弹性经济学概念范文

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[中图分类号] G64 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2017）01-0030-03

一、我校数学课程的教学现状和境外生的学习情况

境外生是我校生源的一大特色，他们主要是来自中国大陆之外的港澳台学生以及东南亚等世界各地的华侨、华人，有着不同的文化背景. 由于文化成长环境的不同以及教育理念的差异，与境内生相比，境外生的数学基础普遍比较薄弱。教学体系的不同造成境外生的知识结构不够全面。另外，境外教育更注重知识的应用，理论性没有中国大陆强，境外生缺少长期系统的训练，计算能力、理解能力普遍较差。这些客观条件的存在，使得境外生学习数学课程困难重重。[1][2] 因此，我校对数学课程采用了分流教学的制度，对境外生实行单独开班教学。这种教学手段虽然在一定程度上解决了境外生学习数学的一些困难，但是没有从根本上解决问题。我们应根据境外生的知识结构、学习能力以及专业特色，对教学内容、教学方法以及教学理念做相应的调整。首先，我们要切实考虑到境外生的实际情况，降低学习难度，深入了解各专业学生的专业背景，看他们的专业要用到什么样的数学知识，分专业、分难度地进行教学。其次，我们应加入一些数学文化，渗透数学思想，拓展境外生的知识面，避免境外生有知识无文化的现象出现。数学文化和数学思想可以对境外生起到潜移默化的作用。最后，在具体的教学环节当中，我们应想办法让抽象、深奥的数学概念变得浅显易懂，让境外生看得见，摸得着。对于数学基础薄弱的境外生而言，这一点显得尤为重要。

二、概念形象化教学的必要性

众所周知，数学概念在数学学习中有着举足轻重的作用。传统的数学教学模式往往要求概念定理表述完整，证明过程严谨，这样的模式完全符合我们要求的严谨治学的学术态度，但是实际操作起来，却容易让人感得枯燥烦琐。 特别是对基础较差的境外生而言，他们面对晦涩难懂的概念，学习兴趣骤减，学习效果可想而知。境外生学不懂，教师教不会，教学效率低下。因此，在教学过程中，我们应转变传统的数学教学模式，方式上绕过刻板又严谨的概念表述，采用直观等感性方式使概念形象化，帮助境外生认识、理解概念[3]，内容上强调“是什么，怎么做”，少问甚至不问“为什么”，注重与后续课程的衔接，使境外生感受到学有所用。我们要不断地从几何、物理及生活当中挖掘素材，尽量使概念更加生活化，力求做到简洁明了、形象生动，让境外生看得见，摸得着，从感性上认识、理解概念。

三、概念形象化教学范例

我们从《微积分》的一些基础概念入手，谈一谈在具体教学过程中怎样使概念形象化，使学生更加容易理解数学的基本概念。

【例1】函数极限概念的形象化教学模式。

一般教科书上关于函数极限的概念都用“ε-δ”语言来定义[4][5]，这对境内生而言，尚且有一定的难度，对境外生来说，简直是天书一般。所以在讲解极限概念时，我们可以避开纯数学语言的描述，用形象化语言来定义极限，并通过函数图像帮助境外生理解极限概念。

我们从直观例子入手，介绍人们对极限的认识。生活中，人们经常说“我的忍耐力已经达到了极限。”“警报声达到极限，然后戛然而止。” 通俗来讲，所谓“极限”就是无限趋近于一个固定的数值或状态。刘徽的“割圆术”中，作圆的内接正多边形，当边数越来越多时，正多边形的极限状态就是一个圆，正多边形面积的极限就是圆的面积。

在数学里，当函数y = f（x）中的自变量x渐渐趋近于某个定值时，该函数的函数值y也会逐渐趋近于一个值，这个值就是函数的“极限”。以函数f（x） = x+1为例，显而易见，对于所有的实数x，f（x）都是有意义的。 我们从数值变化和函数图像两方面来看，当自变量x渐渐趋近于1时，函数值f（x）的变化如下。

四、总结

关于概念形象化教学的例子还有很多，比如介绍函数连续和可导的关系时，我们可以形象地描述“对一个函数（即一条曲线），连续是连绵而不间断，可导是光滑而不打折”；介绍函数的极值时，我们可以说“极值就是函数在局部范围内的最大值和最小值”；介绍原函数和不定积分的概念时，我们可以说“原函数就是一个函数求导之前的原来的那个函数”“不定积分就是求导之前的原函数的全体”；介绍定积分的基本性质时，我们可以避开严格的数学证明，从定积分的几何意义入手。我们要从平时的教学实践当中不断探索有效的教学方法，帮助境外生理解和掌握知识，提高教学效率。对于学有余力的境外生，可以要求他们在概念形象化理解的基础上，进一步掌握概念、定理的完整表述和证明思想，追求数学的严谨性。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 杨振铭.侨校境外生学习现状的思考与策略探究――以华侨大学为例[J].南昌教育学院学报 高等教育，2012（10）：89-90.

[2] 柳向东，刘懿莹.提升外招生的学习兴趣――以暨南大学为例[J].科技文汇（下旬刊），2010（11）：19-21.

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中图分类号：F752 文献标识码：A 文章编号：1001-828X（2014）09-00-01

一、奢侈品的概念及特殊性介绍

奢侈品一般被定义为一种超出人们生存与发展需要范围的，具有独特、稀缺、珍惜等特点的消费品。以尼尔.菲斯克为代表的观点认为，奢侈品指的是这样的一些产品或服务，它们比同类商品中的其他产品或服务质量更好，品位更高，也更让消费者们心驰神往，这些商品价格不菲，但是还不至于昂贵得让人们可望而不可及。奢侈品具有以下特征：高价格和高品质特征、稀有性特征、炫耀性特征、地域性特征、文化特征。消费者购买奢侈品包括炫耀性动机、领先动机、从众动机、社交动机、追求品质精致动机、自我享乐动机、自我赠礼动机、表现内在动机。正是由于奢侈品的种种特征，造就了各种消费动机，同时使得奢侈品的价格远远大于其实际生产价格，使得奢侈品成为经济市场中一种特殊商品。

二、奢侈品的特点

综观奢侈品消费行为及消费心理，可以看出，奢侈品消费具有以下两个特点：一是具有较强的需求收入弹性。与日常生活所需必需品不同，奢侈品的需求收入弹性大于1，即其需求增长速度大于收入增长速度。EX=（dX/dL）*（L/X）>1，EX为奢侈品的需求收入弹性；X表示奢侈品；L表示收入。二是特殊的效用函数。对于购买奢侈品的消费者而言，其效用函数不仅与购买数量有关，同时受到奢侈品价格影响。用U=UX（Y，PX）（其中X、Y指两种奢侈品，P是奢侈品X的价格）表示奢侈品的效用函数。本文将以经济学的分析方法对奢侈品进行分析。

三、相关经济概念

在消费者理论中首当其冲的问题是消费者面临市场如何选择商品，为此引入了消费者偏好和效用的概念。简单地说，消费者偏好是指消费者对商品或劳务的喜好程度。效用是衡量消费者对某种商品或劳务的偏好程度，是消费者的一种主观感受，消费者认为某商品的效用高即该商品能够给消费者带来高程度的满足感。效用函数，为定义在n维商品空间上的实函数，U=U（x），其中U（x）表示消费者对商品x的效用值。

四、奢侈品与普通商品

经济学中讲求效用最大化原理。经济学的基本假设就有人们都是理性经济人追求效用或收益最大化的假设。理性人对商品的选择是在能够拥有的信息条件下对成本和收益的比较。但是奢侈品市场中，消费者在同样的实用价值的情况下会选择比普通商品价格高出几十倍的奢侈品，这在表面上看来是不符合理性经济人的假设的。但是在实际生活别是随着经济的发展，奢侈品市场日益繁荣，究其原因是消费者通过奢侈品消费可以获得消费普通产品无法获得的效用。

运用数学的分析方法可以得到加入奢侈品，消费者效用最大化公式变为MaxU（X1，X2）；s.t.P1X1+P2X2

五、奢侈品的精神利益

效用是一个与消费者的内心主观感受相联系的概念，可以说内在心理机制是效用形成的根本原因，由此我们可以建立一个与消费者心理相联系的，重点分析偏好的效用模型，将商品产生的效用分解为物质层面的效用和精神层面的效用。由佛洛依德的精神分析的相关理论和人格构成存在差异的理论分析我们可以得出，商品物质层面的效用与精神层面的效用所占效用比重大小是不同的，同时不同的消费者精神层面的效用也是存在较大差异的。为了描述商品对消费者精神层面的效用差异，定义消费者对某一商品精神利益的心理敏感程度为精神指数，用θ表示。以此为基础，我们来分析，关于奢侈品的消费选择模型。

为了简化问题，同时使问题的分析更具有针对性，我们作出如下假设：一是假设消费者的收入、产品价格以及产品满足消费者的物质利益点为外生变量。二是假设理性经济人追求物质利益与精神利益总和的最大化。

根据以上假设与分析，构建基于精神偏好的消费选择模型。

物质层面的效用受到商品数量q的影响，且效用随着商品数量的增加而增加，物质效用函数为：u1=u（q）且du1/dp≥0

精神利益通过精神指数的强度来影响消费者效用的大小，且精神指数与精神效用是单调增函数关系，强度为零时，精神效用为零，精神效用函数为：

u2=u（θ）且du2/dθ≥0，u2（0）=0

现有两种同类商品i和j，消费者偏好取决于i、j的精神利益和物质利益和的效用的大小。所以i和j的总效用差为：

ΔU=[u1（qi）+u2（θi）]-[u1（qj）+u2（θj）]

其中，ΔU为商品i与j的总效用差，qi、qj分别为i、j商品的数量，θiθj分别为i、j商品的精神指数。

假设u1（qi）=u1（qj），则：ΔU=u1（θi）-u1（θj）

由上式可知，消费者偏好取决于精神指数的大小。根据消费者对商品i和j的精神利益敏感度的不同，对消费者行为的分析可得出下列三个结论：

第一，两种商品仅满足消费者物质利益的需求，消费者对i、j的精神利益均不敏感或者完全感受不到，精神指数为零。

第二，商品i满足消费者精神利益需求且消费者对精神利益敏感，消费者对商品j的精神利益完全不敏感，即θi0，θj=0，则有ΔU=u2（θi）。偏好完全取决于商品i的精神指数。

第三，当商品i和j的精神指数均不为零时，即θi≠0，θj≠0，消费者选择取决于二者精神指数的大小。

六、结束语

奢侈品是社会经济高度发达的产物，运用经济学的相关理论和数学的相关方法我们能够对奢侈品市场进行深度的剖析，分存在的问题，提出相应的对策。

参考文献：

[1]高敏.自我损耗对品牌标识炫耀性选择的影响研究.上海交通大学硕士学位论文，2011.

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摘 要：当前国内外经济趋势实践使经济周期问题研究再次被提上日程，但就目前教科书层面的经济学而言，并不存在被一致认同经济周期模型。本文基于新奥地利学派提出的资本性商品概念，结合系统科学反馈机制原理学说，构建了“均衡点漂移”泡沫经济（周期）模型。结合中国经济数据，本文对模型进行了计量检验，检验结果显示，除个别时点，就样本总体而言（1978-2015），我国经济泡沫关系并不明显，经济运行总体平稳。

关键词 ：资本性商品；泡沫性经济周期；均衡点漂移模型；市场分割性质

中图分类号：F724.5文献标识码：A文章编号：1673-260X（2015）08-0111-05

1 背景

自2010年最后一个两位数增长以来我国经济运行一直呈下行趋势，经济增长势头回落使经济周期问题被重新关注。然而，关于经济周期问题，还尚无清晰的理论描述，教科书中关于此问题大多语焉不详，经济实践活动中，更加显得疑问多多，无从把握。

回顾经济周期问题的研究历史，会发现如下几个事实：其一，凯恩斯曾经提到过经济周期问题，认为经济周期是资本边际效率的周期性波动所致，但他并没有进行更深入的继续探索，可以认为，凯恩斯理论是一种紧紧抓住衰退环节特征的一种周期理论片段，而非一个完整周期的全貌理论；其二，在凯恩斯理论之后，经过弗里德曼理论的过度，以卢卡斯和普雷斯科特等人为代表的新古典宏观经济学的经济周期模型，即实际经济周期模型，虽然使用了变分法和其他动态规划数学方法，在形式上更具科学性，但新古典宏观理论并不为现在大多数经济学家所接受，该理论的价值主要在于开辟了新的研究方法，而对经济问题现象实质的探究上，并不存在更多新的含义；其三，对经济周期问题的继续深入探索而言，目前研究者的视线更多的聚焦于以米塞斯和哈耶克等为代表的新奥地利学派思想，该学派思想极力推崇自由主义，以其极端的自由主义政策主张所著称，然而，该学派思想是犀利深刻的，构建新的能够更加深入描述经济关系实践的经济周期理论模型，所选择理论基础非该学派莫属。

米塞斯和哈耶克在其著作中，提出了区别于消费性物品的“资本性商品”概念，指出了“资本性商品”价格变化规律不同于消费性物品价格变动规律，指出了在经济周期现象发生过程中，两种物品之间的价格出现相对变化（而非不变）关系。本文在这个理论假设和推演关系基础之上，构建出了基于资本性商品概念的泡沫经济性质的经济周期关系模型，并结合现代经济基本模型，提出描述泡沫经济关系的均衡点漂移模型。

2 假设

1870年代，不同的经济周期学说逐渐被归并为“消费不足”和“投资过度”两个主要流派。经济学学科似乎是一种相对简单的理论体系，从一种简单的逻辑上看，消费不足和投资过度似乎不过是同一件事情的两个侧面，两种理论似乎没有实质性差别。然而，当我们引入“理想的均衡状态”假设之后（这个假设的基础源于现代微观经济学关于一般均衡的存在、唯一和稳定性的论证），则两个理论还是存在鲜明的区别的，当在某个时期内一个经济体系运行态势高于理想均衡状态（或可用长期均衡来代表），我们可以称之为投资过度经济，此时扩张需求的政策无效，因为经济终究要向长期均衡点回归，当经济运行低于理想均衡状态，扩大投资的政策无效，因为可能存在制度性消费抑制。

明确了经济周期的基本经济运行过程关系之后，我们所要求索的问题是，经济运行为什么会在两种基本状态之间随着时间进程做周期性转换运动呢，我们必需对于其中的动力机制予以说明。为此，我们引入资本性商品概念和正反馈机制原理假设，用以说明一种可以被称之为泡沫性经济周期模型的动态演化机制模型。

首先，资本性商品（物品），可以被定义为一个社会经济中除被即时消费掉的其他所有被交易的物品或无形价值对象，现实经济中最典型的资本性商品的代表是有价证券、房地产和贵金属，古玩、奢侈品等有时也可以包括于其中。

其次，资本性商品或物品区别于消费性物品的特有属性，在于这类交易物品无论实物数量还是价值数额，具有显著的随着时间进程而发生变化的伸缩性或弹性，短期内可以观察到其数额或价格的成倍的增长或萎缩，这种特征在谷物、蔬菜水果、肉蛋奶等即时消费性产品对象身上难以发生，资本性物品的这一特性，或可以称之为“交易弹性”。

再次，基于“随着经济发展与收入增长过程，资本性物品必然占据越来越大财富构成比重”这一事实，资本性商品的交易弹性属性同时也解释了经济周期或经济波动关系，那么，是什么力量推动资本性商品交易市场的波动关系呢，对此，我们可以引用边缘学科系统论科学中的一种理论来说明，即系统科学中的反馈机制原理（feedback mechanism），这种反馈机制就是正反馈机制，正反馈机制使一个事物运行系统向偏离均衡的态发展，而负反馈机制（“反应”作用结果削弱促进这个反应）使事物反应系统回归平衡态反馈机制普遍存在以我们周围的任何自然地和社会的运行过程当中，经济运行关系中也存在这样的基本运行机制原理，而资本性物品交易弹性特征，提供了形成正反馈机制的最为重要的基础。

最后，正反馈机制不可能无限延续（由于其越来越偏离均衡态），表现为随时间发展而形成某种系统性质突变或灾变行为，在经济运行关系中，这种突变或灾变行为显然是经济危机的爆生，而过度繁荣也可视作是同类性质经济关系行为。

3 模型

资本性物品概念、正反馈机制原理假设，提供了泡沫性经济周期关系的基本逻辑。进一步把这种假设或逻辑关系与局部均衡、一般均衡和市场出清模型等基本经济模型相结合，则可以得到以“均衡点漂移”为特征的各种描述泡沫经济关系的泡沫经济模型。

局部均衡模型从效用函数的存在性论证入手，建立了如下的（静态）规划问题模型：

该数学规划问题的解x*关于价格参数向量p的函数一般称为需求函数，具体的，一般把每个分量关于各自对应价格分量的函数，称之为马歇尔需求函数。假设效用函数具有等替代弹性（CES）形式，函数，那么可以推导出，从这个结果中，大体可以判断，马歇尔需求函数具有向下的倾斜斜率（价格导数为负），但这只是从一个特例导出的结果，推导也不十分严密（没有考虑收入变动的情况）。

局部均衡泡沫模型，推导过程异常简单，只需在均衡模型基础上加上正反馈机制既得：设消费者对某一种交易物品在一段时期内的预期价格连续攀升（正泡沫），需求曲线（假设具有向下的斜率）连续右上位移，如图1所示，此时，市场观察者就会观察到e1、e2、e3、e4、…这样连续的成交点，这些量价齐升的成交点，导致经济出现泡沫性增长。

在上述推导中，z以及x和y均关于价格是零次齐次的，即对于一切，这个关系是由于生产与消费行为的约束条件的性质导出的，也可以说这是源于一般均衡的一个基本假设推导的结果。然而，这个假设于泡沫经济描述来说是至关重要的，我们看到，在Rl中，价格空间集中于一个超平面之上（在二维图示中，为中的一条不过原点的直线P），正是这个性质的体现；当经济发生泡沫的时候，一部分商品（主要是资本性商品）价格会先于其他商品价格发生变动的情况下，这个性质就会不再成立，价格空间不再局限于一个超平面之上（这并不难理解，价格的零次齐次性表示相对价格总是保持不变，因而表示价格系统的点集必然处于一个超平面内，这在二维示意图中为一条直线，当相对价格发生变化之后，直线的斜率就发生变化，原直线必然会发生绕线上某一点转动关系），而是出现移动或连续漂移，如图3所示。

事实上，如果把经济学中所有的由数学规划问题导出的均衡关系模型都视作是从不同侧面对任何一个经济体系基本运行关系的描述的话，那么，在这些基本模型基础之上，加上资本性物品及其市场交易的正反馈机制假设，则都会的出其相应的“均衡点漂移”模型，即市场出清模型、索洛增长模型和拉姆齐卡斯库普曼斯模型，都可以有其相应泡沫经济关系模型，而其性质与上述一般均衡泡沫经济模型类似，本文限于篇幅不再写出这些模型。

资本性物品的泡沫性增长或衰退，在模型中表现为经济均衡点的漂移关系，这一理论在现实经济中易于观察到其经验证据，以沪深股市市价总值和成交量占国内生产总值百分比为例，2003年，两个数值分别为31.3%和3.5%，到了2007年，两个数值增长为123.1%和10.9%（数据来源，财新网宏观数据库，以当年12月份数值计算）。

如果把资产价格泡沫经济关系进一步与货币数量方程式相联系，我们会发现由于资本性物品与消费性物品两类物品之间的价格变动不在保持协同一致关系，即两类物品之间相对价格发生变化，这也正是均衡点漂移的另一种表述，因而，传统的货币数量方程式MV=PQ不在成立（用线性代数语言描述，即为原价格向量矩阵不再有共同的基底），因两类物品之间有各自不同的价格体系（价格变量），即MV=PCQC+PIQI，我们把这种经济关系现象定义为“市场分割”，即由于资本性物品交易市场的正反馈机制导致的两类市场之间价格不在保持协同变动关系，而是分裂为两个各自独立的价格系统。

4 检验

对本文提出的泡沫性经济周期模型的主要检验原理有两个，（1）从传统货币数量论方程入手，对原方程两边先取对数，再取微分处理，得到dm/m- dp/p=dy/y关系式（这里假定V为常量），计算各年度等式左右两边数值，如果左边小于右边，说明出现正泡沫，（当发生正泡沫，资本性商品价格上涨，设新的价格体系向量为P’，则显然有MV=PY<P’Y，此时有dlnm-dlnp’<dlny成立），也意味着传统货币数量论方程不在成立，应当修正为上述具有市场分割特征的泡沫经济数量方程式，（2）考虑本文所阐述的泡沫经济模型，其以两类交易物品价格之间不存在系统变动关系为特征，这在代数学中表现为两类变量线性关系的不存在性，计量经济学中协整检验恰为向量之间线性关系的有无的检验，因而，依据本文泡沫经济模型，当检测到两类价格变量不存在协整关系的，说明经济中含有泡沫性经济关系成分。

本文主要计量检验过程如下，以货币和准货币增长率、GDP增长率、社会消费品零售总额实际增长率、全社会固定资产投资实际增长率、居民消费价格指数（p1）上涨率、固定资产价格指数（p2上涨率等十几个主要宏观经济变量为样本数据（数据来源，中国社会科学院《2015年中国经济形势分析与预测》附录部分，样本期间自1978年至2015年），对各变量均进行先取对数再取一阶差分的处理方法，调整为增长率形式（原数据为增长率形式的不再进行调整），然后利用HP滤波分解方法，得到各变量的周期性成分并进行平稳性检验，完成这些数据获取和预处理工作之后，既可就本文模型预测的变量关系进行计量检验。

本文的主要计量检验结论包括：

（1）从数据序列对比关系和向量自回归模型以及时差相关系数方法的分析结果看，我国经济表现出如下一些规律性，货币增长率和投资增长率一般以高于收入和消费的增长率增长，货币和投资引领收入、消费、财政收支的波动，而收入和消费的增加导致了随后（滞后两期）的包括消费价格水平在内的多种价格指数的上涨；

（2）从依据货币数量方程的泡沫经济关系检验上看，我国经济1988-1989、1994、2007年呈现出正泡沫态势，这个结果说明本文所阐述的泡沫经济关系导致的对货币数量方程的修正关系是存在的，图4给出了检验的折线图形式的输出结果；

（3）从消费性物品和资本性物品两类物品价格之间的协整关系检验上看，利用我国固定资产投资价格指数作为资本性物品价格的样本数据的情况下，两类价格之间并没有出现不存在的情况，这个结果与本文模型阐述结果并不一致，表1给出了检验输出结果；

（4）为解决资产价格统计可信度较低导致的检验结论不准确问题，本文改用证券市场数据代替固定资产投资价格指数数据，来重新完成两类物品之间的协整关系检验，表2给出了检验输出结果，其中变量psz为沪市A股综合价格指数，取每个年份12月份最后一个交易日收盘价得出，从这个检验结果可以看出，当重现选取代表资本性商品的数据样本之后，两类价格变量之间协整关系明显趋弱，以致不在存在协整关系（最大似然统计量检验下）。

5 结论

首先，泡沫经济关系反应在数学模型上，就是各种基本经济模型的均衡点漂移模型，这些发生漂移关系的均衡点，都是瞬时的均衡，从长期关系来看，具有不稳定和不可持续性，因而并不代表真正的均衡，而是一种泡沫性经济关系；

其次，泡沫经济关系具有关于资本性物品与消费性物品之间的“市场分割”性质，这种经济关系属性修正了货币数量方程，即标明泡沫经济关系的数量方程为MV=PCQC+PIQI，而传统方程不在成立；

再次，以我国1978至今以来的数据作为观察样本进行计量检验，实证检验结果一方面验证了了泡沫经济关系存在的可能性，另一方面就我国经济（样本观察期间），除个别时点外，我国经济总体运行平稳；

最后，从2010年以来的发展趋势看，去除通胀因素的货币增长率与经济增长率之间的距离渐趋减小，这可能说明我国经济目前货币政策操作空间并不是很大，或需采取适度谨慎的货币政策，防范经济进入泡沫性波动风险。

参考文献：

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（3）Shigenori。Shiratsuka， Asset price fluctuation and price indices， Monetary and Economic Studies/December 1999.

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（15）（英）海约克。物价与生产，腾维藻，朱宗风合译[M]。上海：上海人民出版社，1958.

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（17）（挪威）拉斯·特威德。逃不过的经济周期[M]。中信出版社，2012.

（18）（比利时）普里戈金。从存在到演化[M]。北京大学出版社，2007.

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（20）（美）海曼·明斯基。稳定不稳定的经济[M]。一种金融不稳定视角[M]。北京：清华大学出版社，2010.

篇4

［中图分类号］O13［文献标识码］A［文章编号］2095-3437（2013）08-0056-02

在经济管理中，数学知识是必不可少的，本文就如何把高等数学的有关知识用于解决相关问题加以讨论。这有助于相关专业学生更好地掌握专业知识。

一、连续复利――e在经济中的应用

利息是银行对储蓄（或借贷）所支付（或收取）的除本金以外的货币。银行支付（或收取）利息的多少，以利率的高低来表示

单位时间的利率=单位时间的利息/存入的本金

（一）单利

设本金为A0（可指投资,存款等），年利率是i，所谓单利是指仅按本金A0计算利息。例如：A0的投资时间为t年，那么七年后,可得单利:I=A0it

本利和是A=A0+I=A0（1+it）

例如：1000元投资5年，年利率6%，于是5年后共得单利

I=1000×0.06=300（元），A=1000+300=1300（元）

（二）复利

所谓复利是指经过一年时间，将所生利息加入本金再生利息。逐期滚算。

假定本金是A0元，那么一年后的利息是A0i，此时本金就成了

A0+A0i=A0（1+i）

再经过一年又得复利iA0（1+i）

本金成了A0（1+i）2,

依次类推，t年后本金A（t）就成了A（t）=A0（1+i）t

例如：将1000元投资5年，年利率6%，按年计算复利，那么5年后本金就A（5）=1000（1+0.06）5＝1338.23（元）,利息是338.23元。

设年利率为i，如果一年计算m次复利，那么t年后就计算mt次，每次的利率算作■。设本金为A0元，年利率为i，每年计算复利m次，那么t年后本金为A（t）=A0（1+■）mt。

例如：将1000元投资5年，年利率6%，每年计算复利4次，那么5年后本金就成了A（5）=1000（1+■）5×4=1346.86（元），利息是346.86元。

（三）连续复利

A（t）=■A0（1+■）mt＝A0■［（1+■）■］it=A0eit

这种计利方法称为连续复利。

连续复利的计算方法在其他许多问题中也常有应用，如：细胞分裂、树木的生长等。

二、边际与弹性――导数与微分的简单应用

（一）边际概念

在经济学中边际表示的是变化率，函数的导数称为边际函数。

如：成本函数C（x）的导数C′（x）称为边际成本函数。

边际成本具有怎样的经济意义？

当产量由原产量x单位增加一个单位（Δx=1）时，成本C（x）的真值为C（x+1）-C（x），但当产量的单位很小或一个单位与原产量x值相比很小时，则由近似式■=■≈C′（x）（|Δx|很小时）

取Δx=1，得C（x+1）-C（x）≈C′（x）

这表明当产量达到x时，再增加生产一个单位，成本的增加值就可以用边际成本C′（x）近似表示。这就是边际成本实际的经济意义。

在经济学中，通常略去“近似”二字，将边际成本C′（x）解释为：

当产量达到x时，再增加生产一个单位产品所增加的成本。或生产x+1个产品所需的成本。

例如：设生产x件某产品的成本为C（x）＝200+0.03x2

生产100件的总成本为C（100）=200+0.03×（100）2=500

每件产品的平均成本是■=■=5

边际成本函数为C′（x）=0.06x

产量在100件时的边际成本为C′（x）=0.06×100=6

它近似表示生产第101产品的成本。这件产品的真值是

ΔC=C（100+1）-C（100）=6.03

除边际成本函数外，收入函数的导数称为边际收入函数；利润函数的导数称为边际利润函数；需求函数的导数称为边际需求函数等。他们的实际经济意义都可以如边际成本一样理解。

（二）弹性概念

经济学中把一个变量对另一个变量相对变化的反映程度称为弹性。

例如：需求对价格的弹性就是商品需求量对价格相对变化的程度。设需求函数x=f（p），其中x需求量，p是价格，η=p■

由于Δp很小时，η=p■≈■■所以需求弹性近似表示在价格为p时，价格变动1％，需求量将变化|η|%，通常也略去“近似”二字．一般来说，需求函数是一个减函数，需求量随价格的提高而减少，因此需求弹性一般是负值，它反映了商品需求量对价格变化反应的强烈程度，即灵敏度。

对任何函数都可以建立弹性，一般地，函数y=f（x）在点x处的弹性定义

为η=x■

它表示的是相对变化率。相对变化率便于比较不同市场的需求对价格变动的反应。它是无纲量。便于比较单位价格不一致的单位的灵敏度。

通常表示为：εyx=■=■■

例如：某种产品的需求量x与价格p的关系为x（p）=1600（■）p，

（1）求需求弹性η（p）;（2）当商品的价格p=10元时，再增加1％，求该商品需求量变化情况。

解:需求弹性η（p）＝p■=p×ln■=（-2ln2）≈-1.39p

需求弹性为负，说明商品价格p增加1％时，商品需求量将减少1.39p%

当商品价格p=10元时 η（10）≈-13.9

这表示价格p＝10元时，再增加1％，商品的需求量将增加13.9p%，如价格降低1％，商品的需求量将增加13.9p%。

三、积分在经济问题中的应用

例：已知某商品每天生产x单位时，边际成本为C′（x）=0.4x+2（元／单位），其固定成本是20元，求总成本函数C（x）。如果这种商品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数L（x），并问每天生产多少单位，总利润最大？

解可变成本就是边际成本函数在［0，x］上的定积分，又已知固定成本为20元，所以总成本函数C（x）=■（0.4t+2）dt+20=0.2x2+2x+20

当销售单价为18元时，总利润函数为

L（x）＝R（x）-C（x）=-0.2x2+1.6x-20

由L′（x）=-0.4x+16=0，得x=40

又因为L″（x）=-0.4＜0，所以，每天生产40单位可获最大利润，最大利润为L（40）=300（元）。

高等数学在其它各个领域中的应用不胜枚举：如物理学中有速度、加速度、角速度、线密度、电流、功率、温度梯度、衰变率、变速直线运动的路程、非均匀细杆的质量、变力沿直线作功、抽水作功、引力等等；化学中有扩散速度、反应速度，溶液连续稀释问题等；生物学中有（种群）出生率、死亡率、自然生长率等等；社会学中有信息的传播速度、时尚的推广、人口自然增长规律等，几何学中曲线的切线问题，曲边图形的面积等这类涉及微小量无穷积累的问题。这些都可以用高等数学加以讨论。