高等函数的概念范文

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篇1

第九讲

三角函数的概念､诱导公式与三角恒等变换

2019年

1.(2019北京9)函数的最小正周期是

________.

2.(2019全国Ⅲ理12)设函数=sin()(>0),已知在有且仅有5个零点,下述四个结论:

①在()有且仅有3个极大值点

②在()有且仅有2个极小值点

③在()单调递增

④的取值范围是[)

其中所有正确结论的编号是

A.

①④

B.

②③

C.

①②③

D.

①③④

3.(2019天津理7)已知函数是奇函数,将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为.若的最小正周期为,且,则

A.

B.

C.

D.

4.(2019全国Ⅱ理10)已知α∈(0,),2sin

2α=cos

2α+1,则sin

α=

A.

B.

C.

D.

5.(2019江苏13)已知,则的值是_________.

6.(2019浙江18)设函数.

(1)已知函数是偶函数,求的值;

(2)求函数

的值域.

2010-2018年

一､选择题

1.(2018全国卷Ⅲ)若,则

A.

B.

C.

D.

2.(2016年全国III)若

,则

A.

B.

C.1

D.

3.(2016年全国II)若,则(

)

A.

B.

C.

D.

4.(2015新课标Ⅰ)

A.

B.

C.

D.

5.(2015重庆)若,则=

A.1

B.2

C.3

D.4

6.(2014新课标Ⅰ)若,则

A.

B.

C.

D.

7.(2014新课标Ⅰ)设,,且,则

A.

B.

C.

D.

8.(2014江西)在中,内角A,B,C所对应的边分别为,若,则

的值为(

)

A.

B.

C.

D.

9.(2013新课标Ⅱ)已知,则(

)

A.

B.

C.

D.

10.(2013浙江)已知,则

A.

B.

C.

D.

11.(2012山东)若,,则

A.

B.

C.

D.

12.(2012江西)若,则tan2α=

A.−

B.

C.−

D.

13.(2011新课标)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边在直线上,则=

A.

B.

C.

D.

14.(2011浙江)若,,,,则

A.

B.

C.

D.

15.(2010新课标)若,是第三象限的角,则

A.

B.

C.2

D.-2

二､填空题

16.(2018全国卷Ⅰ)已知函数,则的最小值是_____.

17.(2018全国卷Ⅱ)已知,,则___.

18.(2017新课标Ⅱ)函数的最大值是

.

19.(2017北京)在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,则=___________.

20.(2017江苏)若,则=

.

21.(2015四川)

.

22.(2015江苏)已知,,则的值为_______.

23.(2014新课标Ⅱ)函数的最大值为____.

24.(2013新课标Ⅱ)设为第二象限角,若,则=___.

25.(2013四川)设,,则的值是_____.

26.(2012江苏)设为锐角,若,则的值为

.

三､解答题

27.(2018江苏)已知为锐角,,.

(1)求的值;

(2)求的值.

28.(2018浙江)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边过点.

(1)求的值;

(2)若角满足,求的值.

29.(2017浙江)已知函数.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求的最小正周期及单调递增区间.

30.(2014江苏)已知,.

(1)求的值;

(2)求的值.

31.(2014江西)已知函数为奇函数,且,其中.

(1)求的值;

(2)若,求的值.

32.(2013广东)已知函数.

(1)

求的值;

(2)

若,求.

33.(2013北京)已知函数

(1)求的最小正周期及最大值;

(2)若,且,求的值.

34.(2012广东)已知函数,(其中,)的最小正周期为10.

(1)求的值;

(2)设,,,求的值.

专题四

三角函数与解三角形

第九讲

三角函数的概念､诱导公式与三角恒等变换

答案部分

2019年

1.解析:因为,

所以的最小正周期.

2.解析

当时,,

因为在有且仅有5个零点,所以,

所以,故④正确,

因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案,

下面判断③是否正确,

当时,,

若在单调递增,

则,即,因为,故③正确.

故选D.

3.解析

因为是奇函数,所以,.

将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为,即,

因为的最小正周期为,所以,得,

所以,.

若,即,即,

所以,.

故选C.

4.解析:由,得.

因为,所以.

由,得.故选B.

5.解析

由,得,

所以,解得或.

当时,,,

.

当时,,,

所以.

综上,的值是.

6.解析(1)因为是偶函数,所以,对任意实数x都有,

即,

故,

所以.

又,因此或.

(2)

.

因此,函数的值域是.

2010-2018年

1.B【解析】.故选B.

2.A【解析】由,,得,或

,,所以,

则,故选A.

3.D【解析】因为,所以,

所以,所以,故选D.

4.D【解析】原式=.

5.C

【解析】

=,选C.

6.C【解析】

知的终边在第一象限或第三象限,此时与同号,

故,选C.

7.B【解析】由条件得,即,

得,又因为,,

所以,所以.

8.D【解析】=,,上式=.

9.A【解析】因为,

所以,选A.

10.C【解析】由可得,进一步整理可得,解得或,

于是.

11.D【解析】由可得,,

,答案应选D.

另解:由及,可得

,而当时

,结合选项即可得.

12.B【解析】分子分母同除得:,

13.B【解析】由角的终边在直线上可得,,

.

14.C【解析】

,而,,

因此,,

则.

15.A【解析】

,且是第三象限,,

.

16.【解析】解法一

因为,

所以,

由得,即,,

由得,即

或,,

所以当()时,取得最小值,

且.

解法二

因为,

所以

,

当且仅当,即时取等号,

所以,

所以的最小值为.

17.【解析】,,

①,

②,

①②两式相加可得

,

.

18.1【解析】化简三角函数的解析式,则

,

由可得,当时,函数取得最大值1.

19.【解析】角与角的终边关于轴对称,所以,

所以,;

.

20.【解析】.

21.【解析】.

22.3【解析】.

23.1【解析】

.,所以的最大值为1.

24.【解析】,可得,,

=.

25.【解析】

,则,又,

则,.

26.【解析】

因为为锐角,cos(=,sin(=,

sin2(cos2(,

所以sin(.

27.【解析】(1)因为,,所以.

因为,所以,

因此,.

(2)因为为锐角,所以.

又因为,所以,

因此.

因为,所以,

因此,.

28.【解析】(1)由角的终边过点得,

所以.

(2)由角的终边过点得,

由得.

由得,

所以或.

29.【解析】(Ⅰ)由,,

得.

(Ⅱ)由与得

所以的最小正周期是

由正弦函数的性质得

,

解得,

所以的单调递增区间是().

30.【解析】(1),

;

(2)

.

31.【解析】(1)因为是奇函数,而为偶函数,所以为奇函数,又得.

所以=由,得,即

(2)由(1)得:因为,得

又,所以

因此

32.【解析】(1)

(2)

所以,

因此=

33.【解析】:(1)

所以,最小正周期

当(),即()时,.

(2)因为,所以,

因为,所以,

所以,即.

34.【解析】(1).

篇2

极限概念是微积分学最基本的概念之一，连续、导数、定积分等的定义都建立在极限概念的基础上。极限的思想和方法贯穿在整个高等数学的始终，是人们研究许多问题的工具，是从学习初等数学顺利过渡到学习高等数学所必须牢固掌握的内容。正确理解和掌握极限的概念和极限的思想方法是学好高等数学的关键，也是教学中的重点和难点。对高职学生来说，这一部分内容也是较难掌握的。若极限学得不扎实，必然会影响到整个高等数学的学习，因此准确地掌握极限概念，对于进一步研究函数导数、积分等具有非常重要的意义。笔者在高职数学函数和极限一章教学实践中做了如下思考和探索。

一、做好与初等数学的衔接

初等数学研究对象基本上是不变量，而高等数学的微积分以函数、变量为主要研究对象。初等函数是连接初等数学与高等数学的纽带，现行的高中数学课本采用新课程标准，函数的有些内容被删去了，如反函数、三角函数中的余切、正割、余割及反三角函数。这些知识在高等数学中是必要的，因此在教学中笔者加入了这些知识的讲授。

大多数高职学生对中学数学知识掌握并不牢固，所以笔者在教学中重视复习函数概念、基本初等函数及其性质，及时复习求函数极限中用到的数学公式、方法，如根式的有理化、因式分解、三角恒等变换常用公式等，为后续的极限教学做好铺垫。

二、创设情境引入极限概念

学生由初等数学转入高等数学的学习，学习方法、思维习惯、认知理解上会出现诸多不适应。因此，笔者在引入极限概念时，利用AutoCAD软件绘制正多边形的功能来演示随着圆内（外）接正多边形边数的不断增加，正多边形会越来越接近圆这一动态效果，使学生在具体情境中体会到这种无限的过程，使学生能够深刻地理解极限思想的内涵。让学生体会从“量变”到“质变”，从而真正理解极限这个概念。在教学上，我们用多媒体课件动态展示有关函数的图形，帮助学生理解和观察函数的左右逼近值，从而建立左右极限的概念。通过实践“情境—问题—探究”这一教学方式，学生在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静，培养学生的辩证思维能力。学生只有真正掌握了“极限”的动态实质，才能更好地理解和掌握导数和积分的概念。

三、精讲极限概念中的关键词

刻画极限的语言高度概括抽象，复杂又逻辑结构严密。高职学生难以理解和接受。所以高职数学无需讲解极限的定义，采用极限的描述性定义更符合高职学生的实际。在极限的描述性定义中有两个关键词，“无限接近”的含义就是“要多接近就有多接近”，“定义”就是对“要多接近就有多接近”的定量化。笔者在教学中利用多媒体课件展示函数动态图形，分析一些典型变化趋势，通过比较数值的变化及函数图形解释“要多接近就有多接近”，引导学生进一步探讨自变量x“无限接近”x0的各种不同形式，使学生在图形上对“无限接近”这种“动态”变化有一较清晰的认识，从而强化对极限概念的理解。

四、针对学生易犯的错误重点讲解

学生在高中阶段已初步学习过极限概念，但缺乏深入的理解，特别是对“无穷小”和“无穷大”更感难以理解。例如对“无穷大”的概念，很多学生认为它是一个无限大的常数，思想还停留在常量数学阶段，而缺乏运动和变化的思想；相应地，将无限小的数就理解为“无穷小”。这样学生就会出现把“无穷小”和“无穷大”当成一个数进行四则运算，极限的四则运算法则成立的前提是两个函数的极限都存在，部分学生往往忽略这一点而造成错误。学生还经常忽视自变量的变化趋势对函数极限的影响，分段函数在分界点的连续性是教学中的一个难点，学生对为什么要计算左右极限感到不解。分析其原因，问题往往出在对极限概念的理解上，对自变量的变化趋势的理解不够。对此，纠正以上错误对具体求函数极限的习题也会有很大帮助。

五、及时总结求极限的各种方法

篇3

【摘　要】一直以来，高等数学课程学习困难、教学效果不显著，给专业课程的学习带来一定障碍。从教与学两个不同的角度分析了高等数学学习过程中遇到的问题后，给出了概念教学的对策。

关键词 高等数学；数学概念；教学

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式，正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。数学概念教学是课堂教学的一个重要组成部分，如何教好概念课，让学生深刻理解并准确掌握数学概念，是学生学好数学基础知识，提高学习成绩的前提，也是培养学生能力的关键。

1　高等数学概念的特点

高等数学是变量的数学，它研究变量的运动过程、无限过程；初等数学是常量的数学，它研究静态问题、均匀问题，高等数学从观点到方法都和初等数学有着本质的差异。高等数学的思想方法中，蕴涵着丰富的辨证唯物主义的思想，表现出相互依存与相互转换的对立统一关系，如常量与变量的关系，有限与无限的关系，近似与精确的关系等。刚从中学跨入大学校门的新生，他们还习惯于用静态、有限的方式来思考问题，所以教师在讲授高等数学的概念时，要求学生在思维模式上有本质的转变，从常量转向变量，从有限转向无限，从而把握高等数学的基本思想和方法。

2　学生学习高等数学概念的现状

概念是高等数学的基础，基础夯不坚实会严重影响高等数学的学习。在实际的教学过程中我们发现，每个教学班大概会有50%的学生虽然花大量的时间学习高等数学，上课认真做笔记，恨不得把老师黑板上写的每个字都记下来，下课也会做大量的习题，但到最后还是有30%左右的学生不能通过这门课程。无论是课堂提问还是与学生课后交流，我们发现一个普遍现象：60%左右的学生对高等数学中的概念不重视。我们做过一个小范围的调查，调查400名学生学完《极限与连续》后对本章基本概念的掌握情况，此次调查结果大致是：完整说出极限和连续概念的人数为15%，大概了解极限和连续概念的人数为25%，对极限与连续有点印象的人数为20%，几乎不知道极限与连续概念的人数为40%。在后续章节的教学中，我们又进行了类似的调查，最终与期末考试的成绩进行对比，结论非常明显：基本概念掌握好的同学无论是基础题还是能力题都做的比较好；对高数概念一知半解、只会套公式的同学的基础题还行，但是能力题的得分几乎为零。高等数学的概念通常会以公式的形式出现，刚从中学跨入大学校门的新生，受中学教育的影响，把数学的学习简单归纳为背定理和公式，套定理和公式。高等数学的学习不仅仅是会运用定理和公式，更应会运用所学知识灵活处理实际问题，培养学生分析问题，解决问题的能力，这些能力需要在学习基本定义、定理的过程中慢慢积累，因此在高等数学的学习中，概念的教与学是非常重要的环节。

3　高等数学概念教学的重要性

高职教育强调学生对职业技术的掌握,强调学生的应用能力和实践动手能力，为此课时都主要放在专业课的教学和实习实训上，在高职的课程设计中基础理论课教学时数一般都不多，高数老师在有限的课时内，要系统完成一元微分学的教学内容，势必每堂课包含的教学内容会非常多，通常是高中课堂的三、四倍，因此在课堂上教师不可能像高中教学那样通过反复讲解和训练的方式达到既定教学目标，只能靠讲授基本的概念和定理，在理解概念的基础上加深知识点的理解，这也培养了学生的自学能力。我们对高等数学在后续专业课中运用的广度和深度做过调查，发现专业课程对高等数学的需求绝大多数是基本概念和定理的运用，因此更要突出概念教学。一般来说，理工类专业的后续课程都需要用到导数和微分，而复合函数的导数是难点，绝大多数学生都学得不扎实，简单常见的复合函数会求导，但碰到复杂一点、特别是分段函数的求导时，就会束手无策，这也使得专业课老师对高数老师颇多微词。在学生的问卷调查中发现：60%的学生不知道复合函数、基本初等函数和导数的定义。在讲解导数时，我们在不同的教学班做了对比实验，在甲教学班讲复合求导法则时，先详细复习基本初等函数的定义、复合函数的分解和导数的定义，并且加强导数定义类题目的训练，用定义推导了几个基本函数的求导法则，对复合函数链式法则做了简单的说明，并要求学生记忆基本概念和定理；在乙教学班直接讲解复合函数的求导法则，没有对基本初等函数的概念，复合函数的分解进行复习，把教学重点放在求导公式的记忆和应用上，最后用同难度和数量的题目进行测试，发现强调概念教学的甲班对导数的掌握情况，无论从基础题还是能力题都要比乙班好30%左右。虽然不同的教学班会有一些不确定的随机因素影响结果，但一般来说差异不会这么大，所以概念教学是非常重要的。

积分在经管类专业课程中使用较多，学生一般只会机械地套用基本的积分公式，解决简单的积分问题，但由于积分公式比较多，学生感觉记忆负担较重，碰到类型相近的问题经常混淆，这些问题产生的原因是学生对原函数的概念的理解不透彻，甚至有些学生连原函数的概念都说不出，更谈不上灵活运用积分了。如果学生能够吃透原函数的概念，书本上那些基本积分表根本用不着记忆，它只不过是求导公式的逆运算，记住了求导公式，弄清楚了不定积分的概念，就能很容易记住积分表了。不过绝大多数学生对原函数的概念只是停留在字面的理解，搞不清它的实质，也就搞不清积分与导数之间的关系，感觉不定积分学起来比较费劲，从而给定积分的学习带来很大的困难。

总之，无论是教还是学，为了让高等数学这门工具性学科更好地服务于专业课，在高职教育“必须，够用”的理念下，概念教学是解决诸多矛盾的行之有效的方法之一。

4　高等数学概念教学的注意事项

高等数学概念是一系列探索活动的产物，我们应该让学生亲历知识发现的过程，在暴露数学概念生成的思维方式上多下功夫，并注意揭示出概念的本质，完成由较为直观的表述向严格的形式化表述的转化，把生动活泼的理性思辨通过数学概念的生成传导给学生，实施能动的心理和智能的导引。高等数学的概念通常比较抽象和严谨，因此概念课容易给人枯燥乏味的感觉，学生会比较排斥它，教师在讲课时，要讲究一些技巧，把严谨的概念用通俗易懂的语言描述（如原函数概念描述成导数的逆运算，用加和减、乘与除的关系类比两者的关系），可以用形象直观的图象语言来描述（如极限概念），也可以用专业课程中的专有名词来描述概念，让学生提前感受高数的作用（如经管专业中的边际就是导数）。另一方面，学生上概念课有一种错觉：为什么我把概念背得滚瓜烂熟，但不会解题呢？事实上，学生会背概念不一定表明他已获得概念，真正意义上的获得概念，就是运用概念做出判断和推理，能够根据概念解决数学问题，因此教师在讲授概念时不能就事论事，死抠书本，概念的引入要合乎逻辑, 更要合乎情理；概念之间要讲究逻辑次序， 更要注意认知次序。针对相同的数学概念， 不同的时代、不同的时间、不同的教学对象在理解的深度、侧重点以及要求上都不相同，这要根据自己的理解选取不同的诠释方法，体现各自的风格。

参考文献

［1］毛京中.高等数学概念教学的一些思考[J].数学教育学报,2003,5,12(2).

［2］王华丽.高等数学中极限概念教学的思考[J].科技创新导报,2012(1).

［3］王树禾.数学思想史[M].北京:国防工业出版社,2003.

篇4

高等数学(二)是报考经济学、管理学以及职业教育类等6个一级学科考生的必考科目。

《复习考试大纲》(高等数学)是考生必备的考前复习资料，是考前复习的指导性学习文件。

《大纲》阐述了考试的总要求，规定了复习考试内容，明确了考试形式及试卷结构，并且出示了样题，因此认真学习新版《大纲》，领会新版《大纲》的精神与要点，逐步掌握成人高考复习考试的规律与特点，是顺利完成专升本复习考试的重要保证。

复习考试大纲基本特点

2007年《大纲》与2006年《大纲》基本一致，其基本特点是：

1. 《大纲》强调复习考查高等数学中的基本知识、基本方法及基本技能，考查的知识点都是高等数学中最基本的、最主要的、最突出的知识点，是高等数学中必须掌握的知识点。

2. 《大纲》强调能力要求是在理解基本概念的基础上，能够正确推理证明，准确计算，能够综合运用所学知识分析并解决简单实际问题的能力。

3. 《大纲》中强调知识的综合与应用。在高等数学(二)中，如一元函数或二元函数简单的最值实际应用题、用微分法分析函数的性质及相应曲线的形态、求平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转所生成旋转体的体积等。在高等数学(一)中计算二重积分，求解一阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程等。

考生答卷中存在问题

篇5

一、加强学生们对数学概念和定理的正确理解

1.概念，例如在数列中的极限是一个抽象而且难懂的一项概念，高等学校的学生们很难正确理解数列中的极限是什么概念。

例如，辨析题：意思就是当ε

2.高等数学中，很多公式可以计算某些积分数据，但是计算过程是很复杂的。例如：可以用来计算积分，但是计算积分的条件必须让学生清楚这种格式在应用计算积分中是很少用上的，我们要想知道是不是可以用来进行等量代换，可以得出还可以推出，做到这一步了，其实可以直接得出，在这些辨析题中，可以让学生知道：在函数进行代换的时候，在[-1，1]上无意义的点t=0。最后才让学生知道原来这些辨析题不能进行变量代换公式，才能真正了解这些公式在条件中的作用。

3.在积分区间，根据积分的变量反映了积分的正负关系，所以在积函数中也会有形成因子时，有的时候也会变成，还有是会变成在积分区间划分为两个不同的公式，分别是。但是在高等数学中，很多数学对函数的积分概念理解不清楚，经常导致出现计算错误或者利用公式不对，从而导致计算出来的结果与答案完全不同，具有很大的误差。

例如，我们看下面的计算发生错误的地方：其实学生们都知道所以，我们明显的知道，这个公式的计算是错误的。但是通过这个高等数学的辨析题我们知道：

所以，我们才知道在计算积分时，我们不但可以改正计算积分的错误算法，还可以探讨出更加好的运算原理和新公式，得出更加方便和快捷的计算方法。以上的几个例子足以证明，在高等数学中，老师出辨析题对学生们的作用和提升了，只要同学们积极去思考和努力去计算，就可以解决一切计算的困难，这样才能真正应用概念和定理的作用。

二、加强知识沟通与开发

在多元函数中当f（p）在某一点p上时，偏导数存在，但是当f（p）在点p连续时，成立在点p上的充分条件。在高等数学中，一元函数和多元函数在偏导数的存在与否具有不同之处，在我国高等数学教材中给出的是：这样可以说明，多元函数在某一点上的偏导数就会存在，而当一元函数不连续时偏导数就不存在。这样的例子并不是想说明函数需要在某一点上连续或者说明函数必须在某一点上存在偏导数。我们可以看辨析题知道：例题1：已知一个函数在点f上当x与y都等于0时，求它们在点（0，0）上是否存在？而且看f（x，y）在点（0，0）是否连续？从这个例子我们可以得出什么规律或者原理？

这个辨析题不仅给高等数学中的学生带来了分析还给学生们总结了一个原理，那就是多元函数在某一点偏导数存在而函数不连续的情况确实存在，而且我们可以看出在几何图像中显出点（0，0）偏导数存在，知识描述了f（x，y）在图中的性态，其实不能真正在点（0，0）上连续存在偏导数。在不同的函数领域里，一定有f（x，y）-f（0，0）=1的某一点。所以，这种题目给高等数学学校的学生开拓了大脑思维，从而进入了更加深层的思考问题的范围之内了。

经过上面的例子分析和计算，我们可以知道为什么选择辨析题来给学生们进行理解和思考。这样不仅可以提高学生在理解课程知识的进步，还能对学生们所学到的知识进行巩固和延伸。

所以，在高等教育学校，我们应该做好辨析题分析，才能让学生们在辨析题中有提高和进步的空间。但是，在我国高等数学中，教好辨析题的做法与分析不是一件容易之事啊。老师必须在上课之前做好课前备课，课堂与同学们进行讨论和研究。同时有了老师积极付出，应该还少不了同学们的积极配合，这样才能有效提高高等数学中辨析题的作用，下面我们对辨析题的优点进行了总结以下几点：

1.做辨析题是同学们在做高等数学题中的一种题型之一，高等数学题还包括计算题、函数题、证明题、应用题等各种题型。而辨析题的作用主要可以让学生们对老师所讲的知识进行巩固和延伸，从而进一步让知识更加广。

2.解答辨析题，主要是应用老师教的辨析解题法。能真正解答辨析题的学生必须是经过了思考和积极思维去做出来的，因为辨析题很需要学生去探索和积极思维，才能更快地解决辨析题，锻炼解决辨析题，可以锻炼学生灵活利用数学知识和公式，从而对解决辨析题具有重大的作用。

3.解决辨析题，不仅仅是机械记忆的一种方法还是概念与定理的一种记忆，但是仅仅利用老师所教的概念与定理远远不够用来解决辨析题，所以，学生们还要积极对高等数学教材进行钻研和探讨，才能让以后的学习数学更容易。

三、结语

高等数学中的辨析题对学生们进行开拓思维和积极延伸所学知识具有重要的作用。还可以为学生们以后解决高等数学的其他题型。

参考文献：

篇6

Abstract: this article through the course of higher vocational higher mathematics nature, design idea, objective, teaching content, teaching methods and evaluation methods, compiling teaching materials, and other aspects of the design, the characteristics of higher vocational education outstanding, design science, and the actual curriculum standard

Keywords: high vocational colleges, the curriculum standard, the reform

中图分类号：S611文献标识码：A 文章编号：

一、前言

1.课程性质

高等数学课程是高职高专院校各专业的一门重要的基础课程，是理工、财金类各专业的必修课之一。它对培养、提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。《高等数学》课程既有鲜明理论性、知识性，还具有极强的现实性与实践性，是推动专业人才培养模式的改革和创新的一门重要的必修课程。

2．课程设计思路

依据课程的基本理念，根据专业群的需要，在内容的选择上，要从提高素质和加强应用的角度选择教材的内容，大胆取舍，以满足专业岗位的需求。针对专业群的学生特点及专业课程数学的需求，增加专业数学的应用内容，舍去不必要繁琐证明，重新进行组合，构成专业群的数学课程体系。实施模块化的、弹性的、互动的、多层次的教学，以满足职业岗位群的需求。打破传统的数学教学内容的限制、打破现有教材系统的约束，将留下的基础数学内容和增加的专业数学的应用内容，进行分析、改造、筛选、拆分和整合，然后理顺，形成一套崭新的教学内容。这套内容要弱化形式化的推理论证，强化知识的应用，体现数学的应用价值

二、课程目标

通过对高等数学课程的学习，使学生能够获得专业课程需要使用，适应职业岗位及终身学习所必需的重要的数学知识，掌握基本的数学思想方法和必要的应用技能；使学生学会用数学思维方式去观察、分析工程实际，从而进一步增进对数学的理解和兴趣；使学生具有一定的创新精神和提出问题分析问题解决问题的能力，从而促进知识、素质全面充分的发展。

三、教学内容和具体标准

根据专业课程设置教学目标和涵盖的工作任务要求，确定课程内容和要求，说明学生应获得的任务、知识和技能要求。

学习内容 工作任务 知识要求 技能要求 专业相关案例 学时安排

1.

函数、

坐标系 1.函数概念的建立

2.建立实际问题中的函数关系，建立简单的数学模型。

3. 作简单的函数图像。

4．认识空间常见图形。 1. 理解函数概念及记号、表示法.

2.了解反函数和复合函数的概念。

3.掌握基本初等函数的性质及其图像。

4.能列出简单的实际问题中的函数关系。

5.理解一般平面方程及其各种特殊情形。

6.了解球面和母线平行于坐标轴的柱面的方程与旋转曲面的方程和图形，了解空间曲线的参数方程，一般方程。 1. 会求函数的定义域并能用区间表示。

2.会求函数值及函数表达式。

3.能作简单的函数图像。

4.会求空间两点间的距离。

5．会求简单的平面方程。

2.

极限 1.由实际问题引出极限概念.

2.极限的运算。

3.极限应用 1.知道函数极限及左、右极限的概念，并能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解。

2. 掌握极限的四则运算法则。

3.会用两个重要极限求函数的极限。

4.了解无穷小与无穷大的概念，无穷小的性质。 1.极限的运算。

2.极限的应用。

3.无穷大、无穷小的判定。 10

3.

连续 1.函数连续的有关概念。

2.间断的概念及其求法。 理解函数在一点连续的概念，知道闭区间上连续函数的性质 1.会判定函数在一点的连续性

2.会求函数的间断点并判定其类型。 8

4

4.

微分学 1.研究导数、偏导数的有关问题 1、理解导数的概念，了解导数的几何意义及函数的可导性与连续性的关系，并能用导数描述一些简单的实际量。

2、熟练掌握导数运算法则以及导数的基本公式，会求函数的导数和偏导数。了解高阶导数的概念，能熟练地求初等函数的一阶，二阶导数。

3、了解隐函数和参数式所确定的函数导数的求法。 1.导数概念及几何意义的应用。

2.会求初等函数的导数；

4.多元复合函数一阶偏导数的求法。 12

2.研究微分及全微分的有关问题 1.理解函数微分和全微分的概念，知道全微分存在的充分条件。

2.掌握微分在近似计算中的应用。 1.会求函数的微分和全微分。

2.会利用微分进行近似计算。 4

3.导数的应用 1.了解罗尔定理和拉格朗日定理。

2.理解函数的极值概念。掌握求函数的极值、判断函数的增减性与曲线的凹、凸性、求函数图形的拐点等方法。会求水平与铅直渐近线。能描绘简单函数图形。会解较简单的最大值、最小值的应用问题。

3.会用洛必达法则求极限。 1.利用罗尔定理研究方程的根。

2.利用拉格朗日定理证明等式和不等式。

3.利用洛必达法则求未定式的极限。

4.利用导数求函数单调区间、极值、曲线的凹凸区间和拐点。

5.利用导数求一元、二元函数的极值。

6.最值的实际应用。 8

5.

积分学 1. 不定积分 1.理解不定积分的有关概念，了解其性质。

2．熟悉不定积分的基本公式和运算法则。熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。 积分运算 12

2. 定积分及其应用 1.理解定积分的概念与性质。

2.掌握定积分的计算。

3.掌握牛顿—莱布尼兹公式。

4.掌握定积分的换元积分法和分部积分法.

5.会用定积分表达一些几何量及物理量（如面积、体积、弧长、功等）的方法。掌握利用定积分的微元法求平面图形的面积 1.积分运算

2. 会计算定积分

3.利用定积分求几何量和物理量。 10

6.常微分方程 1.解微分方程

2. 利用常微分方程解决实际问题 1.了解微分方程、阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

2.熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3.知道二阶线性微分方程解的结构。

4.熟练掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。

1.解微分方程

2.利用微分方程解决实际问题。 8

7.

矩阵及其运算 1. 行列式2. 矩阵 1 矩阵的概念与运算

2 行列式及计算

3 矩阵的初等变换及矩阵的秩

4 逆矩阵

12

合计 90

四、教学方法

采用启发式讲授、引导发现法、讨论法、目的教学、任务驱动、讲练结合法和实例教学法等。教师根据不同的教学内容选择不同的教学方法。总之：改变以教师为中心，强调以学生为主体，给学生以更多的活动空间，让他们积极地参与教学过程，提高学生的学习主动性。在课堂教学中注意精讲精练，适当增加课堂练习时间，以减少学生课外负担。在教师讲课中要贯彻设疑（提出矛盾）、析疑（分析矛盾）、解疑（解决矛盾）三个环节的启发教学，引导学生对数学现象有好奇心，并能进行独立思考，提出解决问题的方法和探索问题的思路。教学中应尽量使用现代教学技术和现代信息技术等。提高教学质量和教学效果。

五、评价方式

教学评价分为过程评价（占20-40%）和结业评价（占60-80%）两部分。

过程评价可以采取课堂评价、作业评价、阶段测验评价、解决实际问题的创新能力评价相结合的方式进行。

结业评价是学期终结业考试的形式来评价学生。

六、教材编写建议

根据《标准》的要求，教材的内容要以应用为目的，以必需、够用为度和少而精的原则，在保证科学性的基础上，注意讲清概念，减少数理论证，注重学生基本运算能力和分析问题、解决问题的能力的培养，重视理论联系实际，内容通俗易懂，既便于教师教，又便于学生学，努力体现高等职业技术教育特色。在内容的组织上，在保证相对系统性的前提下，突出以问题解决为核心来组织编排内容，并及时配备与教材内容吻合，灵活多样难度量适中的习题。在内容的呈现上要形式多样化，力争将抽象的内容形象化，这样就要求文字描述简洁明快流畅、多配图形，版面整洁新颖，从而编写出具有自身特色，为师生所喜爱的教材。

参考文献：

1．侯风波主编的《高等数学》及《高等数学训练教程》（教育部高职高专规划教材），北京，高等教育出版社。

2．同济大学、天津大学、浙江大学、重庆大学编写的《高等数学》（教育部高职高专规划教材），北京，高等教育出版社。

篇7

中图分类号：G42文献标识码： A

一、前言

随着教育的不断改革，在进行高等教学的过程中也在不断进行改革，而高等数学由于其特点，在进行教学过程中会出现的问题。因此我们需要进行概念教学阶段的分析和探讨。

二、目前高职院校高等数学教学的现状

1、学生基础参差不齐

随着近几年高职院校的的飞速发展，招生规模不断扩大，生源也呈现出多元化的特点，学生中有的是通过全国统一高考进入大学，有的来自对口招生，也有的是通过自主招生入学的。这直接导致了学生的数学基础差异较大，程度好的学生“吃不饱”，程度差的学生“不消化”，这样的情况给课堂教学带来了一定的困难。

2、与专业对口的教材严重缺乏

由于培养目标、专业性质的不同，各专业学生对高等数学知识的要求也不相同。而目前市场上的高职数学教材，只是在本科数学教材的基础上，对内容进行了一些删减，并无本质不同，缺乏针对性。

3、教学方法与手段单一

在高职数学教学中，“黑板加粉笔”、“满堂灌”的教学方法仍然占主导地位，学生始终是“受众”，这种单一的教学方法难以调动学生的学习兴趣，也不利于对学生各方丽能力的培养。

4、学生的学习方法落后

传统的教学理念使学生养成了“被动学习”的习惯。学生认为学习就是“课堂上听老师讲”、“下课做作业”，学生在学习的过程中，没有发挥主观能动性，没有参与到发掘新知识的过程中，对知识的理解停留在表层，这些现象阻碍了学生发散思维的培养。

三、概念教学的阶段剖析

1、概念的引入阶段

高等数学的内容非常丰富，然而教学课时有限，有些教师在课堂教学时对教材进行大胆处理：省略概念的引入，直接给概念下定义。这样虽然节省了时间，但是教学效果不理想，教学质量得不到保证。因此，在教学中必须重视概念引入的教学设计。

引人数学概念就是要揭示概念产生的实际背景和基础、了解概念的必要性和合理性，并初步揭示它的内涵和外延，给概念下定义等①。在这一过程中，教师的主要任务是设法帮助学生完成由感性到理性的认识过渡，或者是帮助学生把新材料与原有认知结构建立实质性的联系。在教学中应重视概念的引入，为学生提供丰富的直观背景素材，提出有趣生动、发人深省的问题，使学生经历概念的发生和形成过程。以函数概念为例，函数是从数集到数集的一种映射关系。其优点是开门见山，简明扼要，方便板书。不足之处是理解较困难，一般在给出定义后需增加许多相关内容，才可以将其表述得更加全面。如果先使用符号语言厂：A―B增强定义的直观性，并强调A与B为数集这一特性；在举出简单例子之后，总结出函数定义的两个要求――定义域、值域及对应法则；进一步举例分析，将两个函数是否相等的问题归结成判断该二函数的两个要素――定义域与对应法则是否分别相同，而不必考虑函数变量名的选择。

2、概念的明确和理解阶段

为了使学生真正理解认识、形成科学概念，教学中在引入概念的基础上还需准确、深刻地引导学生理解、明确其内涵和外延以及概念间的关系，逐步建立起概念体系。我们知道，极限贯穿整个高等数学，掌握极限概念对于后面的学习显得尤为重要，而很多学生对极限概念掌握得并不好，虽然能背诵其定义，但是对其本质属性的理解不够准确，故计算常出错误。这说明真正理解一个概念的内涵并不是件容易的事。

有些概念从表面上看似乎差不多，如原函数与不定积分，定积分与广义积分，导数与微分，学生常常分辨不清，教学时可引导学生找出它们的异同点，从概念的内涵和外延上去区别它们。原函数是指单个函数，而不定积分是表示全体原函数所构成的函数族。原函数和不定积分既是两个不同的概念，又是有联系的，是“个别”与“全体”的关系；定积分是和式的极限，广义积分实质是函数的极限，它不属于定积分；导数是增量比的极限，微分是函数增量的主要部分，它们是两个完全不同的概念，两者又有密切的关系，函数可导则必可微。

3、概念的巩固和运用阶段

为了使学生牢固地掌握概念，并能够正确、灵活地运用概念，教学中应采取多种形式，通过多种途径，引导学生复习概念，充分发挥概念在运算、推理和证明中的理论指导作用。

及时复习。为了使学生牢固掌握所学概念，必须依据科学的心理规律，及时对已学概念进行复习。复习并不是简单机械地重复，而是对所学知识进行再整理，根据已学过熟悉的知识进行归纳、类比，从而达到巩固概念的目的。例如学完曲线积分和曲面积分后，就应该及时地复习，在复习过程中可以对照“对弧长的曲线积分”和“对面积的曲面积分”的概念，对照“对坐标的曲线积分”和“对坐标的曲面积分”的概念，对照两类曲线积分之间、两类曲面积分之间的概念，分析它们的关系及异同，这样就能加深对线面积分概念的理解。

广泛联系实际，灵活运用所学概念。这也是概念教学的有效途径，是使学生牢固掌握概念，加深对概念理解的必由之路。及时布置一些联系所学概念、检查所学概念的作业，精心选择一些运用概念指导运算、作图、推理和证明题，让学生在解决问题的过程中灵活运用概念，培养学生的逻辑思维能力。

四、调动多种教学手段，完善高等数学的概念教学

概念教学一般比较枯燥、乏味。如何调动学生的积极性，使他们爱学、会学、学得好呢？如何调动多种教学手段，把教师和学生两个积极性都发挥出来。这是高等数学概念教学中不可回避的问题。

1、探讨式

概念教学从表面上看，是讲解或表述那些约定俗成的概念定理，是循规蹈矩的。但如何讲得好，使学生学会并进而会学便很有创造意味了。要达到这样的目标，课堂讨论是必不可少的。通过讨论可以引进竞争机制。人们的认识存在着一定差异，这些差异在讨论中互相碰撞冲突，便产生了认识问题的灵感，同学之间取长补短，这种交流带来的效果是不能用简单的数量相加来计算的，况且有很多问题在听别人说时似乎是明白了，但自己讲时又有些模糊不清，于是在发言时，再一次整理自己的思路，对所学的概念的认识就会更加清晰。

2、质疑式

在高等数学的概念教学中，抽象思维占有相当大的比重，即便有可能以形象思维表述内容，最终形式还是抽象思维的产物。这一特征需要教师把质疑解惑作为重要的教学手段。

所谓小疑则小进、大疑则大进、不启不发、不愤不悱，正是这个道理。质疑解惑的方法有多种。通常是学生提出问题，教师做出解疑释惑，使学生清晰、准确地掌握所学概念，这是比较直观肤浅的质疑解惑法。高明的教师应该学会设疑、引疑，然后再解决这些疑难。所谓设疑是在大量调查研究的基础上，事先预料好可能出现的那些疑点、问题、避免课堂上出现僵局，无疑可问，启而不发，形成教学的负面效应。引疑是采取类比的方式，引发学生考虑疑点、挖掘学生的疑点，把这些疑点进行梳理、归纳，总结出有规律性的东西来。这样将有助于学生深化对概念的认识，使学生不仅准确掌握概念，还可以举一反三、触类旁通。

3、适度使用多媒体教学，使概念教学系统化、科学化

如果学生很难想象空间概念、定积分的概念等，可以使用相应的软件制成课件，给学生一个感官的认识，促进其对概念的理解。比如，进行章节、单元、阶段复习时，可以通过主菜单式的选择方式，利用电脑把各章节概念、定义、法则列表或梳理成系统，详细地进行复习，还可以对学生掌握薄弱环节单独调出来进行重点复习，边学边练边体会，达到熟练掌握，运用自如的要求。这种方式是传统教学无可比拟的，它图文并茂，更系统、更全面。

结语

总的来说，通过对高等数学概念教学进行分析，进而为提高高等数学的概念教学质量提供了对策，这样有助于更好地提高高等数学的教学水平。

参考文献

[1]李思霖 高等数学概念教学阶段分析与对策思考 [J] 《成都电子机械高等专科学校学报》 -2010年2期-

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中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）01-0392-02

1.引言

德国数学家F.克莱因认为：教师应具备较高的数学观点，基础数学的教师应该站在更高的视角（高等数学）来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单。函数零点问题涉及化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等重要的数学思想，且很多学生一直都有"恐函症"，一见"任意""存在"等字眼就发懵，因此，尽管这个命题只有寥寥数语但也带给学生不少困惑。另外，《数学分析》也对该函数零点问题进行了延续，罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、数列致密性定理等都与它有千丝万缕的关系。本文从函数零点的概念延伸、函数零点的求解方法及导函数的零点问题对函数零点的几种应用类型进行比较，并进一步阐述函数零点问题在中学数学与大学数学中的联系。

2.零点概念性质的延伸

定义1[1]（函数零点） 对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。

同时，关于函数零点，我们有如下几个等价条件[1]：函数y=f（x）有零点方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点。

这个概念本身就已经结合了函数与方程的思想，而《高等代数》[2] 又赋予了这个概念新的解释：f（λ）=|A-λE|为A的特征多项式，则特征方程|A-λE|=0的根λ就是A的特征值。也就是说矩阵的特征值就是其特征多项式的零点，这就将零点应用拓宽到了矩阵领域。

另外，《数学1》[3]中还给出了一个结论，延伸到《数学分析》[7]里，我们把它称作函数零点存在定理： 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）.f（b）

这个定理看起来非常易理解，但却包含了三个条件：⑴闭区间连续；⑵端点函数值互异；⑶开区间有零点。实际上是数学分析中介值定理的下放。而在此基础上也可以推导出零点个数的判定定理，加深对零点个数问题的理解。

定理1[4] 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，设f（a）.f（b）≠0，则当f（a）和f（b）同号时，f（x）在区间（a，b）内包含偶数个零点；则当f（a）和f（b）异号时，f（x）在区间（a，b）内包含奇数个零点。即存在c∈（a，b），使得f（c）=0。这个c也就是方程f（x）=0的根。

此外，我们在解方程时有涉及重根的概念，在利用穿根法解不等式的时候涉及"奇穿偶不穿"的原理，在高中阶段往往被作为零碎的方法或概念去解决某一类问题，而从零点角度，则可以统一概括为：解析函数的一个零点是否导致符号变更（是否为一"交叉点"），按此零点重数是奇数或偶数来定。而符号变更这一概念不止在解析函数适用，在非解析函数仍然适用。有了这些高等数学的理论和概念作为支撑，在高中函数零点的教学过程中，就可以渗透更为精确的概念和表述，提升数学素养。

3.中学与大学函数零点问题的对比和讨论

中学与大学函数零点问题主要归结于在函数零点概念性质的延伸的背景下，通过对中学与大学用不同知识点来解决函数零点问题的几种应用类型进行比较，并进一步阐述其在中学数学与大学数学中的联系。

3.1 二分法与区间套定理。在中学数学现有的各版本高中教材中，均给出了利用二分法求零点近似解方法。然而在大学数学中，利用区间套定理求解函数零点问题，这是二分法在大学数学中的直接延拓，更是新课改下，大学知识简化进入中学教材的典例。

例2 利用区间套定理证明零点存在定理。

证明 由区间套定理知：

1.进行若干次等分后，某分点cn处函数值f（cn）=0此时取ξ=c即可

通过对比，我们发现无论是区间套定理还是二分法，都是通过将相应区间的两个端点逐步逼近得到相应的点，只是区间套定理相对于二分法求零点的一个最大突破就是加入了极限的概念，另二分法当中的精确度ε0，从而使近似值趋于精确值，得到了质的飞跃。当然，尽管二分法在区间套的选取当中仍然扮演重要角色，但区间套定理不仅限于此，不只是满足即可，这也是从形式上对二分法的一种提升。另外，区间套定理中加入的唯一性的证明，则进一步体现了数学的严谨性和准确性。由此，我们也可以发现中学与大学数学的紧密联系，可以看出函数零点在高等数学教育中的基础作用。对函数零点定理的掌握可以帮助学生更好地学习实数完备性理论，一步步从区间套定理到聚点定理、有限覆盖定理等更高深的理论，从而提升其数学修养。

3.2 导函数零点问题--极值与罗尔定理。高中数学中的导函数零点问题，一直是高考当中的重点，源于它能将各大基本函数（这里指指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等基本初等函数）的图像和性质融为一体。便于考查学生综合解题能力以及对知识点的灵活应用。其主要涉及函数的极值问题，是高中数学的一块重要内容（重庆高考卷一般会考查"一大一小"）。

将函数零点转化为某函数导数的零点则是对这一问题的逆用，是《数学分析》中的罗尔定理在高中数学的基础上，从微分到积分的跨越。

例3 （改编自2012年高考数学湖北卷文科第三题） 证明：函数在 上至少有四个零点。

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究其原因有以下几点；一是学生抽象概括能力欠缺。从客观世界的现实中抽象概括出数学概念，对接受过高中教育的人而言，应该初步具备了这种能力。但目前高职学生这方面能力普遍较差。二是学生对极限思想和方法的不适应。由于高等数学是建构在极限理论的基础上、以极限为基本工具研究函数的一门数学学科，因此，研究问题的思维方式总体上由“静态”变成了“动态”。而函数的连续性是运用极限理论定义的第一个概念，学生对于运用极限思想刻画函数的这种动态特性，需要一个适应过程。三是教材的简化。现在选用的高职高专《高等数学》规划教材，在“必需、够用”原则的指导下，降低了理论难度、简化了知识内容。多数教材的“函数连续性”一节直接给出函数在点连续的定义，缺少必要的例证加以辅助。学生很难通过阅读教材理解函数连续的概念。针对上述原因，教师在教学时应着重抓住以下几点，帮助学生建立起函数连续性的概念。

函数连续性的本质特征

要理解函数连续的概念，首先要抓住连续的本质特征。自然界中植物的生长、河水的流动、温度的变化等等现象，都是连续变化着的，把这种现象进行抽象，反映在函数关系上就是函数的连续性。如果只是这样概括，学生对连续本质特征的把握是不到位的。此时可再从以下现象分析：两个人几天不见，再次见面时并没有感觉到彼此的变化，难道这几天俩人真是都没有变化吗？显然不是。人从出生到衰亡，时时刻刻都处在连续变化之中，尽管这种变化很微小，不宜察觉，但它是不间断的。如果我们从函数的角度分析，上述现象就相当于函数的自变量在某一区间段上连续变化时，因变量也随之连续变化，即使自变量的变化很微小，因变量也会随之有微小的变化。经过的这样分析，学生就能较好地把握函数连续性的本质特征了。

函数连续性的研究方法

函数的连续性反映了现实世界中连续的动态变化现象，如同一个动点能够沿着一条延绵不断的曲线运动。如何才能使学生认识到，研究函数的连续问题必须先从研究函数在一点上的连续开始呢？我们从自然界的连续现象中很容易认识到一个断点就能打破一条连续链。同样，观察函数的图像也会发现函数的曲线也呈现这个规律，如动点在曲线y=sinx上可以顺畅地移动，而在曲线y=tanx或f（x）=x2，x＜0x+2，x≥0上移动时，会在点x=kπ+，（k∈Z）或x=0处被“卡住”。通过这样的观察分析，学生就很容易归纳出：曲线上一个点便可决定一个函数在某个定义区间上的连续性。这样，函数连续的问题就归结到了研究函数在一点上的连续。

用什么方法确定函数在一点上的连续呢？函数在一点上的连续是一个局部概念，反映了函数在一点处两个变量增量间的变化关系，即当函数的自变量有一微小变化时，因变量也随之有一微小变化。如果利用初等数学的方法刻画这种关系，显然是行不通的，只有借助于极限工具进行深入的分析研究。通过教师适当引导，学生便会知道要想解决函数在一点上的连续的问题必须运用极限的思想方法。

函数连续性的定义

一个数学概念的形成过程，是人们对客观现象进行探索归纳、抽象概括的过程。教学上如果对这一过程进行情境再现，不仅可以使学生了解概念的形成背景，而且对学生理解掌握概念的本质及其应用大有益处。若只是“填鸭式”传授，把概念直接灌输给学生，效果可想而知，也失去了通过数学教学过程对学生进行观察分析、抽象概括能力培养的作用。

讲授“函数连续性”一节时，可以先借助多媒体给学生播放植物的生长、河水的流动、汽车在高速路上奔跑等连续现象，再播放一棵大树被拦腰截断、一条大坝截住河水流动、一座断裂的桥梁造成车辆停滞不前等不连续现象，与学生一起分析探索上述现象引出函数连续尤其是在一点上的连续的问题，并形成定义。

通常，关于函数y=f（x）在点x0连续的定义有两种形式：

定义1：设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量x=x-x0趋于零时，对应的函数的增量y=f（x0+x）-f（x0）也趋于零，即y=0，那么就称函数y=f（x）在点x0连续。

定义2：设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f（x）当xx0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f（x0），即f（x）=f（x0），那么就称函数y=f（x）在点x0连续。

不同的教材，给出两个定义的顺序不同。无论哪种顺序，关键是使学生理解并掌握函数y=f（x）要在点x0连续，必须满足条件f（x）=f（x0）或y=0。为了使学生搞清楚条件的含义，教学时可以从反例入手，借助函数的图像加以分析。

若先讲定义2可以列举以下实例：

例1：考察函数y=在点x=1处的变化情况。

如图1所示，函数y=的图像是直线y=x+1去掉了点（1，2），显然函数y=在点x=1处就像一条绳子被剪断为两截不再连续，究其原因是函数在此点没有定义。

例2：考察函数f（x）=x2，x＜0x+2，x≥0在点x=0处的变化情况。

如图2所示，函数f（x）=x2，x＜0x+2，x≥0在点x=0处出现了“跳跃”断开了，这种断开不是因为没有定义造成的。学生要问是什么原因造成的呢？这时应引导学生从极限角度进行分析，由f（x）=0，f（x）=2，可知f（x）=0不存在，由此便知，函数在有定义无极限的点处不连续。

例3：考察函数f（x）=x2+1，x≠10.9，x=1在点x=1处的变化情况。

如图3所示，函数f（x）=x2+1，x≠10.9，x=1在点x=1处遇到了“陷阱”。直观观察，函数在处的函数值不是f（1）=12+1=2，而是f（1）=0.9。再进一步观察发现，函数在点x=1处有定义极限也存在，可是f（x）=2，与函数值f（1）=0.9不相等，所以出现了“陷阱”。

三例过后进行小结，得出函数y=f（x）在点x0处若遇到下列三种情况之一就会不连续：（1）没有定义；（2）有定义、极限不存在；（3）有定义、极限存在、但极限值与函数值不相等。这时善于思考的学生就会产生下列想法：“当函数y=f（x）在点x0处同时满足了有定义、极限存在、极限值与函数值相等三个条件时，情况会是怎样呢？”这时教师可以引导学生观察连续函数曲线在一点上的状况。

例4：考察函数y=x2在点x=2处的连续情况。

通过看该函数的图像发现，函数y=x2在点x=2处没有断开是连续的，并且同时满足上述三个条件。这样学生就可以比较充分地认识到：函数要在一点上连续，必须满足条件f（x）=f（x0），以及其中的含义。从几何角度分析，动点在经过曲线上的一点时，经历了沿着曲线无限接近于这一点的过程，如果函数在此点连续，动点就能到达此点并顺利通过，否则就会被“卡住”。

在讲解定义1时也可以采取同样的方法，使学生理解函数y=f（x）要在点x0连续，必须满足条件y=0。可以借助下列函数的图像进行直观地分析。假设函数y=f（x）在点x0处有增量x，当时x0时，由图4所示的函数中发现，其相应函数的增量yA（A≠0），即y=A≠0。从图5所示的函数中看出，相应函数的增量y不能够收敛于一个确定的常数，从而导致y不存在。在图6所示的函数中，相应函数的增量y∞，即y=∞。以上三种情况，函数y=f（x）在点x0都是不连续的，三个函数在点x0处都不满足条件y=0。而在图7所示的函数中，函数y=f（x）在点x0处连续，而条件y=0恰恰在点x0处得到了满足。这样就加深了学生对函数y=f（x）在点x0处满足条件y=0就连续的理解。而条件y=0刻画了函数连续的实质：当自变量有一微小变化时，因变量也会随之有一微小的变化。

函数连续性的整体概念

如果只将函数的连续性局限在一点上连续的层面上，还不能全面把握函数连续的概念。如当考察函数y=sinx在点x=0处的连续性时，根据函数在一点连续的定义，由等式sinx=0=f（0）便知函数y=sinx在点x=0处是连续的。而当考察函数y=sinx在其定义域（-∞，+∞）上的连续性时，该如何进行呢？这需要进一步建立起函数连续性的整体概念。

一般的，知道了怎样判定函数在一点上连续后，应给出函数在开区间（a，b）上连续的概念，即在开区间（a，b）内连续的函数y=f（x），必须在开区间（a，b）内每一点都连续。根据上述要求，在探讨函数y=sinx在（-∞，+∞）上连续的问题时，要说明y=sinx在（-∞，+∞）内的“每一点”都连续，显然逐点验证是不可能的，如果能够寻找到可以“代表”每一点的“点”，通过证明函数在此点连续，进而就可说明函数在区间上连续。

经分析发现，只要在区间（-∞，+∞）上设出任意一点，用“任一点”代替“每一点”加以证明即可使问题得到解决，这也正是数学简约美之所在。如果考察函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的连续性，不仅要求它在区间（a，b）上连续，而且还要满足在区间的左端点a处右连续，右端点b处左连续。至此，关于函数连续性的概念就完整了，学生就会达成这样的共识：函数的连续是动态变化的，是通过函数在其定义区间上的每个点上的连续实现的。连续函数的图形呈现为一条连绵不断的曲线。

参考文献：

[1]曹之江．谈数学及其优教（名师谈数学）[M]．北京：高等教育出版社，2008.

[2]罗韵蓉．浅谈函数的连续性与间断点的教学体会[J]．科学咨询，2009，（4）.

[3]张景中．数学与哲学[M].大连：大连理工大学出版社，2008.

[4]同济大学应用数学系．高等数学[M]．北京：高等教育出版社，2007.

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高等职业教育的培养目标是为生产服务和管理第一线培养实用型人才，根据这个目标，高职数学课程的一个重要的任务，就是培养学生用数学原理和方法解决实际问题的能力.为此，在高职高等数学教学过程中，可以采用让学生主动参与教学过程的探究式教学法.其次，原本在微积分中的极限、导数、单调区间与极值、定积分等内容已经成为高中数学的基础知识，学生容易出现因为学过而轻视，还是不能真正理解的情况.因此，有必要通过一些探究式的设问，引导学生重新构建这些概念，以便于更好地理解.下面主要探讨探究式教学模式在高职机电类高等数学教学中的实践.

通过对我院2009、2010、2011级高职机电类开设高等数学课程的学生数学基础的调查分析，了解学生中学时对极限、导数、定积分等内容的掌握情况，分析整理新课改后学习高等数学所缺的内容，编写了基于问题解决的探究式教学的讲稿，并进行教学实践.

1.高职机电类高等数学的教学内容与探究式教学的方式

2.基于问题解决的探究式教学的实践

在高等数学教学中，通过设计合理的教学情境，通过探究式的设问，引导学生构建数学概念、定理和解题方法，让学生形成真正的、深刻的、灵活的理解，使数学知识中蕴含的思维方法转化为学生思考问题的工具.

（1）基于语义探究

有些数学概念可以“顾名思义”.通过挖掘数学概念、定理名称背后的含义，让学生探究概念、定理的详细内容.例如，邻域、最值定理、零点定理等，均能从字面含义探究详细内容.

（2）基于推理探究

实行新课改后，学生们基本上都没有学过反三角函数，而在高等数学的学习过程中，经常会涉及反三角函数的各类运算.在有限的课时内，无法详细介绍反三角函数的相关知识，只能教会学生从三角函数相关知识入手，利用反函数的性质进行推理，自我探究反三角函数的相关知识.

（3）基于公式探究

由于数学概念的抽象性和逻辑性特征，使得众多的数学概念符号化、公式化.因此在高等数学的教学中，应该注重学生数学语言运用能力的培养，引导学生利用数学公式来探究数学概念.例如极限的概念、连续的概念、导数的概念等的教学，都可以借助几何图形，通过探究式的设问，引导学生分析推理出概念表达式，在公式的基础上探究数学概念语言.

（4）基于图形探究

几何图形具有直观性.中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与函数在该区间内某一点的导数之间的关系，是用微积分学知识解决应用问题的基础，同时也是学生较难理解的内容.在教学中，可以通过探究式的设问，引导学生通过观察函数图形得出一些结论，再将这些结论整理成为罗尔定理的条件和结论，在分析探究中让学生完成定理的构建和证明过程.

（5）基于例题探究

有些例题的求解，包含了利用已有知识、加入特殊方法、分析推理探究出新方法的过程.例如复合函数求导法则、第一换元积分法、拉普拉斯变换等，都可以从例题的分析求解入手，通过探究式的设问，引导学生自己探究新方法.

（6）基于思想探究

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    首先是初等函数相关问题分析:

    1.绝对值函数的概念及性质

    绝对值函数是个很广的概念,可分为两大部分,一部分是绝对值施加在X上的,另一部分是绝对值号施加在Y上的,如y=|x| |y|=x 就记住绝对值号在谁上头就把原图像根据哪一个轴做轴对称变换,记住这一点,不管多复杂的解析式都可以照此办理.绝对值函数可以看作初等函数。

    1.1绝对值函数的定义域,值域,单调性

    例如f(x)=a|x|+b是

    定义域:即x的取值集合,为全体实数;

    值域: 不小于b的全体实数

    单调性:当x<0,a>0时,单调减函数;

    > > 增 ;

    < < 增 ;

    < < 减 ;

    1.2绝对值函数图象规律:

    |f(x)|将f(x)在y轴负半轴的图像关于x轴翻折一下即可,在y轴正半轴的图像不变。

    f(|x|)将f(x)在x轴负半轴的图像关于y轴翻折一下即可,在x轴正半轴的图像不变。。

    1.3带绝对值的函数求导,即将函数分段。

    2.取整函数的概念与性质

    2.1取整函数是:设x∈R , 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数,并用"{x}"表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为取整函数,也叫高斯函数。任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和,即:x= [x] + {x},其中{x}∈[0,+∞)称为小数部分函数。

    2.2取整函数的性质:a 对任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.b对任意x∈R,函数y={x}的值域为[0,1).c 取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2∈R,若x1≤x2,则[x1]≤[x2].d 若n∈Z,x∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.e若x,y∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.f 若n∈N+,x∈R,则[nx]≥n[x]. g 若n∈N+,x∈R+,则在区间[1,x]内,恰好有[x/n]个整数是n的倍数.h 设p为质数,n∈N+,则p在n!的质因数分解式中的幂次为p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+…

    3.导数的概念与性质

    3.1导数,是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。导数另一个定义:当x=x0时,f‘(x0)是一个确定的数。这样,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们称他为f(x)的导函数(简称导数)。

    3.2求导数的方法

    (1)求函数y=f(x)在x0处导数的步骤:① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);② 求平均变化率;③ 取极限,得导数.

    (2)几种常见函数的导数公式: ① C'=0(C为常数函数);② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q); ③ (sinx)' = cosx;④ (cosx)' = - sinx;⑤ (e^x)' = e^x;⑥ (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数);⑦ (Inx)' = 1/x(ln为自然对数;⑧ (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1).

    补充:上面的公式是不可以代常数进去的,只能代函数,新学导数的人往往忽略这一点,造成歧义,要多加注意。

    (3)导数的四则运算法则: ①(u±v)'=u'±v'; ②(uv)'=u'v+uv'; ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2.

    (4)复合函数的导数

    复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。

    4.高等函数的概念以及含义问题

    4.1一元微分

    1)一元微分是设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) ?f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依赖于Δx的常数),而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx。

    通常把自变量x的增量 Δ

    x称为自变量的微分,记作dx,即dx = x。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。 当自变量X改变为X+X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X+X),如果存在一个与X无关的常数A,使f(X+X)-f(X)和AX之差是X0关于X

    的高阶无穷小量,则称A·X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微。一元微积分中,可微可导等价。记A·X=dy,则dy=f′(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。

    2)其几何意义为:设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

    4.2多元微分

    1)多元微分的概念:与一元微分同理,当自变量为多个时,可得出多元微分的定义。

    2)多元微分的运算法则

    dy=f'(x)dx

    d(u+v)=du+dv

    d(u-v)=du-dv

    d(uv)=du·v+dv·u

    d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2

    3)微分表

    d(x^3/3)=x^2dx

    d(-1/x)=1/x^2dx

    d(lnx)=1/xdx

    d(-cosx)=sinxdx

    d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx

    高等函数中还有值定理与导数应用、泰勒中值定理、曲率、方程的近似解、不定积分、定积分、平面曲线的弧长、、可降阶的高阶微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、向量代数与空间解析几何、重积分及曲线积分以及无穷级数等,本文就简单的函数问题做一总结。

    【参考资料】

    1.复变函数论.高等教育出版社,2004,01.

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中图分类号：G64 文献标识码：A

文章编号：1009-0118（2012）05-0142-02

高等数学，在高等院校中可以说是一门要求逻辑和思维能力非常强的学科，在高等数学教学中，学生可以培养和锻炼自身的抽象和思维能力，可以充分调动自身的空间思维能力和空间想象能力，学生如果掌握其高等数学学习的能力，那么对于提高自身能力来说，是百利而无一害，因此，为了能让学生掌握和了解高等数学学习方法，我们在高等数学中可采用反例教学，来引导和启发学生学习高等数学，进而，培养学生的思维能力和创新的能力，让学生能够具备解决问题的能力，然后将这样的学习能力，应用到学习工作和生活中，不断的提高和完善自身素质和技能。

一、采用反例教学方法，提高学生对于知识的理解

在高等数学教学过程中，可以说高等数学中存在很多的概念以及相应的定理和规则，这样就给学生在学习高等数学过程中带来了很大程上的困难，因为在高等数学中的定理以及规则，如果片面的理解起来是非常的困难的，很多学生在学习高等数学过程中，也都只是了解其文字的含义，而对其所要表达的内容一无所知，因此，为了能够加深学生对高等数学的概念、定理以及规则的理解，我们可以在高等数学教学过程中，采用反例教学的方式，从侧面了解和概括高等数学的概念、定理以及公式所要表达的本质意思，从而使学生能够对知识进行一定的理解和分析。

例如：在高等数学的教学中，涉及判断分段函数是否是初等函数过程中，我们以此问题为例，进行的简单的对反例教学方法应用进行的阐述，在对上述的例子进行分析过程中，我们可以将这个问题细化，然后进行分析，在这一问题中主要所涉及到的是两个非常重要高等数学概念，分段函数和初等函数，在高等数学教学中，学生们都能非常轻松的将其定义和概念背诵出来，其定义就是在定义区域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数就可以称之为分段函数，然而，初等函数的基本定义和概念是指，由常数和基本初等函数经历过有限次数的四则运算和有限次的函数复合步骤，所构成并且可用一个式子表示的函数，我们可以通过将两个定义进行的对比，大部分同学都是会认为分段函数不一定会是初等函数，为此，我们在这一教学过程中，就可以采用反例教学的形式，来纠正和加深学生对于这两个函数概念的理解和分析，在进行反例教学过程中，我们可以引用一个分段函数，这个分段函数，也可以被称之为是初等函数，因为的它的分段函数表达方式和初等函数的表达方式都是同一个函数数值，因此，分段函数在不同的情况下是有可能被称之为初等函数的，这样通过反例的教学形式，就会很大程度上加深了学生对于分段函数和初等函数的定义和概念。

二、可以通过反例教学形式，帮助学生学习命题证明方法

在高等数学教学中，关于命题的成立方面，是必须要通过非常严密的逻辑证明，才能够做到一个命题的成立，而要否定一个命题，只要判断和证明出这个命题在某种特定情况下，不能够有效的成立就可以了，否定命题的方法，可以说是在高等数学学习中，是非常重要的数学方法和证明的手段，此方法是需要学生必须掌握和认可的，因为在高等数学命题教学过程中，采用反例教学方法来引导和教育学生，可以培养出学生逆向思维的能力，对于学生学习命题证明会有非常大的帮助。

学生在进行学习过程中，可以说就是一个知识累积的过程，在累积知识的同时，更是学生在学习过程中，不断产生错误的过程，所以，适当的在高等数学教学中采用反例教学方法来教育和引导学生，能够更具有说服力和证明力，可以帮助学生及时的纠正和改正自身对于知识点的误区，为此，特别是在命题的教学过程中，学生总是不能够做到证明的严密性，这样就给今后的学习留下了很多不完善的地方，有时候还会导致在学习下一节课程中，不能够掌握新的知识体系，所以，学生如果掌握了其反例教学的方法，做出了命题不成立的方面，那么剩下的情况就都是成立的，学生就可以对知识清晰而又明确了，通过反例教学，一方面可以帮助学生学习证明命题的方法，另一方面还可以帮助学生做到及时的修补和纠正学习过程中发生的错误。

三、采用反例教学，培养和锻炼学生创新能力和空间思维能力

在进行高等数学教学过程中，采用反例教学的同时，还要引导和教育学生在学习中构造出反例，因为在高等数学学习中，只有学生很好的掌握了其数学概念和定义，那么才会在其基础之上，进行反例的构造，在反例教学过程中，引导和教育学生构造数学反例的目的，主要是为了培养学生的一定的创新和思维能力，打开学生学习的思路，为学生学习高等数学知识，提供多种的途径，使学生能够在进行反例教学学习中，通过构造反例的形式，培养自身高素质的创新能力，发挥想象能力，增强学生的空间思维能力。

例如：我们在高等数学教学过程中，进行级数教学时，我们就可以采用分正项级数和任意项级数的不同进行分析，然后让学生举出反例，这样就会使学生轻松的掌握和了解级数之间的关系和内容，让学生举出反例的问题如下：如果级数∞收敛，那么级数，还会收敛吗？让学生通过举出反例来对其级数进行更深刻的了解和掌握，在学生进行构造反例的过程中，可以说并不是一件非常容易的事情，因为在想要构造反例，是需要具备非常清晰的思路和解题的方法的，如果不能够掌握其相关定义以及概念，想要构造反例可以说是存在一定的难度，如果在高等数学教学过程中，注意培养让学生进行构造反例，那么学生久而久之就会掌握方法，使学生在进行反例构造过程中，开拓自身的思维空间能力，很大意义上可以提高高等数学教学的质量，因此，我们可以让学生在级数的学习过程中，掌握其相关的概念以及定义和定理，那么举出其反例就会非常的轻而易举，因此，在高等数学教学中，采用反例教学来说对于学生学习高等数学还是有一定的效果的，而能够引导和带动学生学习高等数学，对于培养学生的能力，有很大的帮助。

四、结束语

综上所述，在进行高等数学教学过程中，科学合理的采用反例教学的方法，可以说在不同程度上是帮助学生学习和理解高等数学最有效的途径，如果学生掌握和了解构造反例的方式方法，一方面学生可以提高其自身的空间和思维能力，另一方面还可以通过其方法解决和分析更多的高等数学问题，其影响和意义对于学生来说是非常大的，希望教师在进行的反例教学过程中，能够恰当的使用反例教学，避免给学生带来教学的负面影响，恰当与其他教学方法进行结合，为学生创造和构建出一个愉快轻松的学习环境，使学生可以在好的学习环境中，培养和锻炼自身的学习能力，为今后工作和生活奠定坚实的求学基础。

参考文献：

\[1\]高职数学教学中反例教学法的运用探析\[J\].黄冈职业技术学院学报,2010,12(5).

\[2\]浅谈反例在数学教学中的作用\[J\].科教文汇,2007,(31).

\[3\]浅谈反例在《高等数学》教学中的作用\[J\].保定师范专科学校学报,2005,18(2).