高中数学导数的概念及意义范文

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高中学生对数学概念的理解情况将会直接影响高中学生的数学解题能力，然而在实际的数学教学活动中，很多学生存在着数学概念理解能力较差，掌握能力不足等方面的问题，不利于学生数学知识的深入学习.基于以问导课，设计驱动理念下的高中数学课堂教学活动，能够结合学生的实际学习质量、性格特点开展教学指导活动.文章将结合高中数学概念课教学实际活动进行分析，希望能够促进高中学生数学学习质量的快速提升.

一、结合课程教学特点，明确问题驱动目标

新课程背景下，高中数学概念课教学活动需要摒弃满堂“灌输”的课堂教学模式，教师需要结合《普通高中数学课程标准》中的相关教学内容，明确课堂教学指导目标，基于高中学生认知能力的数学概念课教学设计，能够在充分激发学生数学学习兴趣的基础上，使学生更好的理解数学概念，为学生数学知识的深入学习奠定良好的基础.

以问导课，设计驱动教学中，教师需要可以将三维教学目标融入于其中，关注学生学习的过程，关注学生情感的体验.例如在指导学生学习“曲线与方程”这一项内容中，教师可以将课堂教学内容划分为四个层次，其一为指导学生学习并理解曲线方程，明确曲线方程的概念，掌握特殊曲线和方程之间的互为表示关系.其二为指导学生明确求曲线方程的基础步骤，学会自主解答问题.其三为通过不同的平面直角坐标系，对同一曲线方程的影响进行分析，能够合理建立平面直角坐标系.其四为能够自主分析一些简单的曲线方程，学会利用坐标法解答数学问题.

二、灵活设计数学问题，组织学生合作探究

正所谓“兴趣是最好的老师”，学生对所学习的数学概念产生兴趣，便能够积极、主动的参与到课堂探究活动中，使高中数学概念课教学产生“事半功倍”的教学效果.“以问导课，设计驱动”问题驱动理念下的高中数学概念课教学设计，可以结合学生的性格特点，灵活设计数学问题，教师可以将学生划分为若干个小组并为学生布置探究任务，使学生能够通过小组合作探究的方式进行学习，在营造良好课堂教学氛围的基础上，也能够有效提升高中数学概念课教学的质量.

教师可以将前后座的4名学生分为一个小组，为学生布置各式各样的问题，引导学生进行合作探究.例如教师可以结合学生的实际生活提出问题，如“你想邀请朋友到××餐厅吃饭，餐厅位置在兴华街北二路左侧20米，你该怎样叙述呢？”等问题，学生可以通过建立直角坐标系的方式进行解答，用点与坐标的对应关系来研究曲线与方程的关系.

再如教师也可以为学生布置“画出两坐标轴所成角在第一、三象限中的平分线m，并写出方程；画出函数y=2x2（-1≤x≤2）的图像c”.教师可以借助多媒体等信息技术软件，为学生进行图像展示，并组织学生借助信息技术进行操作或者在组内借助纸笔进行绘制（详见图）.在学生画完图像之后，教师可以提出“对照抛物线的一部分C和方程，如果符合某种条件的集合M与C分别和其他方程之间存在着怎样的联系？”学生可以与小组成员之间可以相互讨论和分析，得出“如果M（x0，y0）是m上的任意一点，那么它到两个坐标轴的距离是相等的，即为x0=y0，它的坐标（x0，y0）即为方程x-y=0的解.但是如果（x0，y0）是方程x-y=0的解，即为（x0，y0），以此为解的坐标点到两坐标轴的距离相同，它则在平分线m上，则可以将直线m和方程x-y=0相互联系.”

三、注重教学语言应用，培养学生数学思维能力

数学概念教学过程中，教师需要在指导学生关注概念形成的同时，指导学生重视知识之间的普遍联系，培养学生形成一定的数学逻辑思维能力.

多种多样的数学问题有助于学生思维的启发，在充分调动学生数学概念探究欲望的基础上，教师可以通过适当的引申，使学生能够感受到数学概念与数学概念之间的联系，并能够逐渐形成较为完整的数学知识框架结构.

与此同时，教师需要特别注重课堂教学中自身教学语言的应用.相关心理学研究证明，教师课堂教学中的语言将会直接影响学生的听课质量.所以在高中数学概念教学活动中，教师需要密切关注学生的表情变化，给与学生更多的支持和鼓励，教师需要多采用“请”、“谢谢”等话语，尊重学生、关心学生.

结束语

新课程背景下，高中数学概念课教学活动可以通过结合课程教学特点，明确问题驱动目标；灵活设计数学问题，组织学生合作探究以及注重教学语言应用，培养学生数学思维能力等方式，不断提升高中数学课堂教学的质量，促进学生多元智能的发展.

【参考文献】

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一、高中数学新课标与旧课标内容对比

《标准》将《导数及其应用》这部分内容安排在选修系列1-1的第三章和选修系列2-2的第一章中。虽然是选修内容，但对绝大部分高中学生来说，它依然是必需掌握的知识。选修系列2-2增加了微积分基本定理与定积分的内容，对运算的要求也略有提高。

《标准》对《导数及其应用》的处理与原《大纲》相比，有以下几点变化：1、突出导数概念的本质，原《大纲》把导数作为一种特殊的极限来讲，过于形式化及抽象的概念使学生学习起来比较困难。而《标准》则非常强调对其本质的认识，提高了对导数几何意义以及用导数处理实际问题的要求。教材让学生从随处可见的平均变化率开始，巧妙地通过瞬时变化率引入导数的概念。这样引入能让学生更深刻地理解变量数学的本质，有助于学生对函数这一核心概念的深入理解。2、突出了导数在实际问题中的应用，从导数概念的引入到导数的应用，教材都列举了大量的实例。这些实例恰好是体现导数价值的最好素材，这主要体现在以下几方面：1、用导数求匀变速运动的瞬时速度；2、用导数处理切线问题；3、用导数研究函数，包括用导数研究函数的单调性、极值和最值，方法较以前的简便且具有一般性；4、用导数处理生活中的优化问题等。

二、高职数学教材的现状

现行的高职数学教材从内容展开的层次看，还是按照以前《大纲》的安排：第一章 函数、极限与连续；第二章 导数与微分；第三章 导数的应用；第四章 不定积分；第五章 定积分及其应用；第六章 常微分方程；第七章 向量代数与空间解析几何；第八章 多元函数微分学；第九章 多元函数积分学；第十章 无穷级数。现行高职数学教材中函数、导数的概念和导数的应用、定积分、数理统计等内容在高中《标准》选修系列2-2，选修系列2-3中占有很大的比重，并规定一学期来学习这部分知识，也是高考的必考内容。

高职院校在数学教学课时安排方面，无论是文科学的《经济数学》和理科学的《高等数学》都是把“一元函数微积分”作为所有专业的必修模块，高职院校在第一学期大部分专业开设高职数学，课时定为60学时。第一册内容包括：函数、极限与连续；导数概念及导数的应用；积分学及其应用。教学计划安排16课时讲解函数、极限与连续，24课时讲解积分学及其应用，20课时讲解积分学及其应用。这就重复学习了高中《标准》选修系列2-2，选修系列2-3中的数学知识。第二册的内容包括：多元函数微积分；无穷级数；微分方程；矩阵及其应用。第二学期只有少数专业开设数学课，因此现行高职数学教材内容导致学生浪费大量的时间重复学习高中已经掌握的知识。

三、高职数学教材体系重构的必要性

现行高职数学教材除了导数和定积分概念按惯例简单介绍了产生背景外，基本是沿用传统“定义、定理及证明例题”的固定模式，微积分只在部分章节后介绍一点数学概念的经济意义，片面强调数学技巧，学生无法创造性运用已有的数学知识去解决实际问题。而学生真正需要的与专业知识相联系的数学知识却涉及很少。两者没有达到有机整合，使学生觉得学习数学课程和专业课程无关联，无法激发学生学习数学的激情和兴趣。

高职教育改革的目的是要缓和学校人才培养模式与社会需求之间的差异和矛盾,更确切地讲,是要让高职院校学生能够掌握必需的理论知识与实践技能。就高职数学教育来看,重构数学教材体系的必要性与重要性在于:现行的教材内容的分布不合理，函数、导数概念及导数的应用在高中《标准》中作了详细的介绍也是高考的考点，不定积分的概念在《标准》中也作了介绍，所以学生对这部分知识掌握得比较好。现在高职数学教材中的微分部分又重复的讲解着部分知识。每个学校也安排了大量的课时来学习这部分知识。

四、高职数学教材体系重构的设想

基于上述保持数学的系统性理念及高职数学应该与专业相联系的基本原则，通过大量调研与实际经验的基础上，笔者认为高职数学教材体系重构可以从以下几个方面着手。

(一)“随风而动”保持数学的系统性为突出和体现数学的应用性，将新的高职教育数学课程体系确定为“应用数学”课程体系。整合后的课程内容包含：微积分、线性代数、概率论等。

1、微积分部分：由于高中《标准》对学生掌握微分和定积分知识的要求有所提高，高职数学教材应适当减少这部分内容，不要让学生浪费一学期的时间重复高中学习过的内容。因为，学生在高中的学习过程中都已经掌握微积分的基础理论和常用的计算方法。教材在这部分内容上应从数学方法解决几何、经济等实际问题的能力训练出发，通过微积分部分的学习，逐步培养学生的抽象概括能力、运算能力和综合分析问题、解决问题的能力，从而提高学生学习数学的兴趣。

2、线性代数部分：行列式、矩阵、方程组是线性规划、企业管理等学科的重要基础和工具。此部分的重点是计算方法、计算方法的应用。突出实际案例的选择和编排，达到使线性运算直接用于企业管理之中的目的，让数学和专业知识密切相关。

3、概率论与数理统计部分：概率论从数量上研究随机现象的统计规律性，它是本课程的理论基础。数理统计研究处理随机性数据，它以概率论为基础，建立有效的计算方法，进行统计推断。目前，概率论与数理统计的理论与方法在经济、金融与管理各个领域也有广泛应用。同时，概率论与数理统计的理论与方法又向各个基础学科，产生了一些边缘性的应用学科，是经管类各专业的一门重要的基础课和工具课。此部分重点是介绍数据统计方法，建立有效的统计方法，进行统计推断及假设检验，突出概率计算在统计方法中的应用，使学生掌握概率论和数理统计的基本方法，并具备应用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。

(二)改变模块顺序,增强数学的应用性与传统的经济数学相比，整合后的内容在知识结构顺序上发生变化。由于学生在高中的学习中已经熟练掌握了微积分和定积分的部分知识，所以在高职数学的教材中就应该减少计算性的例题，增加与专业有关的例题。介绍积分的计算既可以传授知识又可以满足学生的求知欲，达到节省学时提高效率之目的。最后介绍积分的应用，让学生把学到的知识用于实际问题之中。

(三)在各模块内容中做好教学重难点的转化教学内容和教学顺序的改变使得教学重难点也应随之改变。重新整合后的教学内容在以下几个方面实现了突破：一是极限理论处理办法是用复习方式一带而过。二是中值定理的处理，中值定理是导数应用的理论依据，但中值定理的结论抽象，其定理证明更是难点。教学时可以用简单的几何解释，使学生直观地理解定理及其意义。三是定积分的运算及定积分的应用采取复习的方式，教材例题增加与专业相关的题型，从而提高学生应用数学知识解决与专业相关问题的能力。四是矩阵的乘法，矩阵的乘法历来是学生学习的重点和难点，复杂的运算，让学生感到困难、无用。在此选取了有代表性的某公司年度预算报表中的实际案例，不仅使复杂的矩阵乘法运算得以轻松的解决，也使学生享受到数学概念在实际工作中应用的乐趣。

五、小结

高职数学作为一门公共基础课，在数学教学中突出应用不但是高职教育的目标要求，而且符合数学教学改革的趋势，因此，在高中数学教学不断改革的今天，高职教师必须对高职数学内容做全面的审视和反思，从高职数学课程设置、教材内容的改革等方面来寻求一种既能满足高职教育的需求，又能有效提高学生学习质量的有效途径。以最大化地体现“实用为主，够用为度”的原则。

参考文献：

[1] 人教版高中数学教材选修2-1[M] 人民教育出版社.2011.

[2] 人教版高中数学教材选修2-2[M] 人民教育出版社.2011.

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函数是高中数学的主要板块，也是数学教学的主线，贯穿于整个高中数学的始终，函数思想在高中数学中起到了横向联系和纽带的作用，但由于高中函数内容的抽象性、分散性以及函数应用的广泛性、隐蔽性，再加上多半老师缺乏系统性和正统性思维，在进行函数教学时以章按节，照本宣科，往往只注重局部函数知识的教学，缺乏对教学内容的整合与联系，不是以学习过的函数基础做铺垫与后继的基本初等函数内容的学习联系起来“螺旋上升”，而是急切地期望学生对函数的概念理解能一步到位，于是对抽象的函数符号深抠深挖，并设置一些抽象的函数概念题进行训练，结果事与愿违，师生俱惫，部分学生甚至对函数学习形成了一种恐惧心理，影响了后继学习的信心。

整体教学法又称为结构教学法，即学科的概念、原理、思想、方法及其相互联系形成整体。20世纪50年代初布鲁纳就推崇结构主义教学论，他提出了学科的基本结构，他认为教师的教学要重视学科的基本结构，要对教材的结构进行梳理，要帮助学生获取和掌握学科的基本结构，掌握学科的基本结构有助于更好地设定教学目标，培养学生的学习兴趣，增进学生学习的迁移，提高学习能力和学习效果。

高中数学教材中函数的结构脉络为函数的概念、具体的函数模型、函数的应用和研究函数的思想工具。下面笔者就高中各阶段的函数教学分析及笔者作法进行阐述：

一、高一阶段

高一阶段学习函数是在初中初步学习了函数的概念、表示方法以及函数的作图并具体地学习了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的基础上，对函数概念再认识，即用集合、映射的观点理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，并在此基础上研究指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的概念、图像和性质，从而使学生在第一阶段函数的学习中获得较为系统的函数知识，并初步培养学生函数应用意识，为今后学习打下良好的基础。这一阶段教学应建立在衔接过度、发展学生的思维层面上，主要是建立学生识别图像、利用图像和画出图像的能力，初步形成数形结合的思想方法。此阶段教学重点应该放在概念的形成与建立上。高一数学必修一的教材第一章内容主题就是函数概念及函数性质的相关概念，教材这样安排使学生未见树木先看见森林的功效，对后面深入研究每一类具体函数有着指导意义。实践证明，最初得到“森林概貌”（对函数包括定义、图像、定义域、单调性、奇偶性、最值等的认识），能使学生在对具体函数研究上始终联系着“一般”（森林），用“一般”作指导，待具体函数都弄清以后，再总结概括为一般，而这时的一般是以具体问题为背景的。这时的具体问题又是以一般为指导的。从教材编排来看，这样做可使学生知识结构更加科学系统，更加符合学生的认知规律，更富启发性。此阶段教学应注重数形结合思想的培养与渗透。

二、高二阶段

高二阶段要进行不等式、线性规划、数列、圆锥曲线等知识的教学，教学过程中应使学生了解意识到这些知识都可以从函数角度加以认识，都是函数的不同展示形式，引导学生能够从函数的角度把问题转化。这一阶段教学重点应放在函数的应用上，通过函数这个载体，提升学生对相关知识的理解、应用及解决问题的能力，这一阶段的学习学生容易淡化函数在高中数学中的重要性。在这些知识的教学过程中，要将函数思想及其简单应用穿插其中，需要不断引导、强化，不断形成用函数观点看待问题，逐渐理解函数思想、数形结合等思想方法，并加以简单应用。再加上该阶段学习导数之后，使得函数研究如虎添翼。导数是高中数学与高等数学的一个衔接点，导数在研究函数中的应用为我们解决基本初等函数及简单的复合函数问题提供了一种一般性方法，是解决实际问题强有力的工具，如在研究函数单调性、讨论函数图像的变化趋势、求极值和最值、不等式恒成立等问题，运用导数解决这类问题能化繁为简，具有事半功倍的作用。

三、高三阶段

高三阶段一般要进行高考全面复习，函数复习仍然是复习的重点，首先应整体把握高考对函数内容的考法。我们知道函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中函数知识占有极其重要的地位。其试题不但考察函数基础知识，而且注重考查学生数形结合、分类讨论等重要的数学思想方法。 从历年高考真题来看，考察内容主要为初等数学所学的函数内容，也不乏以高等数学函数相关的重要定理换成初等数学的叙述方式出题（如拉格朗日中值定理，有界性定理、函数的凹凸性、不动点原理等）。考察形式为填空题、选择题与解答题，选择、填空题履盖了函数的大部分内容，如函数的定义域、值域，函数的图像与性质（单调性、奇偶性、周期性等），而解答题除了三角函数属于基础题外其余的多以知识交汇题为主，不仅在内容上涉及函数与方程、不等式、数列、方程的曲线等多方面内容甚至以抽象函数或高等数学知识为背景，更注重对知识的综合应用能力以及数学思想方法的考查。因此，在函数复习过程中，首先应把握高考命题题型与趋势，其次复习策略的选择也很重要。此阶段，首先应夯实基础。笔者在复习过程中反复结合上述的函数整体结构图，进一步强化“总-分-总”的学习策略，同时要求学生进一步细化拓展这份结构图，使得每一部分内容都丰富起来，将所学知识系统化、结构化、网络化。 通过这种继续构建的知识结构图，最后组成了一张庞大的函数知识结构网，几乎呈现了高中数学的全部基础知识及其相互联系，这样在整个复习过程中相关基础知识得到了夯实。其次，带领学生熟悉考纲，明确考纲规定的基础知识、基本技能以及基本的数学思想方法，研究和把握高考命题趋势和题型，抓住重点知识，设置好例题和习题的类型、梯度和难度，注重解题方法及数学思想方法的提炼与概括，循序渐进地提高学生分析问题、解决问题的能力，同时注意锻炼学生的心理素质。

总之，数学教学应当“教 结构良好的知识”、应当“既讲逻辑又讲思想”，在高中函数教学过程中，我们要注重函数知识体系的整体把握，注重函数知识间的联系，注重函数数学思想方法的渗透，这样才能不断完善和优化学生的认知结构，不断提高学生的数学素养。

参考文献：

[1]普通高中课程标准试验教科书[M]。北京：人民教育出版社.

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高中数学复习知识1考点一：集合与简易逻辑

集合部分一般以选择题出现，属容易题。重点考查集合间关系的理解和认识。近年的试题加强了对集合计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力。在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重集合表示方法的转换与化简。简易逻辑考查有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等,二是在解答题中深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。

考点二：函数与导数

函数是高考的重点内容，以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数(一次和二次函数、指数、对数、幂函数)的应用等，分值约为10分，解答题与导数交汇在一起考查函数的性质。导数部分一方面考查导数的运算与导数的几何意义，另一方面考查导数的简单应用，如求函数的单调区间、极值与最值等，通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题，三是导数的综合应用，主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式出现，如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。

考点三：三角函数与平面向量

一般是2道小题，1道综合解答题。小题一道考查平面向量有关概念及运算等，另一道对三角知识点的补充。大题中如果没有涉及正弦定理、余弦定理的应用，可能就是一道和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目，也可能是考查平面向量为主的试题，要注意数形结合思想在解题中的应用。向量重点考查平面向量数量积的概念及应用，向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合，解决角度、垂直、共线等问题是“新热点”题型.

考点四：数列与不等式

不等式主要考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简单线性规划问题、基本不等式的应用等，通常会在小题中设置1到2道题。对不等式的工具性穿插在数列、解析几何、函数导数等解答题中进行考查.在选择、填空题中考查等差或等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等的灵活应用，一道解答题大多凸显以数列知识为工具，综合运用函数、方程、不等式等解决问题的能力，它们都属于中、高档题目.

考点五：立体几何与空间向量

一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图;二是考查空间点、线、面之间的位置关系;三是考查利用空间向量解决立体几何问题：利用空间向量证明线面平行与垂直、求空间角等(文科不要求).在高考试卷中，一般有1~2个客观题和一个解答题，多为中档题。

考点六：解析几何

一般有1~2个客观题和1个解答题，其中客观题主要考查直线斜率、直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义应用、标准方程的求解、离心率的计算等，解答题则主要考查直线与椭圆、抛物线等的位置关系问题，经常与平面向量、函数与不等式交汇，考查一些存在性问题、证明问题、定点与定值、最值与范围问题等。

考点七：算法复数推理与证明

高考对算法的考查以选择题或填空题的形式出现，或给解答题披层“外衣”.考查的热点是流程图的识别与算法语言的阅读理解.算法与数列知识的网络交汇命题是考查的主流.复数考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，一般是选择题、填空题，难度不大.推理证明部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，单独出题的可能性较小。对于理科，数学归纳法可能作为解答题的一小问.

高中数学复习知识2第一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

第二、平面向量和三角函数。

重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。难度比较小。

第三、数列。

数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

第四、空间向量和立体几何，在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

第五、概率和统计。

这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。

第六、解析几何。

这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括：

第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。考生应该掌握它的通法;

第二类我们所讲的动点问题;

第三类是弦长问题;

第四类是对称问题

第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，

当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。

第七、押轴题。

考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。这是高考所考的七大板块核心的考点。

高中数学复习知识3一、求动点的轨迹方程的基本步骤

⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;

⒉写出点M的集合;

⒊列出方程=0;

⒋化简方程为最简形式;

⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

-直译法：求动点轨迹方程的一般步骤

①建系——建立适当的坐标系;

②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);

③列式——列出动点p所满足的关系式;

④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;

⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

高中数学复习知识41.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.

2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况

3.你会用补集的思想解决有关问题吗?

4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?

5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.

6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.

7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.

8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.

9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调

10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法

11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.

12.求函数的值域必须先求函数的定义域。

13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?

14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?

(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论

15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?

16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。

17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。

若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?

18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.

19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?

20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?

21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”.

22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示.

23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a

24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?

25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。

26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在?

27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。

)

28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立。

29.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗?，若角的终边在坐标轴上，那它归哪个象限呢?你知道锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别吗?

30.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的定义你知道吗?

31.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?

32.你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次)

33.反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是

34.你还记得某些特殊角的三角函数值吗?

35.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质.你会写三角函数的单调区间吗?会写简单的三角不等式的解集吗?(要注意数形结合与书写规范,可别忘了)，你是否清楚函数的图象可以由函数经过怎样的变换得到吗?

36.函数的图象的平移，方程的平移以及点的平移公式易混：

(1)函数的图象的平移为“左+右-，上+下-”;如函数的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为y=2(x+2)+4-3，即y=2x+5.

(2)方程表示的图形的平移为“左+右-，上-下+”;如直线左移2个个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为2(x+2)-(y+3)+4=0，即y=2x+5.

(3)点的平移公式：点P(x,y)按向量平移到点P(x,y)，则x=x+hy=y+k.

37.在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角函数值，再判定角的范围)

38.形如的周期都是，但的周期为。

39.正弦定理时易忘比值还等于2R。

高中数学复习知识5(1)先看“充分条件和必要条件”

当命题“若p则q”为真时，可表示为p=>q，则我们称p为q的充分条件，q是p的必要条件。这里由p=>q，得出p为q的充分条件是容易理解的。

但为什么说q是p的必要条件呢?

事实上，与“p=>q”等价的逆否命题是“非q=>非p”。它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。

(2)再看“充要条件”

若有p=>q，同时q=>p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。简称为p是q的充要条件。记作pq

回忆一下初中学过的“等价于”这一概念;如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A成立，那么称A等价于B，记作AB。“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。也就是说，如果命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立;同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。

(3)定义与充要条件

数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。

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导数的概念是中学数学核心概念之一,是联系中学数学与高等数学的桥梁,是进一步学习数学和其他自然学科的基础,是研究现代科学技术必不可少的工具。本文就《普通高中课程标准实验教科书・数学・选修2―2》中第一章第一节“变化率与导数”教学进行了简要的分析和探讨。

1.概括实验教材内容

选修2―2(人教A版教材)第一章导数及其应用的第一节的内容有以下几点。

1.1变化率与导数

1.1.1变化率问题

问题1:气球膨胀率;问题2:高台跳水;函数的平均变化率及其几何意义。

1.1.2导数的概念

高台跳水中瞬时速度问题(从平均速度到瞬时速度,通过数值计算来逼近);瞬时速度的物理学说法;极限的描述性说法及记号;函数在某一点的导数的概念(瞬时变化率)及记号。如例1:油温的瞬时变化率(求函数在某一点的导数,通过解析式计算来得出)。

1.1.3导数的几何意义

曲线的切线(从割线到切线,通过直观观察得到);导数的几何意义(切线的斜率)。如例2:高台跳水不同时刻的瞬时速度比较(从切线来观察);例3:人体血管药物浓度的瞬时变化率(从切线利用网格来估算);导函数的概念(简称导数)。

看得出,教材遵循了《课标》的要求,还在导数的几何意义部分渗透了“以直代曲”的逼近思想。其中,教材为我们呈现了“由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程”的三种方式:①数值逼近;②解析式抽象;③几何直观感受。正是这三种不同的方式,强化了导数的思想和内涵,是导数概念学习的核心。我认为这是教材最成功的地方。

1.1.3.1数值逼近

对于给定的函数f(x)和点x,在x附近取x(i=1,2,3,…),使|x-x|

1.1.3.2解析式抽象

对于给定的函数f(x)和点x,形式化地取自变量的增量Δx=x-x,计算函数的增量Δy=f(x+Δx)-f(x),计算平均变化率(或直接计算=),对解析式=g(Δx)进行抽象观察:当Δx0时,g(Δx)?(多数情况等同于取Δx≈0来进行求值g(0)≈?)

1.1.3.3几何直观感受

给定函数y=f(x)的图像和图像上的定点P,在点P的附近形式化地取函数图像上的动点P,观察:当点P越来越靠近点P时,直线PP的位置变化趋势。定义曲线(函数的图像)的割线与切线。

2.《普通高中数学课程标准》要求

2.1导数概念及其几何意义

2.1.1通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵(参见例2、例3)。

2.1.2通过函数图像直观地理解导数的几何意义

从表面来看,这一段文字似乎已将高中学生如何学习导数概念说得很全面了,不仅阐述了“学什么”,而且规定了“怎么学”。但仔细想想却有些迷惑:导数的思想及其内涵是什么?

从课标所给的例2(企业治污效果:平均变化率的比较)、例3(高台跳水瞬时速度:从平均变化率到瞬时变化率)来看,这两个例子并不是回答“什么是导数的思想及其内涵”的。从上下文联系来看,既然“瞬时变化率就是导数”,那么导数问题就是瞬时变化率的问题。但是,瞬时变化率的思想及其内涵又是什么呢?

其实,我们不用去猜这个谜语。既然“导数就是瞬时变化率”,那就追问:瞬时变化率是什么?我们还可以追问:“由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程”是怎样的?这样追问下去,谜底自然是:瞬时变化率是平均变化率的极限。我们可以这么说:函数的变化率和极限的思想及其内涵就是导数的思想及其内涵,而由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程就是一个无限逼近的极限过程。

3.纠正教学认识上的偏见

偏见之一:跳过极限学导数。

一个简单问题:中学数学中有极限吗?由于课标中强调不讲极限(数列极限与函数极限)概念,特别是不讲极限的严格定义(ε-N),或者说新课标将这些内容删去了,所以就有人认为:中学数学现在不学极限了,不学极限,直接学导数了。但仔细阅读教材后可以发现,实际上并不是“不学极限学导数”。教材尽管是“不讲极限概念”,但那只是“不讲极限的严格定义(ε-N)”,而类似于“无限趋向于”这样的极限描述性语言还是在使用的。就导数概念的学习,拿“本质”这个流行的词来说,“数值逼近”的本质是数列极限,“解析式抽象”的本质是函数极限,“几何直观感受”的本质是图形的“无限逼近”,显然也是极限。因此不但没有跳过极限学导数,相反正因为没有专门学极限,所以在导数概念教学中需要让学生重点体验“极限的过程和思想”。

偏见之二:照搬教材设计教学。

在“1.1变化率与导数”中,教科书给出了“1.1.1变化率问题”、“1.1.2导数的概念”、“1.1.3导数的几何意义”三小节内容,教师用书提供了3个课时参考,人们就自然认为每个小节的内容教学1个课时。第1课时的主题是“平均变化率”。这节课的内容平淡、单薄,教学中很难出新、出奇、出彩。于是,教学也就设计成“通过大量实例”来不厌其烦地讲一个“函数的平均变化率”。难道我们真舍得用一课时让学生在平均变化率这一个点上去“充分体验”吗?毋庸讳言,教科书很难与教学设计完全一致。上文已经说到,导数概念的核心是由平均变化率到瞬时变化率的极限思想与过程,那么我们还有什么理由不让学生去重点体验它呢?因此,由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程就是一个无限逼近的极限过程,应该是第一课时的重点和难点。

4.我的教学设计方案

针对材第一节教的内容,我设计了一个用3课时完成的教学方案。

第1课时:变化率

主要内容:1.平均变化率的概念;2.从平均变化率到瞬时变化率。

过程方法:数值逼近。

关键表述语:越来越接近于。

第2课时:导数

主要内容:1.极限概念;2.导数概念;3.导函数概念。

过程方法:解析式抽象。

关键表述语:趋向于。

第3课时:导数的几何意义

主要内容:1.割线与切线的概念;2.变化率的几何意义。

过程方法:几何直观感受。

关键表述语:趋向于、无限接近于。

这3节课的内容是紧密联系着的,在实际教学中可以将导数的几何意义结合在前两课时中教学,这样会使内容呈现的顺序更自然些。重点体验由平均变化率过渡到瞬时变化率所体现的极限的过程和思想以及导数的几何意义所体现的数形结合的思想。

5.教学中应注意的几个问题

5.1注重概念的形成过程

导数概念的建立是基于“无限趋近”的过程,这与初等数学所涉及的思想方法有本质的不同。为此,在教学中教师应注意以下两点:第一,要根据学生的生活经验,通过实际背景创设丰富的情境;第二,要通过“问题串”引导学生用心体会“无限趋近”所蕴涵的“量变到质变”、“近似与精确”的哲学原理,不要急于得出形式化的定义,应努力追求水到渠成的教学效果。同时要注意对概念的教学不要用极限理论,以免涉及过多的极限知识而冲淡或干扰对概念本质的理解。

5.2加强数学建模能力的培养

数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程。它是数学学习的一种新的方式,有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用,体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程,增强应用意识。导数在解决实际问题中有着广泛的应用。导数是描述事物变化的数学模型,任何与变化率有关的问题一般都可以用导数加以解决。教师在教学中应注重选取一些生活中与变化率有关的问题,设计教学活动,引导学生运用导数思想、方法和相关知识加以解决,从而培养学生的应用意识和数学建模能力。

5.3加强数学思想方法的教学

“知识是数学的躯体,问题是数学的心脏,数学思想方法则是数学的灵魂”,加强数学思想方法教学的重要性是不言而喻的。“无限趋近”的本质是极限的思想。在导数概念的形成、导数的几何意义的探究中,运用“无限趋近”来描述其本质形象直观,容易理解。“无限趋近”在以往的数学学习中没有涉及,在教学中,教师要注重让学生体会和感受这种思想的实际意义和作用。数形结合能使抽象的知识直观化。导数和定积分的教学,几何意义的探究,导数与函数的关系研究,以及微积分基本定理的给出,都是数形结合的经典范例。在教学中,教师要充分运用“数”与“形”的有机结合,让学生直观去认识和感受。这样既可以简化严格的推导过程,减少学生学习的困难,又可以使抽象枯燥的数学教学充满活力。

参考文献:

[1]教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].湖南出版集团出版中心,2007.3.

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1 数学概念的特点和学习意义

数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式，它具有相对独立性。概念反映的是一类对象的本质属性，即这类对象的内在的、固有的属性，而不是表面的属性，而这类对象是现实世界的数量关系和空间形式，它们已被舍去了具体物质属性和具体的关系，仅被抽取出量的关系和形式构造，在某种程度上表现为对原始对象具体内容的相对独立性。

数学概念教学在中学数学中非常关键，是学好数学的重要一环，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础。有的学生数学成绩差，最直接的一个原因就是概念不清，尤其是普通中学的学生，数学素养差的关键是在对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异。因此，要想提高中学数学教学质量，最重要的就是要抓好概念教学。教学过程中如果能够充分考虑到这一因素，抓住有限的概念教学的契机，以提高大多数学生的数学素养是完全可以做到的，同时，数学素养的提高也为学生的各项能力和素质的培养提供了有利条件以及必要保障。

从平常数学概念的教学实际来看，学生往往会出现两种倾向，其一是有的学生认为基本概念单调乏味，不去重视它，不求甚解，导致概念认识和理解模糊；其二是有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背，而不去真正透彻理解，只有机械的、零碎的认识.这样久而久之，严重影响了对数学基础知识和基本技能的掌握和运用.比如有同学在解题中得到异面直线的夹角为钝角，这些错误都是由于学生对概念认识模糊造成的.只有真正掌握了数学中的基本概念，我们才能把握数学的知识系统，才能正确、合理、迅速地进行运算、论证和空间想象.从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念掌握的程度。

2 新课程观下要有效实施新课程下数学基本概念教学，必须重视以下几个重要环

（1）数学基本概念教学，要充分挖掘数学概念产生的知识背景，让学生体验在概念产生过程中学习数学概念首先，新课程在不同年级的数学知识结构上发生了很大的变化，如果我们还是采用传统的方式进行概念教学，那么在新教材中恐怕很难达到预期的教学目标。其次，一个数学概念的产生，都有着丰富的知识背景，而通过了解这些背景知识来认识一个数学概念，是最佳途径。

通过充分挖掘相等向量和共线向量（平行向量）的几何背景，让学生经历从线段的几何性质有向线段的几何性质抽象概括出相等向量和共线向量（平行向量）的定义，这样，学生对相等向量和共线向量（平行向量）概念就有深刻的认识；如果忽略了知识背景分析，那么我们就犯下了一个严重的错误：失去了对学生培养抽象概括能力和创造精神的好机会。因此，数学基本概念教学在呈现方式上，不能机械地照本宣科授课，教师要深挖数学概念的知识背景，精心创设情境，适当地开展“发现”式数学活动，让学生在学习数学概念的同时还能发展他们的创造性思维。

（2）数学基本概念教学，要重视问题性在数学概念的形成过程的“关键点”上，以恰时恰点的问题引导数学活动，有利于明确学生思维的方向、培养问题意识，孕育创新精神。在集体备课时，有些老师往往会运用关联性不强的问题凑合成“问题串”来启发学生抽象概括出数学概念，这是有害无益的。那种忽视新教材设置栏目，不引导学生分析研究，直接给出抽象概念的方法也是不可取的。提倡“数学基本概念教学，要重视问题性”，但是问题的设置要在“关键点”上，这样，才能明确学生思维的方向、帮助学生从实际问题中抽象概括出数学概念。在进行数学基本概念课堂教学中，要重视在学生思维的“最近发展区”设计合适的、具有启发性的问题串，通过“观察、思考、探究”学习数学概念，从而培养学生的问题意识和抽象概括能力。

（3）数学基本概念教学，要重视创设体现数学概念的思想方法的情境新教材是以数及其运算、函数、空间观念、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等核心概念和基本思想为贯穿整套教材的灵魂，而数学思想方法是人们认识数学的意识，是将知识转化成能力的桥梁，因此，创设体现数学概念的思想方法的情境是数学基本概念教学的出发点和落脚点。例如，以上所谈到的向量概念教学中所创设问题情境，就隐含了分类和类比的思想方法，在相等向量和共线向量（平行向量）的课堂教学中所创设的问题情境，就隐含了数形结合的思想方法。

（4）数学基本概念的教学，要注重概念联系性由于新教材要求：以核心知识（基本概念和原理，重要的数学思想方法）为支撑和联结点，螺旋上升地组织学习内容。因此，在课堂教学中引导学生深入挖掘概念的内涵和外延，建立新旧概念间的联系，是符合新课程要求的，而且对帮助学生准确理解数学概念、完善构建知识体系是有有益的。例如，“变化率与导数”的概念教学时，引入导数概念后，在说明“气球半径r关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率、高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度”的同时，可以再结合具体例子来加深理解导数的概念内涵。

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“新课标”在课程的观念、目标上的一个发展，就是在数学学习和数学教学中更加强调对数学本质的认识与理解。无论是基础知识、基本技能、数学的推理与论证、数学的应用，都必需牢牢把握这一主线。在“导数”的教学中，通过对函数性质的再研究，再次提升对函数概念及其本质的认识。通过对比解题，使学生感到导数法的优越性。如05山东高考题：已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点，其中m,n∈R，m＜0（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求 f(x)的单调区间.由发f′(1)=0得n=6+3m，代入原式得到f(x)=mx3-3(m+1)x2+(6+3m)x+1，第二问若由传统的方法求单调区间则举步维艰，用导数求极值列表格则轻而易举。在教学实践中，一定要将求含参数的函数的单调区间，求闭区间上函数的最值等问题反复训练，真正做到熟能生巧。也可编拟一定量的判断题、辨析题，使学生能恰如其分的举出反例，培养学生思维的批判性及深刻性。还可以通过讲解利用导数求和：sx=1+2x+3x2+……+nxx-1培养学生思维的灵活性，随时迸射思想的火花，享受思维的乐趣。同时还要引导学生辩证地看待导数法，有取有舍，对症下药。例如已知f（x）=（x-1）2，g(x)=x2-2，判断f〔g(x)〕的单调区间，可运用两个二次函数的图像利用复合函数单调性法则研究即可，不必拘泥于导数法。对于可用两数平均值定理及 解决的问题，也不必墨守导数法。从而使学生学会具体问题具体分析，灵活多变地处理数学问题。

二、注重实际应用题的教学，培养学生的应用意识和创新思维

“导数”这一章除了一些基础知识的学习和一些基本运算技能的提高外，很大程度上就是《应用数学》的雏型。运用导数知识解决高一函数学习中的遗留问题以生产生活中的实际问题，成了“导数”学习的根本目的和永恒主题。因此，为了很好地贯彻“新课标”的理念，就要将教材中的剪纸折盒问题、圆内接矩形的最大值问题、运输中最省时问题讲细讲透，使学生对单峰函数在开区间内的最值问题有一个比较明晰的思考路径。还可通过切线问题、运动学中υ=s′(t) a=υ′(t)等问题的反复训练，使学生认识到微积分是有源之水。真切地认识到数学来源于生活，而又反过来服务生活的真谛。同时还可以编拟保险金问题、货款上学问题、楼房造价问题、煤气节省问题。使应用问题与时俱进。真切地培养学生“用数学”的能力。使学生养成关心生活、关注国计民生的人生观、真正体现“教育即生活”的重要性。数学应用意识的培养，不是依靠多做应用题可解决的。而是与平时教学的开放性、活跃性、民主性密切相关。它依赖的不是课堂上轰轰烈烈的喧嚣，而是“随风潜入夜，润物细无声”的熏陶，以及了无波痕的化育。

三、恰当地运用现代信息技术，加强现代信息技术与“导数”内容的整合

现代信息技术的广泛应用正在对数学课题的内容、数学的教学方式、学习方式等各方面产生深刻的影响。信息技术在教学上的优势主要表现在：快捷的计算功能、丰富的图形呈现与制作功能、大量数据的处理功能、提供交流式的学习和研究环境。在教学中，恰当运用现代信息技术，发挥现代信息技术的优势。帮助学生理解导数的基本概念，认识导数法的广泛作用，无疑起着雪中送炭、锦上添花的作用。在“导数”教学中，运用现代信息技术，刺激学生的多种感观，充分获得丰富多彩的感性认识的实例随处即是。例如在讲解曲线上某点切线的定义时，即可运用几何画板的动画效果，演示曲线的割线是如何变为切线的，从而体会极限思想的形成过程。在讲解函数的极值时，可运用几何画板画出y=x3-4x+4的图象，使学生感知函数的单调性与极值点的相互关系。使学生体会到函数不再是抽象的“世外高人”，而且真实地凸现在眼前。在讲解导数的广泛应用时，即可运用多媒体导入课题。诸如：火箭发射场面、产品包装的镜头、物体运动的速度，使学生真切地体会到导数的应用广阔无比，与现实生活密不可分。最后在讲解微积分的建立的时代背景和历史意义时即可运用电脑展示微积分的发明者──牛顿、莱布尼茨的照片。还可用字幕打出笛卡尔、巴罗、费马、牛顿、莱布尼茨的艰苦探索及微积分的萌芽、发展、建立的过程，使学生认识到微积分的创立不是一人的灵感，而是几代人不懈努力的结果，是集体智慧的结晶。从而激发学生奋发向上，勇攀科学高峰的信念。

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值得注意的是“元”在高中数学中含义的拓展：由单一或多个元组合而成的数学结构（表达式）从本质上都可视为一个新的元，通常所说的“整体换元”正是缘于这一认识.如sin2x+2sinx-3=0中的元更应理解为sinx.深刻理解“元”的内涵是灵活运用函数与方程思想的重要前提.

解三角形尽量“全化为边或全化为角的关系”，此外，数列中利用项an与和Sn的相互转化尽量全化为项的关系或全化为和的关系等等，其实质是“减少未知量的种类”；向量用基底表示，归根到底是为了“减少未知量的个数”，这都是“消元”的具体运用.

二、数形结合――函数图象是连接方程与不等式的桥梁

高中教材以研究基本初等函数的图象性质为载体渗透数形结合的思想，继而将一元方程f（x）=0的解表述为y=f（x）的零点，这为我们理解方程、函数、不等式相互关系提供了感性依据.下列三个小题可作为这类问题的典型代表：①方程x=sinx解的个数；②关于x的方程ax=x（a>0，a≠1）有两个实数解，求实数a的取值范围.③f′（x）>f（x）恒成立，求ef（x）>f（1）ex的解集.①将方程解转换为函数f（x）=x-sinx的“零点”，f（x）为奇函数且单调递增，故有唯一解x=0，②等价变形为lna=lnxx（代数意义“分离参数”），再运用f（x）=lnxx和y=lna的图象（几何叙述为构造定曲线、动直线）；③运用函数f（x）ex的单调性.这类问题集函数性质与图象、方程与不等式等知识于一体，可综合体现函数与方程思想的运用能力.

本题可与2014江苏高考第19题对照，知识背景简单，涉及指数和对数函数的图象特征性质（a0=1，lne=1）以及作差比较大小的方法，深层次的知识要求是透彻理解函数单调性的本质即“函数值的大小关系与自变量的大小关系相互转化”；此外，发现方程的解f′（0）=0，g（1）=0，h（e）=e-1等对观察数学式结构的要求较高，由函数性质推测图象，由图象探究函数性质，正是高三学习容易忽视的数学基本能力.

三、构造与转换――函数与方程思想的延伸

思想不是复杂、深奥的方法，恰恰相反，数学思想总是贯穿在概念的形成、发展、延伸和方法的联系、类比、变化之中，以简约的模式、具体而典型的问题深刻反映数学思维的本质，数学概念不同的语言指向往往从不同的侧面体现数学的思想.结构转换、再构造新的函数或方程以联系相等与不等关系，是运用函数与方程思想的重要技能.

例3 已知f（x）=12x2-ax+（a-1）lnx（1-1恒成立.

分析：以f（m）和f（n）的表达式代入将会陷入繁琐的运算.f（m）-f（n）m-n这个结构在引入导数概念时称为“平均变化率”.f（x）递增ΔyΔx>0f′（x）≥0是对“单调递增”概念及方法体系的完善.f（m）-f（n）m-n>-1即f（m）+m-[f（n）+n]m-n>0，故即证g（x）=f（x）+x（x>0）递增，这是从一个函数向另一个函数性质的转换；由此即证g′（x）=1x[x2+（1-a）x+a-1]≥0亦即证t=x2+（1-a）x+a-1≥0，这是同一性质不同表述形式之间的转换.10恒成立.

教材以函数、三角函数、数列、直线与圆为线索不断渗透函数与方程思想，继而以简易逻辑及推理方法引导我们进一步感悟与提升：“等价转化”（充要条件）提供我们分析、简化、逆向思辨问题的能力，归纳与演绎训练猜测、类比、迁移知识的能力，归根到底是为整合数学的思想与方法应用.比例3更高一个层次的问题，如已知a为负实数，f（x）=x-1-alnx，若x1，x2∈（0，1]，|f（x1）-f（x2）|≤4|1x1-1x2|，求a最小值.条件中的不等式也是“自变量大小与函数值大小的关系”，首先要断定从形式上无法变形为与f（x）直接相关的平均变化率，由此只能用导数判断f（x）单调性化简；其次特别注意不等式中的等号反映数学思维的严密性：由f（x）递增，仅当x1=x2原式取等号，故当x1>x2时f（x1）+4x1

透彻理解数学式或数学结构的含义，特别是数学概念、数学公式定数学式的含义，抽象或转化为我们熟悉的基本问题，是代数论证、解几运算的关键，尤其是多元方程或不等式问题，代换消元、整体换元消元、抽象（构造）消元都是高中能力考查的重点.

四、回归本质――赋值与待定系数

函数基于集合与对应的思想研究运动与变化，寻求对应法则，如求函数表达式、求数列的通项公式、求圆锥曲线的方程等都需“待定系数”，运动中的稳定如何对应，如求函数最（极）值、求数列及二项展开式中的某些项、求曲线的定点定值等问题，简单地说都与“赋值”相关，“待定系数法”与“赋值”是函数与方程思想的基石.

例4 曲线C：x23+y2=1下顶点H，直线l斜率k>0且l不过原点，l交C于A，B点且AB中点E，射线OE交曲线C于G且交x=-3于D（-3，m）.

（1）能否AH=BH？如能，求l的斜率取值范围，否则说明理由；

（2）求m2+k2最小值；

（3）OG2=OD・OE，证明l过定点；

（4）在（3）条件下，B，G能否对称于x轴？若能，求ABG外接圆方程.

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一、在导入新知识中进行探究性教学

1.创设问题情境，引导学生思考探究新知识

案例1：在人教A版（选修2-3）1.1“分步乘法计数原理”的引入中我设计了这样的问题：

如图，一条电路从A处到B处接通时，有多少条不同的单一线路。

学生们通过探讨，很快形成了几种方法：

生1，用列举法：K1K3，K1K4，K1K5，K2K3，K2K4，K2K5共6种。

生2，用树形法：

共6种。

生3，用乘法：共有2×3=6种。

我再请学生根据他们的解答过程，谈谈对这三种方法的看法，同学们很快说出生3的方法最直接、简便、快捷。至此，学生对分步乘法计数原理有了理性的认识。

2.在旧有知识的启发下，引导学生自主探究新知识

案例2：在人教A版（选修2-1）2.2.1“椭圆标准方程”的引入中我设计了这样的问题：

取长为定值2a的一条绳子，将其两端点固定在F1F2两点（2a>IF1F2I），用笔把绳子拉紧后移动笔尖，可画出一个椭圆。当我们改变F1F2之间的距离时，请说出你观察后得到的结果。

学生探究后发现，当F1、F2重合时，椭圆就成了圆了。他们通过互相讨论，高度兴奋地得出下列结论：圆是椭圆的一种特殊图形；椭圆可看成是将圆上各点向某一对称轴压缩而成的图形。至此，学生对椭圆的生成、概念及与圆的关系有了新的认识。

二、在例习题中进行探究性教学

案例3：在人教A版（选修2-2）1.3“导数在研究函数中的应用”中我用了同一个函数f（x）= x3-4x+4设计了3个例子贯穿整个大节。

例1：求函数f（x）= x3-4x+4的单调区间。

例2：求函数 x3-4x+4的极值。

例3：求函数 x3-4x+4在[0，3]上的最大值与最小值。

例1解决了函数的单调性与导数的问题，例2解决了函数的极值与导数的问题，例3解决了函数的最大（小）值与导数的问题。通过一题多变让学生前后迁移、上下贯通，多方位体会了导数是研究函数增减、极值、最大（小）值等问题的最一般、最有效的工具。

三、将课堂中的探究性教学向课外延续

案例3：在人教A版（必修5）1.1.1“正弦定理”例2中，我让学生思考：“对于任意给定的a、b、A的值，是否必能确定一个三角形？”

我先启发学生得到：“如果已知两边及一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解、一解、两解。”再请同学们深入研究一下这种情形下三角形的问题。

我在课内通过启发学生分二步探究：

第1步，如果A是：①钝角时，②直角时，③锐角时；

篇10

微积分是近代数学发展的基础. 微积分的创立，开启了科学的新纪元，加强与加深了数学在实际中的应用，被誉为“人类精神的最高胜利”，它极大地推动了数学自身的发展. 可以说，它是继欧氏几何后数学中最大的一个创造. 它为研究变量和函数提供了重要的方法和手段，有了微积分，人类才有能力把握运动和过程. 微积分工具性应用很强，难以掌握，高中生应当怎样学，如何根据高中生的认知特点控制微积分教学的要求和难度，一直是国内外教育界研究的热点问题.在国内高中开设微积分的必要性，已有多篇文章阐述.教育部2003年4月颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）对于微积分部分的教育价值作出全新定位， 以逾越极限的形式来讲微积分，引起了很大的反响，褒贬不一. 有赞成者，如“极限思想是微积分思想的基础，引入直观描述极限作为导数定义的铺垫，有利于学生理解和掌握微积分思想，……所谓直观描述极限，即在生成导数概念过程中遭遇极限时，给出一般函数的描述性定义，并用具体函数予以解释.” “淡化概念与注重建构……《课标》中微积分内容是以瞬时速度――变化率――导数――导数应用为设计主线，其实这样的设计是有一定道理的.” 也有一些反对的言论，如“微积分中的重要概念都是用极限定义的，导数也不例外，……与其若隐若现、马马虎虎，倒不如充分尊重学生的认知基础，把函数极限的知识提出来，置于第一节.” “应遵循学生的认知规律，了解学生的思维状况，有的放矢地讲解极限. 学生的认知发展应该是从语言描述建立概念表象开始，然后再到图表、图象、代数式子等，最后上升到ε-N语言方法.” “……无极限的导数模式，并不是创新，而是倒退”，等等.

新课标实施已经十年了，各省份不同版本的高中教材，均以逾越极限的形式引入导数. 那么，此时高中生在导数问题解决中的困难到底处于什么状态？学生对新课标教材中微积分的认知状况及适应程度如何？这值得我们进一步关注和研究. 基于此，本文对贵州省2010年进入新课改后，首批高三应届毕业生及高二新生微积分的掌握情况作具体的调查和探讨，希望对微积分教学及课程编写有所启示.

[?] 调查研究概况

（一）调查研究目的

本调查旨在了解学生观点下的高中导数的定位，找出新课程下学生学习导数的困难根源，明晰当前高中导数教学中存在的一些问题，以期对当前课程的修订、改革提供有价值的参考性建议，帮助高中数学教师分析、反思、完善自己的教学行为.

（二）调查研究方法

本次调研主要采用问卷调查法. 问卷包含单选题、多选题、排序题、简答题，全部数据统计和处理用Excel软件辅助分析.

（三）调查研究样本

本次调研对象是贵阳市六所省级示范性高中学生，共进行四次调查.

问卷S1：2012年11月中旬，对象是贵阳市第二中学的105名高三应届毕业生，其中整班发放的是理科实验班，共计49人，按小组随机发放的是文科，共计A班28人，理科A班，共计28人. 实发放问卷105份，收回有效问卷101份.

问卷S2：2012年11月下旬，对象是贵阳市第五中学、贵阳市第六中学、贵阳市第八中学的140名高三应届毕业生，按小组随机发放，文科实验班两个班56人，理科A班两个班42人，理科B班两个班42人. 实发放问卷140份，收回有效问卷132份.

问卷S3：2012年12月中旬，对象是贵阳市清华中学、贵阳市实验三中的154名高三应届毕业生，按小组随机发放，理科实验班两个班42人，文科B班两个班56人，理科B班两个班56人. 实发放问卷154份，收回有效问卷147份.

问卷S4：2013年3月中旬，对象是贵阳市第二中学的高二学生，按小组随机发放，理科实验班一个班21人，文科实验班两个班42人，理科A班两个班42人，文科A班两个班42人，理科B班两个班42人，文科B班两个班42人. 实发放问卷231份，收回有效问卷219份.

（四）调查研究内容

笔者参考往届硕博毕业论文有关“导数问题”调查问卷，参加并听取了贵阳市第二中学高二、高三数学组“导数问题”研讨会，亲自访谈贵阳市第二中学有二十年以上教龄的高三一线教师，以及笔者在“导数问题解决”方面的施教心得，整理而得本文研究内容. 为了便于了解学生具体情况，科类、班类、成绩层次分别细化为：学习类别（ ）A. 文科，B. 理科；班级类别（ ）A. 实验班，B. A班，C. B班；你目前的成绩状况（ ）A. 优，B. 良，C. 暂时落后.

调查问卷设计以学生为主视角，依据《普通高中数学课程标准》的“四基”标准：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，考查他们了解、理解、掌握、应用、记忆、分析情况及对教师讲授该模块的建议和意见. 开放性题目较多，问题涉及基本概念及公式、导数应用、导数人文思想、自我反思与评价等.

[?] 调查结果分析

针对上述研究的主要问题，现在笔者对调查结果做出统计、分析，具体情况如下：

（一）学生对导数概念的理解

加强概念教学是学好数学的基础，是理解数学知识，掌握定理、公式、法则和数学思想的前提，同时也是提高解题能力的关键. 高中新课程人教版《数学》选修1―1第三章第一节导数概念教学重点为：理解导数的概念和理解导数的内涵. 无限逼近的极限思想是建立导数概念的基本思想，让学生经历概念的生成过程，体验“逼近”的数学思想，欣赏数学的“运动变化美”，使学生在理解上不至于突兀陡然. 这也是逾越极限形式进行导数教学的有效手段，学生对此理解情况如何呢？

1. 学生对导数概念式含义的理解

问卷第5题：请描述下列式子代表的含义――

（1）对于x0，你的理解是（ ），具体情况如图1. 整理学生们的回答，有以下几种：A无限趋近，B不理解，C是x=0，D是学生未填写的比例.

（2）对于，你认为是（ ），具体情况如图2. 整理学生们的回答，分别有：A平均值或（割线）斜率或平均变化率，B不理解，C求极限或指定区间函数分布，D是学生未填写的比例.

（3）对于，你的理解是（ ），具体情况如图3. 整理学生们的回答，分别有：A求极限或求导或（切线）斜率或瞬时变化率，B不理解，C是学生未填写的比例.

[C

29%][B

11%][A

60%]

34%][A 36%][其他

13%][D 10%][E

3%]

2. 学生对导数概念“数”含义的辨别

问卷第4题：在t=2附近，平均速度趋近于确定值-13.1，这个常数-13.1就可作为该运动员在2秒时的速度. 你认为（ ），具体选择如图4，其中A正确，B不正确，C不确定，D不知道，E是学生未填写的比例.

3. 学生对导数几何意义及物理意义的认识

问卷第10题：你理解导数的几何意义吗？请填写真实选项（ ），具体选择如图5，其中A理解，B不理解，C模棱两可，D不知道.

问卷第11题：下列物理量与函数导数最接近的是（ ），具体选择如图6. A平均速度，B瞬时速度，C加速度，D速度.

从调查结果可知，教材原封不动的导数概念，对于省城高中生来说，至少四成学生对其理解不容乐观. 尤其是从抽象到具体、由“形”到“数”的相互转化过程，有近三分之二的学生在认知、理解、记忆方面产生诸多障碍！

（二）导数应用及基本技能的掌握

与对导数概念的理解相比，导数的应用是对学生综合素养的全面考查，本部分从范围、方法与技能、出错率排序及主观题方面入手，做具体量化分析.

1. 学生对导数应用范围的认识

问卷第11题：你认为利用导数，可以很便捷地研究函数（曲线）的（ ）（本题目为多项选择），具体选择如图7. 其中，A切线方程和法线方程，B奇偶性和周期，C单调性和比较大小，D极值、最值和恒成立问题，E零点问题，F作函数的大致图象.

本题评判标准：B选项错误，其余项都正确；对于正确项，不论选几项都视为对，若在正确项中选择B，则视为错. 从调查数据看，有七成学生知道导数应用的领域，但真正掌握导数应用范围的学生仅占9%. 新课改的亮点是强调素质教育和数学实用价值！教学不单单让学生明白怎样解题，更重要的是从宏观上强化他们理解某一模块的用途及功能，这是学生创造性学以致用的前提.

2. 对利用导数研究函数相关问题的考查

问卷第21题：利用导数研究函数的相关问题中，你常犯的错误是________（请按出错频率高低排序：写字母序号），具体选择如图8. 其中，A复合函数求导要求，B研究函数单调性时，忽略原函数定义域，C求解函数极最值时，忽视一阶导函数不存在或无意义的点，D导数运算中积、商求导法则记错，E底数不为e的指数函数、对数函数的求导，F是学生未填写的比例.

[100%

80%

60%

40%

20%

0%][23%][A B C D E F][18%][18%][20%][17%][8%][24%][19%][26%][20%][1%][15%][28%][23%][30%][19%][26%][24%][12%][15%][25%][14%][8%][16%][16%][24%][3%][3%][3%][2%][次低][错频低][适中][次高][错频高][错频高]

图8 导数相关问题的考查

从出错调查看，有半数学生在研究函数单调性及极值、最值时，因某些条件掌握不熟练而习惯性出错；复合函数求导要求不明确，积、商求导法则记错，底数不为e的指、对函数导错的学生分别占四分之一. 这说明学生在解决综合题型及解题技巧方面相当薄弱.

3. 由主观题看导数解题困难

问卷第27题：关于导数学习，你还有什么困难或问题？对其统计、分析结果如图9. 整理学生们的回答，有以下几种： A证明恒成立问题或字母常数的取值范围及分类讨论及忽略隐含条件，B复合函数求导或函数单调性，C导数几何意义的理解和函数应用（尤其导数大题的二三问）及最优化问题，D导数方面问题多，一知半解，E求函数极值、最值和比较函数值大小及函数不等式证明，F导数概念理解或公式运用，G复杂函数求导，H极限概念理解及导数定义求导.

[C

20%][B

16%][D 13%][F 9%][其他

18%][A 24%][E 9%][G 7%][H 2%]

图9 由主观题看导数解题困难

从主观题回答看，近七成学生在导数综合应用方面存在不同程度的困难；五分之一的学生对基本概念理解及公式掌握产生困惑；八分之一的学生对导数问题一知半解. 这说明强化基本知识及导数应用方面是教学的重中之重.

（三）导数相关人文思想的了解

人文思想是数学教学的重要内容，它为学生人文素质的培养提供了条件. 构建科学人文教学观即以科学为基础和手段，以人文为价值和目的，对形成健康个性、健全人格与人文素质，是十分迫切和必要的.

问卷第8题：最能体现导数基本思想的本质是（ ），具体选择如图10. 其中，A导数就是对事物变化快慢的一种描述，B是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具，C蕴涵着丰富的运动辩证、对立统一的思想方法，D用静态的量的关系去描述动态的极限过程.

[D 34%][C 24%][B 33%][A 9%]

图10 导数人文思想的了解（1）

[C 57%][B 16%][E 2%][其他 7%][A 20%][D 5%]

图11 导数人文思想的了解（2）

问卷第13题：“微积分（导数是其中的一部分）是现代科学的基石！”这句话你认为（ ），具体选择如图11. 其中，A完全正确，B有点夸张，C还未感受到，D不这样认为. E是学生未选的比例.

从调查数据看，不低于三分之二的学生对导数相关人文思想的了解处于含糊状态，说明现实教学中对该部分知识不够重视.

（四）对导数学习的反思/评价与建议

正确引导学生反思、评价、归因是认识不足，从而进行重点学习的保障，也是教师基本素养之一，它有助于凝聚班级正气，达成共识，形成高效学习的氛围.

问卷第9题：导数是微积分中最基本的概念之一；微积分是大学一年级的一门必修课程. 学习完《导数》这一章的内容后，你对将来继续学习微积分的知识有信心吗（ ），具体选择如图12. 其中，A估计会很难，没有信心，B有一定难度，但是有信心，C难度不大，比较有信心，D不难，很有信心，E是学生未选的比例.

[60%

40%

20%

0%][A B C D E][21%][61%][7%][7%][4%]

图12 导数学习的反思/评价

[C 15%][B 29%][D 4%][其他

45%][A 7%][F 40%][E 5%]

图13 对导数学习的建议

问卷第28题：在导数授课方面，你有什么好的建议或意见向教师分享吗？其统计、分析结果如图13. 归纳学生们回答：A导数基础知识讲解，B多练习和综合习题讲解具体化，C导数运用及数形结合及总结题型讲方法，D公式推导过程及记忆技巧，E分层复习及师生互动及多媒体运用，F是学生未选的比例.

从调查结果看，有四分之一的学生对导数学习缺乏信心；半数学生还是期待讲解导数基础知识、综合题型及方法等.这反映巩固基础、强化应用，为学生塑造导数学习信心，仍然是教学主旋律.

[?] 调查结论

通过本次调研，了解到省示范性高中生在导数问题解决中具体困难的量化水平，反映出当前高中导数教学中确实存在着一些不容忽视的问题.

（一）学生对导数基础知识掌握不容乐观. 比如，对导数概念理解、导数公式生成的认识、导数现实意义的把握等.

（二）导数应用及基本技能的掌握不够扎实. 从检测结果看，学生对导数应用的宏观认知不到位、导数运算公式混淆及习惯性出错直接影响解题正确性，以至于在解综合题型及解题技巧方面表现相当薄弱.

（三）导数相关人文思想的了解相对滞后.

（四）学生对导数学习的信心不够高涨. 信心源于实力，导数作为过渡课程，学生普遍认为难度较大，究其原因，关键在于对导数基础知识、综合题型及方法等掌握不牢固.

由于本次调查的学生是省示范高中文理科生，推测对于在师资力量短缺的欠发达地区，上述问题会更严重.

[?] 教学对策与建议

对于高中微积分的定位，不但要结合课改几进几出的教训和借鉴国外编排及教学模式，还应当兼顾我国高中生的认知特点、地区差异等，确确实实让微积分初步起到承前启后的桥梁角色，承前是对基础数学的提升与浓缩，学生领略从有限到无限、从常量到变量、从近似到精确、从量变到质变的变化过程；启后是为高中生进一步学习做好铺垫，开阔视野，丰富思维内涵. 笔者个人认为，解决高中生学习导数困难应从以下三方面考虑.

（一）教材、课标方面

1. 以均衡分班为抓手，重视均衡教育及循序渐进的分层过程

均衡分班是指教学硬件环境、师资配备、学生综合能力分布合理化、均衡化.消除了班际歧视及沟通障碍，有利于良性竞争氛围的形成，是推进均衡教育的前提. 同时，这对于国家级教材、课标的实施具有更广泛的普适性和认同感.

微积分中的重要概念都是用极限定义的，导数也不例外. 但是，新课标逾越极限形式引入导数，部分教师针对该模块相当困惑，学生回归习题又遇到抽象的极限符号. 林群、张景中、宋宝和等十多年来一直致力于舍弃极限引入导数的研究，尤其是林群的初等函数微积分，从切题思想上完全回避极限又不失严谨性，内容独立，自成体系. 它与新课标接近，同时为微积分的后续学习留有余地，体现知识的“和而不同”精神，实践证明，它符合高中生的认知特点. 由此可见，对于文科生，可尝试“林群模式”认识导数；对于理科生，可适度讲解极限，在严谨性与直观性问题的处理上，从学生对概念的理解出发，把握极限的形式化和严格化的深度.

2. 融入丰富的导数人文理念，多方面展现导数基础知识

教材应针对高中导数课程的具体内容，渗透“导数文化元素”，实现“数学文化”的教学目标.比如，以隐性方式呈现微积分发生、发展及学术争鸣的过程，使学生了解人类从数学的角度认识客观世界的过程，促进学生科学观的形成.

长期以来，由于对高中微积分定位不明晰，数学教师种种迷惑及自身问题，存在形式化倾向过于严重、理论色彩较浓而实际应用不足、教学手段和模式单一等问题. 比如，美国的微积分教学强调发展学生思维，重视概念理解，形成“4项原则”（The Rule of Four）的微积分概念教学模式，即图象、数值、符号、语言四种形式描述概念、公式和命题等，具有现实性，值得借鉴与推广.

3. 倡导开放题型，导数考核形式多样化

导数以函数为基础，但新课程中呈现函数多用列表法，图象法用得较少. 研究函数离不开图象，有的学生要借助于图象来理解导数，是否补充函数的图象，数形结合，增强学生认知的渠道？对于抽象的极限思想、导数概念，是否尝试用自然的描述性语言，也包括形式化的数学语言去概括、解释？比如，美国杜克大学的CALC（Calculus as a Laboratory Course）项目从一开始就强调书面报告或口头表达，帮助学生概念学习，便于教师观察和测试，成效斐然. 国内高中教育过于看重分数和升学率，评价方式不科学，评价标准较单一的现象相当严重，这种打破“一刀切”的评判标准无疑给我们良好的借鉴与启示.

（二）教师方面

1. 针对导数概念理解困惑，以多媒体技术作为导数教学的重要手段，强化概念生成过程

建构主义学习理论认为，学习不是一个被动的接受过程，而是一个主动的建构过程. 导数教学的极限思想（无限逼近、化曲为直）、数形结合思想等与多媒体技术嫁接，让学生身临其境，感受和体会切割线的运动过程，有条件的学校可让学生走进微机室，近距离“做”数学，重在探索数学现象，发现数学规律，相信学生们会收到意想不到的效果与灵感. 比如，美国普杜大学的“教学ACE循环模式”，其中A代表Activity，C代表Cooperation，E代表Exercise，每个教学单元都以学生上机活动为开端，在实验过程中，鼓励学生通过执行计算机任务，自己发现最重要的数学结论，这些任务都经过教师的精心设计，以促进学生数学概念的思维建构. 这在转变教师“主导”地位方面，有借鉴价值.

2. 从学生导数应用及建议方面看，重视同课异构教学，帮助学生构建概念体系

同课异构教学是国内建构主义代言人何克抗教授界定并积极倡导的一种教育理念，在有效地激发活泼课堂方面，具有现实意义. 导数教学也不例外，有关导数（微积分）应用，从小处讲，可求斜率、极（最）值、函数图象，解决函数单调性、恒成立问题、零点问题、面体积；从大处讲，能处理边际效用、需求收入弹性、规模报酬等金融经济问题，预测地震潮汐、人口变化、环境污染等人文社会领域，检测天体运转、航海航天、元素衰变等宏观微观世界. 理应澄清微积分的价值，大尺度地刻画其应用性，切实把“微积分是现代科学之基石”的功课向学生渗透扎实、讲述明白，从不同生活侧面诠释微积分在诸多领域应用的重要性.

实践证明，形成概念体系的知识结构，更便于学生记忆和掌握. 概念体系隐没在内容之中，分析者要通过自己的整理使之明朗化，帮助学生构建思维导图或概念群，促使学生认知结构的建立. 对于该模块，比如，和、差导积、商导幂、指导复合函数导复杂函数导；函数极最值或单调性或斜率求导比较大小恒成立不等式证明，等等，这样更容易增进课堂教学的趣味性.

3. “还原”并“解读”导数教材，注入生活元素，为学生“再创造”提供平台

注重与学生的经验结合在一起，使新知识、新概念的形成建立在学生现实生活的基础上，选择内容应切实反映学生生活经验，努力体现时代特点. 由于导数的工具性作用很强，教师不定期地搜集和整理贴近生活与概念、公式相关的泛化或发散型的辨析题、开放题等发放给学生，让他们自行猜想、讨论、鉴别与评价.旨在发现与感悟，而不仅仅是做对.

4. 充实和提高教师专业素养，尤其是导数相关知识方面

教师应当在课程观念、专业知识结构方面狠下工夫，尤其对于导数应用性及衔接性较强的科目，不再仅仅局限于“一桶水”与“一杯水”的关系. 讲明白是前提，针对该模块如何挖掘深层次内涵，打破形式化又不失严谨性，贴近生活开展导数教学等等，需要教师首先落实到自身知识储备上，才能肩负起导数教学的新的挑战.

（三）学生方面

导数作为初等数学之上的上层建筑部分，针对该模块的学习，教师应引导学生做如下的预习与温故：

首先，了解导数的文化价值及应用领域，从整体上把握它的“脉络”；

其次，了解微积分发明、发展及学术争鸣的历史，从细微处培养心向，树立信心；

篇11

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0091

一、正确地理解概念

从20世纪50年代以来，《中学数学教学大纲》虽经历多次修订，但都有一个共同的指导思想，这就是搞好三基。并强调指出，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。而当前我国数学教学中的突出问题，恰好是把掌握数学基础的前提，即数学概念的正确理解被忽视了。一方面是教材低估了学生的理解能力，为了“减负”，淡化甚至回避一些较难理解的基本概念；另一方面，“题海战术”式的应试策略，使教师没有充分的时间和精力去钻研如何使学生深入理解基本的数学概念。说是为了减负，其实南辕北辙，教师、学生的压力都增加了。

其实，我们知道，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。学生如果不能正确地理解数学中的各种概念，就不能掌握各种法则、定理、公式，从而也就不能进行计算和论证。因此，讲清概念，使学生正确地理解概念，对于提高数学教学质量具有重要的意义。鉴于此，教师们都渐渐地开始重视概念的教学。

在较长的一段时间里，概念教学搞“一个定义三项注意”，不讲概念产生的背景，也不经历概念的概括过程，仅从“逻辑意义”列举“概念要素”和“注意事项”，忽视“概念所反映的数学思想方法”，导致学生难以达成对概念的实质性理解，无法形成相应的“心理意义”。没有“过程”的教学，因为缺乏数学思想方法为纽带，概念间的关系无法认识，概念间的联系难以建立，导致学生的数学认知结构缺乏整体性。用例题教学替代概念的概括过程，认为“运用概念的过程就是理解概念的过程”。殊不知没有概括过程必然导致概念理解的先天不足，没有理解的应用是盲目的应用。结果不仅“事倍功半”，而且“功能僵化”――面对新情境时无法“透过现象看本质，难以实现概念的正确、有效应用，质量效益都无保障。那么，怎样才能有效地进行概念教学呢？

二、对不同的概念，采取不同的方法

有的只需在例题教学中实施概念教学。比如：相关关系的概念是描述性的，不必追求形式化上的严格。建议采用案例教学法。对比函数关系，重点突出相关关系的两个本质特征在：关联性和不确定性。关联性是指当一个变量变化时，伴随另一个变量有一定的变化趋势；不确定性是指当一个变量取定值时，与之相关的变量的取值仍具有随机性。因为有关联性，才有研究的必要性。因为其不确定性，从少量的变量观测值，很难估计误差的大小，因此必须对变量进行大量的观测。但每个观测值都有一定误差，为了消除误差的影响，揭示变量间的本质联系，就必须要用统计分析方法。

有的先介绍概念产生的背景，然后通过与概念有明显联系、且直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，提炼出本质属性。如：“异面直线”概念的教学，可以在长方体模型或图形中（或现有的教室中），引导学生找到既不相交也不平行的两条直线，直接给出像这样的两条直线叫“异面直线”。然后画出一些看起来是异面直线其实不是异面直线的图，以完善异面直线的概念。再给出简明、准确、严谨的定义。最后让学生在各种模型中找出、找准所有的异面直线，以体验概念的发生发展过程。

有的要联系其他概念，借助多媒体等一些辅助设施进行直观教学。比如：导数是微积分的一个核心概念，它有着极其丰富的背景和广泛的应用。高等数学里，导数定义为自变量的改变量趋于零时，函数的改变量和相应的自变量的改变量之比的极限（倘若存在），涉及有限到无限的辩证思想，这样的数学概念是比较抽象的，这与初等数学在知识内容、思想方法等方面有较大的跨度，加上学生刚接触导数概念，所以往往把导数作为一种运算规则来记忆，却没有理解导数概念的内涵和基本思想。建议：1. 导数教学前要加强变化率的实例分析；2. 利用多媒体的直观性，帮助学生理解动态无限趋近的思想；3. 利用APOS理论指导导数概念教学。

有的在情景设计、意义建构、例题讲解、课堂小结整个教学环节中实施，比如“函数”一课。我们知道函数是一个核心概念，函数思想是一种核心的数学思想方法。衢州高级中学何豪明老师是用三个实例（以解析式、图象、表格三种形式给出）设计情景，以小组讨论的形式让学生自己归纳出函数概念及三要素，又用四个例题层层深入地加深对概念的理解。整堂课紧紧围绕函数概念和思想方法进行教学，上出“简约”而“深刻”的效果。

篇12

先进理念指导下的数学教学设计研究，是数学课程改革的核心内容之一. 如何设计合理有效的课堂教学方案，使教学真正走上以学生发展为本的道路，切实提高课堂效益和质量，为学生终身发展打下坚实的数学基础，是所有一线教师要认真思考的问题. 同时，教学设计是一项综合反映教学专业化水平的工作，是教师教学能力的集中体现，因而也是教师专业化发展的有效途径. 下面笔者结合自己参加的一个省级课题――《高中数学新课程中主干知识教学设计的研究》及教学实践，就新课程理念下高中数学课堂教学设计谈谈自己的观点.

[⇩]课堂教学为什么要设计

教学设计就是为达到教学目标，教师对课堂教学的过程与行为所进行的系统规划. 主要解决两个问题：

1. 教什么设计教学目标，对教学内容进行分析.

2. 怎么教教学手段的选择，教学过程的设计. 对教学资源、学生和教师自身情况进行分析.

教学为什么要设计，理由有很多，主要包括：

1. 教师不仅是教学活动的组织者、引导者、合作者，更重要的是教学活动的设计者.

2. 提高教学效率――使学生以尽量少的投入（时间、精力等），获得尽量多的产出.

3. 体现对教师专业化的要求，对教学的设计水平是教师专业化程度的重要体现.

[⇩]新课程理念下课堂教学设计的出发点

1． 强调以学生为本

“以学生为本”是高中数学课堂教学设计的根本指导思想和出发点，它的本质与核心是“以学生的发展为本”，而且应当是全面的、和谐的、可持续的，即课堂教学设计应当是以学生的发展为中心的“学程”设计，而不是单纯的以学科为中心的“教程”设计. 也就是说，一是课堂教学要向学生的生活世界回归，强调学生对学习过程的体验，让学生用活泼多样、易于理解、乐于接受、主动学习的方式去学习，以提高学生的学习能力. 二是在课堂教学中要注重学生动手实践能力和创新精神的培养，强调在学习过程中有意贯彻价值观和道德教育，尊重学生的成长规律，关注学生个体的发展.

2． 强调以培养学生的数学思维能力为核心

培养学生的数学思维能力是数学教学的核心问题，而抽象概括能力是数学思维能力的基础. 所以，数学教学设计的核心是设计抽象概括过程：根据学生数学思维发展水平和认识规律，以及数学知识的发生发展规律设计课堂教学，用问题引导学习，在关键点上给学生提供发表自己见解的机会，并引导他们通过类比、推广、特殊化等思维活动，自己概括出数学的本质，使学生在学习过程中始终保持高水平的数学思维.

如，《任意的三角函数》一课，可以这样设计来引导学生自己概括出用“单位圆”定义三角函数，并体会这种定义的优点.

问题1如图1，请问锐角a的正弦是如何定义的？

[O][M][P][α]

图1

学生：sinα=.

问题2推广到任意角还有哪类角可以这样定义？

学生：第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义一样.

问题3把角放入坐标系来研究后，第二象限的三角函数可以怎么定义？

学生：sinα=. （并通过具体模型，让学生检验给出的sinα定义是否正确）

问题4那么第三、四象限角的正弦可以怎么定义呢？

（学生可能给出：sinα=的定义，再让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发现正、负符号的偏差，让学生重新定义得出：sinα=－）

问题5对任意角的正弦的定义，看来不能再依赖于角所在的直角三角形中角的对边长度比斜边长度了，你能寻找一个适当的量来代替MP或-MP，使得sinα=，这个量的绝对值与MP相等，且符号在一、二象限只能是正的，在三、四象限只能是负的（如图2）.

[sinα=][P][y][x][P][O][P][P][M][M][sinα=][sinα=－][sinα=－]

[sinα=－][sinα=－][sinα=－]

图2

3． 强调以提好的问题，设计自然的教学过程为关键

数学教学过程，应当是以启发式教学思想为指导的以问题引导学习的过程. 因此，数学教学设计的关键是要做好如下两方面：

（1）提好的问题“好问题”应该满足两个标准：①有意义，就是所提问题要反应当前学习内容的本质. ②在学生思维最近发展区内，只有在学生思维最近发展区内的问题才能形成认识冲突，激发求知欲，才能使学生的心理保持积极的、适度的求知倾向.

如，在《直线方程的一般形式》教学中，我们可以设计这样几个问题来引入课题.

问题1已知直线l过点A（0，2），要求出l的直线方程，还需要什么条件？

问题2能否只用一个方程表示所有过定点A（0，2）的直线呢？

这两个问题的设计，旨在引导学生发现现有知识的不完备，使学生产生学习新知识的欲望，从而使学生发现探索新知识的必要. 这样新知识的出现就不是教师“塞”给学生的，而是知识研究的必然性.

（2）设计自然的过程这是数学知识发生发展的原过程（再创造过程）与学生认识过程的融合. 一个“自然的探究过程”应该是一个让学生有充分的独立思考空间的过程，是一个有足够的思维参与的过程. 教师对学生思维的引导过程必须是“不动声色”的.

如，“正弦定理”的推导，可以设计如下的过程.

问题1在RtABC中，已知∠C为直角，BC=a，AC=b，AB=c，你能得到关于边与角的哪些结论？

问题2能否将上述结论推广到一般三角形？

设计意图：对学生的思维方向进行引导，并把解直角三角形的任务完全交给学生. 估计学生能写出A+B+C=180°；a2+b2=c2；sinA=，sinB=等等. 这时，教师可以适时引导，得出关于直角三角形的正弦定理：==.

4． 强调三个理解基本点

一个优秀的教学设计肯定是建立在以下三个基本点上.

（1）理解数学主要是对数学思想、方法及其精神的理解. 众所周知，教好数学的前提是教师自己先学好数学，只有教师自己对数学的思想、方法和精神有较高水平的理解，才能在教学中自觉地把数学的精神传达给学生，使数学在学生发展中的关键作用真正发挥出来.

（2）理解学生主要是对学生数学学习规律的理解，核心是理解学生的数学思维规律. 只有对学生的数学思维规律有了深入的理解，才能知道应当采取怎样的教学措施来引导学生的数学思维活动，有的放矢地组织教学.

（3）理解教学主要是对数学教学规律、特点的理解. 数学是思维的科学，数学学科的特点决定了数学教学的特点和规律，只有遵循了这些规律，反映这些特点，数学教学质量和效益才能真正得到提高.

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[⇩]新课程理念下课堂教学设计的基本原则

新课堂理念下的教学设计大至可以分为立足于教师主导为主的设计和立足于学生自主活动为主的设计. 无论是哪种设计，要把新课程的理念真正地贯彻到课堂教学实践中，教师在教学设计时都应遵循如下一些原则.

1． 自然性和过程性的原则

中学数学中绝大部分的数学概念、方法与思想的起源与发展都是自然的，不仅合理，而且很有人情味. 数学内在的和谐、自然是增强数学课程亲和力的源泉. 这就要求教师努力选取那些与内容密切相关的、典型的、丰富的、学生熟悉的素材，创设能够体现数学的概念及其思想方法发生发展过程的学习情境，使学生感受到数学是自然的同时，产生“看个究竟”的冲动，兴趣盎然地投入学习.

这里所说的“过程”是指数学知识的发生发展过程和学生学习数学的过程. 在教学设计中贯彻过程性原则，第一，要还原知识的原发现（再创造）过程；第二，要为学生构建一条“从具体到抽象，从特殊到一般”的思维通道. 并以此为依据设置问题情境，引导学生开展类比、猜想、特殊化等思维活动，使他们经历知识的发生发展过程与抽象概括过程.

2． 问题性和思想性的原则

提问是数学课堂教学中联系师生双边活动的纽带，也是启迪学生思维的驱动力，问题引导学习应当成为数学教学的一条基本原则. 有效的提问方式应该是把注意力放在激发学生的思维过程上，而不应该急促地迈向结果. 教师要通过合理有效地提问方式，努力给学生创造思考的条件，要教给学生学习数学的方法，培养学生会用数学思维和数学方法来分析、研究和解决实际问题的能力，使学生由“学会”数学转变为“会学”数学.

如，《直线与圆锥曲线的位置关系》的复习课中，我们可以设计这样一个问题：“已知a+b=1，直线l：y=ax+b和椭圆c：+=1交于A，B两点，____________（请你添加条件），求直线l的方程”.

这一问题有较大的思维空间，不同层次的学生都能在这个问题上有不同层次的施展. 通过这个问题用多种方案解决，一方面可以复习相关的知识，另一方面可以培养学生提出问题、发现问题的能力.

与此同时，新课程理念下的数学教学更加注重数学思想方法的渗透与概括，教学设计要以数学的基本思想为“灵魂”. 具体地，在核心概括的教学之初，在大背景下阐述它的地位及其研究方法；在小结时，不但要引导学生归纳知识结构，而且要从数学思想的高度进行概括和总结.

3． 整体性和联系性的原则

《普通高中数学课程标准》第四部分“实施建议”中指出：注重联系，提高对数学整体的认识. 强调整体性和联系性，是数学学科特点的要求，数学学科的严谨性和系统性要求数学教学必须从整体上把握中学数学的内容，才能对每一章节，每一节课堂内容的地位、作用有深入的分析，对重、难点有恰当的定位. 同时，强调整体性和联系性也是新课程模块和专题结构的需要. 教学中，要注重数学不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系. 如，教学中要注重函数、方程、不等式的联系；向量与三角恒等变形、向量与几何、向量与代数的联系，向量与力、速度的联系；数与形的联系；算法思想在有关内容中的渗透、应用；导数与现实世界中存在的变化率的联系等.

如对《基本不等式》的教学，从第一课时内容来看，除了知道本节课的教学重点为理解基本不等式，难点是用基本不等式求最大值和最小值之外，还需要从高中数学内容这一整体角度对有关内容的相互联系有一个把握，如应用数形结合的基本不等式，并从不同的角度探索基本不等式≤的证明过程.

（1）当a＞0，b＞0时，在不等式a2+b2≥2ab中，以，分别代替a，b，得到≤（a，b>0）.

（2）借助初中阶段学生熟知的几何图形（如图3），引导学生探究不等式≤（a，b>0）的几何解释，通过数与形的结合，赋予不等式≤（a，b>0）几何直观. 目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式≤（a，b>0）成立的条件是a>0，b>0，及当且仅当a=b时，等式=才能成立.

[A][B][C][D][E]

图3

（3）在不等式≤（a，b>0）的证明过程中，以填空的形式突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究上体会分析的证明思路，加大了对不等式≤（a，b>0）的探究力度.

（4）联系第二章《数列》知识，让学生体会从数列的角度探索基本不等式≤（a，b>0），即两个正数的等比中项不大于这两个数的等差中项，让学生感受数学知识的内在联系.

4． 生成性原则和调控性原则

课堂教学是一个经过精心设计的有计划的活动，新课程理念下的课堂教学强调师生、生生之间的互助合作，这就意味着有计划的课堂中有了更多的不确定性和生成性，因此生成性是新课程理念下课堂教学的重要特征，新课程追求真实自然，学生敢想、敢说、敢问，因此教学设计应该给学生的生成留有空间.

任何有计划的活动都需要一个调控机制，这样才能使活动目标有效达成，否则是“脚踩西瓜皮，滑到哪儿算哪儿.”为了使教学活动维持在最佳状态，追求教学的高效益，“反馈――调节”机制的使用是必需的. 实际上就是通过及时调控，始终使学生在自己的思维“最近发展区”内活动. 反馈信息要注重差异，调节则要有意识地采取分化性措施. 在课堂教学设计中，下面几个方面值得重视：

1．给不同需求的学生提供不同类别的专门帮助；

2．布置可选择的作业集合，满足不同学生的不同需求；