高等函数的概念范文

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篇1

第九讲

三角函数的概念､诱导公式与三角恒等变换

2019年

1.(2019北京9)函数的最小正周期是

________.

2.(2019全国Ⅲ理12)设函数=sin()(>0),已知在有且仅有5个零点,下述四个结论:

①在()有且仅有3个极大值点

②在()有且仅有2个极小值点

③在()单调递增

④的取值范围是[)

其中所有正确结论的编号是

A.

①④

B.

②③

C.

①②③

D.

①③④

3.(2019天津理7)已知函数是奇函数,将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为.若的最小正周期为,且,则

A.

B.

C.

D.

4.(2019全国Ⅱ理10)已知α∈(0,),2sin

2α=cos

2α+1,则sin

α=

A.

B.

C.

D.

5.(2019江苏13)已知,则的值是_________.

6.(2019浙江18)设函数.

(1)已知函数是偶函数,求的值;

(2)求函数

的值域.

2010-2018年

一､选择题

1.(2018全国卷Ⅲ)若,则

A.

B.

C.

D.

2.(2016年全国III)若

,则

A.

B.

C.1

D.

3.(2016年全国II)若,则(

)

A.

B.

C.

D.

4.(2015新课标Ⅰ)

A.

B.

C.

D.

5.(2015重庆)若,则=

A.1

B.2

C.3

D.4

6.(2014新课标Ⅰ)若,则

A.

B.

C.

D.

7.(2014新课标Ⅰ)设,,且,则

A.

B.

C.

D.

8.(2014江西)在中,内角A,B,C所对应的边分别为,若,则

的值为(

)

A.

B.

C.

D.

9.(2013新课标Ⅱ)已知,则(

)

A.

B.

C.

D.

10.(2013浙江)已知,则

A.

B.

C.

D.

11.(2012山东)若,,则

A.

B.

C.

D.

12.(2012江西)若,则tan2α=

A.−

B.

C.−

D.

13.(2011新课标)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边在直线上,则=

A.

B.

C.

D.

14.(2011浙江)若,,,,则

A.

B.

C.

D.

15.(2010新课标)若,是第三象限的角,则

A.

B.

C.2

D.-2

二､填空题

16.(2018全国卷Ⅰ)已知函数,则的最小值是_____.

17.(2018全国卷Ⅱ)已知,,则___.

18.(2017新课标Ⅱ)函数的最大值是

.

19.(2017北京)在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,则=___________.

20.(2017江苏)若,则=

.

21.(2015四川)

.

22.(2015江苏)已知,,则的值为_______.

23.(2014新课标Ⅱ)函数的最大值为____.

24.(2013新课标Ⅱ)设为第二象限角,若,则=___.

25.(2013四川)设,,则的值是_____.

26.(2012江苏)设为锐角,若,则的值为

.

三､解答题

27.(2018江苏)已知为锐角,,.

(1)求的值;

(2)求的值.

28.(2018浙江)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边过点.

(1)求的值;

(2)若角满足,求的值.

29.(2017浙江)已知函数.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求的最小正周期及单调递增区间.

30.(2014江苏)已知,.

(1)求的值;

(2)求的值.

31.(2014江西)已知函数为奇函数,且,其中.

(1)求的值;

(2)若,求的值.

32.(2013广东)已知函数.

(1)

求的值;

(2)

若,求.

33.(2013北京)已知函数

(1)求的最小正周期及最大值;

(2)若,且,求的值.

34.(2012广东)已知函数,(其中,)的最小正周期为10.

(1)求的值;

(2)设,,,求的值.

专题四

三角函数与解三角形

第九讲

三角函数的概念､诱导公式与三角恒等变换

答案部分

2019年

1.解析:因为,

所以的最小正周期.

2.解析

当时,,

因为在有且仅有5个零点,所以,

所以,故④正确,

因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案,

下面判断③是否正确,

当时,,

若在单调递增,

则,即,因为,故③正确.

故选D.

3.解析

因为是奇函数,所以,.

将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为,即,

因为的最小正周期为,所以,得,

所以,.

若,即,即,

所以,.

故选C.

4.解析:由,得.

因为,所以.

由,得.故选B.

5.解析

由,得,

所以,解得或.

当时,,,

.

当时,,,

所以.

综上,的值是.

6.解析(1)因为是偶函数,所以,对任意实数x都有,

即,

故,

所以.

又,因此或.

(2)

.

因此,函数的值域是.

2010-2018年

1.B【解析】.故选B.

2.A【解析】由,,得,或

,,所以,

则,故选A.

3.D【解析】因为,所以,

所以,所以,故选D.

4.D【解析】原式=.

5.C

【解析】

=,选C.

6.C【解析】

知的终边在第一象限或第三象限,此时与同号,

故,选C.

7.B【解析】由条件得,即,

得,又因为,,

所以,所以.

8.D【解析】=,,上式=.

9.A【解析】因为,

所以,选A.

10.C【解析】由可得,进一步整理可得,解得或,

于是.

11.D【解析】由可得,,

,答案应选D.

另解:由及,可得

,而当时

,结合选项即可得.

12.B【解析】分子分母同除得:,

13.B【解析】由角的终边在直线上可得,,

.

14.C【解析】

,而,,

因此,,

则.

15.A【解析】

,且是第三象限,,

.

16.【解析】解法一

因为,

所以,

由得,即,,

由得,即

或,,

所以当()时,取得最小值,

且.

解法二

因为,

所以

,

当且仅当,即时取等号,

所以,

所以的最小值为.

17.【解析】,,

①,

②,

①②两式相加可得

,

.

18.1【解析】化简三角函数的解析式,则

,

由可得,当时,函数取得最大值1.

19.【解析】角与角的终边关于轴对称,所以,

所以,;

.

20.【解析】.

21.【解析】.

22.3【解析】.

23.1【解析】

.,所以的最大值为1.

24.【解析】,可得,,

=.

25.【解析】

,则,又,

则,.

26.【解析】

因为为锐角,cos(=,sin(=,

sin2(cos2(,

所以sin(.

27.【解析】(1)因为,,所以.

因为,所以,

因此,.

(2)因为为锐角,所以.

又因为,所以,

因此.

因为,所以,

因此,.

28.【解析】(1)由角的终边过点得,

所以.

(2)由角的终边过点得,

由得.

由得,

所以或.

29.【解析】(Ⅰ)由,,

得.

(Ⅱ)由与得

所以的最小正周期是

由正弦函数的性质得

,

解得,

所以的单调递增区间是().

30.【解析】(1),

;

(2)

.

31.【解析】(1)因为是奇函数,而为偶函数,所以为奇函数,又得.

所以=由,得,即

(2)由(1)得:因为,得

又,所以

因此

32.【解析】(1)

(2)

所以,

因此=

33.【解析】:(1)

所以,最小正周期

当(),即()时,.

(2)因为,所以,

因为,所以,

所以,即.

34.【解析】(1).

篇2

极限概念是微积分学最基本的概念之一，连续、导数、定积分等的定义都建立在极限概念的基础上。极限的思想和方法贯穿在整个高等数学的始终，是人们研究许多问题的工具，是从学习初等数学顺利过渡到学习高等数学所必须牢固掌握的内容。正确理解和掌握极限的概念和极限的思想方法是学好高等数学的关键，也是教学中的重点和难点。对高职学生来说，这一部分内容也是较难掌握的。若极限学得不扎实，必然会影响到整个高等数学的学习，因此准确地掌握极限概念，对于进一步研究函数导数、积分等具有非常重要的意义。笔者在高职数学函数和极限一章教学实践中做了如下思考和探索。

一、做好与初等数学的衔接

初等数学研究对象基本上是不变量，而高等数学的微积分以函数、变量为主要研究对象。初等函数是连接初等数学与高等数学的纽带，现行的高中数学课本采用新课程标准，函数的有些内容被删去了，如反函数、三角函数中的余切、正割、余割及反三角函数。这些知识在高等数学中是必要的，因此在教学中笔者加入了这些知识的讲授。

大多数高职学生对中学数学知识掌握并不牢固，所以笔者在教学中重视复习函数概念、基本初等函数及其性质，及时复习求函数极限中用到的数学公式、方法，如根式的有理化、因式分解、三角恒等变换常用公式等，为后续的极限教学做好铺垫。

二、创设情境引入极限概念

学生由初等数学转入高等数学的学习，学习方法、思维习惯、认知理解上会出现诸多不适应。因此，笔者在引入极限概念时，利用AutoCAD软件绘制正多边形的功能来演示随着圆内（外）接正多边形边数的不断增加，正多边形会越来越接近圆这一动态效果，使学生在具体情境中体会到这种无限的过程，使学生能够深刻地理解极限思想的内涵。让学生体会从“量变”到“质变”，从而真正理解极限这个概念。在教学上，我们用多媒体课件动态展示有关函数的图形，帮助学生理解和观察函数的左右逼近值，从而建立左右极限的概念。通过实践“情境—问题—探究”这一教学方式，学生在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静，培养学生的辩证思维能力。学生只有真正掌握了“极限”的动态实质，才能更好地理解和掌握导数和积分的概念。

三、精讲极限概念中的关键词

刻画极限的语言高度概括抽象，复杂又逻辑结构严密。高职学生难以理解和接受。所以高职数学无需讲解极限的定义，采用极限的描述性定义更符合高职学生的实际。在极限的描述性定义中有两个关键词，“无限接近”的含义就是“要多接近就有多接近”，“定义”就是对“要多接近就有多接近”的定量化。笔者在教学中利用多媒体课件展示函数动态图形，分析一些典型变化趋势，通过比较数值的变化及函数图形解释“要多接近就有多接近”，引导学生进一步探讨自变量x“无限接近”x0的各种不同形式，使学生在图形上对“无限接近”这种“动态”变化有一较清晰的认识，从而强化对极限概念的理解。

四、针对学生易犯的错误重点讲解

学生在高中阶段已初步学习过极限概念，但缺乏深入的理解，特别是对“无穷小”和“无穷大”更感难以理解。例如对“无穷大”的概念，很多学生认为它是一个无限大的常数，思想还停留在常量数学阶段，而缺乏运动和变化的思想；相应地，将无限小的数就理解为“无穷小”。这样学生就会出现把“无穷小”和“无穷大”当成一个数进行四则运算，极限的四则运算法则成立的前提是两个函数的极限都存在，部分学生往往忽略这一点而造成错误。学生还经常忽视自变量的变化趋势对函数极限的影响，分段函数在分界点的连续性是教学中的一个难点，学生对为什么要计算左右极限感到不解。分析其原因，问题往往出在对极限概念的理解上，对自变量的变化趋势的理解不够。对此，纠正以上错误对具体求函数极限的习题也会有很大帮助。

五、及时总结求极限的各种方法

篇3

【摘　要】一直以来，高等数学课程学习困难、教学效果不显著，给专业课程的学习带来一定障碍。从教与学两个不同的角度分析了高等数学学习过程中遇到的问题后，给出了概念教学的对策。

关键词 高等数学；数学概念；教学

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式，正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。数学概念教学是课堂教学的一个重要组成部分，如何教好概念课，让学生深刻理解并准确掌握数学概念，是学生学好数学基础知识，提高学习成绩的前提，也是培养学生能力的关键。

1　高等数学概念的特点

高等数学是变量的数学，它研究变量的运动过程、无限过程；初等数学是常量的数学，它研究静态问题、均匀问题，高等数学从观点到方法都和初等数学有着本质的差异。高等数学的思想方法中，蕴涵着丰富的辨证唯物主义的思想，表现出相互依存与相互转换的对立统一关系，如常量与变量的关系，有限与无限的关系，近似与精确的关系等。刚从中学跨入大学校门的新生，他们还习惯于用静态、有限的方式来思考问题，所以教师在讲授高等数学的概念时，要求学生在思维模式上有本质的转变，从常量转向变量，从有限转向无限，从而把握高等数学的基本思想和方法。

2　学生学习高等数学概念的现状

概念是高等数学的基础，基础夯不坚实会严重影响高等数学的学习。在实际的教学过程中我们发现，每个教学班大概会有50%的学生虽然花大量的时间学习高等数学，上课认真做笔记，恨不得把老师黑板上写的每个字都记下来，下课也会做大量的习题，但到最后还是有30%左右的学生不能通过这门课程。无论是课堂提问还是与学生课后交流，我们发现一个普遍现象：60%左右的学生对高等数学中的概念不重视。我们做过一个小范围的调查，调查400名学生学完《极限与连续》后对本章基本概念的掌握情况，此次调查结果大致是：完整说出极限和连续概念的人数为15%，大概了解极限和连续概念的人数为25%，对极限与连续有点印象的人数为20%，几乎不知道极限与连续概念的人数为40%。在后续章节的教学中，我们又进行了类似的调查，最终与期末考试的成绩进行对比，结论非常明显：基本概念掌握好的同学无论是基础题还是能力题都做的比较好；对高数概念一知半解、只会套公式的同学的基础题还行，但是能力题的得分几乎为零。高等数学的概念通常会以公式的形式出现，刚从中学跨入大学校门的新生，受中学教育的影响，把数学的学习简单归纳为背定理和公式，套定理和公式。高等数学的学习不仅仅是会运用定理和公式，更应会运用所学知识灵活处理实际问题，培养学生分析问题，解决问题的能力，这些能力需要在学习基本定义、定理的过程中慢慢积累，因此在高等数学的学习中，概念的教与学是非常重要的环节。

3　高等数学概念教学的重要性

高职教育强调学生对职业技术的掌握,强调学生的应用能力和实践动手能力，为此课时都主要放在专业课的教学和实习实训上，在高职的课程设计中基础理论课教学时数一般都不多，高数老师在有限的课时内，要系统完成一元微分学的教学内容，势必每堂课包含的教学内容会非常多，通常是高中课堂的三、四倍，因此在课堂上教师不可能像高中教学那样通过反复讲解和训练的方式达到既定教学目标，只能靠讲授基本的概念和定理，在理解概念的基础上加深知识点的理解，这也培养了学生的自学能力。我们对高等数学在后续专业课中运用的广度和深度做过调查，发现专业课程对高等数学的需求绝大多数是基本概念和定理的运用，因此更要突出概念教学。一般来说，理工类专业的后续课程都需要用到导数和微分，而复合函数的导数是难点，绝大多数学生都学得不扎实，简单常见的复合函数会求导，但碰到复杂一点、特别是分段函数的求导时，就会束手无策，这也使得专业课老师对高数老师颇多微词。在学生的问卷调查中发现：60%的学生不知道复合函数、基本初等函数和导数的定义。在讲解导数时，我们在不同的教学班做了对比实验，在甲教学班讲复合求导法则时，先详细复习基本初等函数的定义、复合函数的分解和导数的定义，并且加强导数定义类题目的训练，用定义推导了几个基本函数的求导法则，对复合函数链式法则做了简单的说明，并要求学生记忆基本概念和定理；在乙教学班直接讲解复合函数的求导法则，没有对基本初等函数的概念，复合函数的分解进行复习，把教学重点放在求导公式的记忆和应用上，最后用同难度和数量的题目进行测试，发现强调概念教学的甲班对导数的掌握情况，无论从基础题还是能力题都要比乙班好30%左右。虽然不同的教学班会有一些不确定的随机因素影响结果，但一般来说差异不会这么大，所以概念教学是非常重要的。

积分在经管类专业课程中使用较多，学生一般只会机械地套用基本的积分公式，解决简单的积分问题，但由于积分公式比较多，学生感觉记忆负担较重，碰到类型相近的问题经常混淆，这些问题产生的原因是学生对原函数的概念的理解不透彻，甚至有些学生连原函数的概念都说不出，更谈不上灵活运用积分了。如果学生能够吃透原函数的概念，书本上那些基本积分表根本用不着记忆，它只不过是求导公式的逆运算，记住了求导公式，弄清楚了不定积分的概念，就能很容易记住积分表了。不过绝大多数学生对原函数的概念只是停留在字面的理解，搞不清它的实质，也就搞不清积分与导数之间的关系，感觉不定积分学起来比较费劲，从而给定积分的学习带来很大的困难。

总之，无论是教还是学，为了让高等数学这门工具性学科更好地服务于专业课，在高职教育“必须，够用”的理念下，概念教学是解决诸多矛盾的行之有效的方法之一。

4　高等数学概念教学的注意事项

高等数学概念是一系列探索活动的产物，我们应该让学生亲历知识发现的过程，在暴露数学概念生成的思维方式上多下功夫，并注意揭示出概念的本质，完成由较为直观的表述向严格的形式化表述的转化，把生动活泼的理性思辨通过数学概念的生成传导给学生，实施能动的心理和智能的导引。高等数学的概念通常比较抽象和严谨，因此概念课容易给人枯燥乏味的感觉，学生会比较排斥它，教师在讲课时，要讲究一些技巧，把严谨的概念用通俗易懂的语言描述（如原函数概念描述成导数的逆运算，用加和减、乘与除的关系类比两者的关系），可以用形象直观的图象语言来描述（如极限概念），也可以用专业课程中的专有名词来描述概念，让学生提前感受高数的作用（如经管专业中的边际就是导数）。另一方面，学生上概念课有一种错觉：为什么我把概念背得滚瓜烂熟，但不会解题呢？事实上，学生会背概念不一定表明他已获得概念，真正意义上的获得概念，就是运用概念做出判断和推理，能够根据概念解决数学问题，因此教师在讲授概念时不能就事论事，死抠书本，概念的引入要合乎逻辑, 更要合乎情理；概念之间要讲究逻辑次序， 更要注意认知次序。针对相同的数学概念， 不同的时代、不同的时间、不同的教学对象在理解的深度、侧重点以及要求上都不相同，这要根据自己的理解选取不同的诠释方法，体现各自的风格。

参考文献

［1］毛京中.高等数学概念教学的一些思考[J].数学教育学报,2003,5,12(2).

［2］王华丽.高等数学中极限概念教学的思考[J].科技创新导报,2012(1).

［3］王树禾.数学思想史[M].北京:国防工业出版社,2003.

篇4

高等数学(二)是报考经济学、管理学以及职业教育类等6个一级学科考生的必考科目。

《复习考试大纲》(高等数学)是考生必备的考前复习资料，是考前复习的指导性学习文件。

《大纲》阐述了考试的总要求，规定了复习考试内容，明确了考试形式及试卷结构，并且出示了样题，因此认真学习新版《大纲》，领会新版《大纲》的精神与要点，逐步掌握成人高考复习考试的规律与特点，是顺利完成专升本复习考试的重要保证。

复习考试大纲基本特点

2007年《大纲》与2006年《大纲》基本一致，其基本特点是：

1. 《大纲》强调复习考查高等数学中的基本知识、基本方法及基本技能，考查的知识点都是高等数学中最基本的、最主要的、最突出的知识点，是高等数学中必须掌握的知识点。

2. 《大纲》强调能力要求是在理解基本概念的基础上，能够正确推理证明，准确计算，能够综合运用所学知识分析并解决简单实际问题的能力。

3. 《大纲》中强调知识的综合与应用。在高等数学(二)中，如一元函数或二元函数简单的最值实际应用题、用微分法分析函数的性质及相应曲线的形态、求平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转所生成旋转体的体积等。在高等数学(一)中计算二重积分，求解一阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程等。

考生答卷中存在问题