高中数学特征范文

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篇1

多年的高中数学教学，让笔者开始思考一些本源性的问题，譬如什么是高中数学？高中数学的价值又是什么？高中数学的特征又有哪些？数学特征是数学有别于其他学科的关键所在，自然也是数学教学的重要着力点所在. 教学生数学，不仅是教学生积累数学知识，更重要的是能够通过数学及其数学的特征，发现身边的事物中存在的数学属性，以让学生不仅能够在形式上靠近数学，也能够在本质特征上靠近数学. 高中学生有其明显的年龄特征，这个年龄的学生擅长于理性思维，喜欢思考一些相对深刻的问题，在这样的认知特点的基础上，如果高中数学教学还只是机械的知识积累，那显然是满足不了学生的学习需要的（并不是说知识积累不重要，而是说高中数学教学不能完全局限于知识的积累）. 而如果带着学生去认识数学特征，或者说带着学生从数学特征的角度去认识高中数学，既不会影响学生的基本应试技能，同时又能够从更高层次上引导学生与数学之间有一个更为强烈的共鸣.

[?] 高中数学及其实质与特征概述

“高中数学”可谓是高中数学及其教学中最为基本的一个概念，因为基本，所以常常为师生所忽视；因为基本，所以常常无法引起更多的思考. 而事实上，近年来的教学研究正有一种向本源回归的趋势，人们在经过了新课程改革所带来的太多的时髦概念的洗礼之后，有了一种思考基本概念的愿望，希望能够回到教学的出发点，从本源概念去思考本学科教学的意义与价值. 作为高中数学教师，笔者的思考也正是从“高中数学”这一概念开始的.

一个基本的认识是，“数学是研究数与形的科学”，对于高中学习而言，这里的数与形多指具有一定难度的空间形式与数量关系. 又有人说，数学作为一门基础科学，其是自然科学及技术科学的基础，在社会发展的各个领域发挥着重要的作用. 笔者从高中数学教学的实际出发，结合他人的一些研究成果，就高中数学作出这样的理解：高中数学首先是一门科学. 这与传统的认识有所不同，学生提到科学，往往想到的是自然科学，而事实上，高中数学作为数学学习的一个重要阶段，其在传播科学精神方面有着重要作用，数学作为自然科学的工具也在其他学科中有着广泛的运用. 高中数学其次是一门哲学. 将高中数学视作哲学是一个挑战，同时也是适切高中学生思考需要的，如上所说，高中学生喜欢深刻思考，而哲学恰恰能够给学生的思维带来这一挑战，结合高中数学知识去向学生提供一些数学发展史，可以给学生带来一些基本的数学思考. 高中数学还是艺术. 高中数学的高度抽象性以及高度抽象之后的简洁性，可以让学生体会到数学通过数与形将复杂具体的事物作了高度抽象，且抽象的结果能够体现出形的简洁与量（尤其是等量关系）的美.

基于对什么是高中数学的思考，再来看高中数学的实质，会发现问题的回答变得相对简单：高中数学的价值就在于引导学生在高中数学学习的过程中，形成用数学目光看待事物的能力与习惯. 这里的数学目光是指数学方法（形成于学生的数学学习与解题过程当中）、数学思想以及数学精神. 而这与课程标准所倡导的“在发展和完善人的教育中，在形成人们认识世界的态度和思想方法方面，在失去社会进步和发展进程中起着重要作用”是一致的.

然后再来看高中数学的特征，就会发现高中数学在义务教育阶段数学学习的基础上，具有这样的一些特征：其一，基础性. 尽管高中数学难度更高，但仍然属于基础性数学的一部分，只不过这种基础应当是学生接受更高层次数学教育的基础. 其二，抽象性. 高中数学的抽象性是不言而喻的，无论是函数还是概率，基本上都是在与抽象的对象打交道. 其三，前瞻性. 当前的高中数学内容是以新的课程标准为基础的，能够更好地带领学生进入高等数学的概率、矩阵、微积分等，这种知识更新的背后实际上是数学思维的更新，可以让学生带着这些知识背后的数学思维更好地与社会需要进行衔接. 其四，可选性. 高中数学既有必修模块，又有选修模块，这为不同学生基于不同的需要提供了多种选择的可能.

[?] 高中数学的基本特征及其例析

考虑到高中数学及其价值都是在教学过程中体现出来的，考虑到更具操作性的是在实际教学中引导学生去认识高中数学的特征，因此这里想重点就高中数学的教学内容，对高中数学的特征做一些解读.

对于基础性，可以以“算法初步”这一内容为例进行分析. 这是之前不曾有过的内容，但又是数学甚至是生活中的一种基本的行为，比如教材中所举的猜商品价格的例子，又比如说生活中买卖商品时讨价还价的例子，都与算法有关.而对于算法的定义“一般而言，对一类问题的机械的、统一的求解方法”则需要引导学生进行基础性理解，尤其是对于“求解方法”这一概念而言，需要引导学生认识到对于任何一个数学问题，求解方法都是必要的，而机械的、统一的求解方法听起来不上档次，实际上却是绝大多数人遇到问题时的正常思维.教学中，必须引导学生关注这种基础性.

对于抽象性. 抽象性是数学最为本质的特征，也是高中数学教学中最需要引导学生体验的特征，笔者在高中数学教学的第一课开始，就引导学生去关注数学的抽象性. 比如“集合”的教学，生活中类似于教材所举的“我家有爸爸、妈妈和我；我来自第三十八中学；我现在的班级是高一（1）班，全班共有学生45人，其中男生23人，女生22人”等的例子，就是实际生活中事物的描述方式，而这种方式经过抽象之后可以以“集合”来作为描述方式. 这里也需要认真研究集合以及元素等基本概念的定义，比如“一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合”这一定义，笔者以为就不能过快地告诉学生，而应当通过丰富的实例来进行分析与抽象，也就是说在教材所提供的一个例子的基础上，教师应当更多地向学生提供一些例子，让学生对着这些实例去分析，更主要的是抽象. 在得出集合的定义之后，还要引导学生回过头来看看这一定义的概括性，因为概括是抽象的必然结果，当将实际事物抽象成元素时，将实际事物的群体抽象成集合时，学生就会认识到抽象对于建立数学模型来说是必不可少的一个步骤.

对于前瞻性，实际上在基础性所举的“算法初步”例子中已经有所体现，为什么要将这一内容纳入高中数学教学，就是因为其实际上是现代信息社会的一种需要，没有基本的算法及逻辑知识，那基本上是无法有效融入这一信息社会的. 因此，类似于此的内容纳入教材，就是前瞻于学生的未来的.

对于可选性. 这主要是相对于选修模块而言的，选修模块中的内容数学性更强，对于理科的学生来说是思维拓展的需要. 以选修2-1中“圆锥曲线与方程”这一内容而言，教师不能完全以传统的思路来看待，而应当看到“圆锥曲线”是一个概括性的概念，对于具有一定数学天赋或者对数学感兴趣的学生而言，是一个借助于数学认识事物的机会，选椭圆、双曲线、抛物线而修之，并概括以圆锥曲线的统一定义，寻找到曲线以及描述它们的方程，是一个纯粹的数学探究的过程，在其中可以享受到数学探究的兴趣. 这对于选而修之的学生而言，原本就是慎重选择的结果.

[?] 基于数学特征的高中数学教学

关注了高中数学及其价值，尤其是研究了高中数学的基础性、抽象性、前瞻性以及可选性之后，再来看待基于数学特征去实施教学，会发现其对传统的教学思路与方式有着重要的补充意义.

篇2

数学体系本身是开放的，学生的思维活动也是开放的。《标准》中指出：数学探究活动应将课内与课外有机地结合起来。学生在探究过程中，查询资料、收集信息、阅读文献等一系列探究活动，这都体现了学习时间地点的开放。探究问题的方式是多样化的，不再是以教师讲授数学知识为主，而是更多的是要求学生进行自主探索以及与他人进行合作交流。在数学探究中，学生的活动方式有个人独立探索，小组合作探索和教师指导探索，这些方式的存在说明学生方式的开放性。在数学探究中，由于学生采用不同的探究形式，对问题的最终结论也是不一样，允许不同的学生按各自的能力和所掌握的资料，用自己的思维方式去得出不同的结论，它并不追求结论的唯一性和标准化，这种开放性的特点有利于学生创造性思维品质的培养。

2 数探究课题选择具有多样化

开展数学探究活动，需要教师的指导而不是讲解。在数学探究中，课题的选择至关重要。所选择的课题要帮助学生达成对数学知识的理解，要有助于学生体验这一探究的过程，有助于学生形成探究的意识，有助于学生的想象力和创造性的培养和形成。也正是因为有了这些选题的标准，选题的范围很广，内容多样，既可以由学生自己自行选择题目进行探究，也可以由教师提出；既可以由小组共同协商确立探究范围，也可以由教师提出主课题、学生确立子课题。可供选择的课题范围：（1）选择教材提供的案例为课题。（2）选择教材背景材料为课题.（3）选择教师提供的案例为课题。（4）选择学生在学习数学知识、技能、方法、思想的过程中发现和提出的问题为课题。(5)选择日常生活中与数学有关的问题为课题。(6)选择与数学竞赛有关的内容为课题。当然，数学探究课题活动内容的丰富性并不仅体现在数学的广泛性，一些形式多样、手段不一的数学操作、实验活动，特别是数学与计算机的天然联系给数学探究实验带来了新变化，使得数学课题探究活动更加生动和丰富。

3 探究中学生具有探究的主动性

首先，教师从知识的传授者转向了学生自主活动的指导者。在这种学习活动中，教师不再告诉学生每一步该怎样进行，而是给学生提供各种各样的数学方法并在学生面临解决数学问题出现各种困境而无法继续的情况下，适当地进行指导。教师从知识的传授者变成了学生活动的指导者和协助者。

其次，学生学习的主体性得到了充分的张扬。在数学探究性学习中，探究的数学问题的确定，论证和推导的进行，结论的作出等，都是在学生自主探究的情况下进行的，这个过程教师是不可能包办的。学生是学习的真正主人，能够独立获取知识，对相关信息的收集、分析和处理，不断地进行猜想、论证、改进，得出结论，从而实际感受和亲身体验数学知识的产生过程，并逐步形成研究科学的积极态度。教师将由过去的主宰者转变为教学活动的组织者、指导者、参与者和研究者，不再包办一切。

在数学探究过程中，无论在时间和空间方面，学生都拥有高度的自主性和积极性，学生不再是作为知识的被动容纳者，一味地只听教师一再重复的知识，而是自己提出问题，经过整理和探究，最终自行解决问题，得出相应的结论。

4 数学探究方法的多样性

数学探究尤其重视学生的思维方式。思维方式的不同，探究的方法也就不同。数学理论产生的方式有多种，其中归纳、类比、联想、逻辑演绎、反思等方式是最主要的几种。归纳和演绎是从特殊到一般与一般到特殊的两种不同的思维形式，是问题研究的常用方法。教材中的概念、定理等多是以演绎的方式呈现，忽视了知识的探究、发展过程。类比是常用探究一个事物与其他事物的联想与区别，揭示事物的本质与规律。

5 数学探究的结果通过数学交流展现

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在多数《高数》教材中，特征值与特征向量的引入是为了研究线性空间中线性变换A的属性，其定义如下：设A是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中的一数λ，存在一个非零向量？孜∈V使得A？孜=λ？孜那么λ称为A的一个特征值，而？孜称为A的属于特征值λ的一个特征向量。

在大部分《线数》教材中，特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成部分，其定义如下：设A是数域P上的一个n阶方阵，若存在一个数λ∈P以及一个非零n维列向量 使得Ax=λx则称是矩阵A的一个特征值，向量x称为矩阵A关于特征值λ的特征向量。

从表面上看，这是两种关于特征值与特征向量完全不同的定义，但实际上它们之间的关系是线性代数理论中最为精彩的一页。

一、对于具体的数字矩阵A=（aij）n×n，求A的特征值与特征向量的步骤

第一步由A-λE=0求得A的n个特征值，设λ1，λ2，…λt是A的互异特征值，其重数分别为r1，r2，…，rt，且r1+r2+…+rt=n.

第二步求解齐次线性那个方程组（A-r1E）x=0（i=（1，2，…，t）其基础解系就是A对应特征值λ1的线性无关的特征向量，设基础解系为Pi1，Pi2，…Pit（1≤si≤ri）则A对应特征值λ1的全部特征向量为ki1Pt1+ki2Pt2+…+kisiPtsi（ki1，ki2，…，kisi不全为0）

注1：求特征多项式A-λE时最好先用行列式性质化简，并提取λ的一次多项式，然后展开计算。如果求出n阶A的特征多项式如A-λE=（-1）nλn+an-1λn-1+…+a1λ+a0，且其中ai（i=0，1，2，3…，n-1）均为整数，则A得整数特征值（如果存在）应该是常数项a0的因子，因此可以通过对a0的所有整数因子的验证来求出A的特征值（北京大学数学系几何与代数教研小组编写的高等代数教材第二版第一章第9节有理系数多项式的定理12）。

注2：计算特征多项式是难点，方法一，观察特征矩阵的每一行之和，若相等均为a，则将第2列及以后各列都加到第1列，提公因子，再化简，并且a就是其中的一个特征值，（1，1…，1）r为A的属于特征值a的特征向量。方法二，将特征矩阵的两个非零常数（不含参数λ）之一化为零，若有公因子，提出再化简。

由上可知，求特征值与特征向量是比较烦琐的。由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值方可由方程组求特征向量。由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，而且只有先求出特征值方可由方程组求特征向量。下面我们换一种思路，讨论矩阵特征值与特征向量是否可以同步求解。

二、矩阵特征值与特征向量的同步求解法

以上给出了一般方阵同步求解特征值和特征向量的方法，下面将方阵加以限制，我们将讨论用不同于上述的方法同步求解可化为对角型方阵的特征值和特征向量。

为了定理的叙述方便，先给出一个定义。

把矩阵的下列三种变换称为行列互逆变换：

（1）互换i，j两行，同时互换i，j列；（2）第i行乘非零数k，同时第i列乘■；（3）第i行k倍加入第j行，同时第j列-k倍加入第i列a4=（-1 1 1 -1）T

从以上看出，可对角化的矩阵用以上方法同步求特征值和特征向量可行，下面把可对角化的矩阵推广到任意n阶方阵，仍用此法同步求特征值和特征向量。

以上主要研究了关于特征值与特征向量的几个问题，首先是对矩阵的特征值与特征向量的求法进行了改进，接着通过分了五种类型来探讨通过特征值与特征向量来解原矩阵的几个类型，最后给出了应用特征值与特征向量来求可逆矩阵T，使T-1AT成若尔当标准形的方法，希望通过本文，能对矩阵的特征值与特征向量有更深层次的理解，能对矩阵理论的研究有一定的帮助。

参考文献：

[1]陈光大.高等代数习题详解[M].华中科技大学出版社，2006.

[2]王萼芳，石生明.高等代数辅导与习题解答[M].高等教育出版社，2007.

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二、探索性

数学的研究性学习能够培养学生思维的敏捷性和发散性，在认识数学本质的过程中发现数学独一无二的科学性美感，激发学生的学习兴趣，因材施教．鼓励学生自主命题，自主探究，自行解决问题．例如，在讲“等比数列”时，教师可以应用一个有趣的例子，激发学生的研究学习欲望．某人卖马一匹，得钱156卢布．但是买主买到马以后又懊悔了，要把马退还给卖主，他说这匹马根本不值这么多钱．于是卖主向买主提出了另一种计算马价的方案，如果你嫌马太贵了，那么就只买马蹄上的钉子好了，马就算白送给你．每个马蹄铁上有6枚钉子，第一枚钉子只卖1个戈比(1卢布等于100戈比)，第二枚卖2个戈比，第三枚4个戈比，后面每个钉子价格依此类推．买主认为钉子的价值总共也花不了10个卢布，还能白得一匹好马，于是就欣然同意，结果买主算账后才明白上当．听到这里，学生一定会产生极大的兴趣，为什么买这么便宜的钉子还上当了呢?学生纷纷讨论，研究．通过学生的研究，不一会，就有学生通过以前所掌握的数学知识，列出了1+21+22+23+24+……这样的式子．可是学生没有学过等比数列，不知道这个式子的算法，于是自然地引出了今天的教学内容———等比数列．这种趣味性的教学导入方式，激发了学生的探究兴趣，从而提高了教学效率．

三、实践性