测度论在统计学中的应用范文

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吉首大学数学与统计学院（以下简称该院）2011年成功申报统计学本科专业和一级学科硕士点。《随机过程》是新办本科专业统计学的专业主干课，也是统计学硕士研究生的专业基础课。为使该课程建设顺利完成，该院统计与金融系成立随机过程教学团队，积极申报新开课程项目和教学改革项目，近三年对该课程进行了认真细致的研究，并结合教学实践开展了系统的研究和探索，本文是该课题组的教学研究成果之一。

对于《随机过程》课程教学方面的研究，陈建华[1]结合教学现状，提出教学内容及教学方法改革探索的基本内容。薛冬梅[2]针对《随机过程》课程概念多、理论性强、抽象等特点，提出加强《随机过程》课程建设的建议，对课程教学进行实践研究。吴俊杰[3]通过编写工程研究生《随机过程》教材，谈了自己的相关体会。吕芳[4]结合洛阳师范学院统计科学系《应用随机过程》的教学实践，从教师的学术水平、学生的学习、教学工具的使用等方面结合个人的教学经验提出一些措施和意见。陈家清[5]针对《随机过程》的教学，研究教学方法与教学措施的改革，提出以人为本的教学理念，优化课程教学方法。

随机过程是一连串随机事件动态关系的定量描述。人们总是通过事物表面的偶然性描述出其必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律[4]。它与其他数学课程如《实变函数论》、《泛函分析》及《测度论》等有密切联系，同时在统计学、金融学和经济学等领域中有广泛应用。因此，在讲解与其他课程有关联的相关知识时，应充分体现《随机过程》课程的实践这性和应用性，结合本学科的学术前沿与发展动向，拓宽学生的视野[6]。

高等院校统计学、经济统计、应用统计和金融工程及其相关专业将《随机过程》设置为专业主干课程，同时也是数学与应用数学、信息与计算科学等专业的选修课。《随机过程》的理论和方法在自然科学、工程技术、工农业生产、军事科学、金融和经济等众多领域内发挥着重要作用。《随机过程》课程具有概念多、理论性强、抽象难以理解、应用性强和应用难于上手等特点，使得统计学及其相关专业学生难于掌握该门课程的基本知识和基本技能[5]，应用起来更难。为使不同专业的学生对《随机过程》有更好的理解和掌握，在教学设计和教学内容方面应该大胆进行教学实践，提高教学效率，让学生更好地领悟随机过程的思想精髓，让其在应用中更好地发挥作用。

一、人才培养方案中《随机过程》课程地位

吉首大学数学与统计学院数学与统计学院现有数学与应用数学、信息与计算科学、统计学（精算方向）、经济统计学、应用统计学、金融工程6个本科专业，拥有数学及统计学两个一级学科硕士点，可招收基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论、概率论与数理统计、经济统计、应用统计等10个二级学科硕士研究生[7]。统计学一级学科硕士点将《随机过程》设置为专业基础课，统计学、应用统计和经济统计在人才培养方案中将《随机过程》设为专业主干课；金融工程开设《金融随机分析》，作为该专业主干课；数学与应用数学将其设为专业选修课。信息与计算科学虽然没有开设《随机过程》，但在实施中作为选修课。

随机过程的重点是研究现实世界中的随机现象，将是《多元统计分析》、《时间序列分析》、《回归分析》和《统计预测与决策》等后续专业课的基础。各高等院校将《随机过程》设置为专业基础或必修课，是比较合理的。金融工程包括创新型金融工具与金融手段的设计、开发与实施，以及对金融问题给予创造性的解决[8]。该专业需要应用随机过程解决金融中的实验问题，其侧重点与统计学专业有所不同。因此其教学重点是随机分析及其方法的应用。该院的其随机分析作为其专业主干课，如能先修《随机过程》或《应用随机过程》，对于该专业的发展将会更有利。查询高校人才培养方案，数学和统计学专业均开设该课程，各高等院校对随机过程及相关分析方法越来越重视。

二、课程所需基础

随机过程以初等概率论为基础，同时又是概率论的自然延伸。它的基本理论和方法不仅是数学和统计学专业所必须具备的技能，而且是工程技术、电子信息及经济管理领域的应用与研究所需要的基本手段[2]，该课程所需的基础是概率论的相关知识。但针对不同的专业及不同的学习要求，本课程如能有以下基础则学习更轻松：《测度论》、《实变函数与泛函分析》等。开设有这些课程的高校均将其设为《随机过程》的先修课程。学生如果想从事应用概率方面的研究，就必须加强测度论与分析学相关内容的学习。对于只是想了解并应用随机过程基本方法的学生来说，就只要学习概率论就能进行该课程的学习。因此不同专业的学生，该课程所需基础是有差异的，课程开设的时间也不一样。对于统计学专业的学生，应该让学生学习完概率论和测度论后开设此门课程。该课程可以设置《概率论》、《测度论》之后，《时间序列分析》之前。对于数学与应用数学、信息与计算科学和金融工程专业在学生学习完概率论与数理统计后就能开设该门课程，并在其他专业课中对其进行应用，更好地开拓随机过程的应用领域。

三、不同专业对随机过程课程教学内容和要求有差异

《随机过程》作为高等院校统计学专业必修课，将在金融和经济中发挥着重要作用。根据本课程在统计学及相关专业中的地位和作用，应该将其设置为专业必修课。《随机过程》要重视基本理论教学，对于统计学专业建议用测度论的语言对其教学，重视其理论推导。但此教学难度较大，要求学生数学功底好，已经系统学习《高等代数》、《数学分析》、《实变函数》、《泛函分析》和《测度论》等课程。按该方案设计，该课程的学习将重视培养学生理论推导能力，为今后学习打下坚实的理论基础。该方案要求学生数学基础较好，喜欢数学理论推导，各高校要根据学生基础进行灵活设置。

对于数学与应用数学和信息与计算科学专业来说，本专业的学生已经学习《高等代数》、《数学分析》《实变函数》《泛函分析》和《概率论与数理统计》等课程，已经具备学习《随机过程》的数学基础，为了适应我校重基础，宽口径的教学目标，供有兴趣的学生进行修读，将其设置为选择修课是比较合理的，以便让有兴趣从事金融、经济、通信工程和其他专业的学生打好基础，这对他们将来的发展是非常有利的。该课程可设置为第四学年的选修课。

对于应用性较强的金融工程专业来说，在其应用中需要应用随机分析的基本理论和方法，在该专业中应该加强随机分析的学习。因此在专业设置中所设置的课程重点应该是《金融随机分析》，但此课程难度大，抽象难懂。为了让学生把握教学内容，建议在该课程前先设《随机过程》，为学习《金融随机分析》做好知识准备，有利于学习掌握随机分析的基本原理和方法，并对其进行灵活应用。

四、随机过程教学改革和建议

1.金融工程专业设置改革。

根据该专业学时与学分的安排情况，本专业可以分别设置《随机过程》和《金融随机分析》两门课程，教学重点不一样。目前在经济和金融中很多地方需要应用《随机过程》的相关理论和思想，因此该专业需要加强本课程的学习。该专业的《随机过程》的教学重点是随机过程基本概念、泊松过程、马尔可夫过程、维纳过程和高斯过程等具体的一些随机过程，而随机分析和数理金融部分是《金融随机分析》教学重点。

2.各专业其学分、时间各异。

对于统计学专业来说，《随机过程》是其专业主干课设置为4学分，72学时。可以在修完《概率论》进行开设。若开设《测度论》和《实变函数》，应该将其设为《随机过程》的先修课程，设置在第五或第六学期。该专业建议其重视基本理论和方法讲授。

数学与应用数学和信息与计算科学这两个专业，该课程是选修课，学分为3学分，54学时。建议将其设置在第六或第七学期，让学生拓宽知识面，强调其应用性。金融工程专业可以将该课程设置为专业必修课或专业主干课，建议开设成两门课程：《随机过程》和《金融随机分析》，各3学分，54学时。《随机过程》作为《金融随机分析》的先修课程，重点是随机过程概念和基本理论，随机分析及应用基础，数理金融相关内容。

3.进一步提高该课程的应用能力，增加实验性环节。

改变传统授课以讲授为主，按照教材进行填鸭式的讲解。根据现代化的教学原则，该课程结合案例进行教授，将理论知识融入各实例中，应用多媒体设备进行设计，将复杂的理论转化为相关案例。一方面提高学生的学习兴趣，另一方面化解难点，提高教学效率。

在实际教学中，建议加入实践性环节，选定部分内容作为实验题目，构建融知识传授、能力培养、素质教育为一体的教学模式[2]。建议结合《时间序列分析》的相关实验，增加实验性环节。

通过该课程的教学实践与研究，结合该院人才培养方案，分析《随机过程》课程的重要性，结合不同专业的教学实际，为提高该课程的教学质量，培养学生的学习兴趣，提出部分教学建议。希望通过该新开课程的建设，加强教研结合，能建设成一支由多人组成、学术能力强、教学水平高超，并致力于将教学与改革结合、教研互促的教师梯队[1]。在此基础上，申请校级精品课程，促进该院统计学专业主干课程教学能力的逐步提高。

参考文献：

[1]陈建华.李海燕.张榆锋.施心陵.《随机过程》精品课程建设与教学改革探索[J].中国科技信息，2010，18：283-284.

[2]薛冬梅.《随机过程》教学改革研究与实践初探[J].吉林化工学院学报.2010，27（6）：54-56.

[3]吴俊杰，潘麟生.编写工科研究生《随机过程》教材的体会[J].1991，7（1-2）：217-219.

[4]吕芳，王振辉.关于《应用随机过程》教学的思考[J].中国科教创新导刊.2009，30：50，52.

[5]陈家清.统计学专业《随机过程》课程教学改革研究[J].湖北第二师范学院学报，2013，30（8）：106-108.

[6]钟启泉.新课程背景下学科教学的若干认识问题[J].教育发展研究，2008（24）：7-11.

[7]管理员.学院简介[EB/OL].http：///Article/ShowArticle.asp？ArticleID=544，2014.6.28.

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1、 引言

数学方法的运用是现代科学研究的主要特征之一，学术界甚至出现了这样一种倾向：以数学方法的运用程度作为科学研究研究水平的评判标准。情报学由定性研究走向定量研究，数学方法越来越多地被引入情报学研究。[1]

由国防科工委情报所八室编科技文献出版社1988年12月出版的《情报数学》是中国最早论述情报科学技术和数学之间的结合部的一本专著。[2]

数学这是所有学科中的基础的学科，如果哪门学科没有加入数学很难说其已经建成了真正的科学。因此，数学方法对于图书馆学情报学理论、方法、实践领域以及所拓展的研究方向，都发挥着不可替代的作用。[3]

2、 数学方法在情报学中的应用

2.1计量学

计量学是情报学领域最为常用的数学方法之一。1934- 1960年是文献计量学的奠定时期。这一时期的研究比较注重理论研究与规律的发现。献计量学中大量的规律和定律都是在这段时间内提出的， 其中包括文献计量学中著名的三大定律中的布拉德福定律和齐普夫定律。在此阶段， 除了对文献计量学的基本规律进行了研究以外，还对其他规律进行研究。例如文献的引用规律、文献的增长规律及文献的老化规律。之后，又有许多文献计量学的概念、规律和方法被提出。从科学引文索引的发行以来， 从实际应用的角度计量学分成两种类型类型： 评价类和关联类。

计量学很好地利用了数学的思维方式，即运用数和量来发现事物的规律和联系。

2.2集合理论

假如一个系统可以划分成N种类别，并且各个类别之间的关系可以被清楚地表达出来，那么这个系统就能很方便地建立起一个集合模型，例如集合论在的主题词系统中的应用。

情报集合是一个集合，由许多条情报组成。也就是说一条条情报便是集合中的元素。实际上每条情报也是一个集合，它是由一个个概念词组合而成。为著录和查询情报而编制的主题词索引也组成一个主题词集合。主题词集合与对应的情报集合存在着一定的对应关系，即存在一个映射F，能够完成主题词集合到情报集合的映射。

2.3模糊数学

模糊数学又被叫作Fuzzy 数学，是用于研究和处理模糊性现象的一套数学理论和方法。它是模糊拓扑、模糊测度论等数学领域的统称，是在模糊集合、模糊逻辑基础之上发展起来的一种数学工具，用来研究现实世界中许多界限不明确以及存在模糊性 的问题的。

情报学领域存在大量模糊现象，仅靠随机数学和明确数学方法很难解决所有问题。模糊数学的引入提供了很好的视角。情报学领域经常采用的模糊数学的方法包括模糊算法，模糊匹配，模糊评价法，模糊聚类，模糊推理，模糊加权等。模糊数学在情报学中的应用，如信息检索的动态模糊聚类现象，可以使用模糊数学理论和方法描述作出模糊判断。模糊数学在该领域迅速地应用，显示出独特功能。如建立网络信息聚类的模糊模型。

2.4概率论与统计学

统计学是一门相对综合的科学，主要是通过搜集、整理、分析等技术手段达到推断所测对象的本质，甚至能预测对象未来的科学，在此过程中运用大量的数学及其它学科的专业知识，它的使用范围极广泛，几乎覆盖了社会科学和自然科学的各个领域。统计学在情报学领域的应用跟计量学有时候不太好区分，但是两者的应用领域还是比较明显的。统计学在医学情报学这个大的情报学分支上应用相对较多，而且也已经相当成熟。在处理情报的过程中的遇到的事件大多为随机事件，比如情报用户需求，情报的分布情况等。对于研究这种类型的问题，常采用数理统计方法。情报数理统计分析包括多种分析方法，例如情报分布统计分析，情报用户需求的统计分析，情报统计分析与预测，建立情报检索概率模型等。一般可将概率论和数理统计方法结合来进行处理，目的是可以看出变动的趋势，并且可以计算出各种可能出现的结果的比例和分布。例如情报分布情况的概率统计模型，情报检索系统的概率统计模型等。[4]

2.5线性代数

向量常常用来描绘与多个因素有关的一个问题，而矩阵描述的是与多个因素有关的一组问题， 其中最特殊的问题是线性代数中的线性方程组问题。

情报学中对于类概念词（包括主题词、关键词、标引词、类名等）的组配规则， 它们之间存在的多维性及它们因整体所显示的某种线性空间的性质的重视， 是矩阵理论与向量理论运用到情报工作中的前提条件。因为情报工作中亦存在着多维概念空间， 或者说存在着需要通过多个因素的量进行描述的问题， 这为线性代数应用于情报工作创造了最为坚实的基础。矩阵和向量在情报学中的应用主要是在计算机检索， 线性代数方法既是计算机检索系统模拟方法之一， 也是计算机扩检和缩检的手段之一。 情报检索系统采用的矩阵向量模型改进了传统检索的思路， 检索速度更快， 检索效率更高。线性代数方法还用于解释和预见情报活动中的实际具体问题，如著名的普莱斯指数增长模型，引文检索系统中的矩阵向量。[5]

3、 数学方法在情报学应用的发展趋势

首先，新的理论成果与新的方法渗透到情报学的研究工作中。数学方法作为一种研究方法适应各种科学研究的特点，最重要的是数学中的各种理论方法不断吸收自然科学研究中的新成果来完善自身。[6]

其次，定性和定量方法相结合。定性方法和定量方法相结合的研究方法日益成为情报学研究方法的主流，数学方法能够有效地把两种方法有机地结合起来。由定量分析上升至有相对数量依据的定性判断，最终形成具有足够根据的科学结论。

第三，利用计算机辅助建模及模型求解是发展的新趋势。情报系统涉及的因素、变量经常是众多的，有时计算量之大超出人的能力。计算机计算速度快、信息储存量大、计算结果准确的特点，特别是专业性软件的开发与应用可帮助研究者处理复杂问题。（作者单位：吉林大学管理学院）

参考文献：

[1]刘达. 情报学的新领域——情报计量学[J]. 情报学刊，1981，04：48-51.

[2]张芝兰. 《情报数学》[J]. 图书情报工作，1989，05：30.

[3]赖茂生. 数字化时代的情报学[J]. 图书情报工作，2007，04：25-29.

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关键词：概率论与数理统计教学 教学方法 数学改革

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）08（a）-0174-02

概率论与数理统计是工科院校大学生必须学习的重要数学基础课之一，该课程不仅能训练逻辑思维能力，同时它的应用性比较强。作为教师应该与时俱进，不断地更新自己的教育理念和教学方法，能够利用有限的课堂时间将知识有效地传授给学生。我们就其他院校有关这门课程的教学改革结果做了深入、系统的研究，摒弃了以前传统的教学方法，探索利用大数据时代多媒体和网络的作用，逐步形成适合新时期人才培养的模式，该文就以下几个方面做了改进。

1 教学内容的改革

《概率论与数理统计》是高等工科院校数学基础课中应用性相对较强的一门课程，但是就这门学科本身而言理论性强，比较抽象，学生不好理解。工科学校主要是培养应用型人才，在教学内容上做了一些调整。

1.1 弱化理论，重视应用

概率论部分的理论证明主要重视逻辑的严谨，学生接受起来有一定的难度，在讲解时尽量用学生易于理解的语言将定理阐述清楚，把概率论作为数理统计的基础知识来介绍，这样处理有利于加强学生对定理证明的理解。数理统计部分的讲解侧重于引入一些经典的、与生活贴近的例子，比如：有关彩票中奖问题、库存与收益问题等，尽量多介绍日常工作中常常出现的有关数据分布的简单描述方法和思想、应用背景以及数理统计方法在实际应用中应该注意的问题，进而锻炼了学生应用数理统计的知识处理实际问题的能力。

1.2 以概率论为核心

概率论最早起源于赌桌，随着18、19世纪科学的发展，人们注意到某些物理和社会现象与此相似即偶然事件大量重复发生时都有一定的规律性，从而由赌博游戏起源的概率论被应用到更广泛的领域中。到了20世纪俄国科学家马尔科夫、柯尔莫哥洛夫等人给出了概率的测度论定义和一套严密的公理体系，这种公理化方法成为现代概率论的基础，使概率成为严谨的数学分支。数理统计是对带有随机性的数据及所观察的问题做出推断或预测，数理统计是以概率论为基础而发展起来的，伴随着对观测数据误差分析和最小二乘法的研究到19世纪这门学科已经开始形成。20世纪随着点估计理论、方差分析法、置信区间估计理论等的提出，直到克拉默在1940年发表了著作《统计学数学方法》，标志着统计学日臻完善。

纵观概率论与数理统计的发展历史可见这门课程的核心内容是事件的概率描述、随机变量概念及其分布理论以及运用函数的观点刻画、处理问题，当然传统的试验概率，如，古典概型、几何概型及后验概率分析对工科概率论也有着重要作用，它们在处理一些现实生活中、工程中的具体问题时提供了概率手段，起到了不可替代的作用。大数定律和中心极限定理揭示出了概率的本质，在满足一定条件下随机变量序列的算术平均值的收敛和极限分布，这些内容也是概率论与数理统计这门课程的核心思想，一直贯穿始终。在教学时，以概率论为核心重点讲解，数理统计的讲授是在学生掌握概率论的基本理论知识基础上，让学生认识到通过总体、简单随机样本、统计量等有关概率论知识处理统计中的参数估计、假设检验等问题，进而将这两部分知识有机的融合在一起。

2 教学方法和教学手段的改革

传统的教学主要是一支粉笔加一块黑板，基本上是教师在前面讲学生在下面一边听课一边记笔记，很容易导致注意力不集中，学习跟不上。部分学生学习目的不明确，为了期末考试能及格死记硬背定义、定理和例题，无从谈起运用所学的知识分析问题和解决实际问题。在概率论与数理统计的教学改革中，我们摒弃了课堂教学的单一模式，鼓励教师根据学生的具体情况采取灵活多样的教学方法，并将多媒体引用到课堂教学中来。

2.1 教学方法多样化

现在的学生和以前有所不同，尤其是自控力上，上课时注意力集中的时间不长，时不时就去看手机，这对教师的课堂教学是一个极大的挑战。我们在课堂上不仅仅运用讲授式教学法，还应积极采取更加多样的教法，比如：问题法、谈话法、读书指导法和讨论法等。数学课理论性强，一般都比较单调，针对不同的教学内容设计相应的教学教法，认为像古典盖型、条件概率、全概率公式和期望、方差等内容引入就很适合运用问题法，利用比较容易的题目引导学生解出答案，然后观察题目的特点总结一般规律；像分布律、分布函数及概率密度函数的性质等内容采用谈活法――一问一答的效果比较理想；对于比较简单的章节采用读书指导法，将需要掌握的内容以提纲的形式列在黑板上，引导学生自己看书找到相应的内容，这样有利于培养学生的自学能力。课堂上加强各种教学方法的综合运用，一方面有利于活跃课堂气氛；另一方面也有利于吸引学生的注意力，引导学生积极参与到课堂活动中来，激发学生的学习兴趣。

2.2 多媒体融入到教学中

现如今网络发达，是信息量很大的时代，还一味的采用黑板加粉笔的教学模式显然不合时宜，多媒体技术可以提供形象、直观的学习环境，它图文并茂、动静结合突破了粉笔书写的局限。教学过程中还可以根据内容需要引入课外知识，拓宽学生的知识面，增加学习兴趣。根据教学内容合理地运用多媒体，而不是依赖它，我们认为像定义、定理的证明这样重要的内容还是教师板书效果比较好，既能体现逻辑的严密性又能突出教学重点；像例题、定理的内容和归纳总结的部分利用多媒体演示，这样处理可以节省时间，教师可以在教学内容的讲解上投入更多的精力，做好重点、难点的讲授。

课堂教学是教师重要的阵地，课前做好充分准备，课上讲解重点突出，思路清晰，抓住学生的注意力，充分利用多种教学方法，有效利用信息时代的教学手段，潜移默化中培养学生分析问题、解决问题的能力，为学生的进一步学习或未来的工作夯实基础。

3 做好课后辅导答疑

与中学的教师不同的是大学教师上完课就不在教室，学生如果有问题想找教师很难找到，再者大学生的课程安排的也比较满，师生好像只有上课才能在一个教室里。针对这种情况，建议教师为学生建立一个QQ群或是微信群，以便学生有问题时能及时提出来，教师也方便了解学生的学习效果，一旦发现问题及时解决，避免学生因为上一节课的知识没理解好影响下一节课的学习。我们也进一步设想建立一个概率论与数理统计的公众QQ群，每星期安排教师值周，师生利用这个平台交流、互动，将发现的问题反馈给其他教师。

在新的形势下伴随教学改革的深入进行，很多重要的课题需要我们去深入探讨，就概率论与数理统计这门课程在教学方面进行了一些尝试，扭转了学生的学习态度，把以前被动学习变为主动学习，使得期末不及格率有所下降。总之，作为教育工作者就应该依据时代的变化，及时调整自己的教学方法和教育理念，这样才能做到与时俱进，为社会培养更多、更好的创新型人才。

参考文献

[1] 苏小囡.概率论与数理统计教学中的一些思考[J].科技展望，2014（17）：53，55.

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一、概述

金融数学，又称分析金融学、数理金融学、数学金融学，是20世纪80年代末、90年代初兴起的数学与金融学的交叉学科。它的研究对象是金融市场上风险资产的交易，其目的是利用有效的数学工具揭示金融学的本质特征，从而达到对具有潜在风险的各种未定权益的合理定价和选择规避风险的最优策略。它的历史最早可以追朔到1900 年，法国数学家巴歇里埃的博士论文“投机的理论”。该文中，巴歇里埃首次使用Brown 运动来描述股票价格的变化，这为后来金融学的发展，特别是为现代期权定价理论奠定了理论基础。不过他的工作并没有得到金融数学界的重视。直到1952 年马科维茨的博士论文《投资组合选择》提出了均值――方差的模型，建立了证券投资组合理论，从此奠定了金融学的数学理论基础。在马科维茨工作的基础上，1973年布莱克与斯科尔斯得到了著名的期权定价公式，并赢得了1997念得诺贝尔经济学奖。它对于一个重要的实际问题提供了令人满意的答案，即为欧式看涨期权寻求公平的价格。后两次发现推动了数学研究对金融的发展，逐渐形成了一门新兴的交叉学科，金融数学。

金融数学是在两次华尔街革命的基础上迅速发展起来的一门数学与金融学相交叉的前沿学科。其核心内容就是研究不确定随机环境下的投资组合的最优选择理论和资产的定价理论。套利、最优与均衡是金融数学的基本经济思想和三大基本概念。在国际上，这门学科已经有50多年的发展历史，特别是近些年来，在许多专家、学者们的努力下，金融数学中的许多理论得以证明、模拟和完善。金融数学的迅速发展，带动了现代金融市场中金融产品的快 速创新，使得金融交易的范围和层次更加丰富和多样。这门新兴的学科同样与我国金融改革和发展有紧密的联系，而且其在我国的发展前景不可限量。

二、金融数学的发展

早在1990年，法国数学家巴歇里，在他的博士论文“投机 的理论”中把股票描述为布朗运动。这也是第一次给Brown运动以严格的数学描述。这一理论为未来金融数学的发展，特别是现在期权理论的建立奠定了基础。但这一工作很长时间并没有引起金融数学界的重视。金融数学这一学科名称直到20世纪80年代末才出现。它是马克维姿的证券组合理论（H.Kowitz1990年诺贝尔经济学奖）和斯科尔斯―――默顿的期权定价理论（M.Scholes-R.Merton.1997年获诺贝尔经济学奖），这两次华尔街革命的直接产物。国际称其为数理金融学。

金融数学源于20世纪初法国数学家巴歇里埃在他的博士论文《投机的原理》中对股票价格用布朗运动的刻画。虽然1905年爱因斯坦也对此做了研究，但这一新做法当时还是没能引起更多人的注意，直至1950年，萨寥尔通过统计学家萨维奇终于发现了这一作法的巨大意义，并开始对金融数学做全面的研究，由此金融数学终于迎来了发展的全盛时期，现代金融学由此正式掀开了帷幕。

现代金融数学是在两次华尔街革命的背景中成长发展起来的。第一次革命的成果体现在静态投资组合理论的研究上。1952年马尔科维兹提出了基于均值-方差模型的投资组合问题，该理论把投资的风险和回报做了可量化的刻画，从而开创了用数理化方法对金融问题进行研究的先河。然而他的模型中要计算各个风险资产价格的协方差问题，这个计算量很大。第二次华尔街革命从静态决策发展到了动态决策。1970年布雷顿森林协议，浮动汇率取代了固定汇率，许多金融衍生工具比如：期权，期货都随即产生，这些金融衍生工具的引入主要是为进行金融风险的管理，而要对风险进行科学有效的管理就需要对衍生工具进行科学的定价。巴歇里埃的布朗运动模型促使了一对双胞胎：连续时间的随机过程数学与连续时间的期权定价的金融工程学的诞生.数学工具的引入主要是为进行金融风险的管理，而要对风险进行科学有效的管理就需要对衍生工具进行科学的定价。此后不久，默顿用另一种严格的数学方法推导了该定价公式，并予以推广。期权定价公式给金融交易者及银行家在金融衍生资产品的交易中带来了空前的便利，期权交易的快速发展很快就成了世界金融市场的主要内容。布莱克，休斯，莫顿的这一理论成为近代金融经济学的里程碑人物，直到现在也仍然是现代金融理论探索的重要源泉。

三、金融数学的理论方法

金融数学作为一门边缘学科，应用大量的数学理论和方法研究，解决金融中一些重大理论问题，实际应用问题和一些金融创新的定价问题等，由于金融问题的复杂性，所用到的数学知识，除基础知识外，大量的运用现代数学理论和方法（有的运用现 有的数学方法也解决不了）。主要有随机分析，随 机控制，数学规划，微分对策，非线性分析，数理统计，泛函分析，鞅理论等，也有人在证券价格分析中引进了新型的非线性分析工具，如分形几何，混沌学，子波理论，模式识别等，在金融计算方法与仿真技术中也逐渐引入神经网络方法，人工智能方法，模拟退火法和遗传算法等。

金融数学是利用近现代数学的优秀成果来度量和刻画金融、经济、管理等问题的“高科技”工具，其主要的基本理论表现在三个方面。

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1　数学美的存在性——客观世界的反映

在客观世界纷繁芜杂的各种变化与现象中，时刻贯穿、孕育着各种各样的美。美是杂乱中的秩序，是变化中的规律。美是客观世界的本质属性，是引领整个客观世界向前发展的内在动力。数学美作为科学美的重要方面，就是对自然界中客观存在的秩序与规律从数与形的角度给予反映和揭示。具体来说，对于美的存在性，我们可以从两个方面来认识与考察。

首先，客观世界中处处渗透与体现着数学美，数学美是对客观世界内在规律的反映。对于数学美与客观世界之间的相互联系，其实早在古希腊时期，毕达哥拉斯学派就开始着手研究。毕氏学派在研究音乐乐理的谐音与天体运行的轨道时，发现二者在数量关系上都满足整数比，从而就此得出结论“宇宙间万物的总规律，其本质就是数的严整性和和谐性”，“美是和谐与比例”。在这样的认识基础上，毕氏学派试图从数和数的比例中求得美和美的形式，并终于从五角星形中发现了“黄金分割”，进而得到黄金比。这是数学美学认识史上的一大突破。从古希腊到现在，黄金比在各种造型艺术中都有着重要的美学价值。现代科学研究甚至表明，黄金比在现代最优化理论中也有着应用价值，如优选法中的0.618法。即使在现代医学保健领域中，都可以处处感受到它的存在与神奇。最令人惊奇的是，很多生物的形体比例也是等于黄金比。难道它们都懂得优选法，自觉采用黄金比？不！这只能证明美学家的断言：“美是一切事物生存和发展的本质特征。”

其次，溯源于客观世界的数学理论内部也充满着数学美。这种美本质上间接地表征了客观世界的固有规律。徐利治教授曾说过：“作为科学语言的数学、具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构和方法上也都具有自身的某种美……如数学概念的简单性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异美等。”古代哲学家、数学家普洛克拉斯甚至断言：“哪里有数，哪里就有美。”的确，数学中美的例子可谓俯拾即是。例如，皮亚诺算术公理系统，就是逻辑结构简单美的典范；希尔伯特以非构造方法成功解决了代数不变量理论中的戈丹问题，体现数学方法的简单美；代数中的共扼根式、共扼复数、对称多项式、对称矩阵等。几何中的轴对称、中心对称、镜面对称等，都表现了数学中的对称美；运算、变换、函数，这三个分别隶属代数、几何、分析等不同数学分支的重要概念。在集合论建立之后，便可以统一于映射的概念，这体现了数学中的统一美……。近代科学家开普勒更是一针见血地指出：“数学是这个世界之美的原型。”言简意赅、意蕴深远的一句话，给人以深刻的思想启迪。

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数学美的独特性——内隐而深邃的理智美与理性精神

英国著名哲学家、数学家罗素曾经这样描述过数学的美：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正象雕刻的美，是一种冷而严肃的美、这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满的境地。”罗素的这番精彩论述以“冷而严肃”“纯净”“崇高”“严格”“完满的境地”等字眼来形容数学的美，辞藻华丽且思想深刻，将数学美的与众不同淋漓尽致地展现在人们面前，再进一步看，正如前面所论述的数学美的本质包含了两个侧面（主观意义和客观意义）。因此，从主观与客观及其相互联系统一的角度来研究数学美的独特性，必然会有助于我们更好地去理解与认识数学美的内在本质。

第一，数学的美是内在的美、隐蔽的美、深邃的美，美在数学思想内部，数学美是客观规律的反映，但这种反映不是像照镜子那样直接反映，而是人的能动反映，是自然社会化的结果，是人的本质力量对象化的结果。它所反映的不单纯是客观事物，而是融合了人的思维创造。因此，要领悟数学美必须透过，“抽象、枯燥”的符号、公式及定理等洞察其内部的数学思想：比如爱因斯坦创立的相对论可谓内容丰富之极，但如果用式子表示的话，却极其简单：

E=mc[2]，P=mv(E为能量，P为动量，m为质量，c为真空中的光速）并非所有人都能意识到其中的美。其实，这两个公式代表了爱因斯坦对人类贡献的精华，它们深刻地揭示了微观、宏面、宇观的无数质能变化现象的规律，但式子却非常简单。其用字之少，内容之丰富，充分体现了数学的简单美。再比如，数学家们把等式

e[πi]+1=0

视为最优美的公式，美在哪里？其实，这个式子将算术中的"1""0"，代数中的"i"，几何中的“π”，分析中的"e"神奇地统一在了一起，即它们相会于天桥：e[iθ]=cosθ+isinθ（在该式中令θ=π就可得到上式），它沟通了三角函数与指数函数之间的内在联系，充分体现了数学的统一美。

第二，从价值追求的角度看，数学美实质上体现了人的审美精神，这种精神说到底是一种理性的精神，恰恰是这种精神，“使得人类的思想得以运用到非常完善至美的程度”，即“完满的境地”；正是这种精神，“从一定程度上影响人类的物质、道德和社会生活，以试图回答有关人类自身提出的一些问题”；正是这种精神，“使得人们能尽可能地去理解、了解、控制自然，掌握客观世界的规律”；正是这种精神，“使人们有可能去探求和确立已经获得的知识的最深刻的、最完美的学科内涵”，并使之“纯净到崇高的地步”。这是笔者从罗素的论述中感悟到的数学美的精神层面的独特内涵。

3　数学美的驱动性——个人创新与数学发展的内部动力

对于数学美的追求历来是科学家进行发现与创新的重要内部驱动力。阿达玛与彭加勒都曾从心理学角度阐释美与发明创造之间的关系。他们认为，创造的本质就是做出选择，就是要抛弃不合适的方案，保留合适的方案，而支配这种选择的正是科学美感。正如阿达玛所说的：“科学美感，这种特殊的美感，是我们必须信任的向导，”因为，“唯有美感能预示将来的研究结果是否会富有成果。”数学史的研究表明，希腊几何学家之所以研究椭圆，可以说除了美感之外，再没有什么其他动力了。著名物理学家麦克斯韦在没有任何实验依据的情况之下，仅从数学美的考虑出发，将实验得出的电磁理论方程重新改写，以求得方程形式上的对称优美。令人惊异的是，改写的方程竞被后来的实验证实了，而且利用方程还可推导出一系列令人陶醉的结果，电磁理论决定性的一步就这样跨出了。这不能不让人相信美的确具有如此巨大的推动力与支配力。诚如爱因斯坦所言：“照亮我的道路，并且不断地给我新的勇气去愉快地正视生活的理想，是善、美和真。”事实上，爱因斯坦所提出的科学思想，有很多是出于美学而不是逻辑的考虑。他对实验和理论不相符的忧虑，甚至远远不及对基本原理的不简洁、不和谐所引起的忧虑，而这正是刺激他的思想的源泉。

从广泛的意义上看，对数学美的追求也在不断推动整个数学向前发展，数学发展的历史不啻是一部追求数学美的前进史。比如，在数学发展的历史长河中，数学家们坚持不懈地追求数学的统一性，从而相继诞生出三部数学巨著：欧几里德的《几何原本》，罗素与怀德海合著的《数学原理》，布尔巴基学派的《数学原本》。再如，出于逻辑简单性的考虑，数学家们很早就对欧氏平行公理的自明性和独立性产生怀疑，经过几个世纪的研究，最终导致非欧几何的建立。此外，对于奇异性的追求也同样推动了数学发展，对此，哥德尔不完备定理的提出可以说是一个极好的例子，纽曼和耐格尔曾把这一定理称为“数学与逻辑学发展史中的里程碑”。著名物理学家惠勒则更认为：“即使到了公元5000年，如果宇宙仍然存在，知识也仍然放射出光芒的话，人们就将仍把哥德尔的工作……看成一切知识的中心。”

综上所述，无论是对个人的创新，还是对数学科学的整体发展，数学美的推动作用都是毋庸质疑的。从本质上说，对于统一性、简单性、奇异性的追求过程就是个人与群体认识不断深化和发展的过程。正如郑额信教授所说：“无论是对于统一性、简单性、奇异性或抽象性的追求，事实上都体现了数学家的这样一种特性：他们永不满足于已取得的成果，而总是希望能获得更深刻、更全面、更正确的认识。因此，他们总是希望能将复杂的东西予以简单化，将分散、零乱的东西予以统一，也总是希望能开拓新的研究领域……正是在这样的过程中，数学家们感受到了数学的美，而这事实上也就是认识不断得到发展和深化的过程。”

4　数学美的甄别性——评价数学理论的重要标准之一

古往今来的很多数学家、科学家都将数学美视作衡量自己或他人研究成果的重要评价尺度之一。数学美犹如一个筛子，数学家们利用这个筛子对理论中的各种因素做总体上的甄别与评判，剔除丑陋保留美好，力图最终获得“美”与“真”的完美统一。著名数学家冯·诺伊曼就曾说过：“我认为数学家无论是选择题材还是判断成功的标准，主要都是美学的。”庞卡莱则更明确地说：“数学家们非常重视他们的方法和理论是否优美，这并非华而不实的作风……一个解答、一个证明的和谐、对称以及恰到好处的平衡……能使我们对整体以及细节都能有清楚的认识和理解，这正是产生伟大成果的地方。”

数学家与科学家们之所以如此看重数学美，就是因为数学美的甄别性在一定程度上为该理论的发展前景作出了预测，同时也在一定程度上为科学家们的工作指明了方向。如众所知，概率论的产生始于17世纪，在当时，由于人们对概率概念所存有的不同理解，所以建立的理论体系也不完全一样。在这些理论体系中，最迷人的是前苏联数学家柯尔莫哥洛夫建立在公理集合论上的测度论的概率论。以数学美的标准来评价，柯氏的理论体系，无疑极大地显示了数学的简单美与统一美，不仅对论述无限随机实验序列或一般的随机过程给出了足够的逻辑基础，而且应用于统计学也很方便。历史的发展充分地证明了，在这些理论中，惟有柯氏的概率论不断得到进一步发展，而且后来还产生了不少新的分支。正如Nobel物理学奖获得者狄拉克所言：“一种理论如果是正确的，它就应该是美的，一种美的理论有普适性，它有能力预言、解释、提供范例，可用它来进行工作，因而数学美能激起人们的热情，对它的追求就好像是一种信仰行为……数学美是对理论具有决定取舍作用的一个准则。”

5　数学美的层次性——主观客观彼此交融的重要特征之一