大学统计学笔记范文

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篇1

2．校园荷花几度红，今年离别情更浓；依依不舍互道别，留言短信共祝福；天涯海角不相忘，时常要把短信发；发奋图强互鼓励，励志向上互支持！

3．轻轻的我将离开你，不舍的滋味难言喻，柳荫下促膝谈未来，运动休闲青草地，朝夕相处积点滴，凝成深厚的友谊。今朝分别送祝福：爱情美满事业蜜！

4．岁月如歌，我们的欢笑洒遍校园的每个角落；时光飞梭，我们的离别钟声敲响在每个人的心头。毕业之际，紧紧握手，道声珍重，一路好走，来日方长，相约聚首！

5．昔日里，校园里那些纯真美好的回忆，烂漫绚丽；今天起，我们恋恋不舍即将洒泪分离，各奔东西；明天里，愿你们带着我这忠诚的祝福，闯荡天际。祝同学们前程似锦，一帆风顺！

6．那些年错过的拥抱，那些年错过的聚会，好想告诉你告诉你我没有忘记你；那天晚上满天星星，平行时空下的友谊，再一次相遇我会紧紧抱著你，紧紧抱著你，朋友。

7．又是一年毕业中，你我情真意也浓；几载朝夕来相伴，一日共进三次餐；相知相伴赛手足，一个笑颜烦恼无；愿君分别从此后，事业辉煌好运有，爱情甜蜜金秋秀，财神老爷来保佑！

8．校园的柳荫下，有你我友情的诗行；教师的书桌上，有你我拼搏的痕迹；毕业在即，握别百般惆怅，数载少年情长，愿你前行的征程背起奋斗的行囊，祝你朝着目标勇敢向前闯！

9．挥挥手，告别昔日的同窗好友，挥挥手，止不住泪水长流，挥挥手，心中祝福久又久，挥挥手，愿幸福伴你左右，祝你前途光明，快乐一生。

10．哥们儿，莫愁前路无知己，有能力人人都识君；哥们儿，莫道“路漫漫其修远”，请你用拼搏去探索；毕业来临，似锦前程等着你去开拓，愿你实现人生梦想，努力创造辉煌！

11．高中三年，匆匆而过，如梦年纪，弥漫幻想,欢声笑语，不觉毕业,不要挥手叹息，觉得繁花尽去，一定鼓足勇气，寻找自己方向,祝愿金榜题名,那时不要忘了互递喜悦的消息。

12．毕业意味着离别，离别意味着新的生活，新的生活意味着付出，付出意味着拼搏，拼搏意味着成功。同学们，让我们在离别之际祝福彼此：成功路上有我也有你！

13．不想说再见，不想太伤感，昔日的好友，永远的知己，把我的祝福，伴你在身边，愿你天天开心，家庭幸福美满，前途一片光明，创造锦绣前程。

14．毕业了，四年酸甜苦辣的回忆，相知相念的友谊，几行字的留念，真心实意的祝福。我亲爱的朋友，愿你事业有成，爱情美满，生活幸福，永远快乐。我会在远方永远祝福你。

15．毕业了，愿你释放青春的心灵，展开五彩的翅膀。友情，在风中酝酿，在未来美好的日子里更加茁壮。道一声珍重，送你最真诚的祝福，祝你顺利铸辉煌，生活幸福永安康！

16．几年的相聚，情深，几年的相守，情真，几年的相知，情浓，几年的相处，情重，马上要毕业了，送上我真诚的祝福，愿你我同学情永不变，祝你前程似锦，万事顺意。

17．毕业通告：不许伤心，伤心罚款一毛；不许落泪，落泪罚款五角；毕业来临之际，只许祝福前途更美好，以免伤感情绪蔓延，特此通告。谨祝：前程似锦，恭喜毕业！

18．相伴的时间是温馨的，相处的时刻是温存的，相聚的时分是温情的，离别的祝福是温暖的，要毕业了，愿我亲爱的同学你，美梦成真，前程似锦。

19．情谊，不会因为各奔东西而消失；情重，不会因为毕业而减轻；情浓，不会因为距离拉远而淡薄；祝福，不会因为天涯海角而减少，毕业之际，祝前程似锦，前途光明。

20．毕业际，难分舍，同学间，情谊浓，送祝福，愿顺利，发问候，祝如意，许心愿，望好运，默祈祷，盼吉祥，发短信，道个别，我和你，同学情，似海深，毕业后，常联系。

21．演一场电影，主角是你我，时间三四年，地点在校园，序曲是相识，过程是相知，插曲是相处，喜怒与哀乐，结局是分别，续集是重逢，永远是朋友！

22．友谊像糖葫芦酸酸甜甜，成绩像甘蔗节节升高，爱情像蜜桃甜甜蜜蜜，心情像向日葵温暖阳光，运气像棉花糖连绵不断，钱包像饺子圆圆满满，祝福贪吃的你。

23．遇见你是我的缘，相识相知成美谈，朝夕相处三春过，殷殷情谊积心田，人生自古伤别离，毕业时刻在眼前，拂去离愁祝福送，前程似锦美梦圆！

24．曾走过青青草地，曾漫步在小河堤，鸟儿见证友爱，鱼儿印证交谊，风儿验证友好，云儿证明情谊。四个春秋转瞬逝，面临毕业要分离，强忍悲痛奋疾书，美好祝福赠予你！

25．挥挥手，离别了同窗好友；拥拥抱，祝愿未来更美好；擦擦泪，我的好兄弟姐妹；告告别，铭记我们的相约；祝福送，祝你万事顺利，前程什锦。

26．毕业季，悄来到；毕业志，别忘了；毕业证，请带好；毕业照，伴到老。离别了，握握手，祝学友，新征途，创事业，造奇迹，铸辉煌，好梦圆！

27．一首首歌曲唱不完的青春，一本纪念册说不完的祝福，一张张照片看不够的回忆，一片片树叶落不尽的友谊，一条条短信发不完的思念，同学珍重！

28．转眼就毕业了，快乐的时光总是过得很快；同窗三年我们情同姊妹，无论天涯海角，我们彼此心心相印；祝你在以后的人生路上，快乐与你相伴，幸福和你相随！

29．毕业的脚步越来越近，离别的气氛愈来愈浓，悲痛的心情更加忐忑，扣人心弦的时刻，近在咫尺，敞开心扉，坦然面对！毕业了，挥手道别，远航！

30．相聚的日子里，有着最“珍贵的情谊”，年轻的岁月中，有着最“真挚的相知”，这份缘值得我们永远珍惜。毕业了，祝福你，前程锦绣，如火如荼！

31．同学挚友，让我再抱抱你，最后轻轻的说声你好，虽然人生难免有聚有散，但你却是我心中，最美丽的记忆。毕业了，祝福你，前途光明，一帆风顺！

32．毕业季，要别离，好兄妹，记心里，同窗友，真情有，泪涟涟，心相牵，拥拥抱，开心笑，送祝福，互激励，愿以后，常联系，祝愿你，好身体。

33．青涩岁月结伴行，欢声笑语总不停；你我情谊似水深，年年岁岁不忘怀；毕业之时送祝福，祝一切顺利，前程似锦，天天快乐喜洋洋！

34．同窗苦读几度秋，情深义重难割分；荣辱与共三四载，不忍离别情依依。今日就要各东西，同学情义无以偿。毕业祝福化信息，祝君一路多顺畅，走向社会万事顺，继续求学学有成！

35．我们曾是并肩战斗的两颗小树，曾是二重唱中的两个声部，曾是一张课桌上的学友。毕业了，我们挥手告别的时候，请接受我深情的祝福：愿你前途无限，幸福康健！

36．友谊是一首无字的诗歌，是炎炎夏日里拂过窗前的一阵微风，是在音乐响起，手牵手一起舞动美好的年华，毕业来临之际，愿友谊永驻。

37．轻轻的我们相聚一起，无限欢声和笑语；轻轻的我们又要分离，情谊栓起彼此；毕业的我们再难相聚，让我的祝福随你一路。

38．不敢和你见面，我怕看到你身不得离去；发条信息给你，我不忍悄悄地离去。毕业了，我们将各自东西，愿你记住我们的友谊永远，对你的支持永远。别忘了保持联系！

39．同一个校园，记录了同样的青春，同一个年级，记载了同样的情深，同一个班级，记下了同样的友谊，要毕业了，唯有愿你好运连连，工作顺利，鸿图大展，前程似锦。

40．毕业了，怀揣着梦想勇闯天涯，社会这个大舞台将任你驰骋，任你自由演绎。无论怎样，相信精彩一定是属于你的，展翅翱翔吧！美好的明天在向你招手！

41．毕业了，请收拾好你自信的行囊，装上执着的信念，坚定的理想，顽强的毅力，奋斗的方向，背起它们一路远航，大步走在未来的路上，祝好友生活色彩斑斓胜阳光。

42．毕业了，如果不能成为彼此的永远，且让我们放下当初的青涩。我只要一份清简人生，与你静坐品茗半盏时光，只品茶香不问俗情，仅此，不负彼此的曾经。

43．毕业了，我们就不再是学生，凡事都要学会承担；毕业了，我们不是庆祝结束，而是欢呼开始；毕业了，我们踏上各自的征途，为了自己的梦想向前冲！

44．毕业了，祝你一路走好；找工作，祝你关关顺风；工作了，祝你工作顺心；在今后的日子里没有朋友陪着你，愿你一路晴空，万里无云，步步高升。

45．毕业在即，道声珍重，不忘青春岁月如风，你我曾经相逢。今朝离别，难舍情浓，祝君大鹏展翅长空，潜龙风起云动。千言万语，愿你人生路上圆美梦！

46．毕业在即多感悟，美好理想上征途，高富帅美何需妒？奋斗人生刚起步，挥泪相拥道别时，真挚祝福要送出，前程似锦青云路，幸福快乐身边住！

47．采一缕花香送你，让你记住友谊的味道；捕一阵清风送你，让你体会快乐的奇妙；折一枝柳条送你，让你感受祝福的美好；愿毕业后烦恼不知道，成功乐逍遥。

48．大学毕业了，是幸福的；步入社会了，是辛苦的。送礼物，是庸俗的；送祝福，是给力的。祝你：什么都有，就是不能有病；什么都没，就是不能没钱！

49．当月光洒满你的心房，请倾听幸福在歌唱；当快乐将梦想唱响，请放飞希望的梦想；成功总在奋斗的路上，收获就在不远的前方，愿毕业后的你勇往直前，不惧汗水的流淌！

50．告别稚嫩的脸庞，冲击未来的辉煌；告别朗朗的课堂，追逐无限的阳光；让脚步前进，让梦想远航；愿毕业后人生充满希望，迈向理想的殿堂，一路飞翔！

51．好想和你纠结在一起，快乐、痛苦、悲伤、哀愁，一切的一切都纠结在一起，我们的缘分也就一生一世了，但是人生难免分离，毕业了，祝你笑意一如往昔！

52．花儿离不开蝶儿的依恋，树儿离不开鸟儿的陪伴，无奈时光总变迁，人生难有总如愿，转眼毕业离校园，唯有祝福留身边，愿你幸福成功总相伴，快乐在天天。

53．挥挥手再见，记忆留在昨天，分离就在眼前，祝顺风，祝平安，祝美好愿望都实现。不要眼泪，不要离愁，友谊不会毕业，真情将永驻心头。

54．即将走下昨天的车，却还没打开明天的锁，今天唱着毕业的歌，颤抖着双手挥动离别。想留下却难留，想永久却分手，只好说声再见，期盼再聚首，祝福永久！

55．坚信自己是颗星，穿云破雾亮晶晶。坚信自己是燧石，不怕敲打和曲折，坚信自己是人才，驱散浮云与阴霾。马上毕业，踏入社会，坚信你我有美好的未来。

56．教室里，课桌留下了回忆，黑板记录了情谊；操场上，篮板记录了快意，球网记录了情意。毕业了，纵使千般不舍，也唯有把记忆珍惜，愿我们继续努力！

57．经历过坎坷，方知什么是快乐，经历过挫折，方可不惧怕折磨，人生纵有太多崎岖与苦乐，拥有自信照样潇洒过，毕业后祝你笑看人生，自信潇洒行。

58．静待毕业时离开，爱情在此时此刻醒过来；边想边等边期待，爱情如何理智安排；向左向右向前看，爱情面临严峻挑战；坚守克服期待，爱情才会永恒存在！

59．静静地回眸，静看曾经的奋斗；轻轻地挥手，告别昨日的懵懂；时光此刻难停留，毕业之际各自走，唯愿你牵着拼搏的手，伴着祝福，成功走过人生每一个关口。

60．离开曾经的熟悉，走入陌生的际遇，请你脚步不要停息；收获了成长的些许，得到了胜利的奇迹，聚聚散散的人生里，是我们坚定的信念与真理，祝毕业后好运不离！

61．六月的天空晴朗，毕业的钟声敲响，不舍可爱的同窗，难忘尊敬的师长，作别熟悉的面庞。迈向成功的殿堂，踏着前进的曙光，迎接明日的辉煌。

62．梦想因拼搏而精彩，相逢因为相知才可爱，让缘分装进记忆的口袋，让真诚永远因祝福而存在，愿毕业后的道路上灿烂阳光迎面而来。

63．面对着丰盛的筵席，我们彼此微笑着劝酒，仿佛所有的不舍，都收藏在酒杯里，因为我们明白，此去再也没有比手中这杯更醇更香的酒了，毕业了愿你一切顺利。

64．莫因今日的分离而哭泣，人生前行才有意义；莫因毕业的痛苦落泪滴，友谊若真没距离，放弃失落的情绪，将热情点起，快乐才是目的地，祝毕业后快乐一生。

65．轻轻的，时光荏苒着；匆匆的，毕业来到了。毕业了，我们约定好不好；毕业了，我们坚持好不好。虽然学校生活已毕业，但我们的爱情却永远不会毕业。

66．轻轻地挥手，告别昨日的懵懂；静静地回眸，静看曾经的奋斗；时光此刻难停留，毕业之际各自走，唯愿你牵着拼搏的手，伴着祝福，成功走过人生每一个关口。

篇2

摘要：哥伦比亚大学本科生的通识教育在美国研究型大学中一直处于领先地位，这得益于对通识教育真谛的坚守和通识教育课程的合理安排。本文通过分析哥伦比亚大学通识教育的历史与现状，探讨其对我国大学通识教育的启示。

关键词 ：哥伦比亚大学；通识教育；课程体系；核心课程

DOI：10.16083/j.cnki.22-1296/g4.2015.04.021

中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1671—1580（2015）04—0046—02

收稿日期：2014—10—15

作者简介：刘立园（1988— ），女，河北邢台人。 河北师范大学教育学院硕士研究生，研究方向：高等教育学，比较高等教育。

宇文彩（1986— ），女，河北石家庄人。河北师范大学教育学院硕士研究生，研究方向：高等教育学。

1754年，哥伦比亚大学在美国纽约市曼哈顿创建，该大学属于私立的常春藤盟校。在20世纪上半叶，该大学与哈佛大学及芝加哥大学被公认为“美国高等教育的三强”。在美国，哥伦比亚大学的哥伦比亚学院是最早对学生进行通识教育的本科生院，时至今日，仍保持着美国大学中最严格的核心课程，它的研究生院更是因其卓越的学术成就而闻名遐迩。

一、哥伦比亚大学通识教育的历史

（一）哥伦比亚大学设置核心课程的起因

虽然从19世纪七八十年代开始哥伦比亚大学和其他大学一样，都从注重古典语言的学习转向注重职业训练，但自由教育的支持者、逆时代潮流而行的反对者一直不乏其人。例如：约翰·霍华德·范·阿姆林奇就认为哥伦比亚学院的真正目的不是培养学者或专业人士，而是“塑造人”。他认为，学院教育对于年轻人的真正价值在于“教会他们瞻前顾后，并用适合公民身份的方式思考”。虽然阿姆林奇力挽狂澜，但到20世纪初，四年的自由教育还是衰弱了。大学逐渐减少了对经典学习的要求。巴特勒认为，一定要等到四年毕业之后才进行专业学习不是个好事，而是个坏事。当时阿姆林奇就公开警告说哥伦比亚学院已“堕落为职业学院的预备门廊”。

与职业化趋势同时存在并互为因果的是学生构成的变化，该变化进一步瓦解了哥伦比亚学院的统一性。在19世纪初，纽约的贵族阶层都愿意让自己的子女在哥伦比亚学院接受良好的教育。但在世纪之交，从南欧和东欧涌入的移民在公立学校接受中等教育，他们改变了哥伦比亚大学的学生构成。

（二）“当代文明”课程的开设

1919年，“当代文明”课程分为15个班，很快就发展到20个班。到20年代中期，每个班的人数稳定在30人。“当代文明”是全年课程，同一位教师教授两个学期的课程。每个班每周聚五次，都是在上午9点到10点。课堂教学内容主要是基于教学大纲和其他阅读材料的讨论，而不是单纯的教师讲授。这一点特别重要，因为教师希望学生通过阅读材料积极地加入讨论，而不是被动地听讲。在第一个10年，“当代文明”课程的头两周用来讨论物理世界和各国的物质资源，目的是显示“人与自然亲密的依赖关系”。在探讨大自然和人性之后，探讨20世纪西方文明的历史背景，以“明确我们时代的主要特征”。该部分着重探讨欧美的政治遗产、现代工业的兴起、西方科学取得的巨大进步以及它们对社会秩序的意义。1925年，“当代文明”在该部分特别关注的五个问题是：帝国主义和落后地区的人民、民族主义和国际主义、工业主义和提高生活水平、政治控制以及教育。

“当代文明”课程效果显著，全美30多所学院相继模仿该课程，大大超出了最乐观的期望，因此，哥伦比亚学院决定开设人文必修课。从1928年开始，“当代文明”课程变成两年的课程，CC-A和CC-B。第一年CC-A主要学习欧洲的历史和哲学，第二年CC-B主要学习美国的政治和经济学。从1930年开始，CC-B包括到政府部门和企业单位的实地考察。与CC-A相比，CC-B的稳定性和连贯性都差得多，因为社会情况在不断变化。

（三）“人文”课程的开设

1937年，学院开始为低年级学生开设新的人文系列课程——“人文A”。这是个要求所有新生修习的全年课程，涵盖了从古代到18世纪末的西方文学和哲学经典文本。“人文B”是学生在大学二年级的选修课，主要包括西方视觉艺术和音乐。1947年，“人文B”变成了必修课，并更名为“艺术人文和音乐人文”。后来“人文A”又更名为“文学人文”。“人文A”的形式与“当代文明”大体一致，学生每周上四次课，1941年减为三次。而现在的核心课程都是每周两次课，每次两小时。当时每个班大约24人，共20个班。“人文B”也以讨论为主，每周三次课，一次讲座，两次小组讨论，但效果不太令人满意。

二、哥伦比亚大学通识教育的现状

哥伦比亚学院是哥伦比亚大学的主要本科生院，目前，它的核心课程由“当代文明”、“文学人文”、“大学写作”、“艺术人文”、“音乐人文”、“科学前沿”、“科学必修”、“全球核心必修”、“外语必修”和“体育必修”构成。“当代文明”主要包括从柏拉图到现代的道德和政治思想史，是大二学生的必修课，“文学人文”主要阅读欧洲文学与人文经典，是大一学生的必修课。这两门课都是每班22人，教学大纲相同，每周四学时。“当代文明”的教学大纲规定了大部分的必读文本，留给教师一些自主权，介绍大纲外的材料。“文学人文”作品都集中在古代作家，如荷马、维吉尔、但丁、莎士比亚等，到最后一个月才有奥斯汀和伍尔夫的作品。

大一学生还要修习一学期的“科学前沿”和“大学写作”。一学期的“音乐人文”和“艺术人文”要在大学三年级前修完，班级人数也限定在20多人。“艺术人文”介绍了各时期的西方艺术家及代表作，教学大纲提供了书单和网络资源供学生阅读。除了小组讨论外，学生还将到附近的博物馆等地进行实地考察。“音乐人文”主要是向学生介绍西方的主要音乐流派及其重要的文化历史背景知识。“科学必修”为两学期，其中一学期可以从学院审定的课程列表中选择。“全球核心必修”要求先在初级的概览性的非西方文化课程中选择一门，然后再从深入分析的高级课程中继续选择一门相应的文化课，也可以再挑选一门概览性文化课程。概览性课程分为比较文明、非洲文明、东亚文明、拉丁美洲文明、中东文明和美国本土文明等六个部分。

三、哥伦比亚大学的通识教育对我国大学通识教育的启示

（一）要树立“以学生为本”的教育理念

通识教育是一种以人为本的教育。首先，教育者在教育过程中应充分认识到学生是具有独立个性的人，就像在自然界里我们不会找到完全相同的两片树叶一样，在任何学校和班级里我们都不会找到两个完全相同的学生，即使是双胞胎也有差别；其次，教育者应充分考虑到学生是生活中的人，学生的生活背景与实际都应在教育的各种要素和教育活动中得到充分反映，教育要素和教育活动要密切联系实际生活，回归生活，这样教育本身所具有的生活意义才能得以实现。

（二）要深入研究通识教育课程体系

课程设置是教学计划的核心内容，是实现专业培养目标和培养规格的中心环节。课程要依据知识经济对学生知识结构和能力结构的要求来设置，既要体现学科规律性和学科知识的内在联系，又要考虑学生身心的全面发展。

（三）强调通识教育的“核心课程”，改革教学方式

就我国通识教育课程内容及其授课方式而言，大部分是运用知识化和灌输化的思维方式来考虑通识教育课程的价值。授课方式大多以形式主义的灌输为主，进行大班授课，师生之间缺乏交流和互动，教师缺乏对学生批判性思维和创造性思维的培养和训练意识，学生的基本能力得不到提高。因此，要改变教学方式，进行小班授课，加强师生之间的交流与探讨。

［

参考文献］

［1］陈敏生，潘梅芳.美国大学通识教育的实践及其启示［J］.高教探索，2012（2）.

［2］贾宏春.美国大学通识教育对我国高等教育的启示［J］.教育探索，2011（1）.

篇3

（）必做1 袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个，已知从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.

（1）求n的值；

（2）从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.

①记“a+b=2”为事件a，求事件a的概率；

②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2>（a-b）2恒成立”的概率.

[牛刀小试]

破解思路 第（1）问n值可通过“等概率性”直接求解. 第（2）问第①小题基本事件数为有限个，属于古典概型问题，可分为第一次取0号球，第二次取2号球；第一次取2号球，第二次取0号球两种情况来求概率. 第②小题中x，y两个数都在连续的区间内取，基本事件数为无限个，属于“测度”为面积的几何概型问题.

精妙解法 （1）由题意可得==，解得n=2.

（2）①由于是不放回抽取，事件a只有两种情况：第一次取0号球，第二次取2号球；第一次取2号球，第二次取0号球. 所以p（a）===.

②记“x2+y2>（a-b）2恒成立”为事件b，则事件b等价于“x2+y2>4恒成立.

（x，y）可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为ω={（x，y）

0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈r}，

而事件b构成的区域b={（x，y）

x2+y2>4，（x，y）∈ω}，所以p（b）==1-.

误点警示 古典概型中的基本事件数一般通过分类求解，要注意“有放回与无放回”的区别，也要注意“有序与无序”的区别；利用几何概型求概率时，要注意寻找试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域，更要注意准确判定“测度”是面积型还是长度型.

（）必做2 某人居住在城镇的a处，准备开车到单位上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车时间的概率如图1（例如acd算两个路段：路段ac发生堵车事件的概率为，路段cd发生堵车事件的概率为）.请你为其选择一条由a至b的线路，使途中发生堵车的概率最小.

[e][f][b][a][c][d][][][][][][][]

图1

[牛刀小试]

精妙解法 由a至b的线路有三种选择：acdb，acfb，aefb. 按线路acdb来走，发生堵车的可能包括：三个路段中恰有一个发生堵车，或恰有两个发生堵车，或三个均发生堵车，其反面为三个路段均不发生堵车事件. 故途中发生堵车的概率为：1-

1-·1-

1-

=. 同理，按线路acfb来走，途中发生堵车的概率为：1-

1-1-

1-

=；按线路aefb来走，途中发生堵车的概率为：1-1-

1-

·1- []

=. 由于>>，故选择acfb的线路，途中发生堵车的概率最小.

（）必做3 从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.

（1）若抽取后又放回，抽3次，分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；

（2）若抽取后不放回，求抽完红球所需次数不少于4次的概率.

[牛刀小试]

破解思路 本题是典型的古典概型摸球问题.基本事件数的求解一定要注意“有放回与无放回”的区别，也要注意“有序与无序”的区别. 第（1）问是3次独立重复试验中事件发生2次的概率问题；而“三种颜色抽全”的有序排列共有a=6种，要防止误错为组合数来求解. 第（2）问是含“不少于”“至多”“至少”型题目，要理清各种可能的结果再求解，有时用间接法处理更为简洁.

精妙解法 （1）抽1次得到红球的概率为，得白球的概率为，得黑球的概率为.

所以恰2次为红色球的概率为p=c

2·=，抽全三种颜色的概率p=

×

×·a=.

（2）抽完红球所需的次数不少于4次有以下两种情况：

第一种，抽完红球所需的次数为4次时，p=·=.

第二种，抽完红球所需的次数为5次时，p==.

所以抽完红球所需的次数不少于4次的概率为：p=p+p=+=.

离散型随机变量的分布列、期望与方差

（）必做4 市职教中心组织厨师技能大赛，大赛依次设基本功（初赛）、面点制作（复赛）、热菜烹制（决赛）三个轮次的比赛，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，，且各轮次通过与否相互独立.

（1）设该选手参赛的轮次为ξ，求ξ的分布列和数学期望；

（2）对于（1）中的ξ，设“函数f（x）=3sinπ（x∈r）是偶函数”为事件d，求事件d发生的概率.

[牛刀小试]

破解思路 本例以实际问题为背景，考查离散型随机变量的分布列与数学期望.第（1）问较基础，随机数分类较好把握，概率求解考查独立事件的概率.可用恰当字母表示题中有关事件，将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个乘积之和，再利用乘法公式计算概率. 第（2）问联系三角函数的性质，有一定的综合性，但实际不难，属于古典概型问题.

精妙解法 （1）ξ可能取值为1，2，3.

记“该选手通过初赛”为事件a，“该选手通过复赛”为事件b.

p（ξ=1）=p（）=1-=；

p（ξ=2）=p（a）=p（a）p（）=×

1-=；

p（ξ=3）=p（ab）=p（a）p（b）=×=.

所以ξ的分布列为：

[ξ＼&1＼&2＼&3＼&p＼&＼&＼&＼&]

ξ的数学期望eξ=1×+2×+3×=.

（2）当ξ=1时， f（x）=3sinπ=3sin

x+=3cosx， f（x）为偶函数；

当ξ=2时， f（x）=3sinπ=3·sin

x+π=-3sinx， f（x）为奇函数；

当ξ=3时， f（x）=3sinπ=3·sin

x+π=-3cosx， f（x）为偶函数. 所以事件d发生的概率是.

极速突击 求离散型随机变量ξ的分布列、均值和方差的一般步骤：①理解ξ的

意义，写出ξ可能取值的全部值；②求出ξ取每个值的概率；③写出ξ的分布列；④由均值的定义求出eξ；⑤由方差的定义求dξ.

（）必做5 形状如图2所示的三个游戏盘中（图①是正方形，m，n分别是所在边中点，图②是半径分别为2和4的两个同心圆，o为圆心；图③是正六边形，点p为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏.

[m][n][o][p][①][②][③][图2]

（1）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？

（2）用随机变量ξ表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望.

[牛刀小试]

破解思路 解决本题的关键首先要理解好题意，将其归结为“测度”为面积的几何概型；另外一定要认真审题.

精妙解法 （1）“一局游戏后，这三个盘中的小球停在阴影部分”分别记为事件a1，a2，a3 .

由题意知，a1，a2，a3互相独立，且p（a1）=，p（a2）=，p（a3）=，

所以“一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为p（a1a2a3）=p（a1）p（a2）p（a3）=××=.

（2）一局游戏后，这三个盘中的小球停在阴影部分的事件数可能是0，1，2，3，相应的小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为3，2，1，0，所以ξ可能的取值为1，3.

由分析可得p（ξ=3）=p（a1a2a3）+p（）=p（a1）p（a2）p（a3）+p（）p（）p（）=××+ ××=；

p（ξ=1）=1-=.

所以ξ的分布列为：

[ξ＼&1＼&2＼&p＼&＼&＼&]

数学期望eξ=1×+3×=.

（）必做6 甲有一个装有x个红球、y个黑球的箱子，乙有一个装有a个红球、b个黑球的箱子，两人各自从自己的箱子里任取一球，并约定：所取两球同色时甲胜，异色时乙胜（a，b，x，y∈n?）.

（1）当x=y=3，a=3，b=2时，求甲获胜的概率；

（2）当x+y=6，a=b=3时，规定：甲取红球获胜得3分；取黑球获胜得1分；甲负得0分，求甲得分的数学期望达到最大时的x，y值；

（3）当x=a，y=b时，这个游戏规则公平吗？请说明理由.

[牛刀小试]

破解思路 本题由课本例题改造.第（1）问是常规的古典概型的求解，甲获胜的基本事件是甲、乙同红或同黑. 第（2）问联系最值问题，列出关系后，注意到x，y的整数条件，不可用均值不等式求解，应通过消元转化为一元函数求解.第（3）问如何理解“游戏规则公平”性并转化为概率大小问题求解是难点，可用作差法比较，本题还涉及分类讨论的思想.

精妙解法 （1）由题意可得，甲、乙都取红球的概率p1=×=，甲、乙都取黑球的概率p2=×=.

所以甲获胜的概率p=p1+p2=+=.

（2）令ξ表示甲所得的分数，则ξ的取值为0，1，3.

p（ξ=1）==；

p（ξ=3）==；

p（ξ=0）=1-p（ξ=1）-p（ξ=3）=1-=.

得ξ的分布列如下：

[ξ＼&0＼&1＼&3＼&p＼&＼&＼&＼&]

于是eξ=0×+1×+3×=.

又x，y∈n?且x+y=6，所以1≤x≤5，且eξ=，

故当x=5，y=1时，eξ的最大值为.

（3）法1：由题意，两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有c·c=（x+y）2种不同情形，每种情形都是等可能的，记甲获胜为事件a，乙获胜为事件b，则

p（a）==，p（b）==，

所以p（a）-p（b）=-=.

当x=y时，p（a）=p（b），甲、乙获胜的概率相等，这个游戏规则是公平的；

当x≠y时，p（a）>p（b），甲获胜的概率大于乙获胜的概率，这个游戏规则不公平.

法2：由题意，两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有c·c=（x+y）2种不同情形，每种情形都是等可能的，记甲获胜为事件a，则

p（a）==， 所以p（a）-=-=.

当x=y时，p（a）=，甲获胜的概率恰为，这个游戏规则是公平的；

当x≠y时，p（a）>，甲获胜的概率超过，这个游戏规则不公平.

法3：由题意，两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有c·c=（x+y）2种不同情形，每种情形都是等可能的，记乙获胜为事件b，则

p（b）==，所以p（b）-=-=-.

当x=y时，p（b）=，乙获胜的概率恰为，这个游戏规则是公平的；

当x≠y时，p（b）<，乙获胜的概率小于，这个游戏规则不公平.

本考点主要考查离散型随机变量及其分布列，考查离散型随机变量的均值（数学期望 ）与方差，但抽样方法、样本数字特征、频率直方图、计数原理等都可融入这类试题中，因此试题的综合性较强.试题一般以实际问题为背景，读懂题目，理解实际问题中蕴涵的数学意义是解题的关键，准确规范表达也是十分重要的.

抽样方法与总体分布的估计

（）必做7 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.

（1）求x和y的值；

（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；

（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.

参考公式： 方差s2=[（x1-） 2+（x2-）2+…+（xn-）2]，其中=.

[甲][乙][5 x 0 8 1 1 y][ 8 9 7 6][ 6 2 9 1 1 6] [图3]

[牛刀小试]

破解思路 第（1）问结合茎叶图利用平均数和中位数这两个概念可求出x和y的值. 第（2）问考查方差的计算公式. 对于第（3）问，先求得两个班中90分以上的学生数，注意“至少”条件的要求，概率求解可用“列举法”，也可用“间接法”.

精妙解法 （1）因为甲班学生的平均分是85，

所以=85，解得x=5.

因为乙班学生成绩的中位数是83，所以y=3.

（2）甲班7位学生成绩的方差为

s2=[（-6）2+（-7）2+（-5）2+02+02+72+112]=40.

（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为a，b；

乙班成绩在90分以上的学生有三名，分

别记为c，d，e.

从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）.

其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e）.

记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件m，则p（m）=.

所以甲班至少有一名学生的概率为.

极速突击 求解统计问题要善于形（直方图、茎叶图等）数（平均数、方差）结合；要注意频数、频率、概率，众数、中位数等概念的区分，还应明白概率统计是应用数学，常与其他数学知识相结合突出其应用性，尽管考题不难，仍要在阅读理解上多下文章.

（）必做8 某校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，被抽取学生的成绩均不低于160分，且低于185分，图4是按成绩分组得到的频率分布直方图的一部分（每一组均包括左端点数据而不包括右端点数据），且第3组、第4组、第5组的频数之比依次为3∶2∶1.

[] [o] [160][165][170][175][180][185][0.01][0.02][0.03][0.04][0.06][0.07][0.08][0.05][成绩][图4]

（1）请完成频率分布直方图；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩较高的第3组、第4组、第5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；

（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生由考官a面试，求第4组至少有一名学生被考官a面试的概率.

[牛刀小试]

破解思路 （1）由各组的频数之比可求出各组相应的频数，进而求出频率，完成直方图即可. （2）利用分层抽样的概念解题. （3）先求基本事件总的个数，再求满足条件的基本事件的个数，即可得到相应概率.

精妙解法 （1）由题意知第1、2组的频数分别为：100×0.01×5=5，100×0.07×5=35. 故第3、4、5组的频数之和为：100-5-35=60，从而可得其频数依次为30，20，10，其频率依次为0.3，0.2，0.1，其频率分布直方图如图5.

[o] [160][165][170][175][180][185][0.01][0.02][0.03][0.04][0.06][0.07][0.08][0.05][][成绩][图5]

（2）由第3、4、5组共60人，用分层抽样抽取6人. 故第3、4、5组中应抽取的学生人数依次为：第3组：×6=3人；第4组：×6=2人；第5组：×6=1人.

（3）由（2）知共有6人（记为a1，a2，a3，b1，b2，c）被抽出，其中第4组有2人（记为b1，b2）. 有题意可知：抽取两人作为一组共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c），（a3，b1），（a3，b2），（a3，c），（b1，b2），（b1，c），（b2，c）共15种等可能的情况，而满足题意的情况有（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），（b1，c），（b2，c）共9种，因此所求事件的概率为=.

（）必做9 为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表.

[分数（分数段）＼&频数（人数）＼&频率＼&[60，70）＼&9＼&x＼&[70，80）＼&y＼&0.38＼&[80，90）＼&16＼&0.32＼&[90，100）＼&z＼&s＼&合 计＼&p＼&1＼&]

（1）求出上表中的x，y，z，s，p的值；

（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序. 已知高一（二）班有甲、乙两名同学取得决赛资格.

①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；

②记高一（二）班在决赛中进入前三名的人数为x，求x的分布列和数学期望.

[牛刀小试]

破解思路 本题是一道概率与统计相结合的好题.第（1）小题首先要读懂表格的意义，利用概念求频数、频率、概率等. 第（2）小题第①问是关键，它是“有序”的排列问题，应把“甲不在第一位、乙不在最后一位”分类为“甲在最后一位与不在最后一位”两种情况来考虑，才不会重漏.第②问进入前三名的人数应在频数为[90，100）中寻求，可根据第①问的思路分类求分布列.

精妙解法 （1）由题意， p==50，x==0.18，y=50×0.38=19，z=50-9-16-19=6，s==0.12 .

（2）由（1）知，参加决赛的选手共6人.

①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件a，则p（a）==另解：p（a）=1-

=

，所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为.

②随机变量x的可能取值为0，1，2，

则p（x=0）==，p（x=1）==，p（x=2）==.

所以，随机变量x的分布列为：

[x＼&0＼&1＼&2＼&p＼&＼&＼&＼&]

因为ex=0×+1×+2×=1，所以随机变量x的数学期望为1.

本考点以实际问题为背景，考查频率分布直方图、茎叶图和用样本的数字特征估计总体的数字特征.要读懂表格的意义，利用概念求频数、频率、概率等，进而作出直方图；要弄清茎叶图中“茎”和“叶”分别代表什么；要熟练掌握众数、中位数、平均数、方差、标准差的计算方法.

回归分析与独立性检验

（）必做10 现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.

[频月收入

（单位百元）＼&频数＼&赞成人数＼&[15，25）＼&5＼&4＼&[25，35）＼&10＼&8＼&[35，45）＼&15

＼&12＼&[45，55）＼&10＼&5＼&[55，65）＼&5＼&2＼&[65，75）＼&5＼&1＼&]

（1）由以上统计数据完成下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；

[＼&月收入不低于55百元的人数＼&月收入低于55百元的人数＼&合计＼&赞成＼&a=＼&c=＼&＼&不赞成＼&b=＼&d=＼&＼&合计＼&＼&＼&＼&]

（2）若在[15，25），[25，35）被调查的人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列.

附：k2=.[p（k2≥k）＼&0.15＼&0.10＼&0.05＼&0.01＼&k＼&2.072＼&2.706＼&3.841＼&6.635＼&]

[牛刀小试]

破解思路 本题背景为当今热点问题.第（1）问考查独立性检验的方法，应先从频数分布表准确求得两组不同类变量值，代入公式计算k2，并与临界表的数进行比较判断. 第（2）问考查离散型随机量的分布列，难点在分解为若干个互相排斥或相互独立、既不重复又不遗漏的简单事件解决，因为抽取是“无序”的，可通过组合数的运算完成此小题.

精妙解法 （1）2×2列联表如下：

[＼&月收入不低于55百元的人数＼&月收入低于55百元的人数＼&合计＼&赞成＼&a=3＼&c=29＼&32＼&不赞成＼&b=7＼&d=11＼&18＼&合计＼&10＼&40＼&50＼&]

k2==6.27<6.635，所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.

（2）ξ所有可能取值有0，1，2，3，

p（ξ=0）=·=×=，

p（ξ=1）=·+·=×+×=，

p（ξ=2）=·+·=×+×=，

p（ξ=3）=·=×=.

所以ξ的分布列为：

[ξ＼&0＼&1＼&2＼&3＼&p＼&＼&＼&＼&＼&]

篇4

（）必做1 袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个，已知从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.

 

（1）求n的值；

（2）从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.

①记“a+b=2”为事件a，求事件a的概率；

②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2>（a-b）2恒成立”的概率.

[牛刀小试]

破解思路 第（1）问n值可通过“等概率性”直接求解. 第（2）问第①小题基本事件数为有限个，属于古典概型问题，可分为第一次取0号球，第二次取2号球；第一次取2号球，第二次取0号球两种情况来求概率. 第②小题中x，y两个数都在连续的区间内取，基本事件数为无限个，属于“测度”为面积的几何概型问题.

 

精妙解法 （1）由题意可得==，解得n=2.

（2）①由于是不放回抽取，事件a只有两种情况：第一次取0号球，第二次取2号球；第一次取2号球，第二次取0号球. 所以p（a）===.

②记“x2+y2>（a-b）2恒成立”为事件b，则事件b等价于“x2+y2>4恒成立.

（x，y）可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为ω={（x，y）

0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈r}，

而事件b构成的区域b={（x，y）

x2+y2>4，（x，y）∈ω}，所以p（b）==1-.

误点警示 古典概型中的基本事件数一般通过分类求解，要注意“有放回与无放回”的区别，也要注意“有序与无序”的区别；利用几何概型求概率时，要注意寻找试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域，更要注意准确判定“测度”是面积型还是长度型.

 

（）必做2 某人居住在城镇的a处，准备开车到单位上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车时间的概率如图1（例如acd算两个路段：路段ac发生堵车事件的概率为，路段cd发生堵车事件的概率为）.请你为其选择一条由a至b的线路，使途中发生堵车的概率最小.

 

[e][f][b][a][c][d][][][][][][][]

图1

[牛刀小试]

精妙解法 由a至b的线路有三种选择：acdb，acfb，aefb. 按线路acdb来走，发生堵车的可能包括：三个路段中恰有一个发生堵车，或恰有两个发生堵车，或三个均发生堵车，其反面为三个路段均不发生堵车事件. 故途中发生堵车的概率为：1-

 

1-·1-

1-

=. 同理，按线路acfb来走，途中发生堵车的概率为：1-

1-1-

1-

=；按线路aefb来走，途中发生堵车的概率为：1-1-

1-

·1- 

=. 由于>>，故选择acfb的线路，途中发生堵车的概率最小.

（）必做3 从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.

（1）若抽取后又放回，抽3次，分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；

（2）若抽取后不放回，求抽完红球所需次数不少于4次的概率.

[牛刀小试]

破解思路 本题是典型的古典概型摸球问题.基本事件数的求解一定要注意“有放回与无放回”的区别，也要注意“有序与无序”的区别. 第（1）问是3次独立重复试验中事件发生2次的概率问题；而“三种颜色抽全”的有序排列共有a=6种，要防止误错为组合数来求解. 第（2）问是含“不少于”“至多”“至少”型题目，要理清各种可能的结果再求解，有时用间接法处理更为简洁.

 

精妙解法 （1）抽1次得到红球的概率为，得白球的概率为，得黑球的概率为.

所以恰2次为红色球的概率为p=c

2·=，抽全三种颜色的概率p=

×

×·a=.

（2）抽完红球所需的次数不少于4次有以下两种情况：

第一种，抽完红球所需的次数为4次时，p=·=.

第二种，抽完红球所需的次数为5次时，p==.

所以抽完红球所需的次数不少于4次的概率为：p=p+p=+=.

离散型随机变量的分布列、期望与方差

（）必做4 市职教中心组织厨师技能大赛，大赛依次设基本功（初赛）、面点制作（复赛）、热菜烹制（决赛）三个轮次的比赛，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，，且各轮次通过与否相互独立.

 

（1）设该选手参赛的轮次为ξ，求ξ的分布列和数学期望；

（2）对于（1）中的ξ，设“函数f（x）=3sinπ（x∈r）是偶函数”为事件d，求事件d发生的概率.

[牛刀小试]

破解思路 本例以实际问题为背景，考查离散型随机变量的分布列与数学期望.第（1）问较基础，随机数分类较好把握，概率求解考查独立事件的概率.可用恰当字母表示题中有关事件，将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个乘积之和，再利用乘法公式计算概率. 第（2）问联系三角函数的性质，有一定的综合性，但实际不难，属于古典概型问题.

 

精妙解法 （1）ξ可能取值为1，2，3.

记“该选手通过初赛”为事件a，“该选手通过复赛”为事件b.

p（ξ=1）=p（）=1-=；

p（ξ=2）=p（a）=p（a）p（）=×

1-=；

p（ξ=3）=p（ab）=p（a）p（b）=×=.

所以ξ的分布列为：

[ξ＼&1＼&2＼&3＼&p＼&＼&＼&＼&]

ξ的数学期望eξ=1×+2×+3×=.

（2）当ξ=1时， f（x）=3sinπ=3sin

x+=3cosx， f（x）为偶函数；

当ξ=2时， f（x）=3sinπ=3·sin

x+π=-3sinx， f（x）为奇函数；

当ξ=3时， f（x）=3sinπ=3·sin

x+π=-3cosx， f（x）为偶函数. 所以事件d发生的概率是.

极速突击 求离散型随机变量ξ的分布列、均值和方差的一般步骤：①理解ξ的

意义，写出ξ可能取值的全部值；②求出ξ取每个值的概率；③写出ξ的分布列；④由均值的定义求出eξ；⑤由方差的定义求dξ.

 

（）必做5 形状如图2所示的三个游戏盘中（图①是正方形，m，n分别是所在边中点，图②是半径分别为2和4的两个同心圆，o为圆心；图③是正六边形，点p为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏.

 

[m][n][o][p][①][②][③][图2]

（1）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？

（2）用随机变量ξ表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望.

[牛刀小试]

破解思路 解决本题的关键首先要理解好题意，将其归结为“测度”为面积的几何概型；另外一定要认真审题.

精妙解法 （1）“一局游戏后，这三个盘中的小球停在阴影部分”分别记为事件a1，a2，a3 .

由题意知，a1，a2，a3互相独立，且p（a1）=，p（a2）=，p（a3）=，

所以“一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为p（a1a2a3）=p（a1）p（a2）p（a3）=××=.

（2）一局游戏后，这三个盘中的小球停在阴影部分的事件数可能是0，1，2，3，相应的小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为3，2，1，0，所以ξ可能的取值为1，3.

 

由分析可得p（ξ=3）=p（a1a2a3）+p（）=p（a1）p（a2）p（a3）+p（）p（）p（）=××+ ××=；

p（ξ=1）=1-=.

所以ξ的分布列为：

[ξ＼&1＼&2＼&p＼&＼&＼&]

数学期望eξ=1×+3×=.

（）必做6 甲有一个装有x个红球、y个黑球的箱子，乙有一个装有a个红球、b个黑球的箱子，两人各自从自己的箱子里任取一球，并约定：所取两球同色时甲胜，异色时乙胜（a，b，x，y∈n?）.

 

（1）当x=y=3，a=3，b=2时，求甲获胜的概率；

（2）当x+y=6，a=b=3时，规定：甲取红球获胜得3分；取黑球获胜得1分；甲负得0分，求甲得分的数学期望达到最大时的x，y值；

（3）当x=a，y=b时，这个游戏规则公平吗？请说明理由.

[牛刀小试]

破解思路 本题由课本例题改造.第（1）问是常规的古典概型的求解，甲获胜的基本事件是甲、乙同红或同黑. 第（2）问联系最值问题，列出关系后，注意到x，y的整数条件，不可用均值不等式求解，应通过消元转化为一元函数求解.第（3）问如何理解“游戏规则公平”性并转化为概率大小问题求解是难点，可用作差法比较，本题还涉及分类讨论的思想.

 

精妙解法 （1）由题意可得，甲、乙都取红球的概率p1=×=，甲、乙都取黑球的概率p2=×=.

所以甲获胜的概率p=p1+p2=+=.

（2）令ξ表示甲所得的分数，则ξ的取值为0，1，3.

p（ξ=1）==；

p（ξ=3）==；

p（ξ=0）=1-p（ξ=1）-p（ξ=3）=1-=.

得ξ的分布列如下：

[ξ＼&0＼&1＼&3＼&p＼&＼&＼&＼&]

于是eξ=0×+1×+3×=.

又x，y∈n?且x+y=6，所以1≤x≤5，且eξ=，

故当x=5，y=1时，eξ的最大值为.

（3）法1：由题意，两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有c·c=（x+y）2种不同情形，每种情形都是等可能的，记甲获胜为事件a，乙获胜为事件b，则

p（a）==，p（b）==，

所以p（a）-p（b）=-=.

当x=y时，p（a）=p（b），甲、乙获胜的概率相等，这个游戏规则是公平的；

当x≠y时，p（a）>p（b），甲获胜的概率大于乙获胜的概率，这个游戏规则不公平.

法2：由题意，两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有c·c=（x+y）2种不同情形，每种情形都是等可能的，记甲获胜为事件a，则

p（a）==， 所以p（a）-=-=.

当x=y时，p（a）=，甲获胜的概率恰为，这个游戏规则是公平的；

当x≠y时，p（a）>，甲获胜的概率超过，这个游戏规则不公平.

法3：由题意，两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有c·c=（x+y）2种不同情形，每种情形都是等可能的，记乙获胜为事件b，则

p（b）==，所以p（b）-=-=-.

当x=y时，p（b）=，乙获胜的概率恰为，这个游戏规则是公平的；

当x≠y时，p（b）<，乙获胜的概率小于，这个游戏规则不公平.

本考点主要考查离散型随机变量及其分布列，考查离散型随机变量的均值（数学期望 ）与方差，但抽样方法、样本数字特征、频率直方图、计数原理等都可融入这类试题中，因此试题的综合性较强.试题一般以实际问题为背景，读懂题目，理解实际问题中蕴涵的数学意义是解题的关键，准确规范表达也是十分重要的.

 

抽样方法与总体分布的估计

（）必做7 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.

 

（1）求x和y的值；

（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；

（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.

参考公式： 方差s2=[（x1-） 2+（x2-）2+…+（xn-）2]，其中=.

[甲][乙][5 x 0 8 1 1 y][ 8 9 7 6][ 6 2 9 1 1 6] [图3]

[牛刀小试]

破解思路 第（1）问结合茎叶图利用平均数和中位数这两个概念可求出x和y的值. 第（2）问考查方差的计算公式. 对于第（3）问，先求得两个班中90分以上的学生数，注意“至少”条件的要求，概率求解可用“列举法”，也可用“间接法”.

 

精妙解法 （1）因为甲班学生的平均分是85，

所以=85，解得x=5.

因为乙班学生成绩的中位数是83，所以y=3.

（2）甲班7位学生成绩的方差为

s2=[（-6）2+（-7）2+（-5）2+02+02+72+112]=40.

（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为a，b；

乙班成绩在90分以上的学生有三名，分

别记为c，d，e.

从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）.

 

其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e）.

记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件m，则p（m）=.

所以甲班至少有一名学生的概率为.

极速突击 求解统计问题要善于形（直方图、茎叶图等）数（平均数、方差）结合；要注意频数、频率、概率，众数、中位数等概念的区分，还应明白概率统计是应用数学，常与其他数学知识相结合突出其应用性，尽管考题不难，仍要在阅读理解上多下文章.

 

（）必做8 某校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，被抽取学生的成绩均不低于160分，且低于185分，图4是按成绩分组得到的频率分布直方图的一部分（每一组均包括左端点数据而不包括右端点数据），且第3组、第4组、第5组的频数之比依次为3∶2∶1.

 

[] [o] [160][165][170][175][180][185][0.01][0.02][0.03][0.04][0.06][0.07][0.08][0.05][成绩][图4]

 

（1）请完成频率分布直方图；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩较高的第3组、第4组、第5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；

 

（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生由考官a面试，求第4组至少有一名学生被考官a面试的概率.

[牛刀小试]

破解思路 （1）由各组的频数之比可求出各组相应的频数，进而求出频率，完成直方图即可. （2）利用分层抽样的概念解题. （3）先求基本事件总的个数，再求满足条件的基本事件的个数，即可得到相应概率.

 

精妙解法 （1）由题意知第1、2组的频数分别为：100×0.01×5=5，100×0.07×5=35. 故第3、4、5组的频数之和为：100-5-35=60，从而可得其频数依次为30，20，10，其频率依次为0.3，0.2，0.1，其频率分布直方图如图5.

 

[o] [160][165][170][175][180][185][0.01][0.02][0.03][0.04][0.06][0.07][0.08][0.05][][成绩][图5]

 

（2）由第3、4、5组共60人，用分层抽样抽取6人. 故第3、4、5组中应抽取的学生人数依次为：第3组：×6=3人；第4组：×6=2人；第5组：×6=1人.

 

（3）由（2）知共有6人（记为a1，a2，a3，b1，b2，c）被抽出，其中第4组有2人（记为b1，b2）. 有题意可知：抽取两人作为一组共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c），（a3，b1），（a3，b2），（a3，c），（b1，b2），（b1，c），（b2，c）共15种等可能的情况，而满足题意的情况有（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），（b1，c），（b2，c）共9种，因此所求事件的概率为=.

 

（）必做9 为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表.

[分数（分数段）＼&频数（人数）＼&频率＼&[60，70）＼&9＼&x＼&[70，80）＼&y＼&0.38＼&[80，90）＼&16＼&0.32＼&[90，100）＼&z＼&s＼&合 计＼&p＼&1＼&]

 

（1）求出上表中的x，y，z，s，p的值；

（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序. 已知高一（二）班有甲、乙两名同学取得决赛资格.

①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；

②记高一（二）班在决赛中进入前三名的人数为x，求x的分布列和数学期望.

[牛刀小试]

破解思路 本题是一道概率与统计相结合的好题.第（1）小题首先要读懂表格的意义，利用概念求频数、频率、概率等. 第（2）小题第①问是关键，它是“有序”的排列问题，应把“甲不在第一位、乙不在最后一位”分类为“甲在最后一位与不在最后一位”两种情况来考虑，才不会重漏.第②问进入前三名的人数应在频数为[90，100）中寻求，可根据第①问的思路分类求分布列.

 

精妙解法 （1）由题意， p==50，x==0.18，y=50×0.38=19，z=50-9-16-19=6，s==0.12 .

（2）由（1）知，参加决赛的选手共6人.

①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件a，则p（a）==另解：p（a）=1-

=

，所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为.

②随机变量x的可能取值为0，1，2，

则p（x=0）==，p（x=1）==，p（x=2）==.

所以，随机变量x的分布列为：

[x＼&0＼&1＼&2＼&p＼&＼&＼&＼&]

因为ex=0×+1×+2×=1，所以随机变量x的数学期望为1.

本考点以实际问题为背景，考查频率分布直方图、茎叶图和用样本的数字特征估计总体的数字特征.要读懂表格的意义，利用概念求频数、频率、概率等，进而作出直方图；要弄清茎叶图中“茎”和“叶”分别代表什么；要熟练掌握众数、中位数、平均数、方差、标准差的计算方法.

 

回归分析与独立性检验

（）必做10 现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.

[频月收入

（单位百元）＼&频数＼&赞成人数＼&[15，25）＼&5＼&4＼&[25，35）＼&10＼&8＼&[35，45）＼&15

＼&12＼&[45，55）＼&10＼&5＼&[55，65）＼&5＼&2＼&[65，75）＼&5＼&1＼&]

 

（1）由以上统计数据完成下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；

[＼&月收入不低于55百元的人数＼&月收入低于55百元的人数＼&合计＼&赞成＼&a=＼&c=＼&＼&不赞成＼&b=＼&d=＼&＼&合计＼&＼&＼&＼&]

（2）若在[15，25），[25，35）被调查的人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列.

附：k2=.[p（k2≥k）＼&0.15＼&0.10＼&0.05＼&0.01＼&k＼&2.072＼&2.706＼&3.841＼&6.635＼&]

[牛刀小试]

破解思路 本题背景为当今热点问题.第（1）问考查独立性检验的方法，应先从频数分布表准确求得两组不同类变量值，代入公式计算k2，并与临界表的数进行比较判断. 第（2）问考查离散型随机量的分布列，难点在分解为若干个互相排斥或相互独立、既不重复又不遗漏的简单事件解决，因为抽取是“无序”的，可通过组合数的运算完成此小题.

 

精妙解法 （1）2×2列联表如下：

[＼&月收入不低于55百元的人数＼&月收入低于55百元的人数＼&合计＼&赞成＼&a=3＼&c=29＼&32＼&不赞成＼&b=7＼&d=11＼&18＼&合计＼&10＼&40＼&50＼&]

 

k2==6.27<6.635，所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.

（2）ξ所有可能取值有0，1，2，3，

p（ξ=0）=·=×=，

p（ξ=1）=·+·=×+×=，

p（ξ=2）=·+·=×+×=，

p（ξ=3）=·=×=.

所以ξ的分布列为：

[ξ＼&0＼&1＼&2＼&3＼&p＼&＼&＼&＼&＼&]

本部分内容是新课标数学的新增内容，主要考查线性回归分析和独立性检验的统计方法.