析等手段检验一个数学判断或结论真伪的实验.探究性实验是通过实验来探索、回答一个对学生来说尚不知道答案的数学问题,一般只提供实验的课题.这两种实验有显着的区别:(1)验证性实验在学习完概念、原理之后,是对概念原理的分析和讨论,耗时一般较少;探究性实验则安排在概念原理的学习之前,为发现、提出概念原理埋下种子,用时一般较多;(2)验证性实验一般用于验证所给结论,实验在一定程度上是结论的附庸;探究性实验一般开始于一个有刺激性和探索性的问题,实验的过程受未知探索结果的吸引,对学生的兴趣和积极性要求一般比较高,有利于培养学生的数学情感和数学态度;(3)验证性实验中,教师往往是引导者、评论者;探究性实验中,教师往往是倾听者和提问者,教师和学生在探究性实验中遇到的挑战较验证性实验多.

    此种分类的特点是,操作者对于实验的性质比较明确,在实验实施的过程中目标清晰,能更好地掌控课堂,做到收放自如.

    (三)按照数学实验的实施场所来划分

    初中数学实验可分为随堂实验、实验室实验和课外实验等.随堂实验是指穿插在课堂教学过程中的数学实验.随堂实验的特点是内容短小,使用的工具比较简单,学生能在较短时间内完成,直接为随后的数学主题服务.随堂数学实验设计的主体一般是教师,学生和教师都可以成为实施主体;实验室实验一般是指围绕一个数学主题,需要在专门配置的“数学实验室”组织的实验.实验室实验一般内容较丰富、过程比较长,具有一定的思考性和探索性.一般需要制定实验计划,在实验室借助专门的工具和材料或者计算机及专用数学软件进行操作实验,要求学生观察现象或记录数据,分组讨论实验中所出现的现象或对数据进行分析处理,得出一个结论,并给出合理的数学解释,最后写出完整的实验报告.实验室实验的设计主体可以是教师,也可以是学生,但实验的主体一定是学生;课外实验是指学生在校外借助社会场所、资源、工具等开展的数学实验.这类实验的特点一般具有开放性、探索性、生成性.实验的内容可大可小,实施的时间可长可短.课外实验的设计主体原则上是学生,实施的主体则一定是学生.

    此种分类方法的特点是,有助于教师认清数学实验的外部环境特点和实施的主体,能根据实验内容的大小和时间的长短、实验所需的场所和工具,来设计和选择恰当的数学教学形式开展数学实验.但这种分类方法也适用于其他学科,不具备数学学科的特殊性.

    (四)按照实验工具来划分

    初中数学实验的显着特征是实验工具的多样性,概括起来有两大类:实物直观和计算机.实物直观又包括很多,比如纸、三角板、扑克牌等.因此,依据数学实验所使用的工具来区分,可以分为计算机实验、折纸实验、火柴棒实验、三角板实验和骰子实验等等.

    此种分类方法的特点是,对于实验所需要的工具一目了然,但分类过于宽泛、笼统,对于实验的内容、实验的目的往往不够明确.比如借助计算机来实现的实验内容非常多,有图形的运动、图形的平移、圆周角的性质、一次函数的性质等等.此外,在一个实验中,往往所选用的实验工具不止一种,而被划分为不同的实验类型,也缺乏合理性.

    (五)按照实验手段来划分

    初中数学实验可分为手工操作型、软件运用型、数学建模型和思维活动型.(1)手工操作型实验.通过动手操作,在教师指导下对数学的定义、定理、公式、法则等进行验证或发现的小型实验.这种实验一般易于操作,器材容易准备,占用时间不多,可以在课堂上或课外随时进行.比如学生只要用一个纸质等腰三角形,动手通过对折就可以得出等腰三角形的性质,也可以用一些硬纸皮做立方体的表面,然后沿某些棱剪开平铺,从而探究立方体图形的展开图等等.(2)软件运用型实验.该类型的实验主要是借助计算机,利用数学软件来实现的,如可以利用“几何画板”的画图功能,来探究函数、几何图形的性质,也可以借助计算机完成数值计算等.(3)数学建模型实验.数学建模是数学实验的一个重要组成部分.此类实验更多的是解决生活中的实际问题,将生活问题利用数学建模,抽象成数学问题,这种实验可以是课内实验,也可是课外实验,对学生的要求较高,需要学生有较扎实的数学功底和较强的实践能力.(4)思维活动型实验.思维活动型(思维实验)是指不借助实物工具,只在头脑中模拟实验的全过程,并通过思维活动检验实验的可行性,从而得出结论的思维活动.思维活动型实验还包括对实验对象或条件的理想化实验,这类实验一般适用于对问题的定性分析或对某一实验操作过程的思维重现.

    此种分类方法的特点是,概括较为全面,但分类中有交叉,比如在数学建模型的实验中,既有手工操作的案例,又有一些是软件运用型实验,范围界定不够清晰.

    二、初中数学实验的基本类型及其分析

    数学实验最重要的两个因素是实验目的与实验工具.实验的目的是实验要完成的教学目标,是实验的最终归宿.而实验的工具是实现实验目的的有效手段,是实现教学目标的有力保障.因此,本文将从实验目的和实验所采用的工具两个维度来划分初中数学实验的类型.实验目的概括起来有三种:验证、理解和探索.初中数学实验具有工具多样性这一特点,为方便讨论,本文将数学实验工具概括为两类:实物模拟和计算机模拟.于是初中数学实验可以分为六种基本类型,即实物验证型、实物理解型、实物探索型、计算机验证型、计算机理解型以及计算机探索型.

    (一)实物验证型

    实物验证型实验,顾名思义是建立在实物直观上的验证型实验.该类数学实验,可以帮助学生通过实验检测、验证已得结论或猜想的正确性,从而在实物直观的基础上获得数学知识的理解.其一般步骤为:提出问题——动手操作——观察分析——验证结论.

    观察是思维的入口,感性认识的开端,人们认识客观事物总是从观察开始.首先观察数学现象,得到一些感性材料,再经过分析概括,演绎推理等对这些材料进行加工处理,从而上升到理性认识的高度.由于中学数学教学内容大部分是初等数学,许多数学概念、命题都有其产生的直观背景,因此,它仍是中学数学实验教学的一种主要实验形式.利用实物或数学教具进行实践操作,在真实环境中进行数学实验,是一种有效的学习方式.

    实物验证型实验的特点是:直观,思维起点低,操作简单.

    例1 “平方差公式”的验证.

    实验目的:验证“平方差公式”.

    实验工具:如下页图1所示形状的纸片一张,剪刀.

    实验步骤:

    (1)给学生分组,小组合作求图形的面积;

    (2)小组代表发言,学生的方法概括起来以下有两种:

    ①整体法:大正方形的面积减去小正方形的面积,得到式子.

    ②割补法:将图形剪裁后再拼接,得到矩形(如图2),进而求得面积(a+b)(a-b).

    (3)由同一图形的面积相等得到公式(a+b)(a-b)=.

    (二)实物理解型

    实物理解型实验,是借助实物直观,以学生理解数学概念、定理等数学知识为目的的数学实验.此类数学实验通常是在人为干预实验对象的条件下进行的.借助对实物直观的操作,深刻理解数学概念、原理等.这类实验在初中数学实验中占有相当大的比例.它主要通过学生对实验材料的“数学化”操作来实现对数学概念、原理和事实的接受和理解.

    实物理解型实验的特点是:实验情境贴近生活,实验过程操作简单,便于学生理解.

    例2 “摸棋子”实验.

    实验目的:通过“摸棋子”实验深刻认识、理解概率.

篇8

由于初中学生的年龄特征以及知识结构的限制，在初中阶段往往习惯于“静态”思维，而高中数学无论从思维的广度和深度上都有很大的提高.所以，为了让学生更好地感知高初中数学的区别，我们让学生开始体味静、动态思维的区别.

二、应变能力的初、高中衔接

目前不少学校在解决初、高中衔接问题时，往往在高一新生入学的几个星期内集中复习一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数等内容，这些做法从知识的整体结构来考虑有一定好处，但如果不加创造性地复习往往会抹杀新生的“求新感”，容易产生厌烦情绪.下面以“一元二次”为例谈谈我们的做法，主要是如何搞好应变能力的衔接.

篇9

每个人在数学学习中都存在着许多认知错误，这些错误不仅影响了学生的学习效果，阻碍其进步，也逐渐摧毁着学生们学习数学的信心。随着对数学认知错误研究的深入，越来越多的人已经意识到需要把错误看成一种有效的教学资源。为了全方面地了解学生的认知错误，明确学生通常会在哪些问题上出现何种类型的错误，本文将对数学认知错误的研究从内容、方法、结果方面进行整理。

一、研究现状

自从1925年美国学者Buswell和Judd对学生算术错误进行诊断后，德国、苏联等国家也开展了关于学生算术错误的研究，自此开始，国际上关于数学错误的研究经历了从诊断错误分析原因到发现错误合理性并研究其教育功能两个阶段的发展。而国内关于数学错误的研究最早则出现在上个世纪八十年代，经过三十几年的发展，已经形成了自身的一些特点。综合国内外的研究来看，虽然发展并不同步，但各自的关注点也不乏相同之处。

1.研究内容

学生在数学学习过程中的错误随处可见，研究者的关注点不同，研究的内容自然也是多样的。

首先受到大家关注的是学生在解题过程中出现的错误，学生的错误往往最先从做题中体现出来，自然也就吸引了许多人对其进行研究，从学生解题过程分析了学生的错误。

受到教育心理学发展的影响，学生的学习心理受到了广大研究者的关注，很多人研究了学生在学习过程中的心理性错误，对概念学习的错误进行分析，或研究学生在函数、几何、概率等知识内容学习中的认知错误。

由此可见，关于数学认知错误的研究已经涉及各类知识及各种知识点，研究的角度是多样化的，致使内容也随之丰富起来。

2.研究方法

目前，观察法、文献分析法、问卷调查法是主要研究方法。很多人通过文献分析、课堂观察等方法来初探错误的类型，再通过问卷法来分析其原因。

另有一线教师通过对自身的教学经验进行总结，分析学生的错误类型，产生错误的原因，并提出一些教学对策，发表成文与大家分享。

相比国内的研究，国外研究更倾向于访谈法，Philip通过问卷和访谈的方法深入研究了巴布亚新几内亚学生的错误类型。在对学生错误的原因分析过程中，访谈法更能够深入了解学生的情况。

3.研究结果

学习过程的主体是有着强烈差异的学生，受各方面因素的影响，学生产生的错误也是千差万别的，从心理角度出发，通过对学生在学习不同类型知识的过程中所表现出来的错误进行研究可以发现，这些看似杂乱的错误也是有其心理规律可循的。

（1）概念学习的错误类型

数学概念的学习是数学知识学习的基础，但是由于日常生活概念的干扰、学生认知现状与概念发展之间的差异、片面的认知结构，缺乏对概念意向的必要整合、不同的个体倾向等原因，致使数学概念的教学中容易出现种种错误，这些错误有顽固性、表象性、隐蔽性等特点，因此也引起了大家的关注。数学概念学习的错误可以被分为两类：过程性错误与“合理性”错误。前者包括用日常生活概念、概念原型、“形象描述”等代替数学概念，分类与比较不合理，概括与抽象不完善，概念定义与概念相脱离，概念运用僵化，建立不恰当的联系，对联系作不正确的推广或依据个人经验强行进行不正确的联系等错误。“合理性”错误包括用原来的思维审视新的概念，按过去的经验、结论、方法对概念作“合理”的推广，不自觉地对思维进行限制等错误。也有学者将其分为：语言文字信息类数学错误概念、图形信息类数学错误概念、数学符号类错误概念、综合类错误概念。

（2）不同知识点学习的错误类型

对不同知识点的数学认知错误的心理分析，学者们也做了许多有益的工作。从中我们了解到，函数学习的错误可以受知识本身、学生思维和心理特点的共同影响。函数概念自身的复杂性和辩证性，函数表示方法的多样性以及其符号的抽象性，都可能会造成学生语言转换、策略选择等方面的错误。从学生本身的思维水平来看，初中生的思维水平处在形式逻辑思维的范畴，只能局部地、静止地、分隔地、抽象地认识所学的事物，对函数这种辩证、发展、变化的概念理解需要冲破形式逻辑思维的局限，自然会不断出错。在几何知识的学习过程中，原有知识基础的缺陷、思维缺少严密性、加工技巧的错误等都会导致认知错误。在概率知识的学习中，中小学生阶段的统计与概率问题一般都与日常生活有一定联系，因此，学生的实际生活经验往往会影响到一些统计与概率概念的理解，从而形成一些直觉性的常见误解，如：赌徒谬论、基本利率谬论、小数定律、关联谬论等，除了这些误解以外，其他一些概念如：代表性、实用性、等可能性也会给学生的理解造成困难，语言能力弱、对图表的理解也是导致错误的主要因素。

（3）解题的错误类型

从解题结果的角度，可以把解题错误分为知识性错误、逻辑性错误、策略性错误、心理性错误。Newman针对代数部分的内容，从解题过程角度提出错误的层级（Hierarchy），将其分为五个水平：阅读（Reading）、理解（Comprehension）、转换（Transformation）、加工技能（Process Skill）、编码（Encoding）。理解错误指的是没有掌握问题中所有信息的意义。操作技能的错误指的是与算法有关的错误。编码错误指的是书写错误，如：笔误等。我国学者在此基础上对几何知识进行研究，得出影响认知错误的因素：引起理解、技能选择错误的主要因素是过强的动机、不正确的观念；导致转换、加工技能错误的主要因素是知识基础和认知图式的缺陷；策略选择错误是由以上两个因素共同引起的，因而成为问题解决最大的影响因素。根据波利亚在《怎样解题》中将数学问题的解决所划分的四个阶段，可以将造成解题错误的原因归结为四大类：曲解题意的错误；拟定方案的错误；执行方案的错误；回顾与反思的错误。波利亚在《怎样解题》中将数学题分为求解题和证明题进行比较，之后经过学者研究和分析，发现求解题中学生的错误出现的原因主要有：运算能力差，引起计算失误；审题不清，忽视隐含条件；概念、原理、性质模糊不清；分类讨论不严密造成失误；策略不当引起错误；应用能力差，不能正确建模。证明题中错误的原因有：推理不严密，逻辑思维薄弱引起错误；证明过程犯循环论证的错误；论据本身错误，导致论证无效；推理形式有误，导致证明错误。

二、对未来研究的思考

对于数学认知错误的研究，有许多学者做了大量有益的工

作，但其中也有不足之处，需要我们继续研究。

研究内容方面可以将范围缩小并关注隐性知识学习的错误研究。目前的研究内容可谓丰富多彩，函数、几何、概率统计等都已经有所研究，但大多数的研究内容存在两个问题：首先，研究的内容包括的知识点过多，导致研究面积过大而不能深入；另外，受传统知识观念影响，只对知识技能的掌握进行研究，忽略学生知识当中的隐性知识对其表现的影响。数学教育的目标要包括知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四方面的内容，单从数学内容方面研究显然不足。因此减少研究内容所涉及的知识内容，将思想、方法、经验、情感等隐性知识纳入研究内容中是很有必要的。

在研究方法的选择上，多数文章采取问卷、访谈、文献分析等多种方法结合的方式，使得研究方法更具科学性，但在结果的分析过程中只单纯地通过问卷调查的结果进行分类，其中难免掺杂个人经验，甚至完全依据经验，这样做并不能保证分类的合理性。采用一种科学合理的分类方式将错误进行分类会使结论更具一般意义与说服力。

参考文献：

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评卷课，顾名思义就是指对试卷进行讲评的课，因此改进评卷课的教学方法十分必要。首先，必须明确评卷课的特点，如果说新授课是以课本上的知识作为主要的教学资源的话，那么评卷课就应该以学生在答卷中反映出来的问题作为主要的教学资源。换言之，如果说新授课是老师带着知识走向学生的话，那么评卷课就应该是老师带着答卷中暴露出来的问题走向学生。换言之，如果说新授课是“以本为本”的话，那么评卷课就应该是“以人为本”，这就是二者最主要的区别。

二

要上好高三数学评卷课，必须做好以下充分的准备工作：

1.剖析试卷：剖析试卷就是要对试卷作全面系统的分析，分析试卷的结构，考查的范围，知识点的分布状况，考查的重点、难点，对数学方法、数学能力的要求，等等，并对自己班上的学生的答卷情况作出预测，哪些知识、方法、能力掌握得比较好，哪些方面存在较大的问题，哪些需要在后期进一步巩固、充实、完善，等等。

2.分析答卷：学生答卷的反馈信息是了解学生数学水平和教师教学成效的重要依据，学生答卷中存在的问题从一定程度上折射出教学中存在的问题。对学生答卷的全面系统分析包括：数据统计分析、错误类型分析、解题新法分析。

（1）数据统计分析：对学生答卷的数据分析，就是对全卷的平均分、得分率、合格率、优生率、低分率、各分数段人数、各题的平均分、得分率等进行统计分析，同时，还应该对各章节知识得失分情况进行统计分析，对重要数学方法得失分的情况进行统计分析。

（2）错误类型分析：对学生答卷中的典型错误进行分析整理，正确诊断病因，找出问题的症结。在错误类型分析中，还应该引导学生作自我诊断，统计得失分情况，剖析错因，明确纠正措施。

（3）解题新法分析：在学生的答卷中，常常有很多不同于标准答案的新解法，对这些解法的剖析和研究，有助于我们把握学生思维的脉搏。其中，也不乏一些新颖、优美的解法，这些解法是学生聪明才智的表现，是学生创新思维的火花。

要上出精彩的评卷课，课堂上必须做到：

1.分析情况，展示目标。前面准备工作中已对试卷进行了阅卷分析，并掌握了具体情况。上课时要简单地向学生通报试卷的情况，并将就此制定出的教学目标予以展示，让学生了解本节课应该重点掌握的内容。

2.高三数学试卷的讲评，一般需要2至3节课，因此，必须对试卷内容作适当的总结归类，划分课题。归类可从以下三方面进行：（1）按章节知识归类：将同一章节的知识归结在一起，分析对该章节知识考查的重点、难点，以及对数学方法、能力的要求；（2）按解题方法归类：将试卷中涉及的常用数学方法、数学思想的内容归结在一起，剖析试卷对常用数学方法、数学思想的考查要求；（3）按错误类型归类：划分课题就是将讲评内容划分成若干个专题，确定每一节课的中心内容，突出重点。

数学评卷课切记三忌：一忌就题论题，要注意特殊情况与一般情况的区别与联系，特别重视条件变更下方法的变更；二忌按序讲评；三忌难易集中，一节课讲起来轻松，学生听起来就乏味，一节课讲起来困难，学生听起来就头痛。讲评课要对一次测试的题目优化重组，使每一节讲评课都成为一节完整的课，难易分散适中，重点突出，照顾学生的接受水平，从而达到良好的效果。

3.处理好易错问题、典型问题。

对于试卷中暴露出的学生易于出错的题目要挖掘错误的根源，解决知识和思维上的问题，指出解决的措施。要针对学生的“卡壳处”，寻找教材的知识点，让学生重新领悟教材的内容，从根本上让学生切实掌握易错问题中的易忘、易混知识点；掌握此类题目的解题思路、解题技巧，针对易错问题有针对性地选择一些类型相似、考查内容相近的题目让学生当堂完成，深入理解易错问题，掌握此类题型。

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一、课堂导入技能的涵义及其常见类型概要

课堂导入技能是课堂教学基本技能中不可缺少的环节和关键部分，通常所说的课堂导入技能是指教师在明确的教学目标和既定的教学内容的基础上，采用一定的策略将学生的注意力集中起来，从而激发学生的学习欲望并明确学习目标，从而使其更积极地向课堂学习状态转变的一种教学方法。现代教育教学研究显示，课堂导入技能的选取适宜与否及导入技巧的运用如何，对于教学效果和学生学习兴趣的激发有着37.8%的影响比率。

按照新旧知识的链接方式及学生学习兴趣激发机制和原理的不同，常见的课堂导入技能类型主要有下面几种类型，即直接法导入新课、复习法导入新课、类比法导入新课、反例法导入新课、实际联系法导入新课、趣味法导入新课和设疑悬念法导入新课等几种类型。

二、高中数学课堂中几种常用导入技巧分析

在上述对于课堂导入技能含义分析及其基本类型讲解的基础上，从中挑选出三种具有代表性的高中数学课堂中经常使用的方法进行分解和剖析。这三种方法分别是复习法导入、反例法导入，以及设疑悬念法导入。

第一，复习法导入就是利用对上节课内容的复习和回顾并在此基础上水到渠成地引出新的知识点，现代高中数学课堂教学中导入方法的运用结构比率中占有32%的较高比例。复习法导入的基本原理是通过旧知识的学习提出新的问题，用知识之间的联系来达到思维启发的目的。它的基本设计思路是复习与要传授的新知识相关的旧知识点，分析新旧知识的连接点。例如在学习反函数的时候，预先复习函数的概念和定义，以及他们之间值域与变量域的对应关系等；在学次曲线方程的时候，联系一次直线方程。

第二，反例法导入就是针对学生数学学习中平时忽略或者容易形成定势思维的知识点用反例引起学生的注意，从而启发学生对于错误原因的一种追本溯源的探索欲望。反例导入方法的基本设计思路是教师通过精心的陷阱和误区设计，有目的地引导学生出现思维错误，然后再纠正错误并解析其原因。比如在讲授三角函数两角和与两角差的公式时，可以通过一些公式之间的联系来直观地进行推理，这也是学生在学习三角函数时候容易犯的错误之一，从而让学生通过观察学习法来认识到这种直观思维和定势思维的不足。

第三，设疑悬念法导入就是教师通过精心设计的情境从侧面不断地创设带有启发性和思考性的悬念和难疑，从而激发学生的认知矛盾和探索求知欲望。悬念设疑法的基本设计思路是教师通过悬念或疑问的巧妙设计，以此抓住学生的好学心理，从而激发其学习兴趣启动积极思维，比如在讲解幂函数和幂运算的时候，可以通过一张厚度仅0.01cm纸张的折叠来说明幂运算的值增长速度，折叠16次后可以达到一棵树的高度，而折叠28次后将比喜马拉雅山还要高，然后问学生要达到地球与太阳之间的高度，需要折叠多少次，这自然会引发学生对幂运算无限神奇的遐想。

三、高中数学课堂中导入技巧所要遵循的原则

根据高中数学课堂导入技能基本内涵和基本类型分类的陈述，并对三种常见导入方法进行深刻分析和探讨的基础上，本文在更为普遍和通常的意义上认为高中数学课堂导入技巧应该遵循下列基本原则。

首先导入技能和方法的采用要坚持目的性原则，即导入方法的采用要紧密围绕教学内容和培养目标进行，不能喧宾夺主地为了导入方法的新颖而盲目地采用，突出教学的重点和难点才是关键。其次是导入技能能够实现新旧知识点的关联性原则，导入是新旧知识的阶梯和桥梁，也是知识模块间的纽带，导入的目的就是通过新颖的导入方法将知识之间的联系更直观和明显地表达出来，而不是使之变得更加晦涩难懂。再次是导入技能的采用要有助于启发学生发现问题并激发求知探索欲望，导入方法的采用不能离开教学的目标对象，必须考虑学生的心智发育特点和接受能力，教师要针对学生在学习数学时的畏难心理，多采取鼓励和表扬的导入方法让学生轻松地投入到数学教学课堂中来。最后是导入方法的采用及设计要简洁，导入方法是数学课堂教学的首要环节，但其在整堂课程中所占的比例应该控制在一定范围内，而不能只导不讲或是导得多讲得少。

四、总结

本文研究和分析了高中数学课堂中导入技巧的应用，导入技巧是旧知识回顾和新知识开启的重要连接纽带和桥梁，主要分析了复习法导入、反例法导入及设疑悬念法导入新课等三种常见的导入技巧和技能，在这些基本导入方法和基本技能的讲解中，结合参考了具体高中数学课堂教学的实际问题分析，在本文最后，就高中数学课堂教学中需要注意的问题及遵循的原则进行了分析。

参考文献：

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初中数学试题开放性的主要表现：（1）问题的条件具有不确定性；（2）解决问题的策略多种多样；（3）问题的结构具有多变性.由此可见，初中教学的开放性主要是根据中学生的个性差异所进行的有效教学.在解题的过程中，学生必须积极拓展自己的思维，综合以前所学过的知识定理进行推理，得出正确答案.除此之外，初中数学试题的开放性主要取决于问题提出时学生对问题的认知能力的高低.

初中数学开放性问题主要分为条件开放型、结论开放型、情景开放型、方法策略开放型等多种类型.

（1）条件开放型.这样的问题主要是具有根据所给的结论，进行反思和探索必须具备的条件，但满足结论的条件具有多样性.

例如，如图1，AB=DB，∠1=∠2，请你根据所给出的条件适当添加一些必要的条件，促使ABC≌DBE.

（2）结论开放型.这类题目主要是在已经给定的条件下，对对象是否真实存在进行探索，包括结论存在或者不存在两种状况.解题的方法一般为三步：假设存在——进行推理——得出结论.

例如，已知函数图像经过点A（3，3）、B（1，-1）两点，请你写出满足上述条件的函数解析式，并简要说明解答过程.

分析：该题由于函数解析式的类型未知，因此所确定的函数可能为直线、双曲线、抛物线等，是一道结论开放题.

对于开放性试题大致就是如此，另外两个类型就不一一举例了.

二、初中数学开放性试题与封闭式试题相比具有的特点

与传统的封闭式试题相比较，初中数学教学中的开放性试题具有以下几个明显的特点：

（1）初中数学开放题的内容具有条件十分复杂、结论具有不确定性、解题方法具有灵活性、没有现成的模式可以进行套用等特性.除此之外，数学开放性试题具有十分贴近学生实际生活的各种各样的题材，不同于只是依靠学生的记忆与套用固定的模式来解答问题的传统的封闭式试题.

（2）初中数学开放性试题形式具有试题多样性与内容生动性的特点.例如探求多种结论或者寻找更多的解题方法等，开放性试题完全体现出知识经济发展时代下的现代化数学气息，不同于封闭性试题只是形式单一，仅仅只有呆板的叙述方式.

（3）初中数学开放性试题解题过程中要求学生具有较强的思维发散性.开放性试题本身就有答案不唯一的特性.因此，在进行数学解题时必须要综合多种思维方法，从不同的角度对试题进行观察、分析、类比、归纳与概括等.

（4）初中数学开放性试题具有创新性的教育功能，既先进又高效，较强地适应了当前发展的需求，为进一步教学奠定了坚实的基础.

三、初中数学学习过程中开放性试题的备考策略