数学思想方法的教学范文

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从目前初中数学教学的现状来看，绝大多数学校是在绝对封闭的条件下采用“时间+汗水”的教学模式。教师只重视具体的知识对象，认为数学就是逻辑思维和空间观念的训练，数学只有理性，没有思想和情感。把学生置于浩瀚的题海战术之中，缺乏数学思想方法教学的意识，在判定教学目标时，往往重视知识的目标，忽略数学思想方法的教学；在教学中，往往重视知识的结论，忽略知识的形成过程；在知识应用中，往往偏重于分类解题，而忽略解题思想方法的指导；在小结中，往往重视知识的系统整理，而忽略数学思想方法的提炼。因此，不少初中学生认为数学是枯燥加抽象，学习数学是家庭、教师的压力所致而必须支撑的苦差事。要转变这种局面，作为教师，首先要从数学活动内部去挖掘学生的内驱力，让学生体验到学习数学是一种轻松愉快的事。因此，加强初中数学思想方法的教学是端正数学教学思想，转变教学观念的重要措施。从初中数学教学的任务看，九年义务教育大纲明确指出：初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定律以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。显而易见，教师的任务不仅是让学生掌握好数学知识点，而且要发展各种能力，培养非智力因素，对学生进行数学美和辩证唯物主义等思想教育，即要全面提高学生的数学素质。而数学思想方法是学生形成正确的数学观念和良好数学素质的关键。数学的发展史已经证明，数学思想方法是推动数学进步和发展的动力，是传递数学精神，塑造人的灵魂，培养学生能力的核心。正如高斯在回顾二次互反律的证明过程时所说：去寻找一种最美的最简洁的证明，乃是吸引我去研究的主要动力。这就是数学美学思想方法的魅力。因此，加强数学思想方法的教学，是初中数学教学中进行素质教育的突破口。从教材特点看，初中数学思想方法教学不再是小学阶段的渗透，而是系统教学的初级阶段。

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新课标突出强调：“在教学中应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律（包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法）。良好的数学知识结构不完全取决于教材内容和知识点的数量，更应注重数学知识的联系、结合和组织方式，把握结构的层次和程序展开后所表现出来的内在规律。数学思想方法能够优化这种组织方式，使各部分数学知识融合成有机的整体，发挥其重要的指导作用。甚至会对个体的世界观、方法论产生深刻的影响，形成数学学习效果的广泛迁移。

二、初中数学中蕴含的数学思想方法

最基本的数学思想方法是数形结合的思想，分类讨论思想、转化思想、函数的思想，突出这些基本思想方法，就相当于抓住了中学数学知识的精髓。

1、数形结合的思想

“数”和“形”是数学教学中既有区别又有联系的两个对象。在数学教学中，突出数形结合思想，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。

2、分类讨论的思想

“分类”是生活中普遍存在着的，分类思想是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，也是研究数学问题的重要思想方法，它始终贯穿于整个数学教学中。从整体上看，中学数学分代数、几何两大类，然后采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现。从具体内容上看，初中数学中实数的分类、三角形的分类、方程的分类等等，在教学中就需要启发学生按不同的情况去对同一对象进行分类，帮助他们掌握好分类的方法原则，形成分类的思想。

3、转化思想

数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，中学数学处处都体现出转化的思想，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，是解决问题的一种最基本的思想。

三、数学教学中进行数学思想方法的教学应把握的几个方面

1、在概念教学中渗透数学思想方法

数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映，人们先通过感觉、知觉对客观事物形成感性认识，再经过分析比较，抽象概括等一系列思维活动而抽取事物的本质属性才形成概念。因此，概念教学不应只是简单的给出定义，而要引导学生感受及领悟隐含于概念形成之中的数学思想。

2、在定理和公式的探求中挖掘数学思想方法

著名数学家华罗庚说过：“学习数学最好到数学家的纸篓里找材料，不要只看书上的结论。”这就是说，对探索结论过程的数学思想方法学习，其重要性决不亚于结论本身。数学定理、公式、法则等结论，都是具体的判断，其形成大致分成两种情况：一是经过观察，分析用不完全归纳法或类比等方法得出猜想，尔后再寻求逻辑证明；二是从理论推导出发得出结论。总之这些结论的取得都是数学思想方法运用的成功范例。

3、在问题解决过程中强化数学思想方法

许多教师往产生这样的困惑：题目讲得不少，但学生总是停留在模仿型解题的水平上，只要条件稍稍一变则不知所措，学生一直不能形成较强解决问题的能力。更谈不上创新能力的形成。究其原因就在于教师在教学中仅仅是就题论题，殊不知授之以“渔”比授之以“鱼”更为重要。

四、进行数学思想方法的教学应遵循的原则。

1、循序渐进原则。

数学思想方法的形成难于知识的理解与掌握。学生学习数学思想和方法一般要经历三个阶段，一是模仿形成阶段，它们往往只注意了数学知识的学习，而忽视了联结这些知识的观点，以及由此产生的解决问题的方法和策略，即使有所觉察，也是处于"朦朦胧胧"、"似有所悟"的境界。二是初步应用阶段，即学生对数学思想方法的认识开始已经明朗，开始理解解题过程中所使用的探索方法和策略，也会概括总结出来。 三是自觉应用阶段，学生能根据数学问题，恰当运用某种思想方法进行探索，以求得问题的解决。学生数学思想方法的学习过程，决定了数学思想方法的教学不可能一步到位，也有一个相应的循序渐进、由浅入深的过程，因此要按照"反复教育、初步形成、应用发展"的顺序来完成某一数学思想方法的教学。

2、学生参与原则。

由于数学思想方法比数学知识更抽象，不可能照搬、复制。数学思想方法的教学是数学活动过程的教学，重在思辩操作，离开教学活动过程，数学思想方法也就无从谈起。只有组织学生积极参与教学过程，在老师的启发引导下逐步领悟、形成、掌握数学思想方法。因此，要通过教学，让学生在学习数学知识过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式构建出数学思想方法的体系。

五、数学思想方法的教学策略

1、分析教材，细划目标。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象概括，它蕴涵于数学知识的发生、发展和应用过程中。在一章或一单元的教学中，将涉及很多的数学思想方法，就要有意识突出一种或几种思想方法的教学，如在不等式单元教学中将涉及代换思想、函数方程思想、数形结合思想、分类思想。为此，在进行教学目标设计时要注意其教学侧重点，细划目标，从教学思想领域和认知领域两个方面分别设置目标。

2、尝试不同的教学方法

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《数学课程标准(实验修订稿)》中明确提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学内容、规律的理性理解，是学习数学知识和应用数学知识解决数学问题的根本观点和思想。所谓数学方法，就是学习数学知识和解决数学问题的根本策略和技巧，是数学思想的具体化反映。对于初中数学知识范畴内的数学思想和方法往往笼统地成为数学思想方法。数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是知识转化为能力的桥梁。数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法。它能使人领悟到数学的真谛，学会数学的思考和解决问题，并对人们学习和应用数学知识解决问题的思维活动起着指导和调控的作用。因此，加强数学思想方法的教学是增强学生数学观念，形成良好的数学素养的重要措施。本文就对如何加强初中数学思想方法教学，谈些不成熟的见解。

1.在钻研教材时要挖掘数学思想方法。从教材的构成体系来看，整个初中数学教材所涉及的数学思想方法和数学知识点汇成了数学结构系统的两条“河流”。一条是由具体数学知识构成的易于被发现的“明河流”，它是构成数学教材的“骨架”；另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗河流”，它是构成数学教材的“血脉”。因而，学生难以从教材中获得数学思想方法。这就要求教师深入钻研教材，精心备课，充分挖掘教材中所蕴含的数学思想方法去组织教学。

数学课程标准中指出：“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、数形结合、随机等。”初中数学中的确蕴涵了丰富的数学思想方法，就目前共识的共有三大类十几种。第一类是策略型思想方法，包括抽象概括、数学模型、数形结合、划归、归纳猜想、随机等。第二类是逻辑型思想方法，包括分类、类比、反证法、演绎法、特殊化等。这类思想方法都具有确定的逻辑结构。第三类是技巧型思想方法，包括代入、消元、换元、降次、配方、待定系数、分析、综合等。这类思想方法常常用于数学解题，具有一定的步骤。因此，我们不仅要注意技巧型思想方法的训练，而且还应加强对策略型和逻辑型思想方法的教学。

2.在教学目标中要纳入数学思想方法。数学课程标准中指出：“无论是设计课堂教学方案、实施教学方案，还是组织各类教学活动，不仅要重视学生获得知识技能，而且要激发学生的学习兴趣，引导学生通过参与数学活动获得基本经验，感悟基本思想，帮助学生形成良好的学习习惯等。”因此，数学教学目标的制定就应纳入思想方法目标，并把它与知识和技能目标、数学思考目标、解决问题目标及情感态度价值观目标相匹配，形成有机整体。从而减少对数学思想方法教学的盲目性、随意性，增强其目标性，确保实现思想方法的教学落到实处。

数学思想方法虽然是由基础知识所反映出来的，但有不同于一般数学知识，它本身具有鲜明的层次性。这就要求我们对同一种数学思想方法，应充分考虑到学生的年龄特征、心理活动水平，在不同阶段的教学中，提出不同层次的要求。如划归思想方法，在一元一次方程教学时确定为“渗透孕育”，使学生初步了解和体会到划归思想方法的意义和价值。而在二元一次方程组的教学时确定为“领悟形成”，使学生初步形成划归思想方法的雏形。在一元二次方程教学时确定为“应用发展”，使学生现有知识的划归思想方法逐渐内化为有意识的划归思想方法。在函数教学时确定为“巩固深化”，使学生进一步巩固、深化对划归思想方法的理解。值得注意的是，由于数学思想方法有浅显与深奥之别，学生的认知水平、数学思想方法的发展程度也不尽相同，因此在不同数学思想方法的教学要求层次的划分也不一样，即使是同一种数学思想方法，它的教学要求层次的确定也并不唯一，应视学生和教学的具体情况而定。

3.在课堂教学中要渗透数学思想方法。数学课程标准中指出：“数学知识的形成过程中往往蕴涵着一定的数学思想。在教学活动中，教师应选择适当的形式和素材组织学生进行自主探索。探索活动的价值不仅在于获得知识，还包括引导学生在探索的过程中积累基本的数学活动经验，感悟基本的数学思想。”因此，教师在教学过程中，把握时机，选择适当的方法，使学生能够领悟并逐步学会运用这些思想方法去解决问题。

3.1　在概念教学中揭示数学思想方法。数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映，人们先通过感觉、知觉对客观事物形成感性认识，再经过分析比较，抽象概括等一系列思维活动而抽取事物的本质属性才形成概念。因此，概念教学不应只是简单的给出定义，而要引导学生感受及领悟蕴涵于概念形成之中的数学思想。比如，负数概念教学中，用我们所学过的数轴这一直观形象来揭示“负数”这个概念的内涵，不仅能使学生更透彻、更全面地理解这一概念，而且渗透了数形结合的思想方法。

3.2　在定理和公式的教学中展示数学思想方法。数学定理、公式、法则等结论，都是具体的判断，其形成大致分成两种情况：一是经过观察，分析用不完全归纳法或类比等方法得出猜想，尔后再寻求逻辑证明；二是从理论推导出发得出结论。总之这些结论的取得都是数学思想方法运用的成功范例。因此，在定理公式的教学中不要过早给出结论，而应引导学生参与结论的探索、发现、推导过程。搞清其中的因果关系，领悟它与其它知识的关系，让学生亲身体验创造性思维活动中所经历和应用到的数学思想和方法。

3.3　在例题教学中突出数学思想方法。例题教学是数学教学过程中不可缺少的重要环节。教师应抓住有利的时机，通过例题教学，突出和强化数学思想方法对解题的指导作用，向学生进行数学思想方法的渗透。解题策略、方法的分析和研究，实质是在提炼数学思想方法。教师在例题教学中指导学生挖掘、提炼、揣摩、归纳、概括数学思想方法之际，就是在较高层次上发挥了每一个例题的功能作用，使之上升到思想方法的高度，达到对学生进行思维训练的目的。

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【中图分类号】G712

美国数学教育家波利亚说过，解题过程是一个思维过程，是一个把知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程。而只有对数学思想方法融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。数学思想方法是一种数学意识，用以于认识、分析和解决数学问题。在数学解题中，数学思想是航标，数学方法是方案，数学知识是工具。提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和应用。

一. 中职数学中常用的数学思想方法：

（一）中职数学常用的数学思想：

1.数形结合思想：数学家华罗庚这样描述：数形本是两依倚，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合思想，是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，或者借助数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。

2.分类讨论思想：在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要分别讨论，逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论。

3.函数与方程的思想：函数思想是用函数的概念和性质分析、转化和解决问题。方程思想是从问题的数量关系入手，将问题中的条件转化为方程、不等式，然后通过解方程或不等式来使问题获解。有时，还需要函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

4.等价转化思想：著名数学家C.A.雅洁卡娅提出："解题就是把要解的题转化为已经解过的题。"数学的解题过程就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要思想。

（二）中职数学解题基本方法：

1.配方法：对数学式子进行一种定向变形的技巧，通过配方方找到已知和未知的联系，从而解决问题。

2.换元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，使问题得到简化。

3.待定系数法：要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件求出这些未知系数。

4.定义法：直接用数学定义解题。

5.参数法：在解题过程中，适当引入一些新变量（参数），以此构建数量关系式，再进行分析和综合，从而解决问题。

二.如何在中职数学教学中进行数学思想方法教学：

（一）根据学生思维发展阶段的特点组织教学，倡导理性思维，促进思维过渡。要设计好教学程序，使教学既要符合学生的思维水平，又要有适当的难度，学新课时不要盲目补充知识点和新题型。

（二）用数学思想指导基础教学，注重培养思想方法：

1.基础知识的教学要充分展现知识形成、发展过程，揭示其中蕴含的数学思想方法。如讨论直线和圆锥曲线的位置关系时的两种基本方法：一是把直线方程和圆锥曲线方程联立，讨论方程组解的情况；二是从几何图形上考虑直线和圆锥曲线交点的情况，利用数形结合的思想方法，将会使问题清晰明了。

2.重视知识结构，培养逻辑思维能力。合理的知识结构，有助于思维由一维向多维发展，形成网络。在复习中要把握知识的内在联系，形成清晰的知识结构图表，以便理清概念，使其系统化。

（三）用数学思想方法指导解题训练，提高学生自觉运用数学思想方法的意识：

1.注意运用数学思想方法探求解题思路。解题的过程就是在数学思想方法的指导下，合理联想、提取相关知识，调用一定数学方法加工处理题设条件及知识，逐步缩小题设与问题之间的差异的过程，也可以说是运用化归思想的过程，而解题思路的寻求就是运用数学思想方法分析、解决问题的过程。

2.注意运用数学思想方法解决典型问题。如选择题中求解不等式：x2>x+1，虽然可以通过代数方法求解，但若用数形结合的方法转化为抛物线与直线的位置关系，问题将变得更加简单。

3.用数学思想方指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解的练习，培养思维的发散性、灵活性、敏捷性。对习题灵活变通，引申推广，培养思维的深刻性、抽象性。组织引导对解法的简洁性的反思，不断优化思维品质，培养思维的严谨性、批判性。对同一数学问题多角度引发不同联想，是一题多解的思维本源。数学思想方法的自觉运用往往使我们运算简便、推理机敏，这也是提高数学能力的必由之路。

（四）贯彻新理念，发挥学生的主体作用，以学生为本。让学生主动参与数学内容的学习，倡导在做中学。如在立体几何教学中，让学生在课外制作棱柱、棱锥等几何体，感受其形状和性质，用地球仪讲授经度、纬度、球面距离等内容，通过感性认识加深对知识的理解和记忆。

实施以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育，是我国面向21世纪的战略选择，是教育走向现代化的开端。如何在中职数学教学中实施素质教育，提高学生的数学素养，就是摆在中职数学教学面前的问题。因此，数学思想方法的教学应与整个基础知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学思维能力，形成良好的数学素质，这也是数学思想方法教学的基本原则。总之，我们在数学教学的每一个环节中，都要重视数学思想方法的教学。"授之以鱼，不如授之以渔"，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终身。

参考文献：

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一、数形结合思想

数形结合是一种数学思想方法，数形结合思想通过“以形助数，以数解形”。“数”可以准确澄清“形”的模糊，“形”能在直观中启迪“数”的运算。正如华罗庚教授所言“数缺形时少直观，形无数时难入微”。在中等职业学校的数学教材中，数形结合的思想方法应该是最常见、最常用的一种思维方法，甚至贯穿于第一册（基础模块）教材的始终。从第一章用文氏图来描述集合的运算到第二章用二次函数的图象诠释一元二次不等式的解以及第三章开始的基本初等函数的学习过程中，应用函数的图象来直观地说明函数的性质。可以说，第一册数学教材的教学内容中，能让我们真正体会到“数形结合百般好，隔裂分家万事休”。

例如，在教材第68页选择题中的第3题：已知 a＝log0.50.6， b＝log■0.5， c＝log■■，则a，b，c满足（）。

A. a＜b＜c B. b＜a＜c

C. a＜c＜bD. c＜a＜b

这道题是不同底数、不同真数的三个对数的比较。在不用计算器的情况下，要比较它们的大小关系，最好的办法就是通过数形结合的思想方法，既形象又直观，还能让同学们再一次把握对数函数的图象与其性质之间的关系，体现其中规律性与灵活性的有机结合。

二、分类讨论思想

分类讨论思想是根据数学对象与本质属性的相同点与不同点将数学对象区分为不同种类的数学思想。分类讨论的思想是逻辑划分的思想在解数学题中的应用。它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题往往具有明显的逻辑性、探索性、综合性，能训练学生的思维条理性和概括性。因此，在中职数学课堂教学中，教师应启发学生按不同的情况对同一对象进行分类，帮助他们掌握好分类方法的原则，形成分类的思想。

例如：已知数的前n项和Sn＝2n2－n 求an .

分析：此题是数列求和的相关问题，项数n的取值对结果有着直接的影响，因此，对项数n进行分类讨论。

解：当n＝1时， a1＝S1＝2×12－1＝1.

当n≥2时， an＝Sn-Sn-1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.

在an ＝4n－3中，令n＝1得a1＝4×1－3＝S1＝1.

an ＝4n－3.

事实上，在教材的内容中所体现的分类讨论思想也无处不在：在学习指数函数y＝ax与对数函数y＝ logax的图象和性质时，显然对底数a的取值进行了分类，分成a>1和0

三、转化思想

转化思想是把一种数学问题转化成另一种数学问题进行思考的方法。把未知解的问题转化到在已有知识范围内可以解决的问题，使之得到有效的解决。正如数学家C·A·雅洁娅指出：“解题就是要把未解的题转化为已经解过的题。”数学的解题过程就是一个不断转化的过程。在教学中，要让学生认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法，确信转化是可能的，而且是必须的。

例如：在教材第二章不等式中只介绍了一元二次不等式和绝对值不等式的解法，并未涉及分式不等式的求解方法，但在课后练习中却出现了分式不等式的求解。针对教材这样的内容设置，笔者认为就是要让学生真正把握在求解不等式过程中所应用的转化思想。因此，在课堂教学中，再以下题为例：

求不等式■＞0的解。

分析：此类不等式为分式不等式，根据两个因式之商大于零，所以符号必相同。解分式不等式可以转化为解两个不等式组：2x－1＞0，3x＋5＞0， 或2x－1＜0，3x＋5＜0. 而这也正好是解一元二次不等式基本解的原理，所以对这个分式不等式也可以转化为一元二次不等式：（2x－1）（3x＋5）>0，从而也能够很快地归纳出一元一次分式不等式的解答规律。

四、函数思想

函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地， 函数思想是构造函数，从而利用函数的性质解题。

例如：教材第66页习题A中第2题：某公司现在的年利润是5000万元，预计每年增长22%，问预计经过多少年该公司的年利润能达到12000万元？

分析：从问题中可以看出年利润是年数的函数，故可以设经过x年后，公司的利润为y万元，则

当x＝1时，y＝5000（1＋22%）

x＝2时，y＝5000（1＋22%）2

……

从而建立数学模型。

解：经x年后，公司利润为y＝5000（1＋22%）x.

这是指数函数。只要知道经过的年数就可以计算该公司利润。而此题是知道年利润反过来求年数x，所以需要转化为对数函数， 使用计算器计算x≈4.4，因此预计经过5年该公司的年利润能达到12000万元。

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一、数形结合思想的渗透

数形结合思想在数学发展中具有重要地位，数量关系和空间图形是数学研究的两个主要方面，图形的问题可以通过函数、方程、不等式及代数式运算等代数方法来研究，使复杂的演绎推理过程变得简单。代数问题也可以借助图形使抽象复杂的演算过程变得直观化、形象化。

例如：已知实数a，b，c的关系，a0，c

且c>b>a

化简：a+b-c-b+c-a

解：表示a，b，c的点在数轴上由于a0，cb>a从图形可以看出：a+b>0，c-b

原式=（a+b）+（c-b）-（c-a）=2a

此例说明：数形结合把数的大小与点的位置结合起来，通过点的位置去思考代数式的大小，从而免去抽象的思考，解题时直观、准确、快捷。数形结合思想方法的灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析问题解决问题的优势。

二、函数思想方法的渗透

函数概念来源于客观实际需要，也来自数学内部发展的需要，函数思想是变量与变量的一种对应思想，或者说是一个集合到一个集合的一种映射思想，实际上，它还包括变元思想，研究函数取值的方程思想、运动变化思想以及数形结合思想等。

代数式是函数概念的首次显示，数学设计中，可用变量的观点指出，代数式的值是随代数式中字母取值的变化而变化的；而当代数式的值为已知时，就可以求对应的代数式值中的字母的值，引导学生从运动变化的角度加深对代数式的理解。

例如：某公司在A、B两地分别有库存机器16台和12台，现要运往甲、乙两地，其中甲地15台，乙地13台，从A地运一台到甲地的运费为500元，到乙地为400元；从B地运一台到甲地的运费为300元，到乙地600元。公司应设计怎样的调运方案，才能使这些机器的总运费最省？

解：设从A地运到甲地机器x台，则运往乙地机器为（16-x）台，B地运往甲地机器（15-x）台，运往乙地机器为[13-（16-x）]台

根据题意：得y=500x+400（16-x）+300（15-x）+600（13-16+x）

即：y=400x+9100（3≤x≤15）

当x=3时，y=400x+9100有最小值10300.

最佳方案：从A运到甲地3台，运到乙地13台；从B运到甲地12台，运到乙地0台。

三、特殊与一般化思想的渗透

特殊与一般化思想方法是广泛适用的一种重要的数学思想方法，对于一般性问题、抽象问题、运动变化问题和不确定问题可以考虑运用特殊与一般化思想方法去探求解题途径。

例如：在进行同底数幂的乘法运算性质的教学时，为了引导学生从具体到抽象，有层次地进行概括、抽象、归纳，可以这样设计例题：

（1）计算下列各式：22×23 23×25

（2）怎样计算：2n×2m（m、n是正整数）

（3）当m、n是正整数时，对于任意的底数a，am×an又怎样计算？

这几个问题，较好地渗透了从特殊到一般化思想方法，发展了学生的数感和归纳的能力。

四、变换思想方法的渗透

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【中图分类号】g203.12 【文章标识码】c 【文章编号】1326-3587（2014）04-0081-01

数学思想是指对数学的基本观点，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。“数学教学内容显现表征为数学概念、数学命题，同时隐藏各种思维方式，即数学思想”。初中教材同样蕴藏着各种数学思想。

数学思想方法是形成学生良好的认知结构的纽带，是把知识化为能力的桥梁。《初中数学课标》明确指出，数学基础知识是数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理及其内容所反映出的数学思想方法。把数学思想和方法纳入基础知识范围，不仅加强了数学素养的培养，而且体现出了数学基础教育现代化进程。数学现代化教学，就是要把数学基础教育建立在现代数学思想基础上，并使用现代数学方法及语言。因此，探讨数学思想方法教学已成为数学现代教育研究体系中的一项重要课题。

一、明确数学基本要求，渗透层次教学

《数学大纲》将初中数学的思想方法划分为三个层次，即了解、理解和应用。在数学教学中，需要学生“了解”的思想有：数形结合思想、分类思想、类比思想、化归思想、函数思想等。需说明的是，有些思想在大纲中并未明确指出，如：化归思想是在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中提出的，方程（组）解法中就贯穿了“一般化”转化为“特殊化”的思想方法。

教师在整个教学过程中，不仅应使学生领悟到以上数学思想的应用，而且要激发他们学习数学的好奇心和求知欲，通过独立思考来不断追求新知。在教学中需要学生“了解”的方法有反证法、类比法、分类法等。要求“理解”或“应用”的方法有待定系数法、配方法、图像法、换元法、消元法等。在教学中，要把握好了解、理解、应用这三个层次，不能随意将层次更换，否则，学生初次接触后就会觉得数学思想、方法抽象难懂，从而失去信心。如初中几何第三册中提出的“反证法”思想，阐明了运用“反证法”的一般步骤，但《教学大纲》只把“反证法”定位在“了解”层次上，所以在教学中，应把握住“度”，不能随意拔高和加深，否则，将得不偿失。

二、数形结合思想方法

在学习数学基础知识和培养学生解决实际问题能力时，往往可以数形结合地考虑问题，把抽象的数量关系用图形来反映，用直观的图形解决抽象的数量关系，也可把几何图形转化为数量关系。如学习相反数、绝对值、有理数大小的比较等都离不开一个图形――数轴。数轴其实是数形结合的产物，在有理数的运算学习中，利用数轴这个有效工具，加强数形结合的对应训练，对往后的数学学习是很关键和重要的。如函数有三种表示方法：①图像法，②解析式法，③列表法。有些从数的角度刻画函数的特征，有些从形的角度反映函数的性质，就是从“数”“形”两个角度反映同一问题中两个变量关系的思想方法。

三、通过范例和解题进行教学

一方面通过解题和归纳，从具体问题和范例中总结归纳出解题方法，并提炼成一种数学思想。另一方面在解题的过程中，充分发挥出数学思想方法对解题途径的引导功能，举一反三，以数学思想方法观点为指导，灵活地运用数学知识及方法进行分析并解决问题。范例教学是通过选择具有典型代表性、启发创造性的例题进行练习。要注意设计具有探索性的并且能从中推导出特殊到一般及一般到特殊的规律的范例，在对范例分析的过程中展示数学的思想和方法，提高学生的思维能力。例如，对某一些问题，要引导学生尽可能地运用多种方法解决问题，并在多种方法中找出最优方法，培养学生思维的变通性：对于某一些问题可由简到繁、由特殊到一般地推论，让学生大胆联想，培养思维的广阔性；对于某些问题可分析其特殊性，克服传统思维束缚，培养思维的灵活性；对条件和因素较多的问题，要引导学生进行全面分析，综合各个条件，得出正确结论，等等。此外，还要引导学生对解题后进行总结，优化解题过程并总结解题经验。

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“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，数形结合的思想，就是研究数学的一种重要的思想方法，它是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。

数形结合的思想贯穿初中数学教学的始终。数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：（1）建立适当的代数模型（主要是方程、不等式或函数模型），（2）建立几何模型（或函数图象）解决有关方程和函数的问题。（3）与函数有关的代数、几何综合性问题。（4）以图象形式呈现信息的应用性问题。采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点。如果能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。

数形结合的思想方法，不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。

教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对数形结合思想的的主动应用。

渗透数形结合的思想，养成用数形结合分析问题的意识，每个学生在日常生活中都具有一定的图形知识，如绳子和绳子上的结、刻度尺与它上面的刻度，温度计与其上面的温度，我们每天走过的路线可以看作是一条直线，教室里每个学生的坐位等等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的形与数相结合迁移到数学中来，在教学中进行数学数形结合思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数与数轴，一对有序实数与平面直角坐标系，一元一次不等式的解集与一次函数的图象，二元一次方程组的解与一次函数图象之间的关系等，都是渗透数形结合思想的很好机会。

如：直线是由无数个点组成的集合，实数包括正实数、零、负实数也有无数个，因为它们的这个共性所以用直线上无数个点来表示实数，这时就把一条直线规定了原点、正方向和单位长度，把这条直线就叫做数轴。建立了数与直线上的点的结合。即：数轴上的每个点都表示一个实数，每个实数都能在数轴上找到表示它的点，建立了实数与数轴上的点的一一对应关系，由此让学生理解了相反数、绝对值的几何意义。建立数轴后及时引导学生利用数轴来进行有理数的比较大小，学生通过观察、分析、归纳总结得出结论：通常规定右边为正方向时，在数轴上的两个数，右边的总大于左边的，正数大于零，零大于负数。让学生理解数形结合思想在解决问题中的应用。为下面进一步学习数形结合思想奠定基础。

结合探索规律和生活中的实际问题，反复渗透，强化数学中的数形结合思想，使学生逐步形成数学学习中的数形结合的意识。并能在应用数形结合思想的时候注意一些基本原则，如是知形确定数还是知数确定形，在探索规律的过程中应该遵循由特殊到一般的思路进行，从而归纳总结出一般性的结论。

学习数形结合思想，增强解决问题的灵活性，提高分析问题、解决问题的能力在教学中渗透数形结合思想时，应让学生了解，所谓数形结合就是找准数与形的契合点，根据对象的属性，将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，就成为解决问题的关键所在。

数形结合的结合思想主要体现在以下几种：

（1）用方程、不等式或函数解决有关几何量的问题；

（2）用几何图形或函数图象解决有关方程或函数的问题；

（3）解决一些与函数有关的代数、几何综合性问题；

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函数概念在初中数学关于式、方程、不等式等主要内容中起到了横向联系和纽带作用，由于函数应用十分广泛，所以函数概念的形成和发展助推了中学数学中从常量到变量的一个认识上的飞跃，而理解和掌握函数的思想方法是实现这一飞跃的关键。根据青少年的身心发展与一定的知识逻辑结构，函数思想的教学是一个循序渐进的过程特点。

一、反复渗透

“渗透”就是把某些抽象的数学思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对这些思想有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它们。

（一）函数思想的渗透，首先要准确把握渗透点。

这就要求教师在教学上要挖掘知识中蕴含的函数思想，有意识、有计划、有目的地进行函数思想方法的培养。同时要注意有机结合、自然渗透，要潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的函数思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。

初中数学中的正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数虽然安排在八、九年级学习，但函数思想从七年级就已经开始渗透。如通过讨论三角形面积一定时，底与高之间的关系：等底时，面积与高的关系；等高时，面积与底的关系。将静态的知识模式演变为动态的讨论，这样实际上就赋予了函数的形式，在学生的头脑中就形成了以运动的观点去领会知识，这是发展函数思想的重要途径。

在数学思维的发展过程中，由“常量”到“变量”是一个质的转变，为此，在函数概念教学之前，就需要不断渗透变量思想的教学。在初中阶段，由具体的数过渡到用字母表示数，再由字母过渡到代数式、方程及简单的不等式，而后由方程、不等式过渡到函数的概念等，都需要不断渗透变量思想的教学，在“变”与“不变”的辩证思想教学中强化学生的变量意识。在高中阶段，变量思想的教学还将进一步加强。

函数与方程既是两个不同的概念，又存在着密切的联系，一个函数若能用一个解析式表达，则这个表达式就可看成一个方程；一个二元方程的两个未知数间存在着对应关系，如果这个对应关系是单值的，那么这个方程也可以看成一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标等。反之，许多有关函数的问题也可以用方程思想去解决，函数思想与方程是解决很多数学问题的基本思想，初中数学中的很多章节 （方程、方程组、函数等）都存在着方程思想和函数思想，因此，许多有关方程的问题都是函数思想教学的重要渗透点。

（二）其次要注意渗透的长期性、反复性。

应该看到，对学生函数思想方法的渗透 不是一朝一夕就能见效的，而是有一个过程。

通过具体知识的学习，对于蕴含在知识中的数学思想方法有了感性认识，经过多次反复，形成较丰富的感性认识后，逐渐上升到理性认识，然后通过对已形成的数学思想方法进行实验证明和运用，加深了理性认识。经过多次反复，逐渐提高对思想方法的认识，才从低级到高级，形成对数学思想方法的理性认识。同样，函数思想方法必须经过循序渐进和反复训练， 才能使学生真正地有所领悟。

（三）函数思想的渗透，还应建立在扎实的知识基础上。

不能因为要渗透函数思想而放松基本知识与技能的教学，基本知识与技能是数学思想、方法教学的基础。学生掌握了一定量的数学表层知识，具有扎实的知识基础是学生能够接受相关深层知识的前提。

二、适时介绍

“介绍”就是把某些数学思想在适当时候明确“引进”到数学知识中，使学生对这些思想有初步理解，这是理性认识的开始。函数思想从七年级起就开始有步骤、分层次地边渗透边介绍。

函数概念是函数思想的基础，因而让学生深入理解函数概念是极其重要的。初中教材中，我们可以通过确定代数式（特别是二次根式、分式）中字母的取值范围来学习和介绍函数的定义域。通过不等式、方程（特别是无实根的二次方程）以及与函数有关的实际问题、几何问题来讨论和研究函数的值域。在学习数轴时，七年级就应适当介绍有理数数轴上的点的对应关系，八年级在学习实数时，再进一步介绍实数数轴上的点的一一对应关系，从而让学生初步建立对应思想。就初中生而言，学习代数式的值时，求字母的不同取值时代数式的值也是介绍对应思想的重要契机。

对函数思想的介绍而言，初中阶段还应加强几种初等函数性质的教学，以充实函数思想的理论内容。一是要在学生充分理解与熟练掌握的基础上加以科学、系统的概括，二是要在教材的基础上加强系统性和灵活性的教学。加强系统性的教学，就是加强函数性质与性质、性质与图象、函数与函数、函数与方程等之间的联系与概括。加强灵活性的教学，就是强化函数性质的灵活应用。为此，教学既要纵横联系，又要深入剖析和挖掘应用的价值，不断提炼和介绍函数思想方法。

三、充分领悟

“领悟”是指在教师引导下，把某些数学思想经常性地予以强调，并通过大量的综合训练而达到灵活运用。它是在介绍的基础上进行的，要求学生在此基础上进而知道选用和善用，目的在于最大限度地发挥这些数学思想、方法的功能。

在加强联系，适时介绍，提高灵活性的基础上，综合渗透函数思想解决问题，是让学生充分领悟函数思想的重要途径。

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中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）22-110-01

数学思想方法是初中数学教学的重要组成部分，是比数学知识传授更为重要的教学内容。有人把数学思想方法称之为数学教学中的一颗明珠，因为知识的作用是有限的，而方法的作用往往能够涉及整个数学领域。正是因为数学思想方法有着广泛的普遍适用性，有着超越知识层面，并且能够让人们在数学探究的征途上从未知到已知的可能性，因此在新课改中被赋予了相当的重要性。随着新一轮课程改革的开展与推进，人们越来越重视数学思想方法的渗透。那么，在初中数学教学中有哪些思想方法需要我们去重视呢？

一、数学方法

顾名思义，这一类的思想方法与数学内容有着密切的关系，也可以认为是离开了数学知识就谈不上这些方法的运用。比如解方程中常常用到的配方法，其是通过将一元二次方程配成完全平方式，以得到一元二次方程的根的方法，其经典运用是一元二次方程求根公式的得出；再如换元法、消元法，前者是指把方程中的某个因式看成一个整体，然后用另一个变量去代替它，从而使问题得到解决，后者是指通过加减、代入等方法，使得方程中的未知数变少的方法。在复杂方程中运用这些方法可以化难为易。

二、普遍适用性的科学方法

例如我们数学中常用的归纳法，就有完全归纳法和不完全归纳法两种，数学上的很多规律其实最初都来自于不完全归纳法，因此，在探究类的知识发生过程中，都可以用不完全归纳法来进行一些规律的猜想。再如类比、反证等方法，也是初中数学常用的方法，运用这些方法的最大好处是，可以让学生领略到在初中数学中进行逻辑推理的力量与美感。根据笔者的不完全调查，学生在进行推理后如果能够成功地解决一个数学难题，其心情是无比喜悦的，而最大的感受就是通过一环套一环的推理，能够顺利地由已知抵达未知。

三、数学思想

我国当代数学教育专家郑毓信、张奠宙等人特别注重数学思想在初中教学中的渗透，多次著文要加强数学思想方法的教学。众所周知，数学思想与数学哲学有着密不可分的关系，很多数学家本身也是哲学家。因此，学好数学思想可以有效地培养哲学意识，从而让学生变得更为聪明。

例如典型的建模思想，其是用数学的符号和语言，将遇到的问题表达成数学表达式，于是就建成了一个数学模型，再通过对模型的分析与计算得到相应的结果，并用结果来解释实际问题，并接受实际的检验。一旦学生熟悉了这种数学思想并能熟练运用，将是初中数学教学的一个重大成功。

再如化归思想，其被认为是一种最基本的思维策略，也是一种非常基础、非常有效的数学思维方式。它是指在分析、解决数学问题时，通过思维的加工及相应的处理方法，将问题变换、转化为相对简单的问题，即哲学中以简驭繁的道理。

在初中数学教学中，思想方法的渗透一般可以分为两种形式：一是显性的教学方法，即向学生明确说明方法的名称，以让学生熟悉这些方法，并在以后的相关知识学习中能够熟练运用。这一思路一般运用在简单的数学思想方法中；另一个是隐性的教学方法，即在教学中只使用这种方法，但不向学生明确说明方法的名称，在后面知识的学习中有可能遇到，但总不以方法本身为目的，重点始终集中在某一个问题的解决上。

对于初中学生的身心发展特点而言，更多有价值的数学思想方法以渗透的方式进行教学是比较恰当的选择。作出这一判断的理由在于，十四五岁的初中生的智力发展落后于身体发育，还处在由形象思维向抽象思维过渡的阶段，因此，相对比较抽象的数学思想方法一般并不容易从字面上给予理解，只能在运用中通过直觉思维建立一种类似于默会知识的能力。具体渗透又该如何进行呢？我认为关键是要加强渗透意识，即在备课时就要考虑要教授的某一知识中有哪些思想方法可以对学生进行渗透，在这种思路下，数学知识就会成为数学思想方法的一个载体，通过对数学知识的学习，让学生在收获知识的同时感受方法的运用和思想的熏陶。

比如，在初一数学教学中，可以向学生阐述数学的研究对象是数与形，在此基础上就可以渗透“数形结合”的思想。在教学中，一旦遇到有“数”又有“形”的知识点，就要让学生在“形”中寻找“数”，在“数”中构建“形”。

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一、从两方面渗透数学思想方法

1.明确基本要求，把握渗透“层次”

初中数学教学中渗透的数学思想方法划分为三个层次。在教学中要求学生“了解”的数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想。这里需要说明的是有些数学思想并没有明确列出来。如化归思想，是渗透在学习新知识和运用知识解决问题的过程中的。比如在一次方程组的解法中，就贯穿了由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法。

教师在整个教学过程中，应该使学生领悟到这些数学思想的应用。要求“了解”的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图象法。在教学中要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次。不能随意将“了解”的层次提高到 “理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会”的层次。不然的话，学生初次接触就会感到数学思想方法的抽象难懂，高深莫测，从而导致他们失去学习的信心。

2.从方法了解“思想”，用“思想”指导方法

关于初中数学教学中的数学思想和方法的内涵和外延，目前还没有公认的定义。其实在初中数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难割裂，它们既相辅相成又相互蕴含。只是方法较为具体，是实施有关思想的技术手段，而思想是属于数学观念一类的东西，比较抽象。因此，在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用以达到对数学思想的了解，是使数学思想方法得到交融的有效方法。比如化归思想可以贯穿于整个初中数学。具体表现为从“未知”到“已知”的转化，一般与特殊的转化，局部与整体的转化，正面与反面的转化等。为了实现上述转化，课本引人了许多数学方法，比如换元法、消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等。在教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时数学思想的指导又深化了数学方法的运用。这样处置，使“方法”与“思想”“珠联璧合”，教学才能卓有成效。

二、加强数学思想方法教学的若干原则

1.渗透性原则

由于初中生数学知识较为贫乏，抽象思维能力也比较薄弱，把数学思想方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。因而只能将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机，重视概念形成的过程、结论推导的过程、方法思考的过程、规律揭示的过程。忽视或压缩这些过程，一味灌输知识结论，就必然失去渗透数学思想方法的一次次良机。在渗透数学思想方法的过程中，教师要精心设计，有机结合，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的种种数学思想方法；切忌生搬硬套，和盘托出，脱离实际等错误做法。

2.层次性原则

数学思想的内容是相当丰富的，方法也有难有易。因此，必须分层次地进行渗透和教学。这就需要教师全面地熟悉教材，钻研教材，努力挖掘教材中进行数学思想方法渗透的各种因素，对这些知识从思想方法的角度作认真分析，按照初中生的年龄特征，知识掌握的程度，理解能力和可接受性由浅人深、由易到难分层次地贯彻思想、方法的教学。

3.重复性原则

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1 在数学概念教学中渗透数学思想方法

数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其特有的属性在思维中的反映。数学概念的形成过程实际上也是数学思想方法的形成过程。因此概念的形成、结论的推导、方法的思考、规律的揭示以及问题的发现等过程，都是向学生渗透数学思想方法的主战场。教材中的概念、定理、性质、法则、公式等都是以结论的形式呈现出来，这就需要教师吃透教材，在教学中有计划有步骤地传达不同的数学思想方法。使概念教学不是简单给出定义了事，而是让学生经历、体验概念产生的生动过程，引导学生揭示隐藏于概念之中的思维内核和思想方法。如在“指数对数函数”教学中，通过观察函数图像来确定函数的性质，揭示了数形结合思想。又如在乘方概念的教学中，通过类比的思想方法建立新旧知识之间的桥梁，可知乘方是乘法的特殊化，而乘法是加法的特殊化，减法可划归为加法。使学生对五种运算有了本质深入的理解，进一步完善了学生的知识结构体系。

2 在解决问题时渗透数学思想方法

我们知道问题是数学的心脏，它是数学活动得以进行的载体。而数学问题的解决过程实质上是命题的不断转换和数学思想方法反复运用的过程。所以问题解决一刻也离不开数学思想指导。教学中，教师常会碰到这样的情况：学生掌握了全部知识，也知道解决问题的方法，不过仍不知如何求解，稍微启发指点又恍然大悟，其原因：一是学生掌握的知识结构性差，组织混乱，运用的时候不得要领；二是解决问题时不能激活认知结构中的数学思想方法。因此，教师在问题解决教学中适时激活数学思想和数学方法，可有效激发他们的学习激情，变被动接受为主动参与。不断在数学思想方法指导下，弄清每个结论的因果关系，引导学生归纳得出结论。使他们感受到科学研究的曲折与艰辛，体会产生数学灵感的心理氛围，体验成功后的喜悦。如在解决“不能过河的情况下，怎样测量河流的宽度”

这个问题中，涉及转化的思想、方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想及数学模型方法，从而使学生体会到数学思想方法的综合运用，领略到数学思想方法的魅力和应用。

3 在总结复习中深化数学思想方法